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人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题12平行四边形经典压轴题型专训(36道)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题12平行四边形经典压轴题型专训(36道)(原卷版+解析)，共86页。
1．（2023春·广东佛山·九年级校考期末）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，，下列结论中结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（2022秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ）
A．20B．18C．16D．14
3．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，以为斜边作，与交于点，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．4
6．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④平分．其中不正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．（2021秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③是等边三角形；④
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
10．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
11．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点A重合时，．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
13．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图．已知在长方形中，，，点，分别在边，上，连接，，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在上的，处，连接，则四边形的周长为_____．
14．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形的对角线交于点O，连接，如果，，那么______．
15．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，线段的长为10，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为________．
16．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是________．
17．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，点E在线段上，连接，过点E作，垂足为G，过点D作交延长线于点F，连接，则与的数量关系为 _____．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，于点，点在上，，连接延长交于点，若，则线段的长为____________．
19．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为______．
20．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆市第二十九中学校校考开学考试）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为________
21．（2022秋·广东深圳·九年级深圳实验学校校考期中）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是___________．
22．（2023秋·河南郑州·九年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．
23．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上的点，M、N分别是AB、AD的中点，连接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，则PM+PN的最小值是__________________．
24．（2020秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，，．当取最小值时，正方形的边长为______．
25．（2022春·辽宁盘锦·九年级校考期中）在中，，过点A作直线，以C为顶点作，分别交直线，于点D，E．
(1)如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系，不必说明理由；
(2)如图2，当时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)当时，且，时，请直接写出线段的长．
26．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形中，，相交于点O，点E为上的一个动点，连接并延长到点F，使，连接．
(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，，请直接写出线段的长度．
27．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得．
请利用小明的作法及结论求的度数．
【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、、．若，，，则______°．
28．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
29．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
30．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)点在上运动时，_____________；点在上运动时，_____________．（用含的代数式表示）
(2)点在上，时，求的值．
(3)当直线平分的面积时，求的值．
(4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值．
31．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）【操作发现】
(1)如图，在等边中，点在直线上，为边上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是___________，线段与直线所夹锐角的度数是___________．
【类比探究】
(2)如图，在等边中，点在直线上，若为延长线上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】
如图，在正方形中，点在直线上，为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(3)试探究线段与的数量关系及线段与直线所夹锐角的度数，并说明理由．
(4)若正方形的边长为，连接，当时，求线段的长．
32．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现___________；
(3)①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则___________．
33．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
34．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．
(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
(3)图中若，，求的面积为______．
35．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．
(1)如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；
(2)如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长．
36．（2022·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．
(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
专题12 平行四边形经典压轴题型专训（36道）
【平行四边形经典压轴题型专训】
1．（2023春·广东佛山·九年级校考期末）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，，下列结论中结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】根据正方形，为对角线，，可知四边形是矩形，由此可证、
、、是等腰直角三角形，为的中点，，可知是等腰
直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
∵正方形中，为对角线，，
∴，，
∴，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，
由结论①正确可知，是等腰直角三角形，为的中点，
∴，且、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，故结论②正确；
结论③，
∵、、、是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故结论③正确；
结论④若，则，
由结论②正确，可知；由结论③正确可知，，
且、、、是等腰直角三角形，
∴，即是等腰直角三角形，
如图所示，过点作于，设，则，，，
∴，，
∴，故结论④正确；
综上所示，正确的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题是四边形与三角形的综合，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】B
【分析】过F作于N，通过证明的面积，依此即可求解．
【详解】解：过F作于N，连接，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证，
所以．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
3．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①过N作，则，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，证明，得出，证出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假设成立，证明，得出，可判断③不一定成立；
④过P作的平行线交于K，证出，，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作分别交、于S、T，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
若，
则．
∵，
∴，
∴，显然不一定成立，故③错误；
过P作的平行线交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点G，作于点H，
则，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
如图，延长交的延长线于，
，
，
点是的中点，
，
，，，
，
，
已证明，
是斜边的中线，
，
，
，，
．故③正确；
根据可得，
若成立，
，
，
，，
，
，
在中，有，
，
，
显然，
假设不成立，
，故④错误，
故正确的有①②③，
故选B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合性很强，难度较大，解题的关键是能够综合运用上述知识．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，以为斜边作，与交于点，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质得出，进一步得出，再根据证明得出，连接，设求出，由勾股定理可得出，进一步可得出结论．
【详解】连接,
∵菱形，，
在中，
又
，
又
在和中，
连接，设，，
在中，
（舍去）
∴
∴菱形的周长为，
故选：B
【点睛】本题考查的是菱形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形得性质和平行线得性质得出，，即可证明，得，即可判断①；由，，， 可证明，得，则，所以，即可判断②；由，即可判断③；连接，设，由， 可推导出，，则，得，所以,即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵O为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵于点F，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③错误；
连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形得判断和性质、同角的余角相等，全等三角形得判断和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
7．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④平分．其中不正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】先判断出，求得，得出，再判断出从而得到①正确，根据平角的定义求出，得出②正确；连接，判断出，得出③错误，根据，得到④正确．
【详解】解：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，，
在和中，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
如图，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，是对角线上任意一点，
∴的长是变化的，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴平分，故④正确；
综上，①②④正确，不正确的只有③一个；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出，难点是作出辅助线．
8．（2021秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得垂直平分，故结论①正确；过点作于，由“”证明，可得，，故结论②正确；过点作于，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，即可求得，故结论③正确；延长至，使，连接，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，由线段的和差关系即可证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将正方形沿翻折，
∴垂直平分，故结论①正确；
∴，
如图，过点作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论②正确；
如图，过点作于，
∵将正方形沿翻折，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
如图，延长至，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
9．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③是等边三角形；④
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】利用垂直平分线的性质可得，利用三角形的中位线定理可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，则，通过证明，可得，则得，于是可得，由于，可得①正确；利用，可以判定②错误；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，则得为等边三角形，可得③正确；通过说明，可得④正确．
【详解】解：连接，如图，
为中点，且，
，
为中点， G为的中点，
，
，G为的中点，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
，故①正确；
，，
，故②错误；
，，
为等边三角形，故③正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
10．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
如图：连接并延长交于G
∵
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作于点，设，，根据勾股定理列方程求得，即可．
【详解】解：过点作于点，如下图：
设，，则，，
由题意可得：，，为等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，
，即，解得，
，即，解得，
，
故选：D.
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点A重合时，．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点D重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；
④过点F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
②∴
∴只有时，平分，
故②错误；
③点H与点A重合时，设，则，
在中，，
即，
解得，
点E与点D重合时，，
∴，
∴线段的取值范围为，
故③正确；
过点F作于M，则，
由勾股定理得，，
故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选：C．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
13．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图．已知在长方形中，，，点，分别在边，上，连接，，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在上的，处，连接，则四边形的周长为_____．
【答案】
【分析】由四边形是矩形，得，，，根据勾股定理求得，再由翻折得，，，，则，，再根据勾股定理列方程，求得；由，求得，则，得，由勾股定理求得，则，即可由勾股定理求得，而，即可求得四边形CGHF的周长为．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
由翻折得，，，，
，，，
，且，
，
，
，且，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形的对角线交于点O，连接，如果，，那么______．
【答案】
【分析】过点O作交的延长线于点M，作于点N，易证四边形是矩形，利用已知条件再证明，因为，，所以平分；进而求出的长，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图：过点O作交的延长线于点M，作于点N，
，
，
∴四边形是矩形，
，
∵正方形的对角线交于点O，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴矩形是正方形，，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解答时作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是关键．
15．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，线段的长为10，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为________．
【答案】5
【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可．
【详解】如图，连接，
因为等边，矩形，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以平分，
因为是定角，
所以的角平分线是唯一确定的射线，
所以点O在定直线上，
所以，
过点B作于点E，
因为，
所以，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是________．
【答案】①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
17．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，点E在线段上，连接，过点E作，垂足为G，过点D作交延长线于点F，连接，则与的数量关系为 _____．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形可得，进而得到，再证明可得，进而得到是等腰直角三角形，从而完成解答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解答本题的关键．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，于点，点在上，，连接延长交于点，若，则线段的长为____________．
【答案】
【分析】先证明，可得，设，则，，，，由，，可证，，再利用，可得，进一步证明，可得，，由勾股定理，可列出方程，解出的值，即可求出，的长，在根据勾股定理求出线段的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，（舍），
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质及勾股定理的应用，根据题意设出，并表示出、、，利用勾股定理列出方程，解出的值是解答本题的关键．
19．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为______．
【答案】
【分析】根据点E在菱形的边、、、的运动，可确定点F的运动路径，即可求得的最大值．
【详解】如图，当点E在上时，则点F在射线运动，当运动到点B时，点F点运动到点，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，，则点F在线段上运动，且，；所以点F的运动路径是一个菱形，其边长为4，当点E与点D重合，点F与点重合时，最长；连结；
∵在菱形ABCD中，，，点M为边中点，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴在中，；
所以线段长度的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，确定点F的运动路径是解题的关键与难点．
20．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆市第二十九中学校校考开学考试）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为________
【答案】
【分析】连接，延长交于点，作于点，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．
【详解】连接，延长交于点，作于点，如图所示，
由折叠的性质可得：，，
则为的中垂线，
，
为中点，
，，，
，，
，
即，
，
即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．
21．（2022秋·广东深圳·九年级深圳实验学校校考期中）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是___________．
【答案】
【分析】根据轴对称和矩形的性质，得，，；设，，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算，得，从而完成求解.
【详解】由折叠性质可得：，，，，，，，
∴，，
设，，则，，
∴
在直角中，，
∴
∴
在直角中，设，则
∴
解得：
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形、轴对称、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解.
22．（2023秋·河南郑州·九年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．
【答案】2或
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
23．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上的点，M、N分别是AB、AD的中点，连接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，则PM+PN的最小值是__________________．
【答案】
【分析】根据轴对称性质作点N关于对称轴BD的对称点E，线段ME即为PM＋PN的最小值，利用等边三角形性质和勾股定理即可求出线段ME长度．
【详解】解：如图，作点N关于线段BD的对称点E，连接ME交线段BD于P点，ME即为PM＋PN的最小值；
连接DE，过点E作EF⊥AD，EG⊥AB．
∴四边形AFEG为矩形．
∴AG = FE，AF = GE
∵点N、点E关于线段BD对称，点P、点D在线段BD上．
∴PE = PN，DN = DE
∴PM＋PN = PM＋PE
当点P、M、E在同一直线时，PM＋PE有最小值．
∵∠ADB = 30°
∴∠NDE = 60°
∴△DNE是等边三角形．
∴点F垂直平分DN
∵AB = 2，∠ADB = 30°
∴AD =
∵点M、N是线段AB、AD中点
∴DN = DE = NE = AN = ，NF = ，AM = 1
∴EF = = =
∵AF = AN＋NF =
∴GE = AF = ，EF = AG =
∵MG = AG－AM = =
∴ME = = =
所以PM＋PN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质和勾股定理等知识点，学会通过轴对称的性质转移线段以及理解两点之间线段最短定理是解题的关键．
24．（2020秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，，．当取最小值时，正方形的边长为______．
【答案】
【分析】根据正方形以及等边三角形的性质结合旋转的性质证明，得出，根据旋转的性质得出为等边三角形，即，则可得，从而得到当在一条直线上时，最小，过点作于点,正方形的边长为，分别表示出的长度，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即当在一条直线上时，最小，
过点作于点,
∵取最小值，
即，
设正方形的边长为，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得：，（负值舍去），
故正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，根据题意得出最短时的情形是解本题的关键．
25．（2022春·辽宁盘锦·九年级校考期中）在中，，过点A作直线，以C为顶点作，分别交直线，于点D，E．
(1)如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系，不必说明理由；
(2)如图2，当时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)当时，且，时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2或5
【分析】（1）证明，即可完成求证；
（2）利用截长法构造全等三角形，可得到，，即可求解；
（3）分为E点在A点左边和右边两种情况讨论，构造全等三角形求解即可．
【详解】（1）
理由：∵AB=BC，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）；
理由：如图，过点C作于F，
∴
∵，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点C作于G，于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图①所示，当E点在A点左边时，；
如图②所示，当E点在A点右边时，；
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴图①中，，
图②中，，
∵
∴
∴图①中，；图②中，；
∴图①中，，
图②中，，
∴的长为2或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质等，解题关键是发现和构造全等三角形．
26．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形中，，相交于点O，点E为上的一个动点，连接并延长到点F，使，连接．
(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)且；
(2)1或3
【分析】（1）若点E与点B重合根据矩形得到，，结合，即可得到四边形为平行四边形；
（2）先根据矩形的性质得到，，再根据三角形中位线的性质得到，，当为对角线时，如图1根据平行四边形的性质得到，则，即可得到一个答案；当为边时，如图，此时E点与D点重合，即可得到答案．
【详解】（1）解：且，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴,
∴四边形是平行四边形，
∴，；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
当为对角线时，如下图
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
当为边时，如下图
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴此时点E与点D重合，
∴；
综上所述的长度为1或3．
【点睛】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；也考查了平行四边形的判定和三角形中位线性质．
27．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得．
请利用小明的作法及结论求的度数．
【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、、．若，，，则______°．
【答案】【解决问题】；【方法应用】135
【分析】（1）由旋转的性质可得，，可以证明，，证明，得出，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，即可求解；
（2）由旋转的性质将绕点B顺时针旋转到，连接，，根据旋转性质得出根据旋转可知，，，利用等腰三角形性质求出，，得出，，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得出，即可求出结果．
【详解】解：【解决问题】∵为等边三角形，
∴，，
∵将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
解：【方法应用】将绕点B顺时针旋转到，连接，，
根据旋转可知，，，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，利用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
28．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，如图1，根据菱形的性质得，即可判定为等边三角形，得到，，然后利用可证明，即可解答；
（2）过点F作，交的延长线于点H，利用平行线的性质求得是等边三角形，得到，然后利用定理求得，从而问题得解；
（3）过点B作，交于点K，根据两组对边分别平行求得四边形是平行四边形，从而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，问题随之得解．
【详解】（1）连接，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点F作，交的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证为等边三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）过点B作，交于点K，如图3，
∵，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
过点A作，
由（2）可知，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．
29．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)是，见解析
(3)①3；②的度数不变，且，见解析
【分析】（1）可推出，进而得出结果；
（2）作，可证得，进而得出结果；
（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
当点P在F点时，，
当点P在C点时，，
∴，
观察四个选项，不可能是③，
故答案为：③；
（2）解：如图2，
点P落在点C的右侧，理由如下：
连接，作于E，
∵点B和点Q关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P是否一定在射线上点C的右侧；
（3）解：①如图3，
作，交的延长线于E，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如图4，
不发生变化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
30．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)点在上运动时，_____________；点在上运动时，_____________．（用含的代数式表示）
(2)点在上，时，求的值．
(3)当直线平分的面积时，求的值．
(4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，
（2）点在上，时，，即可求得
（3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值
（4）当时，菱形只能为，据此可求得的值
【详解】（1）根据题意：
当点在上运动时，，
当点在上运动时，，
故答案为：；
（2）当点在上，时，点在上，且，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为：
（3）∵当点依次在、、、上时，
的取值范围依次为：、、、，
当点依次在、、、上时，
的取值范围依次为：、、、，
由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
∴
当，点在上，点在上时，直线平分的面积，
∴，即，
解得：，
当，点在上，点在上时，直线平分的面积，
∴，即，
解得：，
综上所述：当直线平分的面积时，的取值为：或
（4）∵，
∴，
∴点在上，
∴，且，
∴的某两个顶点与、所围成的菱形只能是：，
∴点在边上，，
∵此时：，
∴，
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质及菱形的性质，解决问题的关键是用分类讨论的数学思想思考问题
31．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）【操作发现】
(1)如图，在等边中，点在直线上，为边上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是___________，线段与直线所夹锐角的度数是___________．
【类比探究】
(2)如图，在等边中，点在直线上，若为延长线上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】
如图，在正方形中，点在直线上，为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(3)试探究线段与的数量关系及线段与直线所夹锐角的度数，并说明理由．
(4)若正方形的边长为，连接，当时，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)成立，见解析
(3)，见解析
(4)或
【分析】（1）如图中，过点作交于点证明≌，可得结论；
（2）结论不变，如图2，过点作交的延长线于点，证明≌，可得结论；
（3）结论：，线段与直线所夹锐角的度数为在上取一点，使得利用全等三角形的性质证明即可；
（4）分两种情形：如图中，当点在点上方时，如图中，当点在点下方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图中，过点作交于点．
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图中，结论成立．
理由：过点作交的延长线于点．
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）解：结论：，线段与直线所夹锐角的度数为．
理由：在上取一点，使得．
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
（4）解：如图中，过点作于点．
当点在点上方时，是等腰直角三角形，，
，
，
，
．
如图中，当点在点的下方时，同法可得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
32．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现___________；
(3)①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或．
(3)①，②，③2048
【分析】（1）根据“奇异矩形”定义，可知“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应或需要个基本奇异矩形，
（3）由勾股定理可知：奇异矩形的宽、长、对角线之比为，由此规律即可解答
【详解】（1）解：①如图①，相关数据已标出，
图①中，长为，宽为2，
长：宽=；
符合奇异矩形的条件；
②图②中，长为4，宽为，
长：宽=，
符合奇异矩形的条件．
（2）解：根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应或需要个基本奇异矩形．
故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或．
（3）解：①若用32个奇异矩形组成奇异矩形，
则长，宽=，此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理，，
故答案为：对角线为，
②若用256个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长=，宽，
此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理： ，
故答案为：；
③根据规律可知：个基本矩形拼成的奇异矩形，长为，宽为，则对角线为，
∴
∴，
∴．
故答案为：2048．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、寻找规律的应用等知识点，较好的动手画图操作能力是解答本题的关键．
33．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形
【分析】（1）根据题意可得当时，；
（2）证明，则，即，求t的值即可；
（3）画出图形，当时，正方形在长方形的内部；当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，当M点运动到D点处时，当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，则可知 时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；则时，正方形与长方形的重叠部分为四边形；
（4）由（3）的讨论直接求解即可．
【详解】（1）当时，；
故答案为：；
（2）如图1，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（3）由（2）知，时，正方形在长方形的内部，
∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
∴；
如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，
如图3，当M点运动到D点处时，
∵，
∴，
解得，
∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，
∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；
∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
如图5，
＝
＝；
综上所述：当时，；当时， ；
（4）由（3）可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【点睛】本题是四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
34．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．
(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
(3)图中若，，求的面积为______．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）分别证明、，根据全等三角形的性质解答；
（2）由（1）的证明方法相同，证明即可；
（3）根据题意求出的面积，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）解：猜想：，证明如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
∵在和中，
∴，
，，
，，
，
，
，
∵在和中，
，
，
又，
；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取，连接，
∵和中，
，
，，
，
即，
，
，
∵在和中，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，
，
的面积为：，
则的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题为四边形的综合题，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键．
35．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．
(1)如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；
(2)如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)①四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由见解析；②
【分析】（1）设与交与点M，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）①延长交于点K，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
②设交于点N，利用①的结论证明，得到，则和为等腰直角三角形，设,则，利用勾股定理列出方程即可求得x值，再利用等腰直角三角形的性质求得的长，则．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由：
设与交与点M，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵点E在中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∵重合，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是菱形；
（2）四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由：
延长交于点K，如图，
由题意得：，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②设与交于点N，如图，
由①知：，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得：（负数不合题意，舍去），
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
36．（2022·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．
(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
【答案】(1)；．证明见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，，然后求出，再求出，然后根据垂直的定义解答即可；
（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得；②过点作于，作于，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是正方形，根据正方形的性质求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可．
【详解】（1）解：；．
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）①证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
②解：如图，过点作于，作于，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在中，，
正方形的边长．
【点睛】本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）②难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点
1．（2023春·广东佛山·九年级校考期末）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，，下列结论中结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（2022秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ）
A．20B．18C．16D．14
3．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，以为斜边作，与交于点，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．4
6．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④平分．其中不正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．（2021秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③是等边三角形；④
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
10．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
11．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点A重合时，．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
13．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图．已知在长方形中，，，点，分别在边，上，连接，，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在上的，处，连接，则四边形的周长为_____．
14．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形的对角线交于点O，连接，如果，，那么______．
15．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，线段的长为10，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为________．
16．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是________．
17．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，点E在线段上，连接，过点E作，垂足为G，过点D作交延长线于点F，连接，则与的数量关系为 _____．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，于点，点在上，，连接延长交于点，若，则线段的长为____________．
19．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为______．
20．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆市第二十九中学校校考开学考试）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为________
21．（2022秋·广东深圳·九年级深圳实验学校校考期中）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是___________．
22．（2023秋·河南郑州·九年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．
23．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上的点，M、N分别是AB、AD的中点，连接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，则PM+PN的最小值是__________________．
24．（2020秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，，．当取最小值时，正方形的边长为______．
25．（2022春·辽宁盘锦·九年级校考期中）在中，，过点A作直线，以C为顶点作，分别交直线，于点D，E．
(1)如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系，不必说明理由；
(2)如图2，当时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)当时，且，时，请直接写出线段的长．
26．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形中，，相交于点O，点E为上的一个动点，连接并延长到点F，使，连接．
(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，，请直接写出线段的长度．
27．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得．
请利用小明的作法及结论求的度数．
【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、、．若，，，则______°．
28．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
29．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
30．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)点在上运动时，_____________；点在上运动时，_____________．（用含的代数式表示）
(2)点在上，时，求的值．
(3)当直线平分的面积时，求的值．
(4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值．
31．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）【操作发现】
(1)如图，在等边中，点在直线上，为边上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是___________，线段与直线所夹锐角的度数是___________．
【类比探究】
(2)如图，在等边中，点在直线上，若为延长线上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】
如图，在正方形中，点在直线上，为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(3)试探究线段与的数量关系及线段与直线所夹锐角的度数，并说明理由．
(4)若正方形的边长为，连接，当时，求线段的长．
32．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现___________；
(3)①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则___________．
33．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
34．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．
(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
(3)图中若，，求的面积为______．
35．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．
(1)如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；
(2)如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长．
36．（2022·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．
(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
专题12 平行四边形经典压轴题型专训（36道）
【平行四边形经典压轴题型专训】
1．（2023春·广东佛山·九年级校考期末）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，，下列结论中结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】根据正方形，为对角线，，可知四边形是矩形，由此可证、
、、是等腰直角三角形，为的中点，，可知是等腰
直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
∵正方形中，为对角线，，
∴，，
∴，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，
由结论①正确可知，是等腰直角三角形，为的中点，
∴，且、是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，故结论②正确；
结论③，
∵、、、是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故结论③正确；
结论④若，则，
由结论②正确，可知；由结论③正确可知，，
且、、、是等腰直角三角形，
∴，即是等腰直角三角形，
如图所示，过点作于，设，则，，，
∴，，
∴，故结论④正确；
综上所示，正确的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题是四边形与三角形的综合，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】B
【分析】过F作于N，通过证明的面积，依此即可求解．
【详解】解：过F作于N，连接，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证，
所以．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
3．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①过N作，则，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，证明，得出，证出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假设成立，证明，得出，可判断③不一定成立；
④过P作的平行线交于K，证出，，即可得出结论．
【详解】解：①正确；过N作分别交、于S、T，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
若，
则．
∵，
∴，
∴，显然不一定成立，故③错误；
过P作的平行线交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点G，作于点H，
则，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．
4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到，故③正确；假设，根据，可得，结合，，可得，即有，进而可得，则有，显然，即假设不成立，即可判断④错误．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
如图，延长交的延长线于，
，
，
点是的中点，
，
，，，
，
，
已证明，
是斜边的中线，
，
，
，，
．故③正确；
根据可得，
若成立，
，
，
，，
，
，
在中，有，
，
，
显然，
假设不成立，
，故④错误，
故正确的有①②③，
故选B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，综合性很强，难度较大，解题的关键是能够综合运用上述知识．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，以为斜边作，与交于点，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质得出，进一步得出，再根据证明得出，连接，设求出，由勾股定理可得出，进一步可得出结论．
【详解】连接,
∵菱形，，
在中，
又
，
又
在和中，
连接，设，，
在中，
（舍去）
∴
∴菱形的周长为，
故选：B
【点睛】本题考查的是菱形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（ ）
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形得性质和平行线得性质得出，，即可证明，得，即可判断①；由，，， 可证明，得，则，所以，即可判断②；由，即可判断③；连接，设，由， 可推导出，，则，得，所以,即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵O为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵于点F，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故③错误；
连接，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形得判断和性质、同角的余角相等，全等三角形得判断和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
7．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足，连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④平分．其中不正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】先判断出，求得，得出，再判断出从而得到①正确，根据平角的定义求出，得出②正确；连接，判断出，得出③错误，根据，得到④正确．
【详解】解：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，，
在和中，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
如图，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，是对角线上任意一点，
∴的长是变化的，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴平分，故④正确；
综上，①②④正确，不正确的只有③一个；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出，难点是作出辅助线．
8．（2021秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得垂直平分，故结论①正确；过点作于，由“”证明，可得，，故结论②正确；过点作于，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，即可求得，故结论③正确；延长至，使，连接，由“”证明，可得，，由“”证明，可得，由线段的和差关系即可证明结论④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将正方形沿翻折，
∴垂直平分，故结论①正确；
∴，
如图，过点作于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论②正确；
如图，过点作于，
∵将正方形沿翻折，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
如图，延长至，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键．
9．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③是等边三角形；④
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】利用垂直平分线的性质可得，利用三角形的中位线定理可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，则，通过证明，可得，则得，于是可得，由于，可得①正确；利用，可以判定②错误；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，则得为等边三角形，可得③正确；通过说明，可得④正确．
【详解】解：连接，如图，
为中点，且，
，
为中点， G为的中点，
，
，G为的中点，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
，故①正确；
，，
，故②错误；
，，
为等边三角形，故③正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
10．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
如图：连接并延长交于G
∵
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作于点，设，，根据勾股定理列方程求得，即可．
【详解】解：过点作于点，如下图：
设，，则，，
由题意可得：，，为等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，
，即，解得，
，即，解得，
，
故选：D.
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点A重合时，．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点D重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；
④过点F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
②∴
∴只有时，平分，
故②错误；
③点H与点A重合时，设，则，
在中，，
即，
解得，
点E与点D重合时，，
∴，
∴线段的取值范围为，
故③正确；
过点F作于M，则，
由勾股定理得，，
故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选：C．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
13．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图．已知在长方形中，，，点，分别在边，上，连接，，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在上的，处，连接，则四边形的周长为_____．
【答案】
【分析】由四边形是矩形，得，，，根据勾股定理求得，再由翻折得，，，，则，，再根据勾股定理列方程，求得；由，求得，则，得，由勾股定理求得，则，即可由勾股定理求得，而，即可求得四边形CGHF的周长为．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
由翻折得，，，，
，，，
，且，
，
，
，且，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形的对角线交于点O，连接，如果，，那么______．
【答案】
【分析】过点O作交的延长线于点M，作于点N，易证四边形是矩形，利用已知条件再证明，因为，，所以平分；进而求出的长，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图：过点O作交的延长线于点M，作于点N，
，
，
∴四边形是矩形，
，
∵正方形的对角线交于点O，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴矩形是正方形，，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解答时作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是关键．
15．（2021秋·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，线段的长为10，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为________．
【答案】5
【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可．
【详解】如图，连接，
因为等边，矩形，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以平分，
因为是定角，
所以的角平分线是唯一确定的射线，
所以点O在定直线上，
所以，
过点B作于点E，
因为，
所以，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是________．
【答案】①③④
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
17．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，点E在线段上，连接，过点E作，垂足为G，过点D作交延长线于点F，连接，则与的数量关系为 _____．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形可得，进而得到，再证明可得，进而得到是等腰直角三角形，从而完成解答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解答本题的关键．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，点在上，点在上，于点，点在上，，连接延长交于点，若，则线段的长为____________．
【答案】
【分析】先证明，可得，设，则，，，，由，，可证，，再利用，可得，进一步证明，可得，，由勾股定理，可列出方程，解出的值，即可求出，的长，在根据勾股定理求出线段的长即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，（舍），
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质及勾股定理的应用，根据题意设出，并表示出、、，利用勾股定理列出方程，解出的值是解答本题的关键．
19．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为______．
【答案】
【分析】根据点E在菱形的边、、、的运动，可确定点F的运动路径，即可求得的最大值．
【详解】如图，当点E在上时，则点F在射线运动，当运动到点B时，点F点运动到点，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，，则点F在线段上运动，且，；所以点F的运动路径是一个菱形，其边长为4，当点E与点D重合，点F与点重合时，最长；连结；
∵在菱形ABCD中，，，点M为边中点，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴在中，；
所以线段长度的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，确定点F的运动路径是解题的关键与难点．
20．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆市第二十九中学校校考开学考试）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为________
【答案】
【分析】连接，延长交于点，作于点，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得三角形为直角三角形，且为中点，从而，由勾股定理可得的长，再根据，即，从而可求得的长．
【详解】连接，延长交于点，作于点，如图所示，
由折叠的性质可得：，，
则为的中垂线，
，
为中点，
，，，
，，
，
即，
，
即，
在直角三角形中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，点到直线的距离，直角三角形的判定、勾股定理、线段中垂线的判定，解决本题的关键是利用面积相等求相应线段的长．
21．（2022秋·广东深圳·九年级深圳实验学校校考期中）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．则的值是___________．
【答案】
【分析】根据轴对称和矩形的性质，得，，；设，，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算，得，从而完成求解.
【详解】由折叠性质可得：，，，，，，，
∴，，
设，，则，，
∴
在直角中，，
∴
∴
在直角中，设，则
∴
解得：
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形、轴对称、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解.
22．（2023秋·河南郑州·九年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．
【答案】2或
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
23．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上的点，M、N分别是AB、AD的中点，连接PM、PN．若AB = 2，∠ADB = 30°，则PM+PN的最小值是__________________．
【答案】
【分析】根据轴对称性质作点N关于对称轴BD的对称点E，线段ME即为PM＋PN的最小值，利用等边三角形性质和勾股定理即可求出线段ME长度．
【详解】解：如图，作点N关于线段BD的对称点E，连接ME交线段BD于P点，ME即为PM＋PN的最小值；
连接DE，过点E作EF⊥AD，EG⊥AB．
∴四边形AFEG为矩形．
∴AG = FE，AF = GE
∵点N、点E关于线段BD对称，点P、点D在线段BD上．
∴PE = PN，DN = DE
∴PM＋PN = PM＋PE
当点P、M、E在同一直线时，PM＋PE有最小值．
∵∠ADB = 30°
∴∠NDE = 60°
∴△DNE是等边三角形．
∴点F垂直平分DN
∵AB = 2，∠ADB = 30°
∴AD =
∵点M、N是线段AB、AD中点
∴DN = DE = NE = AN = ，NF = ，AM = 1
∴EF = = =
∵AF = AN＋NF =
∴GE = AF = ，EF = AG =
∵MG = AG－AM = =
∴ME = = =
所以PM＋PN的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质和勾股定理等知识点，学会通过轴对称的性质转移线段以及理解两点之间线段最短定理是解题的关键．
24．（2020秋·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，，．当取最小值时，正方形的边长为______．
【答案】
【分析】根据正方形以及等边三角形的性质结合旋转的性质证明，得出，根据旋转的性质得出为等边三角形，即，则可得，从而得到当在一条直线上时，最小，过点作于点,正方形的边长为，分别表示出的长度，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即当在一条直线上时，最小，
过点作于点,
∵取最小值，
即，
设正方形的边长为，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得：，（负值舍去），
故正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，根据题意得出最短时的情形是解本题的关键．
25．（2022春·辽宁盘锦·九年级校考期中）在中，，过点A作直线，以C为顶点作，分别交直线，于点D，E．
(1)如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系，不必说明理由；
(2)如图2，当时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)当时，且，时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2或5
【分析】（1）证明，即可完成求证；
（2）利用截长法构造全等三角形，可得到，，即可求解；
（3）分为E点在A点左边和右边两种情况讨论，构造全等三角形求解即可．
【详解】（1）
理由：∵AB=BC，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）；
理由：如图，过点C作于F，
∴
∵，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点C作于G，于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图①所示，当E点在A点左边时，；
如图②所示，当E点在A点右边时，；
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴图①中，，
图②中，，
∵
∴
∴图①中，；图②中，；
∴图①中，，
图②中，，
∴的长为2或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质等，解题关键是发现和构造全等三角形．
26．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，在矩形中，，相交于点O，点E为上的一个动点，连接并延长到点F，使，连接．
(1)若点E与点B重合（如图2），判断AF与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)且；
(2)1或3
【分析】（1）若点E与点B重合根据矩形得到，，结合，即可得到四边形为平行四边形；
（2）先根据矩形的性质得到，，再根据三角形中位线的性质得到，，当为对角线时，如图1根据平行四边形的性质得到，则，即可得到一个答案；当为边时，如图，此时E点与D点重合，即可得到答案．
【详解】（1）解：且，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴,
∴四边形是平行四边形，
∴，；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
当为对角线时，如下图
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
当为边时，如下图
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴此时点E与点D重合，
∴；
综上所述的长度为1或3．
【点睛】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；也考查了平行四边形的判定和三角形中位线性质．
27．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）【提出问题】在一次数学探究活动中，李老师给出了一道题．如图①，点P是等边内的一点，连接、、．当，，时，求的度数．
【解决问题】小明在解决此题时，将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，连接、、，并结合已知条件证得．
请利用小明的作法及结论求的度数．
【方法应用】如图②，点P是正方形内一点，连接、、．若，，，则______°．
【答案】【解决问题】；【方法应用】135
【分析】（1）由旋转的性质可得，，可以证明，，证明，得出，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，即可求解；
（2）由旋转的性质将绕点B顺时针旋转到，连接，，根据旋转性质得出根据旋转可知，，，利用等腰三角形性质求出，，得出，，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得出，即可求出结果．
【详解】解：【解决问题】∵为等边三角形，
∴，，
∵将点P绕点B逆时针方向旋转得到点D，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
解：【方法应用】将绕点B顺时针旋转到，连接，，
根据旋转可知，，，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，利用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
28．（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．
(1)求证：．
(2)如图2，在延长线上，且，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，如图1，根据菱形的性质得，即可判定为等边三角形，得到，，然后利用可证明，即可解答；
（2）过点F作，交的延长线于点H，利用平行线的性质求得是等边三角形，得到，然后利用定理求得，从而问题得解；
（3）过点B作，交于点K，根据两组对边分别平行求得四边形是平行四边形，从而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，问题随之得解．
【详解】（1）连接，如图1，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点F作，交的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证为等边三角形，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）过点B作，交于点K，如图3，
∵，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
过点A作，
由（2）可知，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．
29．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)是，见解析
(3)①3；②的度数不变，且，见解析
【分析】（1）可推出，进而得出结果；
（2）作，可证得，进而得出结果；
（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
当点P在F点时，，
当点P在C点时，，
∴，
观察四个选项，不可能是③，
故答案为：③；
（2）解：如图2，
点P落在点C的右侧，理由如下：
连接，作于E，
∵点B和点Q关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P是否一定在射线上点C的右侧；
（3）解：①如图3，
作，交的延长线于E，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如图4，
不发生变化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
30．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)点在上运动时，_____________；点在上运动时，_____________．（用含的代数式表示）
(2)点在上，时，求的值．
(3)当直线平分的面积时，求的值．
(4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，
（2）点在上，时，，即可求得
（3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值
（4）当时，菱形只能为，据此可求得的值
【详解】（1）根据题意：
当点在上运动时，，
当点在上运动时，，
故答案为：；
（2）当点在上，时，点在上，且，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为：
（3）∵当点依次在、、、上时，
的取值范围依次为：、、、，
当点依次在、、、上时，
的取值范围依次为：、、、，
由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．
∴
当，点在上，点在上时，直线平分的面积，
∴，即，
解得：，
当，点在上，点在上时，直线平分的面积，
∴，即，
解得：，
综上所述：当直线平分的面积时，的取值为：或
（4）∵，
∴，
∴点在上，
∴，且，
∴的某两个顶点与、所围成的菱形只能是：，
∴点在边上，，
∵此时：，
∴，
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质及菱形的性质，解决问题的关键是用分类讨论的数学思想思考问题
31．（2022秋·江西上饶·九年级统考阶段练习）【操作发现】
(1)如图，在等边中，点在直线上，为边上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是___________，线段与直线所夹锐角的度数是___________．
【类比探究】
(2)如图，在等边中，点在直线上，若为延长线上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】
如图，在正方形中，点在直线上，为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(3)试探究线段与的数量关系及线段与直线所夹锐角的度数，并说明理由．
(4)若正方形的边长为，连接，当时，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)成立，见解析
(3)，见解析
(4)或
【分析】（1）如图中，过点作交于点证明≌，可得结论；
（2）结论不变，如图2，过点作交的延长线于点，证明≌，可得结论；
（3）结论：，线段与直线所夹锐角的度数为在上取一点，使得利用全等三角形的性质证明即可；
（4）分两种情形：如图中，当点在点上方时，如图中，当点在点下方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图中，过点作交于点．
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图中，结论成立．
理由：过点作交的延长线于点．
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）解：结论：，线段与直线所夹锐角的度数为．
理由：在上取一点，使得．
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
（4）解：如图中，过点作于点．
当点在点上方时，是等腰直角三角形，，
，
，
，
．
如图中，当点在点的下方时，同法可得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
32．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现___________；
(3)①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或．
(3)①，②，③2048
【分析】（1）根据“奇异矩形”定义，可知“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应或需要个基本奇异矩形，
（3）由勾股定理可知：奇异矩形的宽、长、对角线之比为，由此规律即可解答
【详解】（1）解：①如图①，相关数据已标出，
图①中，长为，宽为2，
长：宽=；
符合奇异矩形的条件；
②图②中，长为4，宽为，
长：宽=，
符合奇异矩形的条件．
（2）解：根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应或需要个基本奇异矩形．
故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或．
（3）解：①若用32个奇异矩形组成奇异矩形，
则长，宽=，此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理，，
故答案为：对角线为，
②若用256个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长=，宽，
此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理： ，
故答案为：；
③根据规律可知：个基本矩形拼成的奇异矩形，长为，宽为，则对角线为，
∴
∴，
∴．
故答案为：2048．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、寻找规律的应用等知识点，较好的动手画图操作能力是解答本题的关键．
33．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形
【分析】（1）根据题意可得当时，；
（2）证明，则，即，求t的值即可；
（3）画出图形，当时，正方形在长方形的内部；当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，当M点运动到D点处时，当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，则可知 时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；则时，正方形与长方形的重叠部分为四边形；
（4）由（3）的讨论直接求解即可．
【详解】（1）当时，；
故答案为：；
（2）如图1，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（3）由（2）知，时，正方形在长方形的内部，
∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
∴；
如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，
如图3，当M点运动到D点处时，
∵，
∴，
解得，
∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，
∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；
∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
如图5，
＝
＝；
综上所述：当时，；当时， ；
（4）由（3）可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【点睛】本题是四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
34．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，当绕点A旋转到时如图，易证．
(1)当绕点A旋转到时如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(2)当绕点A旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
(3)图中若，，求的面积为______．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）分别证明、，根据全等三角形的性质解答；
（2）由（1）的证明方法相同，证明即可；
（3）根据题意求出的面积，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）解：猜想：，证明如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
∵在和中，
∴，
，，
，，
，
，
，
∵在和中，
，
，
又，
；
（2）解：，证明如下：
如图，在上截取，连接，
∵和中，
，
，，
，
即，
，
，
∵在和中，
∴，
，
，
；
（3）解：∵，
，
的面积为：，
则的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题为四边形的综合题，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键．
35．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．
(1)如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；
(2)如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)①四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由见解析；②
【分析】（1）设与交与点M，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）①延长交于点K，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
②设交于点N，利用①的结论证明，得到，则和为等腰直角三角形，设,则，利用勾股定理列出方程即可求得x值，再利用等腰直角三角形的性质求得的长，则．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由：
设与交与点M，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵点E在中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∵重合，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是菱形；
（2）四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由：
延长交于点K，如图，
由题意得：，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②设与交于点N，如图，
由①知：，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得：（负数不合题意，舍去），
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
36．（2022·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．
(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；
(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．
①求证：；
②连接，若，，求的长．
【答案】(1)；．证明见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，，然后求出，再求出，然后根据垂直的定义解答即可；
（2）①根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得；②过点作于，作于，根据全等三角形对应角相等可得，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是正方形，根据正方形的性质求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可．
【详解】（1）解：；．
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）①证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
②解：如图，过点作于，作于，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在中，，
正方形的边长．
【点睛】本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）②难度较大，作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点
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