期末检测卷-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份期末检测卷-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．垂直
2．（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
4．已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（ ）
A．B．C．D．
5．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．在中，，，，则角的值为（ ）
A．B．或C．D．
7．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ）
A．50B．80C．86D．110
8．已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ）
A．2B．3C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
10．已知直线，，和平面，，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
11．供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100位居民，下列说法正确的是（ ）
A．6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B．6月份人均用电量在内的有30人
C．6月份人均用电量不低于20度的有50人
D．在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在一组的人数为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，且与互相独立，则 .
13．已知向量满足，，，则 ．
14．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，．
(1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
(2)若向量，且，求向量，夹角的余弦值．
16．已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小：
(2)若，求的面积．
17．某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
18．如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：

(1)；
(2)平面平面.
19．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为
(1)若．求证：
①；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
参考答案：
1．B
【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.
【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故.
故选：B
2．D
【分析】借助复数的运算法则计算即可得.
【详解】.
故选：D.
3．D
【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误，
对于B，C，太过绝对，故错误，
对于D，符合概率的估算方法，故正确．
故选：D.
4．C
【分析】代入投影数量公式，即可求解.
【详解】向量在向量上的投影数量是．
故选：C
5．C
【分析】根据平面基底的定义确定每个选项是否平行是否可以作为基底判断各个选项即可.
【详解】根据平面基底的定义知，向量，为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，假设存在实数，使得，显然无解，可以作为一个基底；
对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得无解，所以和可以作为基底；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得，解得，所以和不可以作为基底；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得无解，所以和可以作为基底．
故选:C．
6．C
【分析】根据题意利用正弦定理分析求解.
【详解】由正弦定理，可得，
且，可知角的值为.
故选：C.
7．B
【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可.
【详解】因为在中，是上的两个三等分点，，
所以，
，
所以
.
故选：B
8．A
【分析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解.
【详解】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以，
又，
所以，取的中点，连接，
显然有，即二面角的平面角为，
即，又，
，，则，
的面积为.
故选：A.
9．BD
【分析】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断.
【详解】单位向量与的方向不一定相同，故A错；
零向量的长度为零，方向任意，故B正确；
若，的模长不一定相等，故C错；
若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】根据线面平行、面面垂直、线面垂直的判定判断A、B、C三个选项，D选项中的不满足面面平行的条件，故两平面相交或平行.
【详解】A选项，根据线面平行的判定，若，，，则，故A错误；
B选项，根据面面垂直的判定，若，，则，故B正确；
C选项，根据线面垂直的判定，若，，，，，则，故C错误；
D选项，若，，，，则平面与相交或平行，故D错误；
故答案为：ACD.
11．ACD
【分析】根据题意，由频率分布直方图，对选项逐一计算，即可得到结果.
【详解】A：根据频率分布直方图知，6月份人均用电量人数最多的一组是，
有（人），故A正确；
B：6月份人均用电量在内的人数为，故B错误；
C：6月份人均用电量不低于20度的频率是，
有（人），故C正确；
D：用电量在内的有（人），
所以在这位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，
抽到的居民用电量在一组的人数为，故D正确．
故选：ACD
12．/
【分析】根据题意，结合，结合相互独立事件概率乘法公式，即可求解.
【详解】因为，且与相互独立，
由.
故答案为：.
13．/
【分析】由平方结合数量积的定义即可求出．
【详解】因为，，，
所以，
所以，因为，所以．
故答案为：．
14．
【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以,
求出h即可
【详解】设
在中，，.
在中， ,,
在中，,.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：,
因为,
所以， 即，.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示求出，再求出投影向量的坐标.
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出，再求出向量夹角的余弦.
【详解】（1）由，，得，，
由，得，即，则，
所以向量在向量上的投影向量为，其坐标为．
（2）依题意，，由，得，解得，
则，，，，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；
（2）由和余弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理得，
即，
得，
即，又，
所以，即，又，
所以；
（2）由，得，
由余弦定理得，得，
所以，
当时，，所以为直角三角形，，
又，，所以，
所以；
当时，所以.
由余弦定理得，
又，所以，由，解得，
所以，故.
17．(1)；
(2)中位数，平均数77
(3).
【分析】（1）根据所有矩形面积之和为1求得；
（2）根据频率分布直方图中中位数、平均数的计算方法求解；
（3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解.
【详解】（1）依题意，得，解得；
（2）因为，，
所以中位数在间，
设为，则，解得.
平均数.
（3）依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2，
按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，
依次分别记为，，，，，
对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，
设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个，
所以.
18．(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）由线面平行的性质即可证明；
（2）由（1）得为的中点，再证明，最后根据面面平行的判断定理即可证明.
【详解】（1）由题意，因为平面，
且平面
又因为平面平面，
所以由线面平行的性质得.
（2）由（1）可知，
又因为点为的中点，
所以为的中位线，
所以为的中点，即，
因为为的中点，即，
又因为,
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以,
又因为平面,平面，
所以平面，
又平面，，平面,平面，
所以平面平面.
19．(1)①证明见解析，②证明见解析
(2)证明见解析
【分析】①先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；
②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证；
（2）根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证.
【详解】（1）①若，
则
,
所以，
在中，
分别由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，
即；
②由余弦定理可得，
则
，
当且仅当且时取等号，
又，所以，所以，所以，
即当且仅当且时取等号，
即当且仅当为等边三角形时取等号，
所以，当且仅当为等边三角形时取等号，
又由①知，
所以为等边三角形.
（2）由（1）得，
所以,
由，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，所以，
由正弦定理可得
【点睛】根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键.