山西省大同市新荣区两校2023届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市新荣区两校2023届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组有理数比较大小，正确的是( )
A. B. C. D.
2. 山西戏曲艺术历史悠久、种类繁多，在我国戏曲舞台上占有重要地位其中晋剧经国务院批准被列入第一批国家非物质文化遗产名录，下列个晋剧脸谱中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要，地球距离太阳大约有( )
A. B. C. D.
5. 关于反比例函数，下列结论不正确的是( )
A. 图象位于第一、三象限
B. 随的增大而减小
C. 图象关于原点成中心对称
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
6. 山西风景名胜很多，其中晋祠、运城关帝庙、壶口瀑布、五台山、徐向前元帅故居都有美丽的风光和丰富的文化底蕴某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为，，，，，这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
7. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，已知，则旋转角的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 若多项式可分解为，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
10. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，已知若的半径是，，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：的结果是______ ．
12. 在中，：：：：，，则的长为______ ．
13. 科学家发现：一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强千帕随温度变化的函数解析式是，其图象如图所示当压强为千帕时，则上述气体的温度是______
14. 法国数学家柯西于年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了费马多边形数定理，其主要突破在“五边形数点的个数”的证明上如图，这是前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第个“五边形数”为______ ．
15. 如图，点在等边的边上，以点为旋转中心将线段顺时针旋转到线段处，连接交于点，连接若，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
第五步
任务一：
以上解题过程中，第一步是依据______ 进行变形的；
第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
17. 本小题分
如图，在菱形中，，对角线．
实践与操作：利用尺规作图过点作，垂足为；保留作图痕迹，不写作法，标明字母
求的长．
18. 本小题分
由工业和信息化部人才交流中心和国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器人开发者大赛，年月日在线上召开赛季启动大会为备战机器人大赛，某校对机器人进行米比赛，“冲锋”和“东风”两个机器人进入了决赛比赛中，“冲锋”先出发秒后，“东风”从同一起始位置出发，结果“东风”迟到秒到达终点已知“东风”是“冲锋”的平均速度的倍，求“冲锋”的平均速度．
19. 本小题分
“双减”形势下，各地要求初中学生作业量不超过分钟，其中作业量应以学习程度中等的学生完成作业所需时间为基准某校推行作业时间公示制度，数学小组从七、八年级各随机抽取名同学，将他们每天的作业完成时间单位：分钟记录下来，并进行统计、分析，共分为四个时段表示作业完成时间，取整数；；；过程如下．
收集数据
七年级：


八年级：


整理数据及分析数据
七、八年级抽取的学生每天的作业完成时间条形统计图

七、八年级抽取的学生每天的作业完成时间统计表
补全条形统计图；
填空： ______ ， ______ ；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的作业量布置得更合理？并说明理由；
若该校七、八年级共名学生，请估计每天的作业完成时间在分钟以内含分钟的学生人数．
20. 本小题分
阅读与思考
下面是小宙同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
填空：笔记中的“依据”是______ ；“依据”是______ ；
请将笔记第问证明过程的缺失部分内容补充完整；
应用：在中，为的角平分线若，，，请直接写出，，的长．
21. 本小题分
图是某小区门口的车辆自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏图是其结构示意图，摄像机长，点是摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，的连接杆为，，，，点到地面的距离为，若与水平地面所成的角的度数为请根据以上数据求镜头到地面的距离．
参考数据：，，，结果保留一位小数
22. 本小题分
综合与实践
问题情境：
在数学综合与实践活动课上，老师以“正方形的折叠问题”为主题开展数学活动如图，将正方形纸片对折，使得边与重合，展开铺平，折痕为然后，再将正方形纸片沿着过点的直线折叠，此时点恰好落在折痕的点处，展开铺平，设与交于点，连接，得到图．
操作发现：
小康发现，四边形是菱形，请说明理由；
问题解决：
若正方形的边长为，求的长；
问题拓展：
如图，是正方形的边上一点，正方形的边长为，连接，将沿着折叠，使得点落在正方形的内部点处，连接，求出的最小值．
23. 本小题分
综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式；
连接，为线段上的动点，连接，当与相似时，求出点的坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：因为，，，所以，故本选项不符合题意；
B.因为，所以，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意．
故选：．
根据有理数比较大小的法则对各选项进行比较即可．
2.【答案】
解析：解：选项A、、的图形均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3.【答案】
解析：解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
4.【答案】
解析：解：地球距离太阳大约有：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
5.【答案】
解析：解：关于反比例函数，图象位于第一、三象限，图象关于原点成中心对称，
若点在它的图象上，则点也在它的图象上，则选项A，，都正确，不合题意；
每个象限内，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意．
故选：．
直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
6.【答案】
解析：解：出现了次，出现的次数最多，则众数是；
把这组数据从小到大排列：，，，，，中间的数是，则中位数是．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，即可得出答案．
7.【答案】
解析：解：四边形为矩形，
，，
根据旋转可知，，
，
，
，
旋转角的度数为．
故选：．
分析图象可得，旋转角的度数等于的度数，根据矩形的性质得，，由旋转可知，根据三角形外角性质得，以此求得，则．
8.【答案】
解析：解：多项式可分解为，
：，．
，．
．
故选：．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，．
9.【答案】
解析：解：抛物线：的顶点为，
向左平移个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为，
抛物线与抛物线关于轴对称，
抛物线的开口方向相反，顶点为，
抛物线的解析式为．
故选：．
根据抛物线的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的得到坐标，而根据关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线所对应的函数表达式．
10.【答案】
解析：解：，
：：，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
扇形的面积，的面积，
阴影的面积的面积扇形的面积．
故选：．
由，推出∽，得到，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质推出是等边三角形，得到，即可求出的长，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
11.【答案】
解析：解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
12.【答案】
解析：解：：：：：，
设，则，，
，
解得：，
，，，
，
．
故答案为：．
先根据三角形内角和定理计算出各角的度数，再根据直角三角形中度的角所对的直角边是斜边的一半求解即可．
13.【答案】
解析：解：函数的图象过点，，
可得，
解得，
所求的函数关系式是，
当时，，
解得，
即当压强为千帕时，气体的温度是．
故答案为：．
已知函数关系式为，如图可知图象经过的坐标，把坐标代入关系式求出，，把代入解析式即可求出气体温度．
14.【答案】
解析：解：第个“五边形数”为，，
第个“五边形数”为，，
第个“五边形数”为，，
第个“五边形数”为，，
第个“五边形数”为，，

第个“五边形数”为，
将代入，得第个“五边形数”为，
故答案为：．
根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第个“五边形数”为，再将代入求出第个“五边形数”．
15.【答案】
解析：解：过点作于点，如图，
为等边三角形，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
线段顺时针旋转到线段，
，，
为等边三角形，
，
，，
∽，
：：，
即：：，
．
故答案为：．
过点作于点，如图，先根据等边三角形的性质得到，，再在中利用含度的直角三角形三边的关系计算出，，则可利用勾股定理计算出，接着根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后证明∽，利用相似比可求出的长．
16.【答案】不等式的性质 三 移项没有变号
解析：解原式

；
任务一：以上解题步骤中，第一步是去分母，去分母的依据是不等式的性质；
第三步出现错误，这这一步错误的原因是移项没有变号．
故答案为：不等式的性质；三，移项没有变号．
任务二：该不等式的正确解集是．
根据绝对值的意义，有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题；
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为，依此即可求解．
17.【答案】解：利用尺规作交于点即可；
连接交于，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
答：的长为．
解析：利用尺规作交于点即可；
连接交于，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，再由菱形面积的两种计算方法，即可求出的长．
18.【答案】解：设“冲锋”的平均速度为米秒，则“东风”的平均速度的米秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“冲锋”的平均速度米秒．
解析：设“冲锋”的平均速度为米秒，则“东风”的平均速度的米秒，根据“冲锋”从起点出发秒后，“东风”才从起点出发，结果“东风”迟到秒到达终点，可得方程，解出即可．
19.【答案】
解析：解：七年级时间段人数为：人，
补全条形统计图如下：

由题意可知，，
．
故答案为：；；
七年级落实的好，理由如下：
七年级学生完成作业的平均时间为分，比八年级的少；
名，
答：估计该校七、八年级每天的作业完成时间在分钟以内含分钟的学生人数约名．
按给出数据计算出时段的数据然后补全即可；
根据中位数、众数的意义求解即可；
从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
用总人数乘样本中每天的作业完成时间在分钟以内含分钟的学生人数所占比例即可．
20.【答案】平行线分线段成比例定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
解析：解：笔记中的“依据”是平行线分线段成比例定理；“依据”是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
故答案为：平行线分线段成比例定理；同弧或等弧所对的圆周角相等；
如图，画出的外接，延长的内角平分线交于点，连接．
，依据，
∽，
，即．
是内角平分线，
，
∽，
，即，
，
；
设，则，
由得，即，
解得，，
，，
由得，
．
根据题意填空即可；
画出的外接，延长的内角平分线交于点，连接根据相似三角形 的判定和性质定理即可得到结论；
设，则，由得，代入数据即可得到结论．等，
21.【答案】解：过点作，垂足为，连接，过点作，交的延长线于点，

，与水平地面所成的角的度数为，
与水平地面所成的角的度数为，
；
，，
，
为的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，，
点到地面的距离为，
镜头到地面的距离，
答：镜头到地面的距离约为．
解析：过点作，垂足为，连接，过点作，交的延长线于点，根据题意可得；根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
22.【答案】解：理由如下：
由折叠知，
，，
，
即，
，
，
是等边三角形，
，
又，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
正方形的边长为，
，
，
，
；
连接，

正方形边长为，
，，
，
在中，有，
由折叠知，，
当、、三点共线时，有最小值，
此时，，
的最小值为．
解析：根据折叠得出，根据三角函数求出的度数，然后推出是等边三角形，然后证明结论即可；
根据折叠知，，然后根据勾股定理求出的长即可；
连接，根据正方形的性质求出的长度，根据三角形三边关系得出，当，，三点共线时，取得最小值，求出此时的即可．
23.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
与轴交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设直线设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，
当∽相似时，，
是等腰直角三角形，，
，
，，，
，，
，解得，
点的坐标为；
当∽相似时，，
是等腰直角三角形，，
，，
，，，
，，
，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
存在一点，使得是等腰三角形，
，
，
设点，
，
，
，
，
当时，
，
，
点的坐标为；
当时，
，
或，
点的坐标为或；
当时，
，
舍去或，
点的坐标为；
综上，存在一点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或．
解析：利用待定系数法即可求解；
分两种情况，当∽相似时，当∽相似时，根据相似三角形的性质分别求解即可；
设点，分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形性质即可求解．
统计量
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
八年级
已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？
如图，在中，是内角平分线，
求证：；
求证：．
证明：如图，过点作交的延长线于点．
依据，．
是内角平分线，
，
，
．
如图，画出的外接，延长的内角平分线交于点，连接．
，依据，
∽，
，即．
，即，
，
．