山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期中阶段质量检测数学试卷(含解析)

这是一份山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期中阶段质量检测数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了作图题用直尺等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
解析：解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标态．则通过该桥洞的车高x（m）的范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：解：由题意可得：
通过该桥洞的车高x（m）的取值范围是：0＜x≤4.5．
在数轴上表示如图：．
故选：D．
4．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0）B．（2，0）C．（﹣4，2）D．（2，2）
解析：解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，
∴点B的对应点B'的坐标是（﹣1﹣3，1+1），即（﹣4，2）．
故选：C．
5．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣6＞b﹣6B．3a＞3bC．﹣2a＜﹣2bD．a﹣b＜0
解析：解：A、已知a＜b，根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，所以a﹣6＞b﹣6错误；
B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以3a＞3b错误；
C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣2a＜﹣2b错误；
D、a﹣b＜0即a＜b两边同时减去b，不等号方向不变．不等式一定成立的是a﹣b＜0．
故选：D．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．有一个内角小于60°
解析：解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
7．已知点A（a﹣2，2a+6）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3或a＞2B．﹣3＜a＜2C．a＜2D．a＞﹣3
解析：解：由题意知，，
解得﹣3＜a＜2，
故选：B．
8．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（ ）
A．35°B．75°C．55°D．65°
解析：解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，
由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，
∵∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°，
∴∠A＝∠A′＝55°．
故选：C．
9．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣1
解析：解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故选：D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
解析：解：作DM⊥AB于M，
由题意知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，
∴CD＝DM，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC•BC＝AC•CD+AB•MD，
∴4×3＝4CD+5CD，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．
故选：D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 120° ．
解析：解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
12．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对 12 道题．
解析：解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃（20﹣x）道题，
根据题意得：10x﹣4（20﹣x）≥88，
解得：x≥12，
∴x的最小值为12，即这个队至少答对12道题．
故答案为：12．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，则∠ACP的度数为 12 °．
解析：解：∵BP是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝31°，
∵P是线段BC的垂直平分线上一点，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB＝31°，
∵∠A＝75°，∠ABC＝62°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝43°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝12°，
故答案为：12．
14．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 m≤3 ．
解析：解：，
解①得x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3．
故答案为m≤3．
15．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AM平分∠BAD交BC于点M，BE⊥AM于点E，EF⊥AD于点F，AB＝7，EF＝3，则△ABM的面积为 21 ．
解析：解：过E作EG⊥AB于G，如图：
∵AM平分∠BAD，
∴EG＝EF＝3，∠DAM＝∠BAM，
∴S△ABE＝×7×3＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴AB＝BM，
∵BE⊥AM，
∴BE是△ABM边AM上的中线，
∴S△ABM＝2S△ABE＝2×＝21．
故答案为：21．
16．如图，函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2；③关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝2；④关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．其中正确的是 ②④ （只填写序号）．
解析：解：由所给函数图象可知，
A点的纵坐标为2，
则2x＝2，
解得x＝1，
所以点A的横坐标为1．
故①错误．
因为点B坐标为（2，0），
所以当x＞2时，函数y＝kx+b的图象在x轴下方，即kx+b＜0，
则不等式kx+b＜0的解集为x＞2．
故②正确．
因为函数y＝2x和函数y＝kx+b交点的横坐标为1，
所以方程kx+b＝2x的解为x＝1．
故③错误．
由函数图象可知，
当x＞1时，函数y＝kx+b的图象在函数y＝2x图象的下方，即kx+b＜2x，
当x＜2时，函数y＝kx+b的图象在x轴上方，即kx+b＞0，
所以关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．
故④正确．
故答案为：②④．
三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：如图，四边形ABCD；
求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PD＝PC，且点P到∠BAD两边的距离相等．
解析：解：如图，点P即为所求．
四.解答题（本大题共7小题，共68分）
18．（20分）计算：
（1）解不等式x﹣1≥2x；
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（3）求不等式3（x﹣3）﹣6＜2x﹣10的非负整数解；
（4）解不等式组：；
（5）解不等式组：．
解析：解：（1）移项得，x﹣2x≥1，
合并同类项得，﹣x≥1，
x的系数化为1得，x≤﹣1；
（2）去分母得，4+3x≤2（1+2x），
去括号得，4+3x≤2+4x，
移项得，3x﹣4x≤2﹣4，
合并同类项得，﹣x≤﹣2，
x的系数化为1得，x≥2，
在数轴上表示为：
；
（3）去括号得，3x﹣9﹣6＜2x﹣10，
移项得，3x﹣2x＜﹣10+9+6，
合并同类项得，x＜5，
故其非负整数解为：0，1，2，3，4；
（4），
由①得，x≤1，
由②得，x＜3，
故不等式组的解集为：x≤1；
（5），
由①得，x＜，
由②得，x≥1．
故不等式组的解集为：1≤x＜．
19．（6分）如图，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，AB＝2，求△ABC的高BD．
解析：（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△CDB和Rt△BEC中，
，
∴Rt△CDB≌Rt△BEC（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝60°，∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，
∴BD＝＝＝．
20．（6分）△ABC的各顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，1），将△ABC先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）如果将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的距离是 2 个单位长度；
（2）在y轴上有点D，则AD+CD的最小值为 5 个单位长度；
（3）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．
解析：解：（1）∵将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，
∴平移的距离是＝2个单位长度；
故答案为：2；
（2）如图点D为所求，
∴AD+CD的最小值为＝5个单位长度；
故答案为：5；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
21．（8分）如图，已知△ABC，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，在BD上取一点O，使∠AOD＝60°，在OD上取一点E，使AO＝AE，连接OC．
（1）求证：△AOC≌△AED；
（2）OA，OB，OC三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由．
解析：（1）证明：∵∠AOE＝60°，AO＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAE，
∴∠OAC＝∠EAD，
在△OAC和△EAD中，
，
∴△AOC≌△AED（SAS）；
（2）解：结论：BD＝OA+OB+OC．
理由：∵△AOE是等边三角形，
∴OA＝OE，
∵△AOC≌△AED，
∴OC＝DE，
∴BD＝OB+OE+ED＝OB+OA+OC．
22．（9分）两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元，小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元．
（1）求成人票和儿童票的单价；
（2）售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共30人，估计儿童8至16人．导游选择哪种购票方式花费较少？
解析：解：（1）设成人票的单价是x元，儿童票的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：成人票的单价是100元，儿童票的单价是50元；
（2）设该团儿童有m人，则该团成人有（30﹣m）人，购买团体票所需费用为100×0.8×30＝2400（元），不购买团体票所需费用为100（30﹣m）+50m＝（﹣50m+3000）元，
当2400＜﹣50m+3000时，m＜12，
∴当8≤m＜12时，购买团体票花费较少；
当2400＝﹣50m+3000时，m＝12，
∴当m＝12时，两种购票方式花费一样多；
当2400＞﹣50m+3000时，m＞12，
∴当12＜m≤16时，不购买团体票花费较少．
答：当8≤m＜12时，购买团体票花费较少；当m＝12时，两种购票方式花费一样多；当12＜m≤16时，不购买团体票花费较少．
23．（9分）【问题情境】
如图①，△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线BD，CD交于点D．
【建立模型】
（1）如图②，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明．
（2）如图③，在图①的基础上，过点A作直线l∥BC，延长BD和CD，分别交l于点E，F，若AB＝4，AC＝3，请你直接写出EF的长度（不需要证明）．
【类比探究】
如图④，△ABC的内角∠ABC的平分线BD，与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明．
解析：解：（1）EF＝BE+CF，理由如下：
如图②，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，
∴∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴DE+DF＝BE+CF，
即EF＝BE+CF；
（2）EF＝7；理由如下：
如图③，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBC＝∠ABE，∠FCB＝∠ACF，
∵EF∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，∠FCB＝∠AFC，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，
∴AE＝AB，AF＝AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴EF＝AE+AF＝4+3＝7；
（3）EF＝BE﹣CF，理由如下：
如图④，
∵∠ABC的平分线BD与∠ACG的平分线CD交于点D，
∴∠DBC＝∠ABD，∠ACD＝∠DCG，
∵DE∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠CDF＝∠DCG，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ACD＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∵EF＝DE﹣DF，
∴EF＝BE﹣CF．
24．（10分）如图，在长方形ABCD中，DC＝3cm，AD＝6cm，延长BC至点E，使CE＝4cm，连接DE．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，DQ．当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t≤3），解答下列问题：
（1）当t为何值时，使点Q在∠PDC的平分线上？
（2）当t为何值时，△DQE为等腰三角形？
（3）设四边形PQED的面积为y（cm2），求y与t之间的关系式及四边形PQED面积的最大值．
解析：解：（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm．
∵点Q在∠PDC的平分线上，
∴∠ADQ＝∠CDQ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠CDQ，
∴CQ＝CD，
∴2t＝3，
∴t＝．
∴当t为s时，使点Q在∠PDC的平分线上．
（2）①当ED＝EQ时，如图，
∵DC＝3cm，CE＝4cm，DC⊥CE，
∴DE＝＝5（cm），
∴EQ＝ED＝5cm
∴CQ＝1cm．
∴2t＝1，
∴t＝．
②当ED＝DQ时，如图，
∵ED＝DQ，DC⊥CE，
∴CQ＝CE＝4 cm，
∴2t＝4，
∴t＝2．
③由于点Q在线段BC上，不存在QD＝QE的情形．
综上，当t为s或2s时，△DQE为等腰三角形．
（3）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣t）cm，QE＝CQ+CE＝（4+2t）cm，
∴y＝（PD+QE）•CD＝3（6﹣t+4+2t）＝t+15．
∵＞0，
∴y随t的增大而增大，
∵0＜t≤3，
∴当t＝3时，y的最大值＝3+15＝19.5（cm2）．