人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题16一次函数与几何综合压轴题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题16一次函数与几何综合压轴题型专训(原卷版+解析)，共106页。
题型一 根据两直线的交点求不等式的解集
题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型三 一次函数中最短路径问题
题型四 动点问题的函数图象
题型五 一次函数的规律探究问题
题型六 一次函数与全等三角形综合
题型七 一次函数与平行四边形综合
题型八 一次函数综合压轴题
【经典例题一 根据两直线的交点求不等式的解集】
【知识归纳】
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【例1】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）一次函数（）与的图像如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【变式训练】
【变式1】（2022·安徽·天长市实验中学八年级阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
【变式3】（2022·安徽阜阳·八年级期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．
(1)求n和k的值；
(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；
(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
【经典例题二 两直线的交点与二元一次方程组的解】
【知识归纳】
一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【例2】（2022·广东·九年级专题练习）已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021·全国·八年级期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
【变式3】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．
(1)如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点的横坐标为．
①求点的坐标及的值；
②直线、直线与轴所围成的的面积等于多少？
(2)在（1）的条件下直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如存在，请直接写出点的坐标．
【经典例题三 一次函数中最短路径问题】
【解题技巧】
我们将“连点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短”这样的问题称为最短路径问题。一次函数背景下的最短路径问题通常表现为：动点在直线上（一次函数或者x轴，y轴上），动点与两定点的距离之和最小，求点的坐标或者线段之和的最小值。
【例3】（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东·济南市章丘区第四中学八年级阶段练习）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A．B． C．D．
【变式2】（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，已知，点P在线段上（点P不与点A重合），点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
【变式3】（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）（1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由．
【经典例题四 动点问题的函数图象】
【解题技巧】
根据一次函数中的点位置关系，找出对应图形中的对应点，分析图形中点的运动状态，代入即可计算；
【例4】（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图①，在中，，点D为的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图像如图②所示，则的长为（ ）
A．B．13C．D．15
【变式训练】
【变式1】（2022·浙江金华·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【变式2】（2022·湖北孝感·八年级期末）如图1，在矩形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE．动点P从点A出发，沿折线A→D→C→E方向匀速运动至点E停止．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t（s），的面积为，S与t的函数图像如图2所示，则AE的长为______cm．
【变式3】（2022·江苏·昆山市周庄中学八年级阶段练习）在中，，点P为边上的动点，速度为．

(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
【经典例题五 一次函数的规律探究问题】
【例5】（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【变式训练】
【变式1】（2022·山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·山东·济南市历城区教育教学研究中心八年级期中）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为_______
【变式3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，正方形ABCD的边长为1.
（1）求直线ON的表达式；
（2）若点C1的横坐标为4，求正方形A1B1C1D1的边长；
（3）若正方形A2B2C2D2的边长为a，则点B2的坐标为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
【经典例题六 一次函数与全等三角形综合】
【例6】（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或6
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级单元测试）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1B．3或C．2或D．3或+1
【变式2】（2022秋·浙江·八年级期末）如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
【变式3】（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；
(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题七 一次函数与平行四边形综合】
【例7】（2022春·福建厦门·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴和轴分别交于，两点，直线与轴交于点，过点作轴，与直线交于点．当以，，，四个顶点围成的四边形为平行四边形时，点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知四个点、、、能组成平行四边形，则的最小值为（ ）
A．5B．10C．D．
【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B的坐标为，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则b的值为______．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．
(1)求点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；
【经典例题八 一次函数综合压轴题】
【例8】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为______．
【变式3】（2022秋·广西百色·八年级统考期中）如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【培优检测】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22B．20C．18D．16
2．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图（1），在中，，动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图（2）是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象，其中点为曲线部分的最低点，若的面积是，则的值为（ ）．
A．18B．16C．20D．15
3．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）如图，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为（ ）
A．66B．108C．132D．162
5．（2022·河南许昌·统考二模）如图1，点是的中线上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中点是函数图象的最低点，则的值为（ ）
A．33B．34C．35D．36
6．（2022秋·八年级课时练习）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·河南·模拟预测）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）
8．（2022秋·重庆·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的个数有（ ）个
①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，；
A．2B．3C．4D．5
9．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____．
10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）如图，一次函数与轴交于点，点在直线上且横坐标为．点为轴上一点，，若点是轴上的动点，在直线上找在一点（点与点不重合），使与全等，点的坐标为______．
11．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，……，则点的横坐标是__________．
12．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，已知，点P在线段上（点P不与点A重合），点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
13．（2022秋·北京·九年级北大附中校考开学考试）如图，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是________．
14．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点 ，点在坐标平面内 ，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
16．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
17．（2023秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
18．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围．
19．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且，过点A的直线交直线于点D，交y轴于点E，的面积为8．
(1)求点D的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)过点C作，交直线于点F交与G，求的面积．
20．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D在第四象限，其中，，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)若，且．
①如图1，求四边形的面积；（用含a的式子表示）
②如图2，交y轴于点E，连接，当E关于的对称点K落在x轴上时，求的长．
专题16 一次函数与几何综合压轴题型专训
【题型目录】
题型一 根据两直线的交点求不等式的解集
题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解
题型三 一次函数中最短路径问题
题型四 动点问题的函数图象
题型五 一次函数的规律探究问题
题型六 一次函数与全等三角形综合
题型七 一次函数与平行四边形综合
题型八 一次函数综合压轴题
【经典例题一 根据两直线的交点求不等式的解集】
【知识归纳】
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【例1】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）一次函数（）与的图像如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【答案】B
【分析】联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解．
【详解】解：联立与，
得，
解得，
即一次函数（）与的图像的交点的横坐标为，
当时，，
，
当，即时，，
解得；
当，即时，，
解得，与矛盾，不合题意；
又，
满足条件的k的取值范围是且，
故选B．
【点睛】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·安徽·天长市实验中学八年级阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据A 是函数 ， 的图像交点，可把A代入中，求出 ，所以点 ，再把A代入解得 ，不等式 可化为 ，解不等式即可得出答案．
【详解】函数过点，
，
解得：，
，
将A代入中，
，
解得：

解不等式
解集为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点A的坐标和 的函数解析式，并结合函数图象进行解答是解题的关键．
【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．
【详解】令，则，
令，则，
∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，
∴可知在时，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．
【变式3】（2022·安徽阜阳·八年级期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．
(1)求n和k的值；
(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；
(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)P
(3)
【分析】（1）把点C代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值；
（2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，则可求出的面积和的面积，过点P作x轴的垂线，表示出的面积，建立方程即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）把点C代入解析式中，得，
∴C，
把点C的坐标代入中，则，解得；
（2）∵直线分别与x，y轴交于点A、B，
∴A，B，
过点C作轴于点M，
∴，
∴，
∴，
∵点P在射线上，
∴，
过点P作轴于点N，
∴，
∴，
∴，
令，则，
解得，
∴P；
（3）由图象可知，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想．

【经典例题二 两直线的交点与二元一次方程组的解】
【知识归纳】
一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
要点诠释：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【例2】（2022·广东·九年级专题练习）已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将点代入函数中，得到关于，，的关系式，将看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将，用含的式子表示出来，此时再回代入函数中，求解出的值，最后在一次函数中令，求解出y的值，最终表示出交点坐标即可．
【详解】解：将点代入函数中，
得：，
又∵，
化简可得：
此时联立方程组可得： ，
解得：，
∴点的坐标可表示为（-k，2k），
将（-k，2k）代入得：
，
解得，
∵为常数且，
∴，
此时一次函数，
令，
解得：，
∴交点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021·全国·八年级期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．
【详解】解：将函数的图象向上平移m个单位长度后的图象的解析式为，
联立后可以得到：，
解得，
因为它们的交点在第二象限，
即，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．
【变式2】（2021·全国·八年级专题练习）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
【答案】2
【分析】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解】解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．
【变式3】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．
(1)如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点的横坐标为．
①求点的坐标及的值；
②直线、直线与轴所围成的的面积等于多少？
(2)在（1）的条件下直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)①的坐标是，的值为；②直线、直线与轴所围成的的面积等于
(2)存在，的坐标为或或
【分析】（1）①将x=-l代入y=-2x+1，得出B点坐标，进而求出k的值；
②求出A，C点坐标，进而得出AC的长，即可得出△ABC的面积；
（2）分两种情况若，为腰；若，为腰进行解答．
（1）
①在中，令得，
，
把代入得：
，
解得，
，
的坐标是，的值为；
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，
直线、直线与轴所围成的的面积等于；
（2）
在轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下：
在中，令得，
，
，
，
设，则，，
若，为腰，则，
解得或，
或；
若，为腰，则，
解得或与重合，舍去，
，
综上所述，的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线相交问题以及等腰三角形存在性问题等知识，得出A，C，E点坐标是解题关键．
【经典例题三 一次函数中最短路径问题】
【解题技巧】
我们将“连点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最短”这样的问题称为最短路径问题。一次函数背景下的最短路径问题通常表现为：动点在直线上（一次函数或者x轴，y轴上），动点与两定点的距离之和最小，求点的坐标或者线段之和的最小值。
【例3】（2022秋·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东·济南市章丘区第四中学八年级阶段练习）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案．
【详解】解：对于直线：，
当时，可有，
当时，可有，解得，
∴，
又∵，
∴，
如下图，取点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
即当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴当的值最小时，点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题．
【变式2】（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，已知，点P在线段上（点P不与点A重合），点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
【答案】
【分析】如图所示，过点Q作轴于D，过点B作于E，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积法求出，则，即可利用勾股定理求出，要使最小就相当于在x轴上找一点到点G和点H的距离最小，该点即为直线与x轴的交点，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点Q作轴于D，过点B作于E，设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的和就相当于点到点G和点H的距离之和，
∵要使最小，
∴即为直线与x轴的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，正确得到要使最小就相当于在x轴上找一点到点G和点H的距离最小是解题的关键．
【变式3】（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）（1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）的周长的最小值为：米
【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案；
（2）先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出此时点D为线段的中点，最后根据中点坐标公式，求出结果即可；
（3）过点E作轴于点M，轴于点N，证明，得出，说明点在直线上，根据中点坐标公式说明点F在直线上，作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，求出其最小值，即可得出的周长最小值．
【详解】解：（1）∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
（2）解：把，代入得，
把代入得，解得，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴当D为中点时，将分成面积相等的两部分，
∴点D的坐标为：，即．
（3）过点E作轴于点M，轴于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在直线上，
设点，
∵点为的中点，，
∴，即，
令，，
则，
∴点F在直线上，
设直线与轴交于点P，与轴交于点Q，
则P点坐标为，Q点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，如图所示：
∵，
∴，
∴轴，
∵，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
又∵为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴的周长的最小值为：米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，中点坐标公式，垂线段最短，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使周长最小时，点F的位置．
【经典例题四 动点问题的函数图象】
【解题技巧】
根据一次函数中的点位置关系，找出对应图形中的对应点，分析图形中点的运动状态，代入即可计算；
【例4】（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图①，在中，，点D为的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图像如图②所示，则的长为（ ）
A．B．13C．D．15
【答案】C
【分析】由图象可知，当时，的面积最大为，易得当点与点重合时，的面积最大，此时，，根据三角形的中线平分面积，得到的面积为，利用面积公式求出，再用勾股定理求出即可．
【详解】解：过点作，交于点，
则：，
∴的面积随着的变化而变化，
∴当点与点重合时，的面积最大，
由图可知：当时，的面积最大为，
∴，，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象，同时考查了三角形的中线，勾股定理．从图象中有效的获取信息，确定动点的位置，是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022·浙江金华·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2B．4+2C．12+4D．6+4
【答案】A
【分析】设BC=x，在Rt△ABC中根据∠A=30°，可得AB=2BC=2x，即有，由图②可知△ADP的最大面积为，由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，此时根据AD=BD，可得，再在Rt△ABC中，有，即有，解得x=2，即有BC=2，AB=4，，则问题得解．
【详解】设BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2x，
∴利用勾股定理可得：，
由图②可知△ADP的最大面积为，
∵D点AB中点，
∴AD=BD，
由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，
此时根据AD=BD，可得，
即有，
又∵在Rt△ABC中，，
即有，
解得x=2（负值舍去），即BC=2，AB=4，，
则△ABC的周长为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，数形结合得出是解答本题的关键．
【变式2】（2022·湖北孝感·八年级期末）如图1，在矩形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE．动点P从点A出发，沿折线A→D→C→E方向匀速运动至点E停止．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t（s），的面积为，S与t的函数图像如图2所示，则AE的长为______cm．
【答案】
【分析】如图3，连接AD，结合图1，图2可知，AD=8，S△AED=24cm2，S△ACE=18 cm2，利用面积公式求得AB=CD=6cm，CE=6cm，从而得BE=2，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图3，连接AD，结合图1，图2可知，AD=8，S△AED=24cm2，S△ACE=18 cm2，
∵AD=8，S△AED=24，S△ACE=18 ，
∴AB=CD=6cm，CE=6cm，
∴BE=BC-CE=AD-CE=8-6=2，
∵在Rt△ABE中，∠B=，
∴AE2=BE2+AB2，
∴AE=(cm)，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图像法表示变量间的关系，勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式3】（2022·江苏·昆山市周庄中学八年级阶段练习）在中，，点P为边上的动点，速度为．

(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
【答案】(1)①5，6；②点
(2)时，最大值为5.5
【分析】（1）①由图象可求解；②由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求，即可求点H坐标；
（2）分三种情况讨论，由线段的和差关系可求解．
【详解】（1）①由图2可知，，，
∴（），
故答案为：5，6；
②如图1，过点A作于T，
∵，，
∴（），
∴（），
∴（），
∴当时，即，
此时点P是的中点，
∴，
∴，
∴点；
（2）①当时，P，Q均在上，
∴当时，最大，
②当时，P在上，Q在上，
∴，
∴当时，最大，
③当时，P，Q均在上，
∴，
∴当时，最大，
∴综上，时，最大值为5.5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了函数图象的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【经典例题五 一次函数的规律探究问题】
【例5】（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（ ）
A．22022-1B．22022-2C．22023+1D．22023-2
【答案】D
【分析】将代入解析式，可得，，由直线直线：可知，，则纵坐标为1，代入直线：中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、…、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：将代入解析式，可得，，
由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，，，，
，，，，
，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律．
【变式训练】
【变式1】（2022·山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…
如图，

∵（1，1）在直线y＝x+b上，
∴b＝，
∴y＝x+，
设（，），（，），（，），…， （，），
则有 ，
，
…
，
又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．
【变式2】（2021·山东·济南市历城区教育教学研究中心八年级期中）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为_______
【答案】
【分析】先求出，可得点的纵坐标为1，再求出点，即点的横坐标为，同理点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，……，由此发现，再由，即可求解．
【详解】解：∵点，点在直线a：上，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标为1，
∵点在直线b：上，
∴，解得：，
∴点，即点的横坐标为，
同理点的横坐标为，
点的横坐标为
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
……，
∴，
∵，
∵点的横坐标为，
∴点的横坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
【变式3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，正方形ABCD、正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A1、A2在直线OM上，点C、C1、C2在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为，正方形ABCD的边长为1.
（1）求直线ON的表达式；
（2）若点C1的横坐标为4，求正方形A1B1C1D1的边长；
（3）若正方形A2B2C2D2的边长为a，则点B2的坐标为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
【答案】（1）；（2）2；（3）B.
【分析】（1）根据已知条件可求得点B和点C的坐标，令直线ON的表达式为y=kx，代入点A的坐标，可求得k，即得出直线ON的表达式；
（2）可确定C1的坐标，B1的坐标，A1的坐标；又点A1在直线OM上，则可得出正方形A1B1C1D1的边长；
（3）根据已知条件正方形A2B2C2D2的边长为a和（1）（2）可得出点B2的坐标．
【详解】（1）由点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．
得点B的坐标为（2，3），点C的坐标为（2，4），
令直线ON的表达式为y=kx，
则4=2k，解得k=2，
所以直线ON的表达式为y=2x．
（2）由点C1的横坐标为4，且在直线ON上，
所以C1的坐标为（4，8），令正方形A1B1C1D1的边长为x，
则B1的坐标为（4，8-x），A1的坐标为（4+x，8-x），
由点A的坐标为（3，3），易知直线OM的表达式为y=x，
又点A1在直线OM上，则4+x=8-x，
解得x=2，即正方形A1B1C1D1的边长为2．
（3）设C2的坐标为（m，n），
∵点C2在直线ON上，
∴n=2m，
∵正方形A2B2C2D2的边长为a，
∴B2的坐标为（m，n-a），A2的坐标为（m+a，n-a），
∵点A2在直线OM上，则m+a=n-a，则n=m+2a，
∴2m=m+2a，解得m=2a，
则点B2的坐标为（2a，3a），
故选B．
【点睛】本题是一道一次函数的综合题目，考查了解析式的确定和正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．
【经典例题六 一次函数与全等三角形综合】
【例6】（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A．2B．4C．2或4D．2或6
【答案】D
【分析】先求解的坐标，再利用全等三角形的性质求解 再结合轴对称的性质可得答案.
【详解】解： 直线与x轴、y轴交于A、B两点，
令 则
令，则

而

当时， 而


如图，当关于轴对称时，
此时
此时

故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉全等三角形的基本图形是解本题的关键.
【变式训练】
【变式1】（2021秋·八年级单元测试）如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1B．3或C．2或D．3或+1
【答案】D
【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或＋1．
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式2】（2022秋·浙江·八年级期末）如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______．
【答案】 ，，
【分析】将两条直线的方程联立，求出点的坐标，从而可得的底与高，进而求出面积；对点的位置进行分类讨论，画出使与全等的草图，结合全等三角形对应边相等建立等量关系，求出点的坐标．
【详解】解：，令，得，
．
，令，得，
．
．
令，解得，
．
．
若与全等，则：
①当点在点下方时，如图所示，，．
，即，解得，
将代入，得．
．
②当点在点上方时，如图所示．
若，，则，
将代入，得，
．
若，，则，
将代入，得，
．
综上，所有满足题意的点的坐标为，，．
故答案为：；，，．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及应用，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与全等三角形相关知识是解题的关键．
【变式3】（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标；
(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用解析式中，，求出点A、C的坐标，即可得到点B的坐标；
（2）根据折叠得到．设，则，由勾股定理得，求出x即可．
（3）先求出直线解析式，由得，则点P在直线上．过P作于点Q，在中，，由面积法得到，
求出，代入，得到点P的坐标．
【详解】（1）解：令中，得，解得；
令，得，
∴，
∵以为边在第一象限内作长方形．
∴轴，轴，
∴,
故答案为：；
（2）由折叠知：．
设，则，
根据题意得：，
解得：．
此时，，
∴；
（3）存在点P，
设直线为，把代入，得
，
解得：．
∴直线解析式为．
由得，则点P在直线上．
过P作于点Q，
在中，
由得：
∴．
∴，
把代入，得．
此时．
【点睛】此题考查了一次函数图像的应用，勾股定理，等腰三角形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【经典例题七 一次函数与平行四边形综合】
【例7】（2022春·福建厦门·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线与轴和轴分别交于，两点，直线与轴交于点，过点作轴，与直线交于点．当以，，，四个顶点围成的四边形为平行四边形时，点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两直线与轴的交点相同为，求出、两点坐标，由以，，，四个顶点围成的四边形为平行四边形，得，由此列出方程进行解答．
【详解】解：∵直线与轴和轴分别交于，两点，
∴当时，，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴当时，，
∴，
∵过点作轴，与直线交于点
∴当时，，
∴，
∵以，，，四个顶点围成的四边形为平行四边形，轴，轴，
∴，
∴，
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定，分式方程，运用了方程的思想方法．解题的关键是根据列出关于的方程．
【变式训练】
【变式1】（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知四个点、、、能组成平行四边形，则的最小值为（ ）
A．5B．10C．D．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，当CD是平行四边形的一条边，可得AB=CD，当CD为对角线，可求AB，OC的解析式，可得当CH⊥AB时，CH有最小值，即CD有最小值．
【详解】解：①若CD是平行四边形的一条边，
则AB=CD==10；
②若CD是平行四边形的一条对角线，
如图，过点O作OE⊥AB于E，设AB与CD交于点H，
∵点A（-8，0）、B（0，6），
∴直线AB的解析式为：，
∵C（4a，3a），
∴过点C的直线为：，
∵点A（-8，0）、B（0，6），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵S△ABO=AO·BO=AB·OE，
∴OE=，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴CH=DH=CD，
∴当CH⊥AB时，CH有最小值，即CD有最小值，
∴当CH=OE=时，CD有最小值为＜10，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键．
【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点B的坐标为，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则b的值为______．
【答案】
【分析】根据题意，直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，则直线l必过平行四边形对角线的交点，即为线段的中点，可知的中点坐标为，然后将其代入直线方程即可得解．
【详解】解：直线l：恰好将平行四边形OABC的面积平分，
直线l必过平行四边形对角线的交点，即为线段的中点，设为点E（如图），
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查一次函数图像平分平行四边形的面积问题，熟练掌握一次函数的图像与性质，平行四边形的性质是解此题的关键．
【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．
(1)求点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；
【答案】(1)点坐标是
(2)存在，点M坐标是，，
【分析】（1）两个直线方程联立求交点坐标．
（2）分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解方程组：
得：，
点坐标是；
（2）存在；令代入，得，解得：x=，
∴C，
设如图所示：
①当是对角线时， ，，
∴点M坐标是；
②当是对角线时，，，
∴点M坐标是；
③当是对角线时，，，
∴点M坐标是
综上所述：点M坐标是，，．
【点睛】此题考查了直线方程、平行四边形的性质，解题的关键熟悉直线方程和平行四边形的性质．
【经典例题八 一次函数综合压轴题】
【例8】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解．
【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点P是“成双点”，
即线段上的点为“成双点”，
同理线段上的点为“成双点”，
∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
当一次函数的图象经过点E时，
，解得：，
当一次函数的图象经过点G时，
，解得：，
∴k的取值范围为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的一边在轴上，，在第二象限，在左侧，，，，直线的解析式为，现将平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，此时的平移距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作于，解直角三角形求得Ａ、Ｃ的坐标，即可求得中点的坐标，根据题意当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，把中点的纵坐标答题直线求得横坐标，即可求得平移的距离．
【详解】解：作于，
，，，
，，
，
，
，，
的中点为，
平行四边形沿轴向右平移，当直线恰好平分平行四边形的面积时，则必经过的中点，
把代入得，，解得，
，
平移距离为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与平移变换、平行四边形的性质、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，明确直线经过平行四边形对角线的交点平分平行四边形的面积是解题的关键．
【变式2】（2023秋·江苏·八年级统考期末）如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为______．
【答案】
【分析】过点作于点，由的解析式求出点，的坐标，由得，设，，根据勾股定理和等积法求出，，得出点坐标，最后设出解析式代入求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵：与轴，轴分别交于点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
由勾股定理得，即，
由等积法得，
∴，
联立，
解得或（舍去），
∴，
设：，
将点代入并解得，
∴的函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，正确画出辅助线，熟练运用勾股定理和等积法是解题的关键．
【变式3】（2022秋·广西百色·八年级统考期中）如图，已知直线的函数关系式为，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线平移得直线，直线分别交x轴、y轴于点C、D，且经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在直线上是否存在点E，使得？若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据平移设，将代入，求出m值即可；
（2）在中，时，，得到，时，，得到；
（3）设，根据，，得到，，根据，得到，根据，得到，得到，或，求得，或，得到，或．
【详解】（1）解：设将向下平移m个单位，得到直线，
则，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）在中，
令，则，
令，则，
∴，；
（3）存在，或，理由：
在中，令，则，令，则，
∴，，
设，
，，
，，
，
，
，
，
设、之间的距离为，
，
，
，或，
，或，
或．
【点睛】本题主要考查了一次函数，平移，一次函数与一元一次方程，一次函数与三角形，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，直线平移的性质，点平移的坐标性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与三角形面积的关系．
【培优检测】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（ ）
A．22B．20C．18D．16
【答案】B
【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论．
【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令，得，令，则，
∴，，
∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为：，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为：，
∴，
∴，
∴的面积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2021秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图（1），在中，，动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图（2）是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象，其中点为曲线部分的最低点，若的面积是，则的值为（ ）．
A．18B．16C．20D．15
【答案】A
【分析】先求出线段、的长，再求a的值．
【详解】过点A作于点H，
由函数图象可知
∵的面积是,
∴
∴
∵,
∴
∵
由勾股定理得：
∴
∵动点以的速度沿匀速运动回到点，
∴总时间为：
∴
故选A
【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是读懂函数图象反映出的信息并掌握勾股定理．
3．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直线，可得，易知；连接，交直线与点，连接，由轴对称的性质可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，则，，由勾股定理可得，解得，即可确定点的横坐标．
【详解】解：对于直线，
当时，，当时，，
∴，
∴，
连接，交直线与点，连接，如下图，
∵点与点关于直线对称，
∴，且，
∴，
∵点在第一象限内，且纵坐标为4，
∴轴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴，
∴点的横坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
4．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）如图，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为（ ）
A．66B．108C．132D．162
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段AC扫过的面积．
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．
∵点A，B的坐标分别为(2，0)，(12，0)，AC=BC=13，
∴AD=BD=AB=5，
∴CD=．
∴点C的坐标为(7，12)．
当y=12时，有12=−x+8，
解得：x=−4，
∴点C平移后的坐标为(−4，12)．
∴△ABC沿x轴向左平移7−(−4)=11个单位长度，
∴线段AC扫过的面积S=11CD=132．
故选：C．
【点睛】此题考查坐标与图形变化-平移，等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造直角三角形是解题关键．
5．（2022·河南许昌·统考二模）如图1，点是的中线上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中点是函数图象的最低点，则的值为（ ）
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【分析】如图所示，取BC中点E，取CD中点F，连接EF，AE，先根据图2可知AE=25，AF=26，然后证明EF为△BCD的中位线，得到，同理可证QF是△PDC的中位线，得到，由此可知Q在EF上，则当AQ⊥EF时，AQ有最小值，由此求出EF的长从而求出BD的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，取BC中点E，取CD中点F，连接EF，AE，
由图2可知，当时，，
∴当BP=0时，AQ=25，即当P与B重合时，AQ=25，
∵此时P与B重合，Q为PC的中，即Q为BC的中点，
∴AE=25，
同理当P与D重合时，即PD=m时，AF=AQ=26，
∵E、F分别为BC，CD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴，
同理可证QF是△PDC的中位线，
∴，
∴点Q在EF上，
∴当AQ⊥EF时，AQ的值最小，即此时的y值最小，
过点A作于，连接并延长交PD于，由图2可知，
∴，，
∴EF=17，
∴BD=34，
∴点P与点D重合时，BP取得最大值m，
∴m=BD=34，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．
【详解】解：如图，连接、，
，，
，
点与关于直线对称，
，
在中，
点坐标为或，
，点关于直线的对称点恰好落在轴上，
点关于直线的对称点，
点坐标为不合题意舍去，
设直线方程为
将，代入得：，
解得，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
故选：A．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．
7．（2021·河南·模拟预测）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（ ）
A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）
【答案】C
【分析】首先根据正方形的性质确定点D的坐标，再根据“ASA”证明△COE≌△OAD，进而得出点E的坐标，再求出直线CE的关系式，即可求出直线MN的关系式，最后令y＝0可得答案．
【详解】∵OABC是正方形，A（4，0），
∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°．
∵BD＝1，
∴AD＝3，
则D（4，3）．
∵CE⊥OD，
∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE．
在△COE和△OAD中，
∴△COE≌△OAD（ASA），
∴OE＝AD＝3，
∴E（3，0）．
设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：
，
解得，
∴直线CE为．
由设直线MN为，把D（4，3）代入得：，
解得，
∴直线MN为，
在中，令y＝0得，
解得，
∴M（，0），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数关系式，根据两直线平行求出直线MN的关系式是解题的关键．
8．（2022秋·重庆·八年级西南大学附中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的个数有（ ）个
①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，；
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再由题意可得A（0，2），B（-2，0），从而得到∠ABO=∠BAO=45°，进而得到∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，再根据三角形外角的性质，则①正确；过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°，可证得△BCG≌△ACH，△BOF≌△AOE，从而得到CG=CH，AF=BE，再由三角形的面积，可得②正确；根据，可得AD=AB=AC，再根据等腰三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，则得到③正确；过点C作CP⊥AB于点P，可得CP过点O，根据勾股定理可得，， 从而得到，再由等腰直角三角形的性质可得④正确；设点，则OD=m，AD=2+m，可得到，，再由，求出m，即可求解．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC，
当时，，当时，，
∴A（0，2），B（-2，0），
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，∠CAF=∠BAC-∠BAO=15°，
∴∠AEB=∠ACB+∠CBE=75°，故①正确；
如图，过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°，
∵∠CBE=15°，∠CAF=15°，
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BGC=∠AHC=90°，AC=BC，
∴△BCG≌△ACH，
∴CG=CH，
∵∠CBE=∠CAF， OB = OA，∠BOF=∠AOE=90°，
∴△BOF≌△AOE，
∴OE=OF，
∴OA+OF=OB+OE，即AF=BE，
∵，
∴，故②正确；
∵，AB=BC=AC，
∴AD=AB=AC，
∴∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°，故③正确；
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∵OA=OB，
∴CP过点O，
∵∠ABO=45°，∠ABC=60°，
∴∠COE=∠BOP=45°，∠BCP=30°，
∴OP=BP，，∠OCG=45°，
∵OA=OB=2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠COE=∠OCG=45°，
∴CG=OG，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，故④正确；
设点，则OD=m，AD=2+m，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得： ，
∴，故⑤正确
所以正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
9．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____．
【答案】
【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
设，，
，
，
则，
，即．
直线，
，
点
，
在中，由勾股定理得：，
则的坐标是，
设直线的解析式是，
把代入得：，
即直线的解析式是，
组成方程组
解得：
点，，
故答案为：，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）如图，一次函数与轴交于点，点在直线上且横坐标为．点为轴上一点，，若点是轴上的动点，在直线上找在一点（点与点不重合），使与全等，点的坐标为______．
【答案】或或．
【分析】把点代入一次函数中，即可求出；然后令，代入一次函数解析式，即可求得即可求得y，从而得出点坐标；设，根据利用，利用勾股定理求得点的坐标，然后分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】解：点代入，得
，
解得：，
，
当时，则，
；
令，则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
；
∵，，，
∴，，
∵点是轴上的动点，点在直线上，
设且与点不重合，
分两种情况：①当时，则
，即，
解得：，，
∴或，
∴或；
②当时，则，
，即，
解得：，，
或，
∵点与点不重合，
，
综上，存在点(点与点不重合)，使与全等，点N的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离，勾股定理，全等三角形的判定和性质、分类讨论思想，是一次函数与全等三角形的综合题，解答本题的关键在分类讨论．
11．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，……，则点的横坐标是__________．
【答案】
【分析】求出直线与x轴y轴的交点，根据题意可得，，可求出的横坐标，的横坐标，的横坐标，的横坐标， 即可得到答案．
【详解】解：当时，，
当，，解得，
∴与x轴交于点的坐标为，与y轴交于点D坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∵以为边长作等边三角形，
∴，
过作轴的垂线，
∴，
∴的横坐标，
同理可得，
的横坐标，的横坐标，
∴的横坐标，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查一次函数图像及性质，等边三角形， 直角三角形的性质；利用特殊三角形求点的坐标是解题的关键．
12．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，已知，点P在线段上（点P不与点A重合），点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
【答案】
【分析】如图所示，过点Q作轴于D，过点B作于E，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积法求出，则，即可利用勾股定理求出，要使最小就相当于在x轴上找一点到点G和点H的距离最小，该点即为直线与x轴的交点，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点Q作轴于D，过点B作于E，设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的和就相当于点到点G和点H的距离之和，
∵要使最小，
∴即为直线与x轴的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，正确得到要使最小就相当于在x轴上找一点到点G和点H的距离最小是解题的关键．
13．（2022秋·北京·九年级北大附中校考开学考试）如图，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是________．
【答案】
【分析】由题意知的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（1，0），设光线分别射在AB、OB上的Q、M处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．由而求得的坐标．求出直线，由此能求出点Q的坐标．
【详解】解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴点A（4，0），点B（0，4），
设光线分别射在AB、OB上的Q、M处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．
∵点P（1，0），
作出点P关于OB的对称点，则，
作出点P关于AB的对称点，则：
∴共线，
∵，
即；
∴（4，3），
设直线的解析式为,则有：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
解得：，
∴Q点的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，正确画出图形，用待定系数法求出直线解析式来解．
14．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点 ，点在坐标平面内 ，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】先根据题意求得分C点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D关于直线OC的对称点恰好落在y轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C点的坐标．
【详解】∵与轴，轴分别交于点A，，
令∴，
令∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
如图，当C点在第二象限时，设交x轴于点E，交AO于点F，CD交y轴于点G
∵四边形OACD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴点为的中点，
∵，，
∴．
如图，当C点在第二象限时，延长DC交y轴于点H，则．
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综合①②可知OC的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
15．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”．
(1)已知“分边折叠函数”
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；
②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围；
(2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为___________．
【答案】(1)①；②当或
(2)
【分析】（1）①求出当时，的值即可得到答案；②分别求出当时，的函数值和的函数值，然后令函数经过求出的对应函数函数值的对应坐标即可得到答案；
（2）先求出函数与直线的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴当时，
∴函数与y轴的交点坐标为；
②令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
同理，令，代入得，
令经过点，
∴，
∴，
综上分析所得，当或时，与该函数只有一个交点；
（2）解：∵，
∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为，
∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，
∴，
∴，
∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意），
解得．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
16．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.
(1)点C的坐标为
(2)求原点O到直线的距离；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或
【分析】(1)令，即可求解；
(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；
(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
所以点的坐标为；
（2）解：代入A、两点可得：，，
解得：，，
故，，
，
，
设原点到直线的距离为，
则，
解得：，
故原点到直线的距离为；
（3）解：存在，
设点的坐标为，根据题意可知不为直角，
所以当是直角三角形分两种情况：
①当时，此时点的坐标为；
②当，，
故，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．
17．（2023秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为，
(1)求的值；
(2)若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围______；
(3)求的面积．
【答案】(1)的值为2，的值为3，的值为
(2)
(3)的面积为
【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标为，将点的坐标代入，得到，解得，即可得到答案；
（2）直接根据函数图象即可得到答案；
（3）过点作轴交轴于点，根据计算即可得到答案．
【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：
，
，
点的坐标为，
将点，点代入得：
，
解得，
一次函数的解析式为，
的值为2，的值为3，的值为；
（2）解：由（1）得点的坐标为，
由图象可得：当时，函数的函数值不大于函数的函数值，
故答案为：；
（3）解：如图所示，过点作轴交轴于点，
则点的坐标为，
函数的图象与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
解得，
点的坐标为，
，
的面积为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的性质、求三角形的面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象的性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．
18．（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）由题意知，当时，，根据题意：，如图，当时，与平行，可知当时，成立；当时，将代入中，得，解得，由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；进而可得的取值范围．
【详解】（1）解：设，
过和得：
解得，
∴所求一次函数解析式为：；
（2）由（1）得，当时，，
根据题意：，如图
当时，与平行，当时，成立；
当时，将代入中，得，解得，
由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；
综上所述，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．运用数形结合的思想是解题的关键．
19．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C为坐标轴上的三个点，且，过点A的直线交直线于点D，交y轴于点E，的面积为8．
(1)求点D的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)过点C作，交直线于点F交与G，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先确定点A、B、C的坐标，再依据待定系数法即可得到的解析式，再根据的面积即可得
到点D的坐标；
（2）利用待定系数法即可得到的解析式；
（3）如图：先根据题意确定点E的坐标，进而确定的长，再证明可得
，进而确定的长，求出两直线的交点坐标，确定的高，最后根据三角
形的面积公式即可解答．
【详解】（1）由题可得，，
设为，
则:，解得：，
∴的解析式为，
∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
当时，，解得．
∴点D的坐标为．
（2）设直线的表达式为，则
，解得：，
∴直线的表达式为．
（3）如图
∵直线与y轴交于点E，
∴令可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
∵
∴
设直线的表达式为，则
，解得：，
∴直线的表达式为．
联立直线的表达式和直线的表达式，
，解得：，
∴的高为，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数与几何问题综合，三角形的面积等知识点，正确
求出各函数的解析式是解答本题的关键．
20．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D在第四象限，其中，，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)若，且．
①如图1，求四边形的面积；（用含a的式子表示）
②如图2，交y轴于点E，连接，当E关于的对称点K落在x轴上时，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①；②．
【分析】（1）先得出，得出，再根据，即可得出结论；
（2）①利用绝对值的非负性，求出，，作，证明，得出，再利用即可得出答案；
②作，连接，，根据全等三角形的性质得出，进而得出，，得出，进而得出，求出的解析式为，再得出，求出，得出，最后求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
作，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，

；
②作，连接，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵E关于的对称点K落在x轴上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理，求一次函数，绝对值的非负性，正确作出辅助线是解题的关键．