人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题15一次函数应用题重难点题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题15一次函数应用题重难点题型专训(原卷版+解析)，共72页。

题型一 方案选择问题
题型二 营销利润问题
题型三 行程问题
题型四 几何问题
题型五 其他问题
【经典例题一 方案选择问题】
【解题技巧】
一次函数方案选择题目的解题思路一般分为以下几步：
一、设出自变量和因变量。自变量一般是题目中变化的那个量，通过这个量的变化引起其他量的变化，因变量比较好找，一般题目中最后问的什么就设什么为因变量，
二、根据题目列函数关系式，并化简。函数关系式同学们可以类比一元一次方程来列，因为因变量y，就放在等号的左边，右边全是关于x的关系式，因此可以类比一元一次方程，写出代数式，结合我们所学的公式。例如利润=总售价-总成本，之后分析总售价有哪些部分组成，总成本有哪些部分组成，结合题目把等号右边的式子列出来。关于利润类型的题目同学们除了记住：利润=总售价-总成本，还要记住：利润=单个商品利润*所售商品的数量。
三、确定自变量取值范围。这是方案选择类题目的难点所在，确定自变量的取值范围主要考虑两个方便：（1）、题目中给定的限定条件，一般题目中出现什么什么以内，不超过多少，小于多少，至少等等词汇的时候，可以列出不等式，求解不等式可以求出自变量的取值范围。（2）、结合实际，方案选择类的题目都是实际问题，因此还要结合实际情况，例如人数、桌椅数量等等以“个”为单位时，要注意必须是大于0的整数，如果题目中是以“万”为单位，可以不用考虑整数这一条件
四、在取值范围内，进行比较，确定方案。确定好自变量的取值范围后，根据题目进行方案的确定，如果是让我们自行设置方案，那么一般就是最值的问题，看看题目要求的是最小值还是最大值，之后根据一次函数的增减性，确定x取何值时，y取最值。如果是题目中给定的几个方案进行选择，那么就进行比较，一般情况下就要分类讨论了，在不同的取值范围内，确定不同的方案，或者根据给定的结果，选择好取值范围之后，确定方案。
五、回归实际问题，写出选择的方案。很多同学忽视了最后一步，既然是利用一次函数解决实际问题，那么最终要回归到解决实际问题上，因此最后要写出你通过数学计算，得到的最优方案，这样才能够得到这一题目的满分。如果是多方案的问题就写在哪一范围内选择什么方案，如果是自己设计，那么就写谁多少，获得最大或最小，获得多少，确定这一方案。
【例1】（2021春·八年级课时练习）单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张．
【变式训练】
【变式1】（2022·江苏·七年级专题练习）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
请问：李老板最少要花掉租金（ ）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000元
【变式2】（2021·全国·八年级课时练习）单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张．
【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）A城有肥料，B城有肥料，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费元用分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为，运往D乡肥料的总运费为；
(1)写出关于x的函数关系式以及关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围；
(2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案；
(3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a的式子表达）
【经典例题二 营销利润问题】
【解题技巧】
牢记公式：利润=销售额-成本或利润=单利×数量；
【例2】（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）今年清明节期间，为提倡文明、环保祭祖，某烟花销售商拟今年不再销售烟花爆竹，改为销售鲜花．经过市场调查，发现有甲、乙、丙、丁四种鲜花组合比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案，其中甲、丙的进货量相同，乙、丁的进货量相同；甲与丁单价均20元/束，乙、丙的单价均为40元/束，且甲、乙的进货总价比丙、丁的进货总价多560元．由于年末资金周转紧张，所以临时决定只购进甲、乙两种组合，甲、乙的进货量与原方案相同，且甲、乙的进货总量不超过400束，则该销售商最多需要准备____元进货资金．
【变式训练】
【变式1】（2021·福建厦门·八年级期末）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（ ）
A．94B．96C．1600D．1800
【变式2】（2022·全国·八年级）某公司以A、B两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含克A、克B；乙产品每份含克A、克B，甲乙两种产品每份成本价分别为A、B两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为元，公司在核算成本的时候把A、B两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多元，如果每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，那么公司每天的实际成本最多为______ 元
【变式3】（2022·山东·济宁市第十三中学一模）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
(1)若该公司五月份的销售收入为万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本＋生产提成总额）不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入－投入总成本）．
【经典例题三 行程问题】
【解题技巧】
一次函数在行程问题中的应用，难度不算太大，但是必须要会求解析式，求交点坐标，求函数值的差等。
行程问题一般有相遇问题、追及问题；
【例3】（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，（km），，与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的有______．（只填序号）
【变式训练】
【变式1】（2022·山东济南·八年级期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（ ）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6B．6.4C．6.8D．7.2
【变式2】（2022·福建泉州·八年级期末）甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时14分钟，再继续向地前行，此时甲尚未到达地．当甲和乙分别到达地和地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离（米与运动时间（分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟60米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
①两地距离1680米；
②出发10分钟，甲乙两人第一次相遇；
③乙的速度为每分钟100米；
④甲在出发后第44分钟时开始执行任务．
其中正确的是 __．（写出所有正确结论的序号）
【变式3】（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处一模）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：
(1)小华家与体育场的距离是___________米，小华在体育场休息___________分钟；
(2)小华从体育场返回家的速度是___________米/分；
(3)小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．
【经典例题四 几何问题】
【解题技巧】
一次函数是一条倾斜的直线，直线是由无数个点组成的；几何图形是由线段组成的，线段是由两个点组成的。由此我们可以得到以下两点：
（1）函数与几何图形是通过点来建立联系的，具体来说就是用点的坐标表示距离（线段长），有了线段就有了几何图形
（2）点的坐标表示距离通常分为两类：
类型一：一个点的坐标表示距离。
在坐标系中有一点A（x,y）那么这个点到x轴的距离是|y|,到x轴的距离是|x|。点到坐标轴的距离在形的角度上看，是过点向坐标轴作垂线，这也是函数中最常见的辅助线的做法。
类型二：两个点的坐标表示距离。
综上在函数中所有需要表示的距离都应该用绝对值表示；在函数中所有遇见的距离都应该用绝对值表示；在函数中所有遇见的距离都应该用绝对值表示。
【例4】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，x轴上一点，过点A作直线轴，交正比例函数的图象于点B．点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设其运动时间为t（秒），过点M作交直线于点N，当时，______秒（写出所有可能的结果）．
【变式训练】
【变式1】（2022·广东·深圳市光明区李松蓢学校八年级期中）如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B． C．D．
【变式2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
【变式3】（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接．
(1)求与的值；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【经典例题五 其他问题】
【例5】（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个）（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为_____．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东济南·八年级期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当时间t为8时，对应的高度h为( )
A．3.3B．3.65C．3.9D．4.7
【变式2】（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地已接种疫苗的人数为______万人．
【变式3】（2022·福建三明·八年级期中）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤跎到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
(1)在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，请通过描点、画图的方法，观察判断出错误的一对数是____________（用坐标表示）．
(2)根据表格和描点发现：
①当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离每增加1厘米时，秤钩所挂物重的具体变化是_______________；
②当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是_____________斤；
③直接写出y与x的函数关系式：____________________．
(3)当秤钩所挂物重为斤时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米．
【培优检测】
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为( )
A．B．C．D．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）某天，小明到学校时发现有物品遗忘在家中，此时离上课还有分钟，于是立即步行回家去取．同时，他爸爸从家里出发骑自行车以他倍的速度给他送遗忘的物品，两人在图中相遇，相遇后小明立即坐爸爸的自行车赶回学校．爸爸和小明在这个过程中，离学校的路程（米）与所用时间（分）之间的函数关系如图所示（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）．下列说法：①学校离家的距离是米；②小明步行速度每分钟米；③爸爸骑自行车的速度是每分钟米；④小明能在上课开始前到达学校．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将位于第三象限的点，和位于第二象限的点，先向下平移个单位，再向右平移个单位得到点和点，连接，过点作的垂线，在上任取一点，连接，则的最小值为，下列几个结论：
①直线与轴平行；
②；
③四边形是菱形；
④若点，是直线上的点，则，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系，则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车在行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
5．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，的斜边，点A，的坐标分别是，，将沿第一象限的角平分线方向平移，当点落在直线上时记作点，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·河南开封·八年级统考期中）水果店购买一种葡萄所付款金额（元）与购买量（千克）情况如图，萌萌一次购买6千克这种葡萄比她分三次购买每次购2千克这种葡萄可节省（ ）元．
A．18B．12C．9D．6
7．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（ ）
A．8000，13200B．9000，10000C．10000，13200D．13200，15400
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（ ）
A．第24天销售量为300件B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第27天的日销售利润是1250元D．第15天与第30天的日销售量相等
9．（2023春·七年级单元测试）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水18吨，则应交水费_____元．
10．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，快递车从乙地返回时的速度为___________千米/时．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接，，点M，N分别是线段上的动点（M不与A，B重合），且满足．当为等腰三角形时，M的坐标为______．
12．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为___________．

13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，若直线与线段没有交点，则的值可能是___．（只需写一个）
14．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，（km），，与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的有______．（只填序号）
15．（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图，直线：与轴，轴分别交于点，，另一直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线与直线交于点，在轴上有一点（其中），过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)求的值及的面积；
(2)若，求的值．
16．（2023秋·江苏·八年级统考期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题：
(1)的值为______；
(2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）；
(3)求图2中线段所在直线的解析式；
(4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______．
17．（2023·陕西西安·西安市庆华中学校考一模）某商场计划购进、两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
(1)若商场预计进货款为6500元，则这两种台灯各购进多少盏？
(2)若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
18．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
(1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？
(2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）；
②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
19．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知直线与x轴、y轴相交于点A、B，直线与x轴、y轴相交于点C、D．
(1)如果点A的坐标为，且，求直线AB的表达式；
(2)如果点在直线CD上，连接OP，且，求直线CD的表达式；
(3)如果点是直线AB与直线CD的交点，且，求直线AB的表达式．
20．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；
(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；
②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
25
20
租金（元/辆）
2000
1800
价格(元/只)型号种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
t（min）
……
0
1
2
3
……
h（cm）
……
0.7
1.2
1.5
1.9
……
（厘米）
（斤）
类型/价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
型
60
90
型
80
120
专题15 一次函数应用题重难点题型专训
【题型目录】
题型一 方案选择问题
题型二 营销利润问题
题型三 行程问题
题型四 几何问题
题型五 其他问题
【经典例题一 方案选择问题】
【解题技巧】
一次函数方案选择题目的解题思路一般分为以下几步：
一、设出自变量和因变量。自变量一般是题目中变化的那个量，通过这个量的变化引起其他量的变化，因变量比较好找，一般题目中最后问的什么就设什么为因变量，
二、根据题目列函数关系式，并化简。函数关系式同学们可以类比一元一次方程来列，因为因变量y，就放在等号的左边，右边全是关于x的关系式，因此可以类比一元一次方程，写出代数式，结合我们所学的公式。例如利润=总售价-总成本，之后分析总售价有哪些部分组成，总成本有哪些部分组成，结合题目把等号右边的式子列出来。关于利润类型的题目同学们除了记住：利润=总售价-总成本，还要记住：利润=单个商品利润*所售商品的数量。
三、确定自变量取值范围。这是方案选择类题目的难点所在，确定自变量的取值范围主要考虑两个方便：（1）、题目中给定的限定条件，一般题目中出现什么什么以内，不超过多少，小于多少，至少等等词汇的时候，可以列出不等式，求解不等式可以求出自变量的取值范围。（2）、结合实际，方案选择类的题目都是实际问题，因此还要结合实际情况，例如人数、桌椅数量等等以“个”为单位时，要注意必须是大于0的整数，如果题目中是以“万”为单位，可以不用考虑整数这一条件
四、在取值范围内，进行比较，确定方案。确定好自变量的取值范围后，根据题目进行方案的确定，如果是让我们自行设置方案，那么一般就是最值的问题，看看题目要求的是最小值还是最大值，之后根据一次函数的增减性，确定x取何值时，y取最值。如果是题目中给定的几个方案进行选择，那么就进行比较，一般情况下就要分类讨论了，在不同的取值范围内，确定不同的方案，或者根据给定的结果，选择好取值范围之后，确定方案。
五、回归实际问题，写出选择的方案。很多同学忽视了最后一步，既然是利用一次函数解决实际问题，那么最终要回归到解决实际问题上，因此最后要写出你通过数学计算，得到的最优方案，这样才能够得到这一题目的满分。如果是多方案的问题就写在哪一范围内选择什么方案，如果是自己设计，那么就写谁多少，获得最大或最小，获得多少，确定这一方案。
【例1】（2021春·八年级课时练习）单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张．
【答案】 一 500 二 200
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可．
【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；
故答案为：，
（3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾．
若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张，
则有，
解得，与已知矛盾；
若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾．
故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二．
此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有，
解得，但此时，矛盾；
若采用方案二的购票超过100张，则有，
解得，此时，符合题意，
再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．
故答案为：一、500，二、200．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题．
【变式训练】
【变式1】（2022·江苏·七年级专题练习）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
请问：李老板最少要花掉租金（ ）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000元
【答案】B
【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．
【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，y最小，最小值为：
（元），
即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．
【变式2】（2021·全国·八年级课时练习）单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元．
（1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为______；
（2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为_____，当时，y与x之间的函数关系式为_____；
（3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案______（填“一”或“二”）购票_______张，乙单位采用方案____（填“一”或“二”）购票______张．
【答案】 一 500 二 200
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可．
【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000；
故答案为：，
（3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾．
若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张，
则有，
解得，与已知矛盾；
若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾．
故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二．
此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有，
解得，但此时，矛盾；
若采用方案二的购票超过100张，则有，
解得，此时，符合题意，
再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙．
故答案为：一、500，二、200．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题．
【变式3】（2022·全国·八年级专题练习）A城有肥料，B城有肥料，现要把这些肥料全部运往C、D两乡，从A城往C、D两乡运肥料的费元用分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两乡运肥料分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料，设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为，运往D乡肥料的总运费为；
(1)写出关于x的函数关系式以及关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围；
(2)怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案；
(3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了a元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含a的式子表达）
【答案】(1)，
(2)从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元
(3)时，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，；当时，从A城运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少，
【分析】（1）直接根据题意分别列出函数关系式即可；
（2）设总运费为y元，列出y与x之间的函数关系，然后根据一次函数图像的性质作答即可；
（3）分三种情况讨论即可．
【详解】（1）据题意得：，
．
（2）设总运费为y元，
根据题意可得，y与x之间的函数关系为：
，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元．
（3）根据题意可知，改善后的总运费为∶
，
∵，
∴．
①当，即时，y随x的增大而增大，
∴当时，，
②当，即时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
③当时，即时，无论x去何值，y的值为．
综上，时，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，；当时，从A城运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少，．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，能够将运费问题转化为一次函数的问题是解题的关键．
【经典例题二 营销利润问题】
【解题技巧】
牢记公式：利润=销售额-成本或利润=单利×数量；
【例2】（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）今年清明节期间，为提倡文明、环保祭祖，某烟花销售商拟今年不再销售烟花爆竹，改为销售鲜花．经过市场调查，发现有甲、乙、丙、丁四种鲜花组合比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案，其中甲、丙的进货量相同，乙、丁的进货量相同；甲与丁单价均20元/束，乙、丙的单价均为40元/束，且甲、乙的进货总价比丙、丁的进货总价多560元．由于年末资金周转紧张，所以临时决定只购进甲、乙两种组合，甲、乙的进货量与原方案相同，且甲、乙的进货总量不超过400束，则该销售商最多需要准备____元进货资金．
【答案】12280
【分析】一是甲、乙、丙、丁四种鲜花求进价时都满足：总价=单价×数量关系式；二是甲乙的总价丙丁的总价=560元；三是甲、乙的进货量数量关系为；四是销售商货资金表示为，综合用不等式的知识结合函数知识可求进货最多资金．
【详解】解：设甲、丙进货量各为x束，乙丁进货量各为y束；甲、丁单价为20元/束， 乙、丙单价为40元/束，
依题意得： ，
化简得：， 即，
∵年末只购进甲、乙两种组合，且进货量不变，总数不超过400束，
∴，
∴，
解得：，
设进货总资金为w元，则有：，
当时，的最大值为，
∴该销售商最多需要准备12280元进货资金．
故答案为12280．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用，一次函数的应用，重点掌握总价、数量和单价之间的等量关系，进货总数不超过400束列不等量关系，难点是列不等关系时是否用取等号．
【变式训练】
【变式1】
【例1】（2021·福建厦门·八年级期末）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（ ）
A．94B．96C．1600D．1800
【答案】D
【分析】先由图1求出y与x的函数解析式，再由图2求出x与w的函数解析式，然后把w＝20代入即可．
【详解】解：由图1可设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
把（92，1400）和（98，2000）代入得，
解得：，
∴y与x的函数解析式为：y＝100x﹣7800；
由图2可设x与w的函数解析式为x＝mw+n，
把（18，98）和（24，92）代入得：
解得：
∴x与w的函数解析式为：x＝﹣w+116，
当w＝20时，x＝﹣20+116＝96，
y＝100×96﹣7800＝9600﹣7800＝1800（件），
∴本星期该滑板车的销量为1800件，
故选：D．
【点睛】本题考察一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式．
【变式2】（2022·全国·八年级）某公司以A、B两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含克A、克B；乙产品每份含克A、克B，甲乙两种产品每份成本价分别为A、B两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为元，公司在核算成本的时候把A、B两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多元，如果每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，那么公司每天的实际成本最多为______ 元
【答案】
【分析】设每克A种材料的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，公司每天实际成本为元，则每克B种材料的成本价为元，根据实际成本比核算时的成本多元，即可得出，利用餐厅每天实际成本每份甲产品的成本销售数量每份乙产品的成本销售数量，可得出，由每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份，可得出，将其代入w中可求出w的取值范围，取其最大值即可得出结论．
【详解】解：设每克A种材料的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，每天公司实际成本为元，则每克B种材料的成本价为元，
依题意，得：，
化简，得：．
，，
．
∴公司每天实际成本最多为元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出与（4m＋3n）之间的关系是解题的关键．
【变式3】（2022·山东·济宁市第十三中学一模）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
(1)若该公司五月份的销售收入为万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本＋生产提成总额）不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入－投入总成本）．
【答案】(1)甲、乙两种型号的产品分别为万只，万只
(2)安排甲型号产品生产万只，乙型号产品生产万只，所获利润最大，最大利润为万元
【分析】根据题意，设甲型号的产品有万只，则乙型号的产品有万只，可以列出相应的一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【详解】（1）解：设甲型号的产品有万只，则乙型号的产品有万只，根据题意，得
，
解得，则，
答：甲、乙两种型号的产品分别为万只，万只．
（2）设安排甲型号产品生产万只，则乙型号产品生产万只，根据题意，得
，解得，
设该月公司所获利润为万元，则
，
因为，所以当时，最大，最大值为万元，此时，
答：安排甲型号产品生产万只，乙型号产品生产万只，所获利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【经典例题三 行程问题】
【解题技巧】
一次函数在行程问题中的应用，难度不算太大，但是必须要会求解析式，求交点坐标，求函数值的差等。
行程问题一般有相遇问题、追及问题；
【例3】（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，（km），，与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的有______．（只填序号）
【答案】②④
【分析】由速度=路程时间，可知甲、乙两船的速度，由此可判断①不成立；结合图形中甲的图象可知，A、C两港距离，由此可判断②成立；由时间路程速度可知甲、乙两船到达C港的时间，由此可判断③不成立；由A港口比B港口离C港口多，结合时间路程速度，得出两者相遇的时间，从而判断④成立；由行驶过程中的路程变化可得出甲、乙两船相距时，的取值，从而能判断出⑤不成立；由上述即可得出结论.
【详解】解：甲船速度为，故①不正确；
乙船速度为，
从港到港全程为，故②正确；
甲船到达港的时间为（小时），（小时），故③不正确；
设两船相遇的时间为小时，则有，
解得，，
∴P点的坐标为，故④正确；
两船第一次相距的时间为：（小时）；
两船第二次相距的时间为：（小时）；
两船第三次相距的时间为：（小时）；
即两船在整个运动过程中有3个时刻相距10km，故⑤不正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查实际问题中函数关系所表示的函数图象，解题的关键是读懂题意，清楚甲、乙两船的行驶过程，理解图中点的坐标的意义．
【变式训练】
【变式1】
【例1】（2022·山东济南·八年级期中）为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（ ）分钟后两机器人最后一次相距6米．
A．6B．6.4C．6.8D．7.2
【答案】B
【分析】甲机器人用3分钟追上乙机器人，可得甲机器人速度比乙机器人快（米分钟），即得3.5分钟时，甲机器人在乙机器人前面15米，设4到8分钟的解析式为，用待定系数法可得，令解出即可．
【详解】解：由图可知，甲机器人用3分钟追上乙机器人，
甲机器人速度比乙机器人快（米分钟），
分钟时，甲机器人在乙机器人前面（米，
设4到8分钟的解析式为，将，代入得：
，
解得，
，
当时，，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出4到8分钟的解析式．
【变式2】（2022·福建泉州·八年级期末）甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时14分钟，再继续向地前行，此时甲尚未到达地．当甲和乙分别到达地和地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离（米与运动时间（分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟60米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
①两地距离1680米；
②出发10分钟，甲乙两人第一次相遇；
③乙的速度为每分钟100米；
④甲在出发后第44分钟时开始执行任务．
其中正确的是 __．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【分析】函数图象可看作是线段CD、DE、EF、FH、HI构成：CD对应两人从出发到第一次相遇，其中5分钟时，两人相距980米；DE对应乙在原地执行任务，甲继续前进；EF对应甲继续向B地走，乙继续向A地走；FH对应甲到达B地返回走，乙继续向A地走，其中x＝31时，两人相距1180米；HI对应两人都返回走到第二次相遇．设乙的速度为v米/分，AB两地距离为s米，根据两个确定的x和y值找等量关系列方程．
【详解】解：甲的速度为60米分，设乙的速度为米分，两地距离为米，
时，，此时两人相距980米，列方程得：
（1），
当时，甲走的路程为：（米，
图象中，时，，
即此时甲乙两人相距1180米，甲已经到达地并返回，乙还在前往地，
列方程得：（2），
（1）（2）联立方程组解得，
两地距离1680米，乙的速度为每分钟80米，故①说法正确，③说法错误；
（分，
故出发12分钟，甲乙两人第一次相遇，故②说法错误；
设甲出发分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为，列方程得：
，
解得：，
即甲在出发后第44分钟时开始执行任务，故④说法正确；
所以正确的是①④．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应x和y表示的数量关系．
【变式3】（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处一模）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：
(1)小华家与体育场的距离是___________米，小华在体育场休息___________分钟；
(2)小华从体育场返回家的速度是___________米/分；
(3)小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．
【答案】(1)米，分钟
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）由图象直接可得小华家与体育场的距离是米，小华在体育场休息5分钟；
（2）由速度路程时间可得小华从体育场返回家的速度是米/分；
（3）把代入得，画出图象即可．
【详解】（1）解：由图象可知小华家与体育场的距离是米，小华在体育场休息（分钟）；
故答案为：，；
（2）小华从体育场返回家的速度是（米/分）；
故答案为：；
（3）根据题意知图象经过，代入得：，
∴，
画出函数的图象如下：
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
【经典例题四 几何问题】
【解题技巧】
一次函数是一条倾斜的直线，直线是由无数个点组成的；几何图形是由线段组成的，线段是由两个点组成的。由此我们可以得到以下两点：
（1）函数与几何图形是通过点来建立联系的，具体来说就是用点的坐标表示距离（线段长），有了线段就有了几何图形
（2）点的坐标表示距离通常分为两类：
类型一：一个点的坐标表示距离。
在坐标系中有一点A（x,y）那么这个点到x轴的距离是|y|,到x轴的距离是|x|。点到坐标轴的距离在形的角度上看，是过点向坐标轴作垂线，这也是函数中最常见的辅助线的做法。
类型二：两个点的坐标表示距离。
综上在函数中所有需要表示的距离都应该用绝对值表示；在函数中所有遇见的距离都应该用绝对值表示；在函数中所有遇见的距离都应该用绝对值表示。
【例4】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，x轴上一点，过点A作直线轴，交正比例函数的图象于点B．点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设其运动时间为t（秒），过点M作交直线于点N，当时，______秒（写出所有可能的结果）．
【答案】2或8
【分析】分当点M在线段上时，当点M在延长线上时，两种情况利用全等三角形的性质求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，当点M在线段上时，
∵，，
∴点B的横坐标为4，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，当点M在延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当或时，
故答案为：2或8．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】
【例1】（2022·广东·深圳市光明区李松蓢学校八年级期中）如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】过C作垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，证明与 全等，由全等三角形对应边相等得到，由求出的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
【详解】解：对于直线，令，得到，即B（0，2），，
令，得到，即，
过C作轴，可得，
∴，
∵是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，即，
∴，
设直线BC的解析式为，
∵B（0，2），
∴b=2−5k+b=3，解得 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，以及全等三角形的判定和性质．正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是______．
【答案】，，，
【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
【详解】解：如图，
∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），
∴2=1+b,解得b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
∴B（-1，0）．
当AB=AP时，
∵B（-1，0），
∴；
当AB=BP时，
∵，
∴；
当AP=BP时，则，
设P（t，0），则，
解得：t=1，
∴．
综上所述，P点坐标为：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【变式3】（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接．
(1)求与的值；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为或或或或或
【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式进行求解t，然后再代入正比例函数解析式进行求解k即可；
（2）由点的坐标可得出点、的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，当点在轴上时，设点的坐标为，分及两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于、的方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得：，
解得：，
∴，
把代入正比例函数得：，
∴；
（2）解：轴，，
把代入中，
解得：，
，
把代入中，
解得：，
，
．
又，
，
；
（3）解：假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，当点在轴上时，设点的坐标为．
，
，
是以为腰的等腰三角形，
分及两种情况考虑．
①当时，有或，
解得：，，
点的坐标为或或或；
②当时，有或，
解得：，（舍去）或，（舍去），
点的坐标为或．
综上所述：在坐标轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出两函数的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（3）分及两种情况求出点的坐标．
【经典例题五 其他问题】
【例5】（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个）（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为_____．
【答案】时或时或时
【分析】先根据题意和函数图象中的数据可以求得甲提高加工速度后甲加工的零件数 y 与 x 之间的函数关系式，再根据题意和函数中的数据可以得到当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间．
【详解】解：设甲提高加工速度后甲加工的零件数y与x之间的函数关系式是：，
则，
解得：，
即甲提高加工速度后甲加工的零件数y与x之间的函数关系式是，
当甲乙两人相差15个零件时，
①，
解得：，，
②，
解得，，
即当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间是时或时或时．
故答案为：时或时或时．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式训练】
【变式1】
【例1】（2022·山东济南·八年级期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当时间t为8时，对应的高度h为( )
A．3.3B．3.65C．3.9D．4.7
【答案】C
【分析】根据表格数据排除，错误，然后设水位与时间的关系式为，用待定系数法求出解析式即可．
【详解】解：由表格数据可知：，错误，
设水位与时间的一次函数关系式为，
代入表中数据得，
解得：，
水位与时间的一次函数关系式为．
把代入到中，得
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式2】（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心七年级期中）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地已接种疫苗的人数为______万人．
【答案】36
【分析】由题意可得，甲乙两地速度相同求得a=50，然后用待定系数法求出一次函数表达式，然后甲地已接种疫苗的人数．
【详解】解：乙接种速度为40 80=0.5（万人/天）
0.5a=30-5
解得a=50
设 ，将（50，30），（100，40）代入解析式得

解得
一次函数表达式为
当x=80时，y=36
故答案为：36．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【变式3】（2022·福建三明·八年级期中）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤跎到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
(1)在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，请通过描点、画图的方法，观察判断出错误的一对数是____________（用坐标表示）．
(2)根据表格和描点发现：
①当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离每增加1厘米时，秤钩所挂物重的具体变化是_______________；
②当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是_____________斤；
③直接写出y与x的函数关系式：____________________．
(3)当秤钩所挂物重为斤时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米．
【答案】(1)
(2)①；②；③
(3)
【分析】（1）根据表格数据，用描点法即可求解；
（2）①当时，，当时，，由此即可求解；②当，根据时的值，即可求解；③根据，，设一次函数的解析式为，把已知点代入即可求解；
（3）当秤钩所挂物重为斤时，根据y与x的函数关系式即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据，用描点法绘图如下，
∴出错的一对数是
（2）解：①当时，；当时，，
∴，，
∴，即秤杆上秤砣到秤纽的水平距离每增加1厘米时，秤钩所挂物重的具体变化是斤；
②当时，，当时，则有，
∴，即秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是斤；
③是的一次函数，设解析式为，把，代入得，
，解方程组得，，
∴是的一次函数解析式为：．
（3）解：根据是的一次函数解析式可知，当，则，
∴，即当秤钩所挂物重为斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，掌握一次函数的性质和待定系数法是解题的关键．
【培优检测】
1．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线与轴交于点，由已知条件求出点的坐标后利用待定系数法可以得到直线的函数表达式．
【详解】解：分别令和可得、的坐标为()、()，
，则三角形的周长为
如图，设直线与轴交于点)，
则，即，
，即的坐标为()，
设的函数表达式为，由经过、可得：
，
解得： ，
的函数表达式为：，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象、勾股定理的应用及待定系数法求解析式的方法是解题关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）某天，小明到学校时发现有物品遗忘在家中，此时离上课还有分钟，于是立即步行回家去取．同时，他爸爸从家里出发骑自行车以他倍的速度给他送遗忘的物品，两人在图中相遇，相遇后小明立即坐爸爸的自行车赶回学校．爸爸和小明在这个过程中，离学校的路程（米）与所用时间（分）之间的函数关系如图所示（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）．下列说法：①学校离家的距离是米；②小明步行速度每分钟米；③爸爸骑自行车的速度是每分钟米；④小明能在上课开始前到达学校．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据小华分钟走的路程＋父亲分钟走的路程＝，列出方程求出两人的速度，即可解决问题．
【详解】解：从图像可以看出：学校离家米，故①正确，
父子俩从出发到相遇时花费了分钟，
设小华步行的速度为米/分，则小华父亲骑车的速度为米/分，
依题意得：，
解得：，
∴（米/分），故②③正确，
∴两人相遇处离学校的距离为，
小华和父亲相遇后，赶往学校的时间为：
∴小华来回花费的时间为：，
∴小华能在上课前到达学校，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，学会正确利用图像信息，把问题转化为方程解决是本题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将位于第三象限的点，和位于第二象限的点，先向下平移个单位，再向右平移个单位得到点和点，连接，过点作的垂线，在上任取一点，连接，则的最小值为，下列几个结论：
①直线与轴平行；
②；
③四边形是菱形；
④若点，是直线上的点，则，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由平移可得：，，，，推出轴．再由，轴轴，可得出直线轴，即可判断①；根据垂线段最短，由的最小值为，可得点与点重合，可得出，即可判断②；由平移可得出四边形是平行四边形，即可判断③；利用待定系数法可得直线的解析式为，再由点，是直线上的点，即可判断④．
【详解】解：如图，设直线交于点，
∵，，，≠两点同时向右平移>个单位，再向下平移个单位得到，两点点对应点，
一个点向右平移个单位，则该点的横坐标加；一个点向下平移个单位，则该点的纵坐标减，
∴，，，，
∵此时点和点的纵坐标相同，
∴轴．
∵轴，，轴轴，
∴直线轴，故①正确；
当取最小值时，点与点重合，即，，
∵的最小值为，
∴DP=2，
∴，
即，故②正确；
根据平移的性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，故③错误；
设直线的解析式为、为常数，且≠，把，，，分别代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点，是直线上的点，
∴，
∴．故④正确，
综上所述，共有个正确结论；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，理解平移的性质和求出点C和点D的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
4．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系，则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车在行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①根据函数的图象即可直接得出结论②求得直线和的解析式求得交点坐标即可；③由图象无法求得的横坐标④分别进行运算即可得出结论．
【详解】由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故①错误，
轿车在行驶过程中进行了提速，故②正确，
货车的速度是：千米时，轿车在段对应的速度是：千米时，故④错误，
设货车对应的函数解析式为，
，得，
即货车对应的函数解析式为，
设段轿车对应的函数解析式为＋，
，得，
即段轿车对应的函数解析式为，
令，得，
即货车出发小时后，轿车追上货车，故③正确，
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式．
5．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，的斜边，点A，的坐标分别是，，将沿第一象限的角平分线方向平移，当点落在直线上时记作点，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意点C在平行于第一象限的角平分线且过的直线上平移，求出此直线的解析式与组成方程组，解之即可
【详解】解：∵点A，的坐标分别是，，
∴
∴
在中，，则
∴
∵沿第一象限的角平分线方向平移，
∴点C在平行于第一象限的角平分线且过的直线上平移，
∴设该直线的解析式为
∴
∴
∴
∵点落在直线上时记作点，
∴
解得：
∴
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数与几何变换—平移，涉及到求一次函数的解析式，勾股定理，二元一次方程组与一次函数的关系等知识，得出点C的在平行于第一象限的角平分线且过的直线上平移是解题的关键
6．（2022春·河南开封·八年级统考期中）水果店购买一种葡萄所付款金额（元）与购买量（千克）情况如图，萌萌一次购买6千克这种葡萄比她分三次购买每次购2千克这种葡萄可节省（ ）元．
A．18B．12C．9D．6
【答案】B
【分析】先求出直线AB的解析式，当时，可求得一次购买6千克这种葡萄的钱数，当购买量不多于2千克时，每2千克葡萄的价格为38元，求差即可求解．
【详解】设直线AB的解析式为，
将（2，38）、（4，70）代入得，，
解得：，
当时，，
即萌萌一次购买6千克这种葡萄需要元；
她分三次购买每次购2千克这种葡萄需要(元)，
∴(元)，
萌萌一次购买6千克这种葡萄比她分三次购买每次购2千克这种葡萄可节省12元．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合的思想解答．
7．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（ ）
A．8000，13200B．9000，10000C．10000，13200D．13200，15400
【答案】C
【详解】由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是x、x、（18-2x）辆，派往E市的运输车的辆数为10-x，10-x，2x-10，
则总运费W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．
依题意有 0≤x≤10,0≤18-2x≤8,
解得：5≤x≤9，
当x=5时，W 最大 =13200元，
当x=9时，W 最小 =10000元．
故选C．
点睛：选择方案问题的方法
（1）从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系既可以用函数的图像表示，也可以用方程和不等式表示，构建不同的模型，用不同的方法解决问题．
（2）在解决问题中，能适时调整思路，解决问题后，能对解决问题步骤、程序和方法进行总结提炼.
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（ ）
A．第24天销售量为300件B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第27天的日销售利润是1250元D．第15天与第30天的日销售量相等
【答案】D
【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故A正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：
，
解得：，
∴z=-x+25，
当x=10时，z=-10+25=15，
故B正确；
C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，
把（30，200），（24，300）代入得：
，
解得：
∴y=-+700，
当t=27时，y=250，
∴第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C正确；
D、当0＜t＜24时，可得y=t+100，t=15时，y≠200，故D错误，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
9．（2023春·七年级单元测试）我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水18吨，则应交水费_____元．
【答案】
【分析】根据函数图象中的数据，求出两条直线的解析式，然后代入，即可求出应交水费多少元．
【详解】解：设当时，直线解析式为；当时，直线解析式为
将代入得：，
解得：，
故，
将，代入得：，
解得：，
故解析式为：，
把代入．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，快递车从乙地返回时的速度为___________千米/时．
【答案】90
【分析】设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，根据3小时相距120千米即可列方程求解，根据条件段所用的时间是45分钟，利用甲和乙之间的距离减去货车行驶的距离即可求得点对应的横坐标，设快递车从乙地返回甲地的速度是千米小时，根据距离公式即可列方程求解．
【详解】解：设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，则
，
解得：．
则甲、乙两地之间的距离是（千米）；
快递车返回时距离货车的距离是：（千米），
设快递车从乙地返回甲地的速度是千米小时．
根据题意得：，
解得：．
则快递车从乙地返回甲地的速度是90千米小时，
故答案为：90．
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题求解．
11．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接，，点M，N分别是线段上的动点（M不与A，B重合），且满足．当为等腰三角形时，M的坐标为______．
【答案】或
【分析】根据，结合三角形外角的性质可得，再由点B与点A关于y轴对称，可得，从而得到，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】解：令，，
∴点C的坐标为，即，
∵，，
∴，
∵点B与点A关于y轴对称，
∴，
∴，，
当时，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴M的坐标为；
如图，当时，此时，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴M的坐标为；
当时，，
此时点M与点B重合，不符合题意，舍去；
综上所述，M的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
12．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为___________．

【答案】##
【分析】由点P的运动确定的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【详解】解：由已知可得，
∴三角形是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵P是线段上动点，将线段绕点A逆时针旋转，
∵P在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定的起点与终点，
∴的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，
∴当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，若直线与线段没有交点，则的值可能是___．（只需写一个）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】当直线过点时，求出的值，当直线过点时，求出的值，根据直线与线段没有交点求出的范围即可．
【详解】解：当直线过点时，将点坐标代入解析式为：
，解得，
当直线过点时，将点坐标代入解析式为：
，解得，
越大，它的图象离轴越近，
当时，直线与线段没有交点，
的值为：1（答案不唯一），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题，要注意，是线段这一条件，不要当成直线．
14．（2022秋·山东青岛·八年级校考期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，（km），，与x的函数关系如图所示．有如下结论：①甲船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；⑤两船在整个运动过程中有4个时刻相距10km，其中正确的有______．（只填序号）
【答案】②④
【分析】由速度=路程时间，可知甲、乙两船的速度，由此可判断①不成立；结合图形中甲的图象可知，A、C两港距离，由此可判断②成立；由时间路程速度可知甲、乙两船到达C港的时间，由此可判断③不成立；由A港口比B港口离C港口多，结合时间路程速度，得出两者相遇的时间，从而判断④成立；由行驶过程中的路程变化可得出甲、乙两船相距时，的取值，从而能判断出⑤不成立；由上述即可得出结论.
【详解】解：甲船速度为，故①不正确；
乙船速度为，
从港到港全程为，故②正确；
甲船到达港的时间为（小时），（小时），故③不正确；
设两船相遇的时间为小时，则有，
解得，，
∴P点的坐标为，故④正确；
两船第一次相距的时间为：（小时）；
两船第二次相距的时间为：（小时）；
两船第三次相距的时间为：（小时）；
即两船在整个运动过程中有3个时刻相距10km，故⑤不正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查实际问题中函数关系所表示的函数图象，解题的关键是读懂题意，清楚甲、乙两船的行驶过程，理解图中点的坐标的意义．
15．（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图，直线：与轴，轴分别交于点，，另一直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线与直线交于点，在轴上有一点（其中），过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)求的值及的面积；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）直接将点代入已知直线解析式中求解，然后利用割补法将三角形面积分割成规则的三角形来计算即可．
（2）通过在函数上点的特点，表示出横纵坐标，然后根据数量关系直接求解即可．
【详解】（1）直线：， ：交于点
时，；
时，，即
时，，即
：中，
时，，解得
：中，
时，，即
，边上的高
（2）过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，
，解得
【点睛】此题考查一次函数与几何综合，解题关键是利用函数解析式找出点的坐标关系，将点的坐标再转化成线段的长度．
16．（2023秋·江苏·八年级统考期末）高度为120厘米的圆柱形容器注满了水（即容器的水位高度为120厘米），上端有一关闭状态的注水口，底端有一关闭状态的放水口，如图1所示．现先打开放水口，放水速度为12厘米/分钟（即：仅打开放水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降12厘米），放水口打开一段时间后，再打开注水口，同时保持放水口开放状态，继续经过一段时间后关闭放水口，同时注水口仍保持开放状态，直至容器注满水时立即关闭注水口．圆柱形容器的水位高度记为（厘米），从打开放水口时开始计时，至容器注满水时停止计时，时间记为（分钟），已知关于的函数图象如图2所示．根据图中所给信息，解决下列问题：
(1)的值为______；
(2)求注水速度（注水速度即：仅打开注水口时，每分钟能使圆柱形容器内的水位高度上升的高度）；
(3)求图2中线段所在直线的解析式；
(4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中，当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)注水速度为16厘米/分钟
(3)
(4)
【分析】（1）根据关于的函数图象给出的信息结合放水速度求解即可；
（2）根据关于的函数图象信息结合值，先求出段的进水速度（段的进水速度注水速度放水速度），再求段的注水速度，列方程求解即可；
（3）设所在直线的解析式为，将点和点的坐标代入求解即可；
（4）计算出时对应的两个时间，取两者之间即可．
【详解】（1）（厘米），（分钟），
∴的值为，
故答案为：；
（2）段的进水速度为：（厘米/分钟），
段的注水速度为：（厘米/分钟），
∴，
解得，
∴，，
∴注水速度为16厘米/分钟；
（3）设所在直线的解析式为，
由（2）可知，
∴，，
将点，代入，
得，解得，
所在直线的解析式为；
（4）∵，
∴结合图象可知，在线段和线段上，
当在线段上时，（分钟），
在线段上时，（分钟），
∴当满足：（厘米）时，时间（分钟）的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合来解决问题．
17．（2023·陕西西安·西安市庆华中学校考一模）某商场计划购进、两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
(1)若商场预计进货款为6500元，则这两种台灯各购进多少盏？
(2)若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】(1)型台灯购进75盏，则型台灯购进25盏
(2)型灯购进34盏，型灯购进66盏时获利最多，此时利润为3660元
【分析】（1）设型台灯购进盏，则型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案；
（2）根据“型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：设型台灯购进盏，则型台灯购进盏，
由题意，得，
解得 ，
则型台灯购进盏．
答：型台灯购进75盏，则型台灯购进25盏；
（2）∵型台灯的进货数量不超过型台灯数量的2倍，
∴，
解得 ，
设总利润为元，由题意，得
，
∵，
∴随的增大而减小，
∵为整数，
∴，
∴元．
∴型灯购进34盏，型灯购进66盏时获利最多，此时利润为3660元．
【点睛】本题主要考查了利用一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数解决实际问题，理解题意，理清数量关系是解题关键．
18．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
(1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？
(2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）；
②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
【答案】(1)25人
(2)①；②当时，w最大为17200
【分析】（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）①根据利润的表示方法求解即可；
②根据①中求出的表达式，结合一次函数的性质和求解即可．
【详解】（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人，
根据题意可得，，
解得
∴这天加工甲种零件的工人有25人；
（2）①∵加工甲种零件的人数为m，
∴加工乙种零件的人数为，
∴根据题意可得，；
②∵，
∴w随m的增大而减小，
∵
∴当时，w最大，此时．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，已知直线与x轴、y轴相交于点A、B，直线与x轴、y轴相交于点C、D．
(1)如果点A的坐标为，且，求直线AB的表达式；
(2)如果点在直线CD上，连接OP，且，求直线CD的表达式；
(3)如果点是直线AB与直线CD的交点，且，求直线AB的表达式．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题意易得，然后根据可得，即点B坐标为，进而根据待定系数法进行求解函数解析式即可；
（2）由，得到；设，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（3）由题意易得，，，然后可得直线CD的表达式为；进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵A的坐标为，
∴，
∵，即，
∴，即点B坐标为，
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴；
设，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，，，
设，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为；
∴，
∴点，
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
20．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知，，点D为y轴上一点，其坐标为，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线的函数解析式；
(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求的面积S关于t的函数解析式；
②是否存在等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在等腰三角形，点P的坐标为或或．
【分析】（1）求出，用待定系数法可得直线的函数解析式为；
（2）①当，即在上时，；当，即在上时，；②，，知在上时，不可能是等腰三角形，当在上时，，，，分三种情况：若时，，当时，，当时，，分别解方程可得答案．
【详解】（1）解：，，四边形是长方形，
，
当点与点重合时，设直线的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）解：①当，即在上时，如图：
；
当，即在上时，如图：
，
；
②存在等腰三角形，理由如下：
如图：
，，
，
在上时，不可能是等腰三角形，
当在上时，，
，，
若时，，
解得（舍去）或，
；
当时，，
解得或（舍去），
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
25
20
租金（元/辆）
2000
1800
价格(元/只)型号种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
t（min）
……
0
1
2
3
……
h（cm）
……
0.7
1.2
1.5
1.9
……
（厘米）
（斤）
类型/价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
型
60
90
型
80
120