人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(三)之易错必刷题型专训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练期末重难点特训(三)之易错必刷题型专训(原卷版+解析)，共106页。

题型一 二次根式的有意义的条件
题型二 二次根式的分母有理化问题
题型三 二次根式的化简求值问题
题型四 勾股定理的应用
题型五 勾股定理与折叠问题
题型六 最短路径问题
题型七 利用平行四边形的判定与性质求解
题型八 与三角形中位线有关的求解问题
题型九 特殊平行四边形的折叠问题
题型十 四边形的动点问题
题型十一 四边形的线段最值问题
题型十二 一次函数的图象与性质问题
题型十三 根据一次函数增减性求参数
题型十四 一次函数的应用问题
题型十五 数据的集中趋势与离散程度易错题
【易错题型一 二次根式的有意义的条件】
1．（2023春·八年级单元测试）已知实数满足条件，那么的值为 （ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若，则等于（ ）
A．1B．5C．D．
3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）设x，y均为实数，且，则的值为_______．
4．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）两江新区某校数学兴趣小组同学在学习了二次根式之后对于产生了浓厚的兴趣，他们研究了四个问题，并得到一些结论，其中正确的有_________________．
的值随的变化而变化，当时，此代数式有最小值2；
在的条件下化简的结果为2；
当的值恒为定值时，字母的取值范围是；
若，则字母必须满足．
5．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
材料二：
通过以上材料，完成下列问题：
(1)解关于x的方程；
(2)解关于x的方程．
【易错题型二 二次根式的分母有理化问题】
1．（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）已知，，，那么，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东汕头·八年级校考期中）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；②设有理数a，b满足，则；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（ ）
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．②③④
3．（2023·四川成都·校考二模）若是的小数部分，则______．
4．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）观察解题过程：
①；
②……
化简：______．
5．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
(1)计算：______；____；
(2)计算：；
(3)比较和的大小，并说明理由．
【易错题型三 二次根式的化简求值问题】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）．
A．﹣2B．2C．2D．-2
2．（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．4C．1D．8
3．（2023春·浙江·八年级期中）已知，，则代数式的值是____________；
4．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知，那么的值为__________.
5（2023春·全国·八年级专题练习）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【易错题型四 勾股定理的应用】
1．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O．若点O是的中点，则的长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．

A．8B．12C．16D．20
3．（2023·海南海口·统考一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点M、N；②作直线交于点D． 若，，，则的面积等于_______．
4．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在中，，，，则的长为__________．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，C为线段AB上一点，，，射线于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
(1)【发现、提出问题】①当时，求的值；
②小亮发现PC取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律____________．
(2)【分析、解决问题】请证明你的猜想．
(3)【运用】当时，的周长为_____________．
【易错题型五 勾股定理与折叠问题】
1．（2023·河北张家口·统考一模）如图，中，，，．将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l的长为（ ）
A．B．C．5D．3
2．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为_____．
4．（2023·河南郑州·校考二模）如图，在中，，，，点E是边上一点，且，点F是边上一动点，连接，与关于EF所在的直线对称，连接，当点P恰好在直角直角边的垂直平分线上时，的长为______．
5．（2023春·广东东莞·八年级虎门五中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求折痕的长．
【易错题型六 最短路径问题】
1．（2023春·安徽·八年级期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．12
3．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程_________cm
4．（2023·山东德州·统考一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为________米．
5．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校联考期中）如图1，为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设．
(1)用含的代数式表示的长为________；
(2)求的最小值________；
(3)根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
【易错题型七 利用平行四边形的判定与性质求解】
1．（2023春·北京·八年级校联考期中）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论中不成立的是( )
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
3．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，且，过O作 交 于点E，若 的周长为 ，则平行四边形的周长为____．

4．（2023春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________．

5．（2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在中，点是对角线的中点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接并延长交于点．

(1)求证：；
(2)过点作于点，延长交于点，．
①求证：；
②若，求的长．
【易错题型八 与三角形中位线有关的求解问题】
1．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在中，对角线、相交于点O，，E，F，G分别是的中点，点N为与的交点．下列结论：①；②；③平分；④，其中必定正确的结论是（ ）
A．①②④B．①③C．①②③D．③④
2．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考阶段练习）如图， 的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在四边形中，已知，M、N、P分别是、、的中点，，，则的度数为 ___________．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．
5．（2023·北京东城·统考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【易错题型九 特殊平行四边形的折叠问题】
1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在矩形中，点、分别在边、上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，正方形中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山东济南·统考一模）已知正方形，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，若是以为底的等腰三角形，则的度数为______ ．
4．（2023·山东威海·统考一模）如图①，将一张正方形纸片对折，得到折痕，再折出矩形的对角线．如图②，将折到上，点A落在上的点处，折痕为．若，则_______．
5．（2023·河南周口·统考一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：在正方形纸片的边上取一点E，沿折叠，得到折线，把纸片展平；
操作二：对折正方形纸片，使点C和点E重合，得到折线把纸片展平．
根据以上操作，判断线段的大小关系是______，位置关系是______．
(2)深入探究
如图2，设与交于点I．小华测量发现，经过思考，他连接，并作的高，尝试证明，．请你帮助完成证明过程．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点I是的三等分点时，请直接写出的长．
【易错题型十 四边形的动点问题】
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.5
2．（2022秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）
A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2
4．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s．
4．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______．
5．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，，点P从点B出发，沿射线方向运动；点Q从点D同时出发，沿方向运动，到点A 为止，运动的时间为t．

(1)若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
(2)若点 P 的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
【易错题型十一 四边形的线段最值问题】
1．（2023·四川德阳·统考二模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．
【易错题型十二 一次函数的图象与性质问题】
1．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）已知一次函数和，则函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴．可移动的直线：，从直线的位置出发，沿轴正方向平移，平移距离为，有以下结论：①当时，直线的表达式为；②若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，则；③当时，点和点关于直线对称．其中正确的有（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为的中点，的顶点C在x轴上，顶点E在直线上，则的面积为______．

4．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________．
5．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l上有一点，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，点B恰好在直线l上．

(1)写出点B的坐标，并求出直线l的表达式；
(2)如果点C在y轴上，且，求点C的坐标．
【易错题型十三 根据一次函数增减性求参数】
1．（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（ ）
A．B．C．7D．11
2．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
3．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数的图象如图所示，则下列说法：①，；②是方程的解；③若点，、，是这个函数的图象上的点，且，则；④当，函数的值，则．其中正确的序号为___________．
4．（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______．
5．（2023春·北京海淀·八年级校考阶段练习）探究函数的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
第一步：的自变量的取值范围是全体实数；
第二步：x与y的几组对应值：
(1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)第四步：的函数图象，得出了如下几条结论：
①当 时，函数有最小值为 ；
②当 时（填写自变量取值范围），随的增大而增大；当 时（填写自变量取值范围），随的增大而减少；
③图象关于过点 且垂直于x轴的直线对称；
④函数与有一个交点，k的取值范围是 ．
【易错题型十四 一次函数的应用问题】
1．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为( )
A．36B．48C．D．16
2．（2023春·四川宜宾·八年级校考阶段练习）某通讯公司推出一种每月话费的套餐，其用户应缴费用s（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示，若某用户缴费40元，则其通话时间为（ ）
A．120分钟B．160分钟C．180分钟D．200分钟
3．（2023·北京顺义·统考一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案__________；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是_________．
4．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差________分钟．
5．（2023·云南昆明·统考一模）云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表：
(1)已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价；
(2)为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？
【易错题型十五 数据的集中趋势与离散程度易错题】
1．（2023年湖南省永州市中考模拟数学试题）第1组数据为：0，0，0，1，1，1，第2组数据有m个0还有n个1：其中m，n是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．③④
2．（2023·安徽合肥·统考二模）为了解跳水运动员的冬训情况，教练从16名队员中随机选8位队员进行“规定动作跳水”测试，得分如下（满分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是（ ）
A．这组数据的众数是9，说明全体队员的平均成绩达到9分
B．这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小
C．这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是8分
D．这组数据的中位数是8，说明得8分以上的人数占大多数
3．（2022春·八年级单元测试）某鱼塘放养鱼苗万条根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为．一段时间后准备打捞出售第一次网出条，称得平均每条鱼重千克，第二次网出条，称得平均每条鱼重千克，第三次网出条，称得平均每条鱼重千克，鱼塘中的鱼总质量大约是_____________万千克精确到万位
4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知两组数据3，，5，与，4，的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是________．
5．（2023·陕西西安·校考三模）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末数学成绩情况，决定对该年级学生期末考试数学考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：
(1)收集数据：若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法最合理的是______．（只填写序号）
①随机抽取两个班级的96名学生；
②在全年级学生中随机抽取96名学生；
③全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；
④从全年级学生中随机抽取96名男生．
(2)整理数据：将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下，根据图表中数据填空：
①A类成绩的频数为______，C类部分的圆心角度数为______；
②估计全年级A、B类学生大约一共有多少名？
(3)分析数据：第一中学为了解学校教学情况，将第二中学九年级的抽样数据和本校进行对比，得表：

你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请任选一个角度来解释你的观点．
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
解：两边平方得：．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．
方法一证明：如图，过点C作，交的延长线于点F．
方法二证明：如图，延长到点F，使得，连接．
x
…
0
1
…
y
…
2
1
0
1
2
…
种别
玫瑰鲜花饼
茉莉鲜花饼
进价（元/盒）
30
45
备注
①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒；②茉莉鲜花饼不少于20盒；
成绩（单位：分）
频数
频率
A类（80～100）
0.5
B类（60～79）
0.25
C类（40～59）
16
D类（0～39）
8
学校
平均分（分）
方差
中位数（分）
第一中学
73
432
80
第二中学
71
497
83
期末重难点特训（三）之易错必刷题型专训
【题型目录】
题型一 二次根式的有意义的条件
题型二 二次根式的分母有理化问题
题型三 二次根式的化简求值问题
题型四 勾股定理的应用
题型五 勾股定理与折叠问题
题型六 最短路径问题
题型七 利用平行四边形的判定与性质求解
题型八 与三角形中位线有关的求解问题
题型九 特殊平行四边形的折叠问题
题型十 四边形的动点问题
题型十一 四边形的线段最值问题
题型十二 一次函数的图象与性质问题
题型十三 根据一次函数增减性求参数
题型十四 一次函数的应用问题
题型十五 数据的集中趋势与离散程度易错题
【易错题型一 二次根式的有意义的条件】
1．（2023春·八年级单元测试）已知实数满足条件，那么的值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若，则等于（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】D
【分析】利用二次根式中的被开方数是非负数，可列出关于x的一元一次不等式组，从而可求出，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的应用，有理数的乘方运算．掌握二次根式中被开方数是非负数是解题关键．
3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）设x，y均为实数，且，则的值为_______．
【答案】
【分析】先根据二次根式的定义求出和的值，然后再将和的值代入要求得式子即可；
【详解】解：由二次根式的性质可得：
，
，
将代入中得：，
，
将，代入上式得：原式．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简等知识点，熟知二次根式有意义的条件的运用是解题关键．
4．（2023春·重庆渝北·八年级为明学校校考阶段练习）两江新区某校数学兴趣小组同学在学习了二次根式之后对于产生了浓厚的兴趣，他们研究了四个问题，并得到一些结论，其中正确的有_________________．
的值随的变化而变化，当时，此代数式有最小值2；
在的条件下化简的结果为2；
当的值恒为定值时，字母的取值范围是；
若，则字母必须满足．
【答案】
【分析】分别根据完全平方公式对代数式进行化简，根据绝对式的性质分情况讨论，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴代数式有最小值随随的变化而变化，
当时， ，
当时，，
当时，，
∴，
故和正确，
∵，
当时，，
当时，，
故正确；
∵，故无论a为何值，均成立，
故错误，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式、绝对值和二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．
5．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
材料二：
通过以上材料，完成下列问题：
(1)解关于x的方程；
(2)解关于x的方程．
【答案】(1)；
(2)无解
【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．
【详解】（1）解：两边平方得：．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为；
（2）解：两边平方得：．
解得：．
检验：当时，，即是增根．
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根．
【易错题型二 二次根式的分母有理化问题】
1．（2023春·安徽合肥·八年级中国科技大学附属中学校考期中）已知，，，那么，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分别计算，，的倒数，然后再进行比较，即可解答．
【详解】解：，，，
，
，，都是正数，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小比较，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
2．（2023春·广东汕头·八年级校考期中）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
①；②设有理数a，b满足，则；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（ ）
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．②③④
【答案】B
【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断．
【详解】解：①，故正确；
②，
∴，故错误；
③，
，
∵，
∴，故正确；
④∵，而，
∴，故错误；
⑤
，故正确；
正确的有①③⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（2023·四川成都·校考二模）若是的小数部分，则______．
【答案】/
【分析】先估算无理数的大小，得出，然后将值代入，结合二次根式的性质和平方差公式进行化简即可得出答案．．
【详解】，
，
的整数部分是2，小数部分是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数估算大小，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则和性质是解题关键．
4．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）观察解题过程：
①；
②……
化简：______．
【答案】
【分析】根据阅读材料先分母有理化，然后合并即可．
【详解】原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
(1)计算：______；____；
(2)计算：；
(3)比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据分母有理化的定义及方法，即可求解；
（2）根据分母有理化的定义及方法，即可求解；
（3）利用倒数法比较大小及分母有理化的方法，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）解：
（3）解：，，
．
【点睛】本题考查了分母有理化的定义及方法，利用倒数法比较大小，熟练掌握和运用分母有理化的方法是解决本题的关键．
【易错题型三 二次根式的化简求值问题】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）．
A．﹣2B．2C．2D．-2
【答案】B
【分析】根据所给字母的值，直接代入求值即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到分母有理化及实数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
2．（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．4C．1D．8
【答案】A
【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级期中）已知，，则代数式的值是____________；
【答案】
【分析】根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可．
【详解】，，
，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键．
4．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知，那么的值为__________.
【答案】
【分析】根据已知条件求出的值，再由：，即可得出答案．
【详解】解:，得：
，
，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出，再将化为平方形式，再化回来是关键．
5（2023春·全国·八年级专题练习）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)___________；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先将每一项分母有理化，然后合并即可；
（3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）
故答案为：
（2）解：原式=
；
（3），
，
，即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【易错题型四 勾股定理的应用】
1．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O．若点O是的中点，则的长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】连接，根据基本作图，以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E, 并且点O是的中点，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出，设，那么，再利用勾股定理求出的长，即可得到的长．
【详解】解：连接，如图所示：

根据题意得：点E到线段两端的距离相等、，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和解三角形，熟练掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．

A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积之和为
，
∵正方形的面积为，
∴即，
∴，
∴阴影部分的面积之和为16．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、梯形的面积、三角形的面积，解答的关键是理解题意，找寻图形中线段间的关系，然后利用勾股定理和梯形的面积公式以及转化的思想方法求解．
3．（2023·海南海口·统考一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点M、N；②作直线交于点D． 若，，，则的面积等于_______．
【答案】14
【分析】连接，由题意可得：是的垂直平分线，证明是等腰直角三角形即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意可得：是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键．
4．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图，在中，，，，则的长为__________．
【答案】/
【分析】过点作交于，求出，推出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，相加即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作交于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，C为线段AB上一点，，，射线于点C，P为射线CD上一点，连接PA，PB．
(1)【发现、提出问题】①当时，求的值；
②小亮发现PC取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律____________．
(2)【分析、解决问题】请证明你的猜想．
(3)【运用】当时，的周长为_____________．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)18
【分析】（1）①根据勾股定理先求出、的值，再计算即可得出答案；
②根据勾股定理可猜想为定值12；
（2）设，根据勾股定理表示出、再代入即可得出答案；或根据垂直及勾股定理即可得证；
（3）根据及平方差公式即可得出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】（1）①∵，，，，
∴，．
∴．
②当PC取不同值时，为定值12
故答案为
（2）设，
则有，
∴．
或∵，
∴，
∴．
∴．
（3）由（1）得，
即
，，
的周长为．
故答案为18
【点睛】本题考查了勾股定理、平方差公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【易错题型五 勾股定理与折叠问题】
1．（2023·河北张家口·统考一模）如图，中，，，．将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l的长为（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】A
【分析】由勾股定理求出，设，运用等积法可求出，再用勾股定理求出即可．
【详解】解：中，，，．
∴，
设，
∵
∴，
解得．
中，
∴
的长为．
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点E作于点M，先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出，继而利用三角形的面积公式求出，再求出,，利用三角形的面积求解即可．
【详解】过点E作于点M，
∴，
在直角三角形，，，，
∴，
∵把沿着翻折，得到，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴,，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．
3．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的长为_____．
【答案】
【分析】首先证明是等腰直角三角形，利用面积法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】
解：根据折叠的性质可知：，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理得：，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出、是解决问题的关键．
5．（2023·河南郑州·校考二模）如图，在中，，，，点E是边上一点，且，点F是边上一动点，连接，与关于EF所在的直线对称，连接，当点P恰好在直角直角边的垂直平分线上时，的长为______．
【答案】或
【分析】分两种情况①当P落在边的垂直平分线上时；②当P落在边的垂直平分线上时；由折叠的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】解：①当点在的垂直平分线上时，过点作于点如图1，
则
由折叠得，，
又
；
在中，
；
②当点落在边的垂直平分线上，且点在线段上时，过点作于点，如图2
则
在中，，
故答案为：或
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
5．（2023春·广东东莞·八年级虎门五中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形纸片的边在x轴的正半轴上，点D与点O重合，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B，D两点重合，折痕为．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求折痕的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）由可得，又由折叠的性质可得：，即可证得，即可；
（2）根据点B坐标为，可得，设，则，在中，根据勾股定理可求出x的值，即可；
（3）由（2）可得，可求得点E，F的坐标，即可求得折痕的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴；
（2）解：∵点B坐标为，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：由（2）得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【易错题型六 最短路径问题】
1．（2023春·安徽·八年级期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可知即为最短距离，然后根据勾股定理求解．
【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于的对称点，过点B作于点C，
∵形容器高为，点A处离杯上沿，点B处离杯底，
∴，，
∴，
∵底面周长为，
∴，
根据勾股定理可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开，最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键．
2．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．12
【答案】A
【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段到，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段到的距离，再进行比较即可．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是，
蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是．
，最短路径的长是．
故选A．
【点睛】此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引起同学们的注意．
3．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程_________cm
【答案】
【分析】最短路线可放在平面内根据两点之间线段最短去求解，蚂蚁爬的两个面可以放平面内成为一个长方形，根据勾股定理去求解．
【详解】解：的长就为最短路线．
如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为，
如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为，
如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为；
∵ ，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，关键是把立体图形能够展成平面图形求解．
4．（2023·山东德州·统考一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为________米．
【答案】
【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：平面展开图为：
（米），
故答案为．
【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．熟悉立体图形中两点间最短路径问题的计算方法是解题的关键．
5．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校联考期中）如图1，为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，设．
(1)用含的代数式表示的长为________；
(2)求的最小值________；
(3)根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)图见详解，最小值为
【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）过点A作，垂足为点F，连接，则有，要使的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为的长，然后问题可求解；
（3）取为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，然后同理（2）可进行求解．
【详解】（1）解：，，
和是直角三角形，
，，，设，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：；
（2）解：过点A作，垂足为点F，连接，如图所示：
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
，
∴要使的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为的长，
的最小值；
（3）解：取为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接、．已知，，，如图所示：
设，则根据勾股定理可得：，
∴，
同理（2）可知的最小值即为点A与点E之间的距离，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【易错题型七 利用平行四边形的判定与性质求解】
1．（2023春·北京·八年级校联考期中）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论中不成立的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故A正确；由于，得到，故B正确，根据，，且，得到，故C错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故D正确．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
平分，
,
是等边三角形，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，故B正确，
，，
，
，故C错误；
，，
，
，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
2．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【答案】A
【分析】延长交于点，先证明，再证明，利用中位线定理，平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
是的中位线，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练运用平行线的性质，平行四边形的性质，中位线的性质是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，且，过O作 交 于点E，若 的周长为 ，则平行四边形的周长为____．

【答案】
【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为，即可求得平行四边形的周长．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴是的垂直平分线，即，
∵ 的周长为 ，
∴，即 ，
∴ 平行四边形 的周长为 ；
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
4．（2023春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________．

【答案】9
【分析】根据平行线的性质得出，，，，证明，得出，同理得出，求出，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵、分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，数形结合．
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在中，点是对角线的中点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接并延长交于点．

(1)求证：；
(2)过点作于点，延长交于点，．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②2
【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再根据等边对顶角得到，即可证明；
（2）①如图所示，过作于，交于，过作于，则， 则，由三线合一定理得到，，证明，设，则，，即可证明；②先证明，得到，由等腰直角三角形的性质得到，，则．再证明，得到，即可推出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵以点为圆心，为半径作弧，交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，过作于，交于，过作于，则，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
则，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【易错题型八 与三角形中位线有关的求解问题】
1．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在中，对角线、相交于点O，，E，F，G分别是的中点，点N为与的交点．下列结论：①；②；③平分；④，其中必定正确的结论是（ ）
A．①②④B．①③C．①②③D．③④
【答案】B
【分析】①根据E，F，G分别是的中点得到，，再根据平行四边形的判定和性质证明即可；②先证明，然后用反证法证明即可；③先根据得到，再根据等要三角形三线合一判断即可；④若，则可证明，而与不一定相等．
【详解】解：∵E，F，G分别是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵点E是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即．
若，则，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故②错误；
∵，点E是的中点，
∴平分，故③正确；
∵四边形是平行四边形，
∴,
若，
又∵，
∴，而与不一定相等，
∴不一定成立，故④不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，反证法，以及等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考阶段练习）如图， 的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴E是的中点，
∴，
∵的对角线，交于点，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故④正确，
故正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、等边对等角、中位线的性质，解本题的关键在证得是等边三角形．
3．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在四边形中，已知，M、N、P分别是、、的中点，，，则的度数为 ___________．
【答案】/23度
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：、N、P分别是、、的中点，
为的中位线，为的中位线，
，，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正确．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
5．（2023·北京东城·统考一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】证明见解析
【分析】方法一，证明，则，，，，证明四边形是平行四边形，则，，进而结论得证；
方法二，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，，进而结论得证．
【详解】方法一，证明：∵点D，E分别是的边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
方法二，证明：∵点D，E分别是的边的中点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【易错题型九 特殊平行四边形的折叠问题】
1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，在矩形中，点、分别在边、上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
，
，，
，，
，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，正方形中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；由于，求得面积比较即可．
【详解】解：①正确．理由：
，，，
；
②正确．理由：
，设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，
解得．
；
③正确．理由：
，，
，
是等腰三角形，．
又；
，，
，
；
④错误．理由：
，，和等高，
，
．故④不正确．
错误的个数有1个．
故选：A．
【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
3．（2023·山东济南·统考一模）已知正方形，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，若是以为底的等腰三角形，则的度数为______ ．
【答案】15
【分析】先连接，即可，进而得到，进而得出是等边三角形，结合折叠的性质即可得到的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，，
．
故答案为：．
【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
4．（2023·山东威海·统考一模）如图①，将一张正方形纸片对折，得到折痕，再折出矩形的对角线．如图②，将折到上，点A落在上的点处，折痕为．若，则_______．
【答案】/
【分析】连接，由折纸第一步，可知，在中，根据勾股定理得出，则．设，则，在和中，根据勾股定理由不变得出，列出关于x的方程，解方程求出．
【详解】如图，连接，
∵，则．
在中，，
则．
设，则，
在和中，，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠问题和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023·河南周口·统考一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：在正方形纸片的边上取一点E，沿折叠，得到折线，把纸片展平；
操作二：对折正方形纸片，使点C和点E重合，得到折线把纸片展平．
根据以上操作，判断线段的大小关系是______，位置关系是______．
(2)深入探究
如图2，设与交于点I．小华测量发现，经过思考，他连接，并作的高，尝试证明，．请你帮助完成证明过程．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点I是的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）作于点J，折叠的性质知是线段的垂直平分线，证明，推出即可；
（2）证明，推出，证明，推出，再证明，据此即可得到结论；
（3）设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）解：，，理由如下，
作于点J，
由折叠的性质知是线段的垂直平分线，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：作的高，
由折叠的性质知是线段的垂直平分线，且，
∴，
∴，
又，即，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
当点I是靠近点A的的三等分点，
∴，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴．
同理当点I是靠近点B的的三等分点时，；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明证明，是解题的关键．
【易错题型十 四边形的动点问题】
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.5
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM=2t-4=3和AM=16-2t=3即可求得．
【详解】解：如图，当点M在BC上时，
∵△ABM′和△DCE全等，
∴BM=CE，
由题意得：BM′=2t-4=3，
所以t=3.5（秒）；
当点M在AD上时，
∵△ABM″和△CDE全等，
∴AM″=CE，
由题意得：AM″=16-2t=3，
解得t=6.5（秒）．
所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握正方形的性质．
2．（2022秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）
A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2
【答案】D
【分析】根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.
【详解】解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=（秒）.
综上t的值为2.5或2.
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．
4．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s．
【答案】或
【分析】分两种情况：①时，则四边形为平行四边形；②时，过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；分别计算即可．
【详解】解：由题意可知，，
若，分两种情况：
①时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
②时，
过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴，
解得：，
综上所述，当t的值为或时，．
故答案为：或
【点睛】本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______．
【答案】4.8或8或9.6
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
当点Q的运动路线是C—B时，则12-4t=12-t，
解得：t=0，不符合题意；
点Q的运动路线是C—B—C，则4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
点Q的运动路线是C—B—C—B，则12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
点Q的运动路线是C—B—C—B—C，则4t一36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
5．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，，点P从点B出发，沿射线方向运动；点Q从点D同时出发，沿方向运动，到点A 为止，运动的时间为t．

(1)若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；
(2)若点 P 的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
【答案】(1)秒或5秒
(2)或
【分析】（1）由题意可知，，，分两种情况讨论：①当点P在线段上时；②当点P在线段的延长线上时，表示出的长，根据平行四边形的性质列方程求解即可得到答案；
（2）由题意可知， ，，分两种情况讨论：①当点P在线段上时，根据菱形的性质，得到，进而求得，即可得到答案；②当点P在线段的延长线上时，先利用勾股定理，求出，然后根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理求出，进而求得，即可得到答案．
【详解】（1）解：平行四边形中，，，
，，
由题意可知，，，
①当点P在线段上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：秒；
②当点P在线段的延长线上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：秒，
综上可知，当t的值为秒或5秒时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形；
（2）解：由题意可知， ，，
①当点P在线段上时，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，即；
②如图，当点P在线段的延长线上时，，

四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上可知，当或时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【易错题型十一 四边形的线段最值问题】
1．（2023·四川德阳·统考二模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，连接与相交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O是菱形的中心，
连接，取中点M，连接，，则，为定长，
∵菱形的边长为8，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵M是的中点，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，，
∵，
当A，M，G三点共线时，最小为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．
2．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
为中点，
，
即值是．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．
3．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点P作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的最小值为：，
故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______．
【答案】13
【分析】连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13．
【详解】解：连接、，如图：
，，，
四边形为矩形，
，
四边形是正方形，
由正方形的对称性可得，
，
，
当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图：
，，
，
，
的最小值为13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求的最小值问题转化成求的长．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论；
（3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即可．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．
理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，
∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
（3）连接EF，连接EM交BD于P，
∵四边形DEBF是菱形，
∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，
∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，
∴∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，又BE=2，
∴EM=，即PF+PM的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．
【易错题型十二 一次函数的图象与性质问题】
1．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）已知一次函数和，则函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图形的性质，结合和的图象，即可得到答案．
【详解】解：由解析式与图象可得，两个函数的交点的横坐标为，
①当，则，，、的图象都经过一、三、四象限，
故此时D符合题意；
②当，则，，、的图象都经过一、二、四象限，
此时都不符合题意；
③当，则，，的图象都经过一、二、三象限，的图象都经过二、三、四象限，
此时都不符合题意；
④当，则，，的图象都经过二、三，四象限，的图象都经过一、二、三象限，
此时都不符合题意；
满足题意的只有D．
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴．可移动的直线：，从直线的位置出发，沿轴正方向平移，平移距离为，有以下结论：①当时，直线的表达式为；②若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，则；③当时，点和点关于直线对称．其中正确的有（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】根据一次函数的平移得出右平移个单位，得到直线，即可判断①，根据若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，可得，即可判断②，根据，得出直线，根据坐标系得出的坐标，求得中点坐标在直线上，即可判断③，据此即可求解．
【详解】解：∵直线，右平移个单位，得到直线，
故①正确；
当直线经过点时，即
解得：，
即，由①可得
当直线经过点时，即
解得：，
即，则，
∴若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，则；故②错误，
③当时，直线
∵矩形的顶点，，且轴．
∴
∴的中点为，即，
又，当时，，
即在直线上，
∴点和点关于直线对称．故③正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键．
3．（2023·辽宁铁岭·校考二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为的中点，的顶点C在x轴上，顶点E在直线上，则的面积为______．

【答案】4
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据题意以及平行四边形的性质得出、的长，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．
【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴点D的坐标为，
∴把代入得：，
∴点E的坐标为，
∴，
∴；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各边的长是解本题的关键．
4．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，将直线绕点顺时针旋转45°，交轴于点，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据已知条件得，求得，过A作交BC于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，求出直线的函数表达式，进而可求出点C的坐标．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴令，得，令，则，
∴，
∴，
过A作交于F，过F作轴于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
设直线的函数表达式为：，
把F的坐标代入得，，
解得，
∴直线的函数表达式为：，
当时，，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l上有一点，将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，点B恰好在直线l上．

(1)写出点B的坐标，并求出直线l的表达式；
(2)如果点C在y轴上，且，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据平移的性质即可得到点B的坐标，根据A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出直线l的表达式；
（2）根据等腰三角形的性质，得到，根据点O的坐标和的长度，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：设
∵，且点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，
∴，，
∴,
设直线l的表达式为：，
∵，在直线l上，
∴，
解方程组得：，
故直线l的表达式为：；
（2）解：如下图所示，过点A作轴，垂足为O，

∵在y轴上，点C在y轴上，轴，
∴，,
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角坐标系中的点坐标、点的平移、一次函数的解析式和等腰三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质求出点B的坐标．
【易错题型十三 根据一次函数增减性求参数】
1．（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（ ）
A．B．C．7D．11
【答案】B
【分析】先根据一次函数的图象经过点求出一次函数的解析式，从而得到随的增大而减小，由于自变量的取值范围是，因此当时，最小为，即可得到答案．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
，
一次函数的解析式为：，
随的增大而减小，
自变量的取值范围是，
当时，最小为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数的增减性，是解题的关键．
2．（2023秋·山东淄博·七年级统考期末）如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．
【详解】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
当时，，
∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，
∴当时，，即，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键．
3．（2021秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数的图象如图所示，则下列说法：①，；②是方程的解；③若点，、，是这个函数的图象上的点，且，则；④当，函数的值，则．其中正确的序号为___________．
【答案】①②③④
【分析】图象过第一，二，四象限，可得，，可判定①；根据增减性，可判断③④，由图象与轴的交点可判定②．
【详解】解：图象过第一，二，四象限，
，；故①正确
由图象知，该直线与轴的交点坐标是，则是方程的解，
故②正确；
随增大而减小，
，
，
，
；故③正确
当时，，
当时，；时，，
代入得，
解得；故④正确
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象的性质，关键是灵活运用一次函数图象的性质．
4．（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______．
【答案】
【分析】根据可知函数的随的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于的不等式求解即可．
【详解】解：
函数的随的增大而增大
当时，函数的函数值为边界值，
边界值小于3
，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键．
5．（2023春·北京海淀·八年级校考阶段练习）探究函数的图象与性质．
小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
第一步：的自变量的取值范围是全体实数；
第二步：x与y的几组对应值：
(1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)第四步：的函数图象，得出了如下几条结论：
①当 时，函数有最小值为 ；
②当 时（填写自变量取值范围），随的增大而增大；当 时（填写自变量取值范围），随的增大而减少；
③图象关于过点 且垂直于x轴的直线对称；
④函数与有一个交点，k的取值范围是 ．
【答案】(1)作图见解析；
(2)①，0；②；③；④或或．
【分析】（1）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（2）①根据图像即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图像，可知x的取值范围；③函数图像即可求得点的坐标；④根据函数图象的特征即可求解．
【详解】（1）解：描点，并画出函数的图象如下：
（2）解：①由图可知，当时，函数有最小值，
故答案为，0；
②由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时（填写自变量取值范围），随的增大而减少，
故答案为；
③由图像可知，图象关于x=-1成轴对称，
∴图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，
故答案为；
④∵，
∴当时，函数与平行，当时，函数与平行，
∴当或时，函数与有一个交点，
另外当函数过点时，有，即时，函数与有一个交点，
故答案为或或．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
【易错题型十四 一次函数的应用问题】
1．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为( )
A．36B．48C．D．16
【答案】B
【分析】根据题意画出相应的图形，由平移的性质得到向右平移到位置时，四边形为平行四边形，点与点重合，此时在直线上，根据坐标得出的长，即为的长，平行四边形的面积由底，高，利用面积公式求出即可．
【详解】解：如图所示，
A(1,0),B(7,0),C(1,8)
当向右平移到位置时，四边形为平行四边形，点与点重合，此时在直线上，
，
，
将代入中得：，即，
，，即，
，
则线段扫过的面积．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平移的性质，以及平行四边形面积求法，作出相应的图形是解本题的关键．
2．（2023春·四川宜宾·八年级校考阶段练习）某通讯公司推出一种每月话费的套餐，其用户应缴费用s（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示，若某用户缴费40元，则其通话时间为（ ）
A．120分钟B．160分钟C．180分钟D．200分钟
【答案】D
【分析】设s（元）与通话时间t（分）之间的关系，利用待定系数法求出，再把代入求解即可得到答案．
【详解】解：设s（元）与通话时间t（分）之间的关系，把点代入得，
解得，
即s（元）与通话时间t（分）之间的关系，
当时，，解得，
即某用户缴费40元，则其通话时间为分钟．
故选：D
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．（2023·北京顺义·统考一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案__________；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是_________．
【答案】 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【分析】设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则
，
整理得：，
∵，，都为非负整数，
∴当时，，，
∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；
设住宿总费用为：元，而，则



，
∵，
∴当最大，有最小值，
∵，，，都为非负整数，
∴时最大，
此时，；
∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间．
故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键．
4．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差________分钟．
【答案】30
【分析】用待定系数法分别求出A、B方案的函数解析式，把代入解析式求得A、B方案所用的时间，即可求出结果．
【详解】解：A方案：把、代入得：
，解得：，
∴，
∴A方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为：，
∴时，，解得：，
∴A方案通话195分钟，
B方案：把、代入得：
，解得：，
∴，
∴B方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为：
，
∴时，，解得：，
∴B方案通话225分钟，
∴（分），
故答案为：30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，明确题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
5．（2023·云南昆明·统考一模）云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表：
(1)已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价；
(2)为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒
(2)购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元
【分析】（1）设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，根据“单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒”列方程求解即可；
（2）设购进玫瑰鲜花饼a盒，商店利润为W元，根据用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒，茉莉鲜花饼不少于20盒，可得，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
答：玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒．
（2）解：设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元．
由题意得：，
根据题意得：，解得，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，，
此时，，
答：购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，涉及一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
【易错题型十五 数据的集中趋势与离散程度易错题】
1．（2023年湖南省永州市中考模拟数学试题）第1组数据为：0，0，0，1，1，1，第2组数据有m个0还有n个1：其中m，n是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．③④
【答案】B
【分析】①求出第1组、第2组平均数进行比较；
②求出时，第2组数据的平均数，然后进行比较；
③求出第1组数据的中位数，当时，若为奇数，为偶数，分情况讨论求出第2组数据的中位数进行比较；
④求出第1组、第2组方差进行比较．
【详解】解：①第1组平均数为：，
当时，第2组平均数为：，
∴①正确；
②当时，，
，
∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；
∴②错误；
③第1组数据的中位数，
当时，若为奇数，第2组数据的中位数是1，若为偶数，第2组数据的中位数是1，
∴当时，第2组数据的中位数是1，
∴当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；
∴③正确；
④第1组数据的方差：，
当时，第2组数据的方差：，
∴当时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差；
∴④错误；
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义，掌握平均数，中位数，方差的计算，其中分情况讨论是解题关键．
2．（2023·安徽合肥·统考二模）为了解跳水运动员的冬训情况，教练从16名队员中随机选8位队员进行“规定动作跳水”测试，得分如下（满分10分）：10，6，9，9，7，8，9，6，则以下判断正确的是（ ）
A．这组数据的众数是9，说明全体队员的平均成绩达到9分
B．这组数据的方差是2，说明这组数据的波动很小
C．这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是8分
D．这组数据的中位数是8，说明得8分以上的人数占大多数
【答案】C
【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的确定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：将数据进行排序： 6，6，7，8，9，9，9，10；
∴众数为：；中位数为：；
平均数为：；
方差为：；
A、这组数据的众数是9，但是众数不能说明全体队员的平均成绩达到9分，故选项A错误；
B、这组数据的方差是2，不能说明这组数据的波动大小，因为波动大小是相对的，故选项B错误；
C、这组数据的平均数是8，可以估计队内其它队员的平均成绩大约也是8分，故选项C正确；
D、这组数据的中位数是，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查众数，平均数，方差，中位数．熟练掌握众数，平均数，方差，中位数的确定方法，是解题的关键．
3．（2022春·八年级单元测试）某鱼塘放养鱼苗万条根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为．一段时间后准备打捞出售第一次网出条，称得平均每条鱼重千克，第二次网出条，称得平均每条鱼重千克，第三次网出条，称得平均每条鱼重千克，鱼塘中的鱼总质量大约是_____________万千克精确到万位
【答案】24
【分析】求出3次捕捞的鱼每条鱼的平均重量，用这个平均重量估计整个池塘的鱼的重量.
【详解】解：∵平均每条鱼的重量：（千克）;
∴池塘中鱼的重量：（千克），
∵，
故答案为：24.
【点睛】本题考查平均数的计算，解题的关键是计算出每条与的平均重量.
4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知两组数据3，，5，与，4，的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是________．
【答案】5
【分析】首先根据平均数的定义列二元一次方程组并求出的值，即可确定两组数据的值，再将数据合并，按从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义确定这组新数据的中位数即可．
【详解】解：根据题意，
可得，解得，
∴这两组数据为3，12，5，4与6，4，8，
将这两组数据合并后，按从小到大的顺序排序为3，4，4，5，6，8，12，
∴这组新数据的中位数是5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数以及二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意列二元一次方程组求出的值．
5．（2023·陕西西安·校考三模）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末数学成绩情况，决定对该年级学生期末考试数学考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：
(1)收集数据：若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法最合理的是______．（只填写序号）
①随机抽取两个班级的96名学生；
②在全年级学生中随机抽取96名学生；
③全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；
④从全年级学生中随机抽取96名男生．
(2)整理数据：将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下，根据图表中数据填空：
①A类成绩的频数为______，C类部分的圆心角度数为______；
②估计全年级A、B类学生大约一共有多少名？
(3)分析数据：第一中学为了解学校教学情况，将第二中学九年级的抽样数据和本校进行对比，得表：

你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请任选一个角度来解释你的观点．
【答案】(1)②③
(2)①48、；②估计全年级A、B类学生大约一共有432名
(3)第一中学的教学效果较好，因为第一中学的平均成绩大、方差小，学生总体成绩波动不大
【分析】（1）根据随机抽样定义即可判断②③比较合理；
（2）①根据表格数据可得A类频数和C类部分所占样本容量的百分比进而可得圆心角度数；②根据表格数据中A类、B类的频数，即可估计全年级A类、B类学生大约一共的人数；
（3）根据同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，根据平均数和方差的意义即可得到答案．
【详解】（1）解：若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，认为以下抽样方法中比较合理：
②在全年级学生中随机抽取96名学生；
③全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；
故答案为：②③；
（2）解：①A类成绩的频数为，
C类部分的圆心角度数为，
故答案为：48、；
估计全年级A、B类学生大约一共有：
（名）；
（3）解：第一中学的教学效果较好，
因为第一中学的平均成绩大、方差小，学生总体成绩波动不大．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、方差，解决本题的关键是掌握以上知识．
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
解：两边平方得：．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．
方法一证明：如图，过点C作，交的延长线于点F．
方法二证明：如图，延长到点F，使得，连接．
x
…
0
1
…
y
…
2
1
0
1
2
…
种别
玫瑰鲜花饼
茉莉鲜花饼
进价（元/盒）
30
45
备注
①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒；②茉莉鲜花饼不少于20盒；
成绩（单位：分）
频数
频率
A类（80～100）
0.5
B类（60～79）
0.25
C类（40～59）
16
D类（0～39）
8
学校
平均分（分）
方差
中位数（分）
第一中学
73
432
80
第二中学
71
497
83