湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了已知复数z＝，已知向量，，且，则k＝，若，且，则sinα的值为，将函数f，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z＝（1﹣3i）（2+i），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若l∥α，且m∥α，则l∥m
B．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m∥n
C．若m∥l，且m⊥α，则l⊥α
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
3．已知向量，，且，则k＝（ ）
A．B．C．D．
4．若，且，则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（ ）
A．28B．36C．42D．50
6．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝A1B1＝1，则侧棱BB1与底面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若AB＝4，则＝（ ）
A．﹣16B．﹣8C．8D．16
8．将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，且g（0）＝1，则下列结论中不正确的是（ ）
A．g（x）为偶函数
B．
C．当ω＝5时，g（x）在上恰有2个零点
D．若g（x）在上单调递减，则ω＝1
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．下列说法错误的是（ ）
A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C．棱台的所有侧棱交于同一点
D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
（多选）10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．当时，△ABC为直角三角形
B．当a＝5，b＝7，c＝8时，△ABC最大角与最小角之和为
C．当时，
D．当时，△ABC为锐角三角形
（多选）11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2b+c）csA+acsC＝0，点D在边BC上，AD＝1，AB•CD＝BD•AC，则（ ）
A．
B．b+c＝bc
C．△ABC面积的最小值是
D．2b+8c的最小值是18
（多选）12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°
B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形
C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．在三棱台ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1的面积分别为S和S1，若AB＝2A1B1，则＝ ．
14．已知，则sinα＝ ．
15．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝2，则的最小值是 ．
16．在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，∠ABC＝60°，点P为BC中点，点Q是边AB上一个动点，则的取值范围为 ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中AB＝AA1＝2，AD＝6．（15分）
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积．
18．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O．（15分）
（1）求证：OQ∥平面ABEF；
（2）求证：AP⊥CE．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinB+sinC＝2sinA，8b＝7a．（10分）
（1）求sinB的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
20．如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，P为棱SA上一点，AB＝2AD＝2CD＝2AP＝4PS＝4．（15分）
（1）证明：SC∥平面PBD；
（2）求二面角S﹣DC﹣A的大小；
（3）求点A到平面PBD的距离．
21．对任意两个非零向量，，定义：．（15分）
（1）若向量，，求的值；
（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；
（3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：DCCDB 6-8:BBC
二．多选题（共4小题）
9：ABD．10：ABC．11：BCD．12：ABD
三．填空题（共4小题）
13：4．
14：．
15：1．
16：[﹣3，21]．
四．解答题（共5小题）
17．解：（1）长方体的体积为2×2×6＝24，
半圆柱的底面积为，
半圆柱的体积为，
该几何体的体积为24+3π．
（2）长方体去掉上底面后的表面积为2×6+2×2×2+2×6×2＝44，
由（1）得半圆柱的底面积为，
半圆柱的侧面积为，
所以该几何体的表面积为．
18证明：（1）连接AE，
∵P是上的中点，∴O是EC的中点，
又Q是AC的中点，∴OQ∥AE，
∵AE⊂平面ABEF，OQ⊄平面ABEF，
∴OQ∥平面ABEF；
（2）由题意，AB⊥CE，BP⊥CE，
又AB，BP⊂平面ABP，且AB∩BP＝B，
∴CE⊥平面ABP，而AP⊂平面ABP，
∴AP⊥CE．
19．解：（1）根据sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得b+c＝2a，
由8b＝7a，得，可得c＝2a﹣b＝a，
根据余弦定理得＝＝，
因为B∈（0，π），所以（舍负）；
（2）由8b＝7a，可得8sinB＝7sinA，所以，
根据，，由余弦定理得，
所以sin（A﹣B）＝sinAcsB﹣csAsinB＝．
20．解：（1）证明：连接AC交DB于点O，连接OP．
在底面ABCD中，因为AB∥CD，且AB＝2CD，
由△ABO∽△CDO，可得，
因为AP＝2PS，即，
所以在△CAS中，，所以OP∥CS，
又因为OP⊂平面PBD，SC⊄平面PBD，
所以SC∥平面PBD．
（2）设CD的中点为M，连接AM、SM，
因为∠CDA＝60°，AD＝CD＝2，所以△CDA为等边三角形，
所以AM⊥CD，
又SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以SA⊥CD，SA∩AM＝A，SA，AM⊂平面SAM，
所以CD⊥平面SAM，SM⊂平面SAM，
所以CD⊥SM，
所以∠SMA为二面角S﹣DC﹣A的平面角，
SA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
所以SA⊥AM，
在Rt△SMA中SA＝SP+AP＝3，，
所以，所以∠SMA＝60°，
即二面角S﹣DC﹣A的大小为60°；
（3）因为AB∥CD，∠CDA＝60°，所以∠DAB＝120°，
所以，
在△PBD中，
，
，
所以PD2+PB2＝BD2，即PD⊥PB，
所以，
设点A到平面PBD的距离为d，则VA﹣PBD＝VP﹣ABD，
即，
即，
即点A到平面PBD的距离为．
21．解：（1）因为，，所以，
所以，
故的值为；
（2）因为向量、是单位向量，所以，，
由，
可得，
解得，
由，可得，
则，
故向量与的夹角的余弦值为；
（3）设向量与的夹角为θ，由题意可知，则0＜csθ＜1，
因为，所以，，
因为，所以，
因为是整数，所以，所以，，
而，所以，
因为，
又，所以，
故的取值范围为．