人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题18数据的分析重难点题型专训(原卷版+解析)

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【题型目录】
题型一 求一组数据的平均数或加权平均数
题型二 利用平均数做决策
题型三 求中位数并用中位数做决策
题型四 求众数并用众数做决策
题型五 求方差并用方差做决策
题型六 极差、标准差的相关问题
题型七 数据的集中趋势大题专训
题型八 数据的波动程度大题专训
【经典例题一 求一组数据的平均数或加权平均数】
【解题技巧】
平均数，统计学术语，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。
加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。加权平均值的大小不仅取决于总体中各单位的数值（变量值）的大小，而且取决于各数值出现的次数（频数），由于各数值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数。
【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．B．C．5D．9
【变式训练】
【变式1】（2023春·八年级课时练习）本学期，学校对学生的学业成绩从平时作业、期中考试、期末考试三个方面评分，各项成绩均按百分制计，然后再按扇形图中的占比，计算学生的综合成绩（百分制）．李明同学的各项成绩如下，则他本学期的综合成绩是（ ）
A．87.5B．87.6C．87.7D．87.8
【变式2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克______元．
【变式3】（2023·浙江嘉兴·统考一模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行测试，测试成绩如下表．
(1)若将学历、经验、能力和态度四项得分按1∶1∶1∶1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则谁将被录用？
(2)如果这家公司较看重员工的学历和态度，且学历与态度的得分比例相同，经验与能力的得分比例相同，请你帮该公司设计一个四项得分的比例，并以此为依据确定录用者，则谁将被录用？
【经典例题二 利用平均数做决策】
【例2】（九年级单元测试）某校九(1)班和九(2)班各有5人参加了数学竞赛的初赛，成绩如下(单位：分)：(1)班：80，45，89，40，98；(2)班：78，90，60，75，69.从能够获奖的角度来看，你认为应派( )参加复赛．
A．(1)班B．(2)班C．都可以D．不能确定
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是（ ）
A．81B．82C．83D．84
【变式2】（2022·广西·中考真题）为落实立德树人，发展素质教育，加强美育，需要招聘两位艺术老师，从学历、笔试、上课和现场答辩四个项目进行测试，以最终得分择优录取，甲、乙、丙三位应聘者的测试成绩（10分制）如表所示，如果四项得分按照“1：1：1：1”比例确定每人的最终得分，丙得分最高，甲与乙得分相同，分不出谁将被淘汰；鉴于教师行业应在“上课“项目上权重大一些（其他项目比例相同），为此设计了新的计分比例，你认为三位应聘者中______（填：甲、乙或丙）将被淘汰．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表．
(1)如果将学历、经验、能力和态度四项得分按1∶1∶1∶1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么谁将被录用？
(2)如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，以此为依据确定录用者，并说一说你这样设计比例的理由．
【经典例题三 求中位数并用中位数做决策】
【解题技巧】
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
【例3】（2023·江苏宿迁·统考二模）已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．6B．2C．8D．7
【变式训练】
【变式1】（2023春·浙江·八年级阶段练习）若3个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如果一组数据由四个整数组成，其中三个分别是2，4，6，且这组数据的中位数也是整数，那么这组数据的中位数是__________．
【变式3】（2023·北京·统考一模）在第四个国际数学日（2023年3月14日）到来之际，燕山地区举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．乙校学生成绩数据的频数分布直方图如下图所示
（数据分为四组：，，，）
b．乙校学生成绩数据在这一组的是：
80 81 81 82 85 86 88 88
c．甲、乙两校学生成绩数据的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中的值；
(2)在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为，，则__________（填“”，“”或“”），理由是____________________．
(3)若乙校共有160名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“学生之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有__________人．
【经典例题四 求众数并用众数做决策】
【解题技巧】
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
【例4】（2023·河南新乡·校考二模）某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图（不完整）．根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（ ）
A．10元B．20元C．30元D．50元
【变式训练】
【变式1】（2023·上海·模拟预测）为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是（ ）
A．7，7B．7，8C．8，7D．8，8
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为________．
【变式3】（2023春·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：
a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，），
：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79．
根据以上信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图（直接在图中补全）；
(2)第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分；
(3)若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．
【经典例题五 求方差并用方差做决策】
【解题技巧】
方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。
【例5】（2023·河北保定·统考一模）白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．中位数是4B．众数是4C．平均数是4D．方差是
【变式训练】
【变式1】（2023春·河南周口·九年级校联考阶段练习）测试某款纯电动汽车低速工况和高速工况的能耗情况，为了更接近真实的日常用车环境，低速工况的平均时速在左右，包括城市一般道路、环路等路况；高速工况的平均时速保持在左右，路况主要是高速公路．设低速工况时能耗的平均数为，方差为；高速工况时能耗的平均数为，方差为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．，D．，
【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一组数据的平均数是3，方差为，那么另一组数据的平均数和方差分别是_____，_____．
【变式3】（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
小宇的作业：
解：，
．
(1)________，________；
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【经典例题六 极差、标准差的相关问题】
【解题技巧】
极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
标准差
方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
【例6】（2022秋·八年级课时练习）泰安市某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解九年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查学生自主学习时间的中位数是4
B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1
C．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3
D．本次调查学生自主学习时间的标准差是
【变式训练】
【变式1】（2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）在学校数学学科知识竞赛中，我班“”组的6个同学获得的分数分别为：95、97、97、96、98、95，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．众数为97C．平均数为96D．极差为3
【变式2】（2023·全国·八年级专题练习）某学生记录了家中六个月的用电情况，六个月缴纳的电费依次为（单位：元）：69，77，85，90，73，98，这组数据的中位数是___________，极差是___________，平均数是___________．
【变式3】（2021秋·甘肃兰州·八年级兰州市第十四中学校考期末）一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示．
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩的标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
【经典例题七 数据的集中趋势大题专训】
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（表示作业完成时间，取整数）：A．；B．；C．；D．，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，部分信息如下：七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，66，65，64，66，60，60，83，78，70，75，70，78，70，88，82，85，85，82．
八年级抽取20名学生中完成作业时间在时段的所有数据为：72，74，74，76，75，74，78，75．
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
(4)该校七年级共有学生600人，八年级共有学生400人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人?
【变式训练】
【变式1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）为了解我区八年级学生数学学科期末质量监测情况，某数学兴趣小组进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整：
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据．
分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息回答下列问题：
(1)填表：的值是______；的值是_______．
(2)得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，请估计这次考试成绩在80分及以上的人数．
②请推断哪所学校学生的数学学科质量监测成绩较高，并说明理由．
【变式2】（2023春·全国·八年级期末）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
(3)请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）．
【变式3】（2023·陕西咸阳·二模）十年来“国潮风”强势崛起，从文创产品到文娱综艺，从汉服唐装到国风歌曲，从国漫动画到国货品牌，越来越多的年轻人被“国潮风”吸引，不再盲目追随国外品牌，中国人的民族自信心、自豪感、民族认同感越来越强．某区举办主题为“国潮少年，盛世明珠”的设计大赛，每位参赛者上交一份作品并由组委会打分（满分100分），赛后组委会随机抽取部分参赛者的成绩，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：
已知组成绩的具体得分是（单位：分）：90，91，96，97，99
根据上述信息回答下列问题：
(1)表格中的__________，在扇形统计图中，组所对应的圆心角__________，所抽取参赛者成绩的中位数落在__________组；
(2)求所抽取参赛者成绩的平均数；
(3)成绩大于95分的参赛者可获得“国潮少年”的称号，若共有600名参赛者，请你估计获得“国潮少年”称号的有多少人？
【经典例题八 数据的波动程度大题专训】
【例8】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
甲校10名志愿者的成绩（分）为：．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：．
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）：
甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表
0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．
（2）你认为哪个班的比赛成绩要好一些？请简要说明理由．
【变式2】（2021秋·山东潍坊·八年级统考期末）甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求出的值；
（2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值；
（3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝ ，b＝ ，c＝ ．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是 ；
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【培优检测】
1．（2023·浙江台州·统考一模）顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ ）
A．小刚的成绩位于组内中等水平B．小组平均分增加2分
C．小组的成绩稳定性增加，方差变大D．该小组成绩不存在中位数
2．（2023·内蒙古包头·校考一模）为了提高物品使用率，减少浪费，把废置物品通过义卖的形式变换成现金，用来帮助那些需要帮助的人，某中学举办了“聚沙成塔让爱心助力梦想”校园爱心义卖活动，下面是随机抽取的20名学生义卖获得现金钱数的统计：
请根据学生获得现金数，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为20名学生B．众数是15元C．中位数是8元D．平均数是元
3．（2023·安徽滁州·统考一模）从某奶茶小店某月每日营业额（单位：元）中随机抽取部分数据进行整理分析，根据方差公式，得．则下列说法正确的是（ ）
A．样本容量是4B．该组数据的中位数是400
C．该组数据的众数是400D．
4．（2023春·八年级课时练习）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．-3B．4C．5D．9
5．（2023·江苏扬州·一模）已知一组数据，，，…的方差是3，则另一组数据，，，…的方差是_____．
6．（2023·重庆开州·校联考一模）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为____________．（用“”连接）
7．（2022秋·八年级课时练习）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．
如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）A，B，C，D，E，F六人按顺序围成一圈做游戏，每人抽一个数，已知每人按顺序抽到数字的两倍与其他五个人的平均数之差分别为9，10，13，15，23，30，则C抽到的数字是______．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）某单位设有6个部门，共153人，如下表：
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是_______．
10．（2022秋·八年级课时练习）我们把三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的取值为___________________
11．（2023春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下：
(1)求上月名销售员平均每人完成的销售额；
(2)为了提高大多数销售员的积极性，管理者准备实行“每天定额销售，超额有奖”的措施，如果你是管理者，从平均数，中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？
12．（2023·云南楚雄·统考一模）某中学为调查学生对火灾逃生知识的了解程度，对全校1200名学生进行知识测试，将测试成绩分为5组（其中x表示成绩，单位：分，满分为100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，随机抽取部分学生的成绩进行统计，制作了如下统计图：
由图中给出的信息回答下列问题：
(1) ______， ______；
(2)被抽取的甲同学在这次测试中成绩为85分，他认为自己的成绩是这次测试抽取样本成绩的中位数，他的观点正确吗？请简要说明理由；
(3)若80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．
13．（2023·吉林长春·统考一模）为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、、三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、、三类课程的成绩情况统计图如下：
(1)例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生类课程的成绩是80分，类课程的成绩是80分．
①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生类课程的成绩是______分．
②学生丙类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是______分．
(2)在图③中补全这20名学生类课程成绩的频数分布直方图．
（数据分成7组：，，，，， ，）
(3)学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数．
14．（2023·山东临沂·统考一模）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“，”是指该枚古钱币的直径为，厚度为，质量为．已知这些古钱币的材质相同．
根据图中信息，解决下列问题．
(1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是______，所标厚度的众数是______，所标质量的中位数是______ ．
(2)由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
15．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）九龙坡区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区(简称“双创”)为抓手，坚持立德树人，以文化人，协同育人，形成青少年健康成长的良好环境，学校德育处为了解学生对双创的了解情况，从七、八年级各选取了名同学，开展了双创知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析(成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀)，下面给出了部分信息：
七年级名同学在组的分数为：，，，；
八年级名同学在组的分数为：，，，，，，，，．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了解情况更好？请说明理由；(写出一条理由即可)
(3)该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
李明
平时作业
期中考试
期末考试
90
85
88
项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5
成绩应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
9
笔试
8
7
9
上课
7
8
8
现场答辩
8
9
8
项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5
学校
平均数
中位数
众数
甲
79
78
乙
76
次数
6
7
8
9
10
11
人数
3
10
9
5
2
1
甲、乙两人射箭成绩统计表
甲、乙两人射箭成绩折线图
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
自主学习时间/h
0.5
1
1.5
2
2.5
人数/人
1
2
4
2
1
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
70
b
八年级
75
a
74
学校
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
0
0
1
4
2
5
统计量学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81．85
91
268．43
乙
81．95
86
88
115．25
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
七年级
80.8
a
70
八年级
b
80
c
组别
成绩（分）
频数
各组总分/分
5
473
1360
12
900
5
323
2
112
甲校
乙校
平均数
87
87
中位数
87.5
b
方差
79.4
众数
c
95
甲班
乙班
平均数
6.5
a
中位数
b
6
方差
3.45
4.65
优秀率
30%
c
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差/环2
甲
7
7
12
乙
7
8
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
b
8
0.4
乙
a
9
c
3.2
获得义卖现金/元
5
8
10
12
15
人数/人
6
4
3
5
2
班级
人数
中位数
平均数
甲班
27
104
97
乙班
27
106
96
部门
部门1
部门2
部门3
部门4
部门5
部门6
人数
26
16
22
32
43
14
分数
100
90
80
70
60
50及以下
比例
5
2
1
1
1
0
销售额（万元）
3
4
5
6
7
8
销售员人数（人）
1
1
3
2
1
1
1
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
八年级
2022-2023学年八年级数学下册重难点提升精讲精练《人教版》
专题18 数据的分析重难点题型专训
【题型目录】
题型一 求一组数据的平均数或加权平均数
题型二 利用平均数做决策
题型三 求中位数并用中位数做决策
题型四 求众数并用众数做决策
题型五 求方差并用方差做决策
题型六 极差、标准差的相关问题
题型七 数据的集中趋势大题专训
题型八 数据的波动程度大题专训
【经典例题一 求一组数据的平均数或加权平均数】
【解题技巧】
平均数，统计学术语，是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。
加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。加权平均值的大小不仅取决于总体中各单位的数值（变量值）的大小，而且取决于各数值出现的次数（频数），由于各数值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数。
【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】D
【分析】设报D的人心里想的数是x，则再分别表示报A，C，E，B的人心里想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【详解】解：设D同学心里想的那个数是x，报A的人心里想的数是10-x，报C的人心里想的数是x-6，报E的人心里想的数是14-x，报B的人心里想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得：x=9．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
【变式训练】
【变式1】（2023春·八年级课时练习）本学期，学校对学生的学业成绩从平时作业、期中考试、期末考试三个方面评分，各项成绩均按百分制计，然后再按扇形图中的占比，计算学生的综合成绩（百分制）．李明同学的各项成绩如下，则他本学期的综合成绩是（ ）
A．87.5B．87.6C．87.7D．87.8
【答案】A
【分析】先从统计图得到数据，再利用加权平均数的计算方法求解．
【详解】解：根据题意李明本学期的综合成绩是： 90×20%+85×30%+88×50%=87.5，
故选：A．
【点睛】本题考查了加权平均数的求法和从不同的统计图中获取信息的能力，解题的关键是掌握加权平均数的求法，知道扇形统计图能反映各部分所占的百分比．
【变式2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克______元．
【答案】6.9
【分析】先根据甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克求出混合后的糖果甲、乙、丙比，再用各自所占比乘各自的售货单价相加即可．
【详解】解：若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，
则混合后的糖果甲、乙、丙比为，
∴混合后的糖果的售价每千克应定为（元），
故答案为：6.9．
【点睛】本题考查了加权平均数，读懂题意，熟练运用加权平均数是解题的关键．
【变式3】（2023·浙江嘉兴·统考一模）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行测试，测试成绩如下表．
(1)若将学历、经验、能力和态度四项得分按1∶1∶1∶1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则谁将被录用？
(2)如果这家公司较看重员工的学历和态度，且学历与态度的得分比例相同，经验与能力的得分比例相同，请你帮该公司设计一个四项得分的比例，并以此为依据确定录用者，则谁将被录用？
【答案】(1)录用丙
(2)学历、经验、能力和态度四项得分按4∶1∶1∶4的比例确定，录用乙
【分析】（1）运用加权平均数公式计算，择优录用．
（2）先根据题意，确定比值，后运用加权平均数公式计算，择优录用．
【详解】（1）根据题意，得，
，
，
丙的平均分最高，
故录用丙．
（2）学历、经验、能力和态度四项得分按4∶1∶1∶4的比例确定，
根据题意，得，
，
，
乙的平均分最高，
故录用乙．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．
【经典例题二 利用平均数做决策】
【例2】（九年级单元测试）某校九(1)班和九(2)班各有5人参加了数学竞赛的初赛，成绩如下(单位：分)：(1)班：80，45，89，40，98；(2)班：78，90，60，75，69.从能够获奖的角度来看，你认为应派( )参加复赛．
A．(1)班B．(2)班C．都可以D．不能确定
【答案】A
【分析】重新由大到小排列两个班学生的成绩，分别比较两个班中高分同学的高分成绩及平均成绩，从而进行判断即可.
【详解】解：观察两个班的学生成绩情况，重新由大到小排列分别是：
（1）班：98，89，80，45，40，
（2）班：90，78，75，69，60，
第一名成绩比较：98＞90；
前两名平均成绩比较：；
前三名平均成绩比较：;
综上，故从能够获奖的角度来看，应派（1）班参加复赛，
故选择A.
【点睛】从能够获奖的角度来看，高分越多的班级，其越能够获奖.
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是（ ）
A．81B．82C．83D．84
【答案】D
【分析】根据已知得出男生数：女生数=180：100=9：5，男生平均分：女生平均分=100：120，进而得出全班平均分是男生平均分的，即可得出答案．
【详解】由题意可得：男生数：女生数=180：100=9：5，
男生平均分：女生平均分=100：120，
，
即全班平均分比男生平均分高，
所以全班平均分是男生平均分的，
即男生平均分为×14=70分，
女生平均分为：70×1.2=84分，
故选D．
【点睛】本题考查了百分比的应用，能根据题意，列出关系式得出全班平均分是男生平均分的是解题的关键．
【变式2】（2022·广西·中考真题）为落实立德树人，发展素质教育，加强美育，需要招聘两位艺术老师，从学历、笔试、上课和现场答辩四个项目进行测试，以最终得分择优录取，甲、乙、丙三位应聘者的测试成绩（10分制）如表所示，如果四项得分按照“1：1：1：1”比例确定每人的最终得分，丙得分最高，甲与乙得分相同，分不出谁将被淘汰；鉴于教师行业应在“上课“项目上权重大一些（其他项目比例相同），为此设计了新的计分比例，你认为三位应聘者中______（填：甲、乙或丙）将被淘汰．
【答案】甲
【分析】设新的计分比例为1：1：x：1（x）,再分别计算出三人的总分进行比较即可得到结论．
【详解】解：设新的计分比例为1：1：x：1（x）,则：
甲的得分为：（分）；
乙的得分为：（分）；
丙的得分为：（分）；
所以，甲将被淘汰，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式3】（2023春·浙江·八年级专题练习）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表．
(1)如果将学历、经验、能力和态度四项得分按1∶1∶1∶1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么谁将被录用？
(2)如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，以此为依据确定录用者，并说一说你这样设计比例的理由．
【答案】(1)丙将被录用
(2)见解析
【分析】（1）计算算术平均数即可；
（2）计算加权平均数即可．
【详解】（1）解：依题意，
甲的平均分为，
乙的平均分为，
丙的平均分为，
则丙的平均分最高，因此丙被录用．
（2）解：如果将学历、经验、能力和态度四项得分按3:2:3:2的比例确定每人的最终得分，
则甲的得分为，
乙的得分为，
比丙的得分为，
丙的得分最高，因此丙被录用．
理由：因为数据中的“权”反映数据的相对“重要程度”，权越大，该数据占的比重越大，反之则越小．
【点睛】本题考查了算术平均数、加权平均数，熟练掌握加权平均数的意义和计算公式是解答的关键．
【经典例题三 求中位数并用中位数做决策】
【解题技巧】
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
【例3】（2023·江苏宿迁·统考二模）已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．6B．2C．8D．7
【答案】A
【分析】首先根据平均数为求出的值，然后根据中位数的概念求解．
【详解】解：∵数据，3，，，的平均数是，
∴，
解得：，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，6，，，
则中位数为6．
故选：A．
【点睛】本题考查中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．掌握中位数和平均数的定义是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·浙江·八年级阶段练习）若3个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平均数和中位数的定义计算即可．
【详解】∵3个正数的平均数是a，
∴，
∴的平均数为，
∵3个正数，且
∴把数据从大到小排列为，
∴中位数为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
【变式2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如果一组数据由四个整数组成，其中三个分别是2，4，6，且这组数据的中位数也是整数，那么这组数据的中位数是__________．
【答案】3或4或5
【分析】找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数或偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数；第四个整数可能情况有：小于或等于2；大于2且小于4；等于4；大于4且小于6；大于6，分几种情况进行求解即可．
【详解】解：①当第四个整数小于或等于2时，中位数为：，满足题意；
②当第四个整数大于2且小于4时，此时第四个整数是3，中位数为：，中位数不是整数，不满足题意；
③当第四个整数等于4时，中位数是：，满足题意；
④当第四个整数大于4且小于6时，只有5这一个整数，而中位数不是整数，不满足题意；
⑤当第四个整数大于或等于6时，中位数是：，满足题意，
所以它们的中位数是3或4或5．
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题侧重考查中位数的相关知识，熟练掌握中位数的定义及特征是解题的关键．
【变式3】（2023·北京·统考一模）在第四个国际数学日（2023年3月14日）到来之际，燕山地区举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．乙校学生成绩数据的频数分布直方图如下图所示
（数据分为四组：，，，）
b．乙校学生成绩数据在这一组的是：
80 81 81 82 85 86 88 88
c．甲、乙两校学生成绩数据的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中的值；
(2)在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为，，则__________（填“”，“”或“”），理由是____________________．
(3)若乙校共有160名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“学生之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有__________人．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据甲校的中位数低于其平均成绩，乙校的中位线高于其平均成绩进行求解即可；
（3）用乘以样本中成绩不低于80分的学生人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，乙校一共有人，
将乙校学生成绩按照从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为80，81，
∴乙校学生的中位数；
（2）解：，理由如下：
∵甲校成绩的中位数为79，低于其平均数，而乙校的中位数为，高于其平均成绩，
∴乙校高于平均成绩的人数更多，即；
（3）解：人，
∴估计乙校获得“数学之星”称号的学生有人，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求中位数，用平均数和中位数做决策，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键．
【经典例题四 求众数并用众数做决策】
【解题技巧】
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
【例4】（2023·河南新乡·校考二模）某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图（不完整）．根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（ ）
A．10元B．20元C．30元D．50元
【答案】C
【分析】首先可求得捐款30元的人数，再根据众数的定义，即可求解．
【详解】解：捐款30元的人数为(人)，
∵30出现的次数最多，出现了20次，
∴捐款金额的众数是30元．
故选：C．
【点睛】本题考查了频数分布直方图及众数的求法，准确求得捐款30元的人数是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023·上海·模拟预测）为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是（ ）
A．7，7B．7，8C．8，7D．8，8
【答案】B
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵7出现了10次，出现的次数最多，
∴这30名男生此次测试中引体向上次数的众数是7；
∵共有30名男生，中位数是低15、16个数的平均数，
∴中位数为；
故选：B．
【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为________．
【答案】8
【分析】根据平均数的意义，求出a、b的值，进而确定两组数据，再合并成一组，找出出现次数最多的数据即可．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
这两组数合并成一组新数据为：，
在这组新数据中，出现次数最多的是8，因此众数是8，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
【变式3】（2023春·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：
a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，），
：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79．
根据以上信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图（直接在图中补全）；
(2)第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分；
(3)若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．
【答案】(1)见解析
(2)75，79
(3)估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．
【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；
（3）利用样本估计总体，即可求解．
【详解】（1）解：第2组的人数为：（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（2）解：第3组数据出现次数最多的是75，共出现3次，因此众数是75；
抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79，
则样本中位数为（分），因此中位数是79，
故答案为：75，79；
（3）解：（人），
估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
【经典例题五 求方差并用方差做决策】
【解题技巧】
方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。
【例5】（2023·河北保定·统考一模）白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．中位数是4B．众数是4C．平均数是4D．方差是
【答案】D
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据为，再分别根据中位数与众数的定义、平均数和方差公式计算即可得．
【详解】解：由题意得：这组数据为，
则中位数是，选项A正确，不符合题意；
因为4出现的次数最多，
所以众数是4，选项B正确，不符合题意；
平均数是，选项C正确，不符合题意；
方差是，选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟记各定义和公式是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2023春·河南周口·九年级校联考阶段练习）测试某款纯电动汽车低速工况和高速工况的能耗情况，为了更接近真实的日常用车环境，低速工况的平均时速在左右，包括城市一般道路、环路等路况；高速工况的平均时速保持在左右，路况主要是高速公路．设低速工况时能耗的平均数为，方差为；高速工况时能耗的平均数为，方差为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据平均数和方差的定义与公式解答即可．
【详解】；
；
∴，
由折线波动可知，，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平均数和方差的定义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一组数据的平均数是3，方差为，那么另一组数据的平均数和方差分别是_____，_____．
【答案】 7 3
【分析】根据一组数据的平均数是，方差为，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，进行计算即可．
【详解】解：∵数据的平均数是3，
∴数据的平均数是；
∵数据的方差为，
∴数据的方差是；
故答案为：7，3．
【点睛】本题考查平均数和方差．熟练掌握一组数据的平均数是，方差为，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，是解题的关键。
【变式3】（2020秋·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
小宇的作业：
解：，
．
(1)________，________；
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
(3)①观察图，可看出________的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【答案】(1)4，6
(2)见解析
(3)①乙，，验证见解析；②乙被选中，分析见解析
【分析】（1）根据甲的平均数计算公式求出射箭5次的总环数，进而求出a的值，再根据平均数的定义求出乙的平均数即可；
（2）根据（1）所求结合表格中的数据补全统计图即可；
（3）①根据折线图可知乙的波动小，乙更稳定，然后根据方差计算公式求出乙的方差验证即可；②平均数相同，乙的方差小，则乙被选择．
【详解】（1）解：环，
∴甲、乙两人射箭5次的总环数都为30环，
∴，
∴
故答案为：4，6；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：①观察折线统计图可知，甲的成绩波动比乙的成绩波动大，故乙的成绩比较稳定；
，
∴，
∴乙的成绩比较稳定；
②从平均数来看，两人的平均数相同，从方差来看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲稳定，因此应选择乙，即乙被选中．
【点睛】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差，灵活运用所学知识是解题的关键．
【经典例题六 极差、标准差的相关问题】
【解题技巧】
极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
标准差
方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
【例6】（2022秋·八年级课时练习）泰安市某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神，了解九年级学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级一班10名学生每天自主学习的时间情况，得到的数据如表所示，下列说法正确的是（ ）
A．本次调查学生自主学习时间的中位数是4
B．本次调查学生自主学习时间的平均数是1
C．本次调查学生自主学习时间的方差是0.3
D．本次调查学生自主学习时间的标准差是
【答案】C
【分析】根据中位数的含义可判断A，根据平均数的含义可判断B，根据方差的含义可判断C，根据标准差的含义可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A、由题意可知，本次调查学生自主学习时间的中位数是，故该说法不符合题意；
B、本次调查学生自主学习时间的平均数是（1×0.5+2×1+4×1.5+2×2+1×2.5）÷10=1.5，故该说法不符合题意；
C、本次调查学生自主学习时间的方差是：
，故该说法符合题意；
D、本次调查学生自主学习时间的标准差是，故该说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数、平均数、方差、标准差的求法是解答此题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·湖南长沙·九年级校考期末）在学校数学学科知识竞赛中，我班“”组的6个同学获得的分数分别为：95、97、97、96、98、95，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．众数为97C．平均数为96D．极差为3
【答案】D
【分析】根据一组数据中出现次数最多的为众数，所有数据和除以数据的个数为平均数，最大数减最小数为极差，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两个数据各出现两次，众数为，选项错误，不符合题意；
B、两个数据各出现两次，众数为，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、极差为：，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平均数，众数，极差．熟练掌握平均数，众数，极差的计算方法，是解题的关键．注意，众数不唯一．
【变式2】（2023·全国·八年级专题练习）某学生记录了家中六个月的用电情况，六个月缴纳的电费依次为（单位：元）：69，77，85，90，73，98，这组数据的中位数是___________，极差是___________，平均数是___________．
【答案】
【分析】根据中位数、平均数、极差的定义分别求解即可；
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：，
所以这组数据的中位数是；
极差是；
平均数是；
故答案为：
【点睛】本题考查了极差、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
【变式3】（2021秋·甘肃兰州·八年级兰州市第十四中学校考期末）一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩（单位：分）等有关信息如下表所示．
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差，并将上表补充完整；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩的标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
【答案】（1）表中填：70，6；（2）同学在本次考试中，数学考得更好．
【分析】（1）由平均数、标准差的公式进行计算即可；
（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩标准差计算，再比较即可．
【详解】（1）数学成绩的平均分为（分），
英语成绩的标准差为，
故表中填：70，6；
（2）数学标准分为：（分），
英语标准分为：（分）
因为，所以数学考得更好，
即同学在本次考试中，数学考得更好．
【点睛】本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
【经典例题七 数据的集中趋势大题专训】
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（表示作业完成时间，取整数）：A．；B．；C．；D．，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，部分信息如下：七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，66，65，64，66，60，60，83，78，70，75，70，78，70，88，82，85，85，82．
八年级抽取20名学生中完成作业时间在时段的所有数据为：72，74，74，76，75，74，78，75．
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
(4)该校七年级共有学生600人，八年级共有学生400人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人?
【答案】(1)74，70
(2)见解析
(3)七年级落实的好，见解析
(4)720人
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）按给出数据计算出时段的数据然后补全即可；
（3）从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
（4）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可．
【详解】（1）将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10，11个数均在C时段，
而C时段的所有数据为：72，74，74，76，75，74，78，75，
按从小到大排列为：72，74，74，74，75，75，76，78，
则第10，11个数均为74，所以中位数．
将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是70分，即：．
故答案为：74，70．
（2）由题可得在B时段人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）七年级落实的好，理由：七年级学生完成作业的平均时间为72分钟，比八年级的少；（答案不唯一）
（4）
答：估计七、八年级时间管理优秀的学生共有720人.
【点睛】本题考查了条形统计图，熟练掌握中位数，平均数的相关概念是解题关键．
【变式训练】
【变式1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）为了解我区八年级学生数学学科期末质量监测情况，某数学兴趣小组进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整：
收集数据：随机抽取甲、乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析．
甲：91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙：84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据．
分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息回答下列问题：
(1)填表：的值是______；的值是_______．
(2)得出结论：
①若甲学校有600名初二学生，请估计这次考试成绩在80分及以上的人数．
②请推断哪所学校学生的数学学科质量监测成绩较高，并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)①人；②甲校学生的数学水平较高，理由见解析；
【分析】（1）整理频数分布表可得的值，再结合中位数的含义可得的值；
（2）①由总人数乘以80分及以上的人数的占比即可得到答案；②从中位数与众数的角度出发分析可得答案．
【详解】（1）解：由乙组数据可得：的有84 87 82 85 88 88 88 88，
∴，
由表格信息可得：甲组排在最中间的两个数据分别是第10个，第11个，落在，
而这一组的数据为：81 85 85 86 88 88 89
第10个，第11个分别是88，88，
∴中位数为：；
（2）①甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩在80分及以上的人数有
（人）；
②由两个学校的平均数基本相同，而甲校的中位数与众数都高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是频数分布表，中位数，众数的含义，利用样本估计总体，利用中位数与众数作判断，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级期末）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
(3)请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）．
【答案】(1)70；80；80
(2)210人
(3)见解析（答案不唯一，只要合理即可）
【分析】（1）由图标中的数据，以及中位数、平均数、众数的求法可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解即可；
（3）可从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面进行比较，评价即可．
【详解】（1）解：七年级的中位数为（分）；
八年级的平均数为（分），众数为80分．
故答案为：70，80，80；
（2）解：由题意知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）；
抽取的八年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人），
∴七、八年级共600名学生竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）．
答：该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为210人．
（3）解：从平均数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的平均数分别为分，80分，说明七年级学生竞赛成绩的平均数大于八年级学生竞赛成绩的平均数，故七年级学生的竞赛成绩较好．
从中位数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的中位数分别为70分，80分，说明八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，故八年级学生的竞赛成绩较好．
从众数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的众数分别为70分，80分，说明七年级学生竞赛成绩中70分最多，八年级学生竞赛成绩中80分最多，故八年级学生的竞赛成绩较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算的方法，是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西咸阳·二模）十年来“国潮风”强势崛起，从文创产品到文娱综艺，从汉服唐装到国风歌曲，从国漫动画到国货品牌，越来越多的年轻人被“国潮风”吸引，不再盲目追随国外品牌，中国人的民族自信心、自豪感、民族认同感越来越强．某区举办主题为“国潮少年，盛世明珠”的设计大赛，每位参赛者上交一份作品并由组委会打分（满分100分），赛后组委会随机抽取部分参赛者的成绩，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：
已知组成绩的具体得分是（单位：分）：90，91，96，97，99
根据上述信息回答下列问题：
(1)表格中的__________，在扇形统计图中，组所对应的圆心角__________，所抽取参赛者成绩的中位数落在__________组；
(2)求所抽取参赛者成绩的平均数；
(3)成绩大于95分的参赛者可获得“国潮少年”的称号，若共有600名参赛者，请你估计获得“国潮少年”称号的有多少人？
【答案】(1)16，，B
(2)
(3)45人
【分析】（1）根据C组频数及所占百分数求出抽取参赛者的总数，总数减去A，C，D，E组人数即为b，A组人数所占百分数乘以360度即为A组所对应的圆心角，根据频数分布图及中位数的定义可得中位数落在哪个组；
（2）用各组总分之和除以参赛者总数可得所抽取参赛者成绩的平均数；
（3）用抽取参赛者中成绩大于95分的参赛者所占比例乘以参赛者总数即可．
【详解】（1）解：抽取参赛者的总数，
，
，
将抽取参赛者的成绩按从高到底排列，第20位和第21位都在B组，因此中位数落在B组，
故答案为：16，，B；
（2）解：，
即所抽取参赛者成绩的平均数为；
（3）解：由A组成绩的具体得分可得，成绩大于95分的参赛者有3人，
（人），
因此估计获得“国潮少年”称号的有45人．
【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、平均数、利用样本估计总体等，解题的关键是从频数分布表和扇形统计图中获取关键信息．
【经典例题八 数据的波动程度大题专训】
【例8】（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
甲校10名志愿者的成绩（分）为：．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：．
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
【答案】(1)
(2)乙校较好，理由见解析
(3)甲校成绩在90分及以上的约有80人
【分析】（1）先通过扇形统计图求出各组数据的情况，即可求出a、b的值，再根据题目中给出的甲校的具体值，就可以算出c和的值；
（2）可从中位数、众数和方差的角度进行分析即可；
（3）算出甲校90分以上人数的占比，再用总人数200去乘即可；
【详解】（1）由扇形统计图数据可知，C组数据有三人，占比为30%
A的圆心角度数为36°
∴A的占比为×100%=10%
∴B的占比=1-10%-30%-40%=20%
∴a=20
又∵乙校各档次的人数分别为1人、2人、3人、4人
∴中位数是第五位和第六位数，分别是88和89
∴b==88.5
根据方差的公式，可算出82.8
观察甲的数据，可发现众数c为87.
（2）解：从中位数来看，乙校的中位数高于甲校的中位数，所以乙校志愿者的成绩的中等水平好于甲校；
从众数来看，乙校的众数高于甲校的众数，所以乙校大多数志愿者的成绩好于甲校大多数志愿者的成绩；
从方差来看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成绩更加稳定，所以我认为乙校较好．（可以从平均数、中位数、方差、众数等角度分析，言之有理即可）
（3）解：甲校成绩在90分以上的有4人，占比为40%；
∴（人）
答：甲校成绩在90分及以上的约有80人．
【点睛】本题考查扇形统计图和表格信息的综合，求平均数、中位数、众数和方差，以及用样本的数据估计总体，理解各统计图的信息并灵活运用是解决本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级单元测试）某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）：
甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表
0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．
（2）你认为哪个班的比赛成绩要好一些？请简要说明理由．
【答案】（1）a＝6.5，b＝6.5，c＝30%；（2）甲班的比赛成绩要好一些，理由见解析．
【分析】（1）将甲乙两个班的3号学生进球数求出来后，再根据平均数、中位数、优秀率的计算方法进行计算即可得出a、b、c的值；
（2）比较中位数、方差得出答案．
【详解】解：（1）由统计表可知：甲班进球数平均数为6.5，
因此甲班共进球数为6.5×10=65（个），
所以甲班的3号同学进球的个数为：65﹣3﹣5﹣6﹣6﹣7﹣7﹣8﹣8﹣10＝5（个），
由统计图可知，乙班3号同学进球个数也是5个，
所以a＝（3+4+5+6×3+7+9×2+10）＝6.5，
将甲班10名同学进球的个数从小到大排列为：
3，5，5，6，6，7，7，8，8，10；
处在中间位置的两个数的平均数为＝6.5，故中位数是6.5，即b＝6.5，
因为乙班进球8个及以上的人数为3人，
∴c＝3÷10＝30%，
故a＝6.5，b＝6.5，c＝30%；
（2）甲班的比赛成绩要好一些；
理由：两个班的平均数相同，甲班的中位数略高于乙班，方差小于乙班．
【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的意义及计算方法，考查了学生对教材概念的理解与掌握，因此，理解平均数、中位数、方差的意义是正确判断的前提，同时正确的计算是关键．
【变式2】（2021秋·山东潍坊·八年级统考期末）甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求出的值；
（2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值；
（3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由．
【答案】（1）7，（2）乙队员第7次的射击环数是7环或8环；7.5；4.2（3）乙，理由见解析．
【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；
（2）根据众数可求乙队员第7次的射击环数,中位数是第5次和第6次射击环数的平均数；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；
（3）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．
【详解】解：（1）甲的平均成绩a＝（环）；
（2）∵已知的环数分别是： 3、4、6、7、8、8、9、10，平均数是7，
可知剩余两次的成绩和为：70-55=15（环），根据统计图可知不可能是9和6，只能是7和8，所以乙队员第7次的射击环数是7环或8环；
把乙的成绩从小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5（环），
其方差c＝×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]
＝×（16+9+1+3+4+9）
＝4.2；
（3）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看乙的成绩比甲的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．
【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝ ，b＝ ，c＝ ．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是 ；
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数 ，中位数 ，方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．
【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案；
（2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案；
（3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案．
【详解】（1），
因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8
因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；
故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；
（2），
∴甲的方差较小，成绩比较稳定，
∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；
∵乙的中位数是9，众数也是9，
∴获奖可能性较大，
∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛；
（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，
∴平均数不变．
∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，
∴处于中间位置的数为8，9，
∴中位数为 ，
∴中位数变小．
后来的方差为，
∴方差变小．
【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关键．
【培优检测】
1．（2023·浙江台州·统考一模）顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ ）
A．小刚的成绩位于组内中等水平B．小组平均分增加2分
C．小组的成绩稳定性增加，方差变大D．该小组成绩不存在中位数
【答案】B
【分析】结合图表，依据平均数、中位数以及方差的意义进行解答即可
【详解】解：从图表可以看出小刚的成绩低于70分，B同学的成绩高于80分低于90分，A同学成绩高于B同学低于90分，D同学高于90分低于100分，E同学90分；
A.小刚的成绩加上10分后仍然处于下等水平，故选项A说法错误，不符合题意；
B. 小刚的成绩加上10分后，小组的平均分增加分，故选项B说法正确，符合题意；
C.小组的成绩稳定性增加，方差变小，故选项C说法错误，不符合题意；
D.该小组成绩存在中位数，即A的成绩，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题为统计题，考查平均数与中位数的意义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
2．（2023·内蒙古包头·校考一模）为了提高物品使用率，减少浪费，把废置物品通过义卖的形式变换成现金，用来帮助那些需要帮助的人，某中学举办了“聚沙成塔让爱心助力梦想”校园爱心义卖活动，下面是随机抽取的20名学生义卖获得现金钱数的统计：
请根据学生获得现金数，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为20名学生B．众数是15元C．中位数是8元D．平均数是元
【答案】D
【分析】根据样本的定义，中位数，众数，平均数的确定方法，进行判断即可．
【详解】解A、样本为20名学生义卖获得现金钱数，故选项A错误；
B、义卖获得现金钱数为12元的人数最多，众数是12元，故选项B错误；
C、将数据排序后，中位数为元，故选项C错误；
D、平均数为：（元），故选项D错误；
故选D．
【点睛】本题考查样本，中位数，众数，平均数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
3．（2023·安徽滁州·统考一模）从某奶茶小店某月每日营业额（单位：元）中随机抽取部分数据进行整理分析，根据方差公式，得．则下列说法正确的是（ ）
A．样本容量是4B．该组数据的中位数是400
C．该组数据的众数是400D．
【答案】D
【分析】根据方差的公式、样本容量、中位数、众数的定义进行解答即可．
【详解】解：A．根据方差公式可知，共有个数据，因此样本容量为10，故A错误，不符合题意；
B．这10个数中有3个200，5个300，1个400，1个500，因此从小到大排序后，排在第5和第6的都是300，因此这组数据的中位数是300，故B错误，不符合题意；
C．这组数据中出现次数最多的是300，因此这组数据的众数是300，故C错误，不符合题意；
D．这10个数的平均数为：，
∴
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数据处理和应用，解题的关键是根据方差计算公式，找出这组数据的10个数．
4．（2023春·八年级课时练习）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（ ）
A．-3B．4C．5D．9
【答案】D
【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可．
【详解】如图所示
设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推：
于是报1的人心里想的数是10-(6- x)=4 +x，
报3的人心里想的数是4-(4+x)=-x,
报5的人心里想的数是8-(-x)=8+x
报4的人心里想的数是2-(8+x)=-6- x，
于是得-6-x=x
解得：x=-3
所以D同学报4的人心里想的数应是:
6-x=6-(-3)= 9，
答:D同学心里想的数应是9．
故选：D
【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
5．（2023·江苏扬州·一模）已知一组数据，，，…的方差是3，则另一组数据，，，…的方差是_____．
【答案】12
【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…的平均数为，方差为，代入公式计算即可．
【详解】解：设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…的平均数为，
∵，
∴另一组数据的方差为
，
故答案为12．
【点睛】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
6．（2023·重庆开州·校联考一模）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为____________．（用“”连接）
【答案】
【分析】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【详解】第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均数，求方差．掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．
如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____．
【答案】
【分析】要比较甲、乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲、乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲、乙两班的中位数即可比较优秀率．
【详解】解： 从表格中可看出甲班的中位数为104，，乙班的中位数为106，，
即甲班大于105次的人数少于乙班，
∴甲、乙两班的优秀率的关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）A，B，C，D，E，F六人按顺序围成一圈做游戏，每人抽一个数，已知每人按顺序抽到数字的两倍与其他五个人的平均数之差分别为9，10，13，15，23，30，则C抽到的数字是______．
【答案】15
【分析】设A，B，C，D，E，F六人抽到的数分别为：a，b，c，d，e，f，根据题意列出方程组，即可求解．
【详解】设A，B，C，D，E，F六人抽到的数分别为：a，b，c，d，e，f，
由题意可得：
将所有方程相加，得：，
解得：，
∴，
代入第三个方程，得：，
解得：，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了算术平均数，利用方程思想列出方程组是本题的关键．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）某单位设有6个部门，共153人，如下表：
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是_______．
【答案】5
【分析】各分数人数比为5：2：1：1：1，可以求出100分占总人数，90分占总人数，80、70、60分占总人数的，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总共有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果．
【详解】解：各分数人数比为5：2：1：1：1，
即100分占总参与人数的，
90分占总参与人数的，
80、70、60分占总参与人数的，
各分数人数为整数，即×总参与人数＝整数，
∴总参与人数是10的倍数，
6个部门有153人，
即26+16+22+32+43+14＝153人，
则未参与部门人数个位一定为3，
∴未参与答题的部门可能是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识．
10．（2022秋·八年级课时练习）我们把三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的取值为___________________
【答案】＜k≤1或k＝
【分析】根据题意画出函数的图象，要使直线与函数的图象有且只有2个交点，只需直线经过（2，3）和经过（-1，0）之间，以此进行分析即可．
【详解】解：函数的图象如图所示，
∵直线与函数的图象有且只有2个交点，
当直线经过点（2，3）时，则3=2k+，解得：k=，
当直线经过点（-1，0）时，解得：k=，
当k=1时，平行于y=x+1，与函数的图象也有且仅有两个交点；
∴直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的取值为：＜k≤1或k＝．
故答案为：＜k≤1或k＝．
【点睛】本题考查一次函数的性质以及中位数的概念，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
11．（2023春·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考期中）某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下：
(1)求上月名销售员平均每人完成的销售额；
(2)为了提高大多数销售员的积极性，管理者准备实行“每天定额销售，超额有奖”的措施，如果你是管理者，从平均数，中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？
【答案】(1)万元；
(2)选择中位数定额比较合理；
【分析】（1）根据加权平均数公式直接计算即可得到答案；
（2）求出中位数，众数，根据平均数，中位数，众数分析数据即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
上月名销售员平均每人完成的销售额为：、
（万元）；
（2）解：由题意可得，
中位数为：，众数为：5，
由上述数据可知：当选择中位数时，有5人不达标，选择众数时有2人不达标，当选择平均数时有7人未达标，
∴应该选择中位数定额比较合理；
【点睛】本题考查求加权平均数及根据中位数，众数，平均数做决策，解题的关键是求出几个数．
12．（2023·云南楚雄·统考一模）某中学为调查学生对火灾逃生知识的了解程度，对全校1200名学生进行知识测试，将测试成绩分为5组（其中x表示成绩，单位：分，满分为100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，随机抽取部分学生的成绩进行统计，制作了如下统计图：
由图中给出的信息回答下列问题：
(1) ______， ______；
(2)被抽取的甲同学在这次测试中成绩为85分，他认为自己的成绩是这次测试抽取样本成绩的中位数，他的观点正确吗？请简要说明理由；
(3)若80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．
【答案】(1)20；40
(2)不正确，理由见解析
(3)660人
【分析】（1）根据组的人数与占比求总人数，作差可求值，根据组的人数与总人数的比值求值即可；
（2）判断中位数，然后根据中位数的定义进行判断即可；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知共有（名）
（名）
∵，
∴，
故答案为：20，40；
（2）解：他的观点不正确，理由如下：
总人数为100人，则组共45人，因此成绩从低到高第50名、第51名一定在D组，但这两名学生成绩的平均数不一定是85分，因此他的观点不正确；
（3）解：∵（人）
答：估计全校1200名学生中成绩优秀的人数大约为660人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，中位数，用样本估计总体．解题的关键在于从图中获取正确的信息．
13．（2023·吉林长春·统考一模）为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、、三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、、三类课程的成绩情况统计图如下：
(1)例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生类课程的成绩是80分，类课程的成绩是80分．
①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生类课程的成绩是______分．
②学生丙类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是______分．
(2)在图③中补全这20名学生类课程成绩的频数分布直方图．
（数据分成7组：，，，，， ，）
(3)学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数．
【答案】(1)①90；②65
(2)见解析
(3)75人
【分析】（1）①观察统计图可得出答案．
②观察统计图可得出答案．
（2）由统计图可知，B类课程的成绩在的人数为1人，分数在的人数为6人，即可补全频数分布直方图．
（3）用七年级总人数乘以样本中A类课程成绩优秀的人数占比即可．
【详解】（1）①由统计图可知，
若A类课程的成绩是98分，则该生C类课程的成绩是90分．
故答案为：90．
②由统计图可知，
若C类课程的成绩是45分，则该生B类成绩为70分，A类成绩为80分，
∴平均成绩为
．
故答案为：65．
（2）由统计图可知，
B类课程的成绩在的人数为1人，分数在的人数为6人．
补全频数分布直方图如图．
（3）分数高于分有5人
（人）．
答：该校七年级学生类课程成绩优秀的人数约为75人．
【点睛】本题考查统计图、频数分布直方图、平均数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2023·山东临沂·统考一模）如图，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“，”是指该枚古钱币的直径为，厚度为，质量为．已知这些古钱币的材质相同．
根据图中信息，解决下列问题．
(1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是______，所标厚度的众数是______，所标质量的中位数是______ ．
(2)由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：
请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克．
【答案】(1)45.74；2.3；21.7
(2)21.0克
【分析】（1）利用平均数的计算公式计算平均数；
（2）“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，先其余四个盒子的质量的平均数，进而得出“鹿鹤同春”的实际质量．
【详解】（1）解：这5枚古钱币，所标直径的平均数是：，
这5枚古币的厚度分别为：，，，，，
其中出现了2次，出现的次数最多，
这5枚古钱币的厚度的众数为，
将这5枚古钱币的质量从小到大的顺序排列为：，，，，，
这5枚古钱币的质量的中位数为；
（2）解：“鹿鹤同春”密封盒的质量异常，故“鹿鹤同春”的质量与实际质量差异较大，
其余四个盒子的质量的平均数为：，
，
答：“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0克．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数的意义和计算方法，掌握相关定义是解答本题的关键．
15．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）九龙坡区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区(简称“双创”)为抓手，坚持立德树人，以文化人，协同育人，形成青少年健康成长的良好环境，学校德育处为了解学生对双创的了解情况，从七、八年级各选取了名同学，开展了双创知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析(成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在分及以上为优秀)，下面给出了部分信息：
七年级名同学在组的分数为：，，，；
八年级名同学在组的分数为：，，，，，，，，．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了解情况更好？请说明理由；(写出一条理由即可)
(3)该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】(1)，，
(2)八年级学生对“双创”的了解情况更好，理由见解析；
(3)估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人
【分析】（1）根据中位数的定义，求得第10和第11个数字的中位数求得的值，根据分数在分以上的人数除以总人数求得，根据众数的定义求的值；
（2）根据众数以及优秀率进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体，用850和900分别乘以七、八年级的优秀率即可求解．
【详解】（1）解：∵共有20个数据，
∴中位数是第10个数据和第11个数据的平均数，
∴中位数是，
八年级名同学在组的分数中，出现了次，出现次数最多，
∴，
七年级的优秀率为，
故答案为：，，．
（2）八年级学生对“双创”的了解情况更好．
理由：①八年级学生成绩的中位数大于七年级学生成绩的中位数；
②八年级学生成绩的优秀率大于七年级学生成绩的优秀率；
（3）（人），
答：估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人．
【点睛】本题考查了利用统计图获取信息的能力，求中位数，众数，样本估计总体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题
李明
平时作业
期中考试
期末考试
90
85
88
项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5
成绩应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
9
笔试
8
7
9
上课
7
8
8
现场答辩
8
9
8
项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5
学校
平均数
中位数
众数
甲
79
78
乙
76
次数
6
7
8
9
10
11
人数
3
10
9
5
2
1
甲、乙两人射箭成绩统计表
甲、乙两人射箭成绩折线图
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
自主学习时间/h
0.5
1
1.5
2
2.5
人数/人
1
2
4
2
1
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
70
b
八年级
75
a
74
学校
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
0
0
1
4
2
5
统计量学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81．85
91
268．43
乙
81．95
86
88
115．25
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
七年级
80.8
a
70
八年级
b
80
c
组别
成绩（分）
频数
各组总分/分
5
473
1360
12
900
5
323
2
112
甲校
乙校
平均数
87
87
中位数
87.5
b
方差
79.4
众数
c
95
甲班
乙班
平均数
6.5
a
中位数
b
6
方差
3.45
4.65
优秀率
30%
c
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差/环2
甲
7
7
12
乙
7
8
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
b
8
0.4
乙
a
9
c
3.2
获得义卖现金/元
5
8
10
12
15
人数/人
6
4
3
5
2
班级
人数
中位数
平均数
甲班
27
104
97
乙班
27
106
96
部门
部门1
部门2
部门3
部门4
部门5
部门6
人数
26
16
22
32
43
14
分数
100
90
80
70
60
50及以下
比例
5
2
1
1
1
0
销售额（万元）
3
4
5
6
7
8
销售员人数（人）
1
1
3
2
1
1
1
名称
文星高照
状元及第
鹿鹤同春
顺风大吉
连中三元
总质量/
58.7
58.1
55.2
54.3
55.8
盒标质量
24.4
24.0
13.0
20.0
21.7
盒子质量
34.3
34.1
42.2
34.3
34.1
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
八年级