还剩52页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【2.5等腰三角形的轴对称性】(原卷版+解析)
展开
这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【2.5等腰三角形的轴对称性】(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了5 等腰三角形的轴对称性，等腰三角形的性质，等腰三角形是轴对称图形， CQ=BP=3等内容，欢迎下载使用。
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
的三角形，叫做等腰三角形，其中 叫做腰，另一边叫做底， 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为 ,∠A是
∠B 、∠C是 ．
知识要点：等腰直角三角形的两个 相等，且都等于 .等腰三角形的底角只能为 ，不能为钝角（或直角），但顶角可为
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）．
性质2：等腰三角形的 互相重合（简称“ ”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角 .是证明 的一个重要依据．
性质2用来证明 等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的 所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有 相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“ ”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明 的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 的重要依据.等腰三角形的 是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·长沙期末）如图，B在AC上，D在CE上， ， ， 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
2．（2021八上·大庆期末）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
3．（2021八上·无棣期中）等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°
4．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．（2021八上·大庆期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为 ．
6．（2021八上·淮滨月考）如图，已知∠AOB＝72°，点C为∠AOB平分线上的一点，点D为OB上一点，OD＝CD.则∠OCD等于 °.
7．（2019八上·渭源月考）如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
8．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
10．（2020八上·金坛期中）如图，在四边形ABCD中， ，DE平分 交BC于点E，若 ， ，则CD的长是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
11．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
12．（2018八上·九台期末）将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在 处， 交AD于点E，则△EBD的形状是 ．
13．（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
14．（2021八上·岳阳期末）如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
15．（2021八上·密山期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
16．（2021八上·徐闻期末）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2019八上·肥城开学考）如图， 中， 是角平分线， 交 于 ，交 于 ，若 ， ，则 （ ）
A．10B．12C．14D．16
18．（2018八上·沈河期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两条边相等的三角形是等腰三角形
B．同位角相等
C．如果 ，那么
D．等腰三角形的两边长是2和3，则周长是7
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
20．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
21．（2021八上·武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝ .
22．（2020八上·河南期中）如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
23．（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
24．（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证： ；
（2）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
知识点04：等边三角形的性质
25．（2021八上·如皋期中）等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
26．（2021八上·剑河月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．等腰三角形是特殊的等边三角形
D．所有的等腰三角形都是锐角三角形
27．（2021八上·汉寿期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.则 .
28．（2019八上·灌云月考）如图1.在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样健的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 .
29．（2021八上·抚顺期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
30．（2021八上·巨野期中）如图， 是等边三角形，若 ， ， ，求 的度数．
31．（2021八上·章贡期末）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
32．（2021八上·通州期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．
（1）求证：直线是线段的垂直平分线；
（2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
33．（2021八上·通榆期末）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）如（图1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）如（图2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数。
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动 秒后，可得到等边△CQP。
知识点05：等边三角形的判定
34．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
35．（2021八上·姜堰月考）下面给出几种三角形：（1）有两个角为 的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为 的等腰三角形；其中是等边三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
36．（2020八上·西宁月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足|a－b|＋|b－c|＝0，△ABC的形状为
37．（2021八上·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有 ．（填序号）
38．（2019八上·扬州月考）如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证： 是等边三角形.
39．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
40．（2021八上·金昌期末）已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足 ，试判断三角形ABC的形状.
41．（2021八上·荷塘期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，
（1）作∠ADC的角平分线DE，交AB于点E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
（2）判断△ADE是什么三角形，并说明理由；
知识点06：等边三角形的判定与性质
42．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．12
43．（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（ ）
A．8＋2mB．8＋mC．6＋2mD．6＋m
44．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44B．43C．42D．41
45．（2018八上·如皋期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于 ．
46．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中， 的平分线与 的平分线相交于D，过点D作 交AB于E，交AC于F， ，则BC的长为 .
47．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为 ．
48．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
49．（2021八上·江阴月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求证：AD=DE.
50．（2020八上·漳平期中）如图，C是BE上一点，D是AC的中点，且AB=AC，DE=DB，∠A=60°，△ABC的周长是18cm．求∠E的度数及CE的长度．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第2章《轴对称图形》
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·长沙期末）如图，B在AC上，D在CE上， ， ， 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【完整解答】解： ， ，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【思路引导】由等边对等角得，利用三角形外角的性质求出，由等边对等角得，根据三角形外角的性质求出.
2．（2021八上·大庆期末）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【完整解答】∵AD BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故答案为：C．
【思路引导】利用平行四边形的性质得出三角形ABE为等腰三角形，然后求出CDE的度数。
3．（2021八上·无棣期中）等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°
【答案】B
【完整解答】解：∵ 等腰三角形的底角等于50°，
∴ 等腰三角形的顶角度数=180°-50°×2=80°.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，再根据三角形内角和定理即可得出顶角的度数.
4．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
5．（2021八上·大庆期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为 ．
【答案】10或14或10
【完整解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
， ，
BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，
， ，
， ，
由等角对等边可知： ， ，
情况1：当 与 相交时，如下图所示：
，
，
，
情况2：当 与 不相交时，如下图所示：
，
，
故答案为：10或14．
【思路引导】根据四边形ABCD是平行四边形，证明= ， ，由等角对等边可知： ， ，然后分为当 与 相交和当 与 不相交两种情况进行求解。
6．（2021八上·淮滨月考）如图，已知∠AOB＝72°，点C为∠AOB平分线上的一点，点D为OB上一点，OD＝CD.则∠OCD等于 °.
【答案】36
【完整解答】解：∵∠AOB＝72°，点C为∠AOB平分线上的一点，
∴∠DOC＝ ∠AOB＝36°，
∵OD＝CD，
∴∠OCD＝∠DOC＝36°.
故答案为：36.
【思路引导】根据角平分线的概念可得∠DOC＝∠AOB＝36°，然后根据等腰三角形的性质进行计算.
7．（2019八上·渭源月考）如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
【答案】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可以证明DF=EF，BF=CF，然后两式相减即可得到BD=CE.过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF（三线合一），
∵AD=AE，AF⊥BC，
∴DF=EF，（三线合一）
∴BF-DF=CF-EF，
即BD=CE.
【思路引导】 如图所示：过点A作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可以证明DF=EF，BF=CF，然后两式相减即可得到BD=CE.
8．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【思路引导】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【完整解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
10．（2020八上·金坛期中）如图，在四边形ABCD中， ，DE平分 交BC于点E，若 ， ，则CD的长是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【答案】C
【完整解答】解：∵
∴∠ADE=∠DEC
又∵DE平分
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC
∴CD=CE
∵ ，
∴CD=CE=10-4=6cm
故答案为：C.
【思路引导】根据平行线的性质，结合角平分线的定义得出∠CDE=∠DEC，根据等角对等边求出CD=CE，然后根据线段的和差关系求CD即可.
11．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【完整解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【思路引导】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
12．（2018八上·九台期末）将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在 处， 交AD于点E，则△EBD的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【完整解答】根据折叠的性质可知∠DBC=∠DBE，然后根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，因此可得∠DBE=∠EDB，根据等角对等边可证得△DBE为等腰三角形．
【思路引导】根据折叠的性质可知∠DBC=∠DBE，然后根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，因此可得∠DBE=∠EDB，根据等角对等边可证得△DBE为等腰三角形．
13．（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【完整解答】解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，
∴为等腰三角形，符合题意；
第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；
第三个图以B为圆心，AB长为半径，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，符合题意；
第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，
∴为等腰三角形，符合题意；
综上可得：有三个图使得为等腰三角形，
故答案为：3．
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理判断各图形即可得出答案。
14．（2021八上·岳阳期末）如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
【答案】证明：方法一：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形；
方法二：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴OBD≌△OCE（AAS），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【思路引导】 方法一 ：由等边对等角可得∠ABC=∠ACB， 由等量减等量差相等得∠EBC=∠DCB，根据等腰三角形的判定定理即证；
方法二 ：利用ASA证明△ABE≌△ACD，可得AD=AE，再永AAS证明OBD≌△OCE，可得OB=OC，根据等腰三角形的判定定理即证.
15．（2021八上·密山期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
【答案】解：由原式可得，a（2+b）=c（2+b），
∵2+b≠0，a、b、c不等于0，
∴a=c，
∴ΔABC是等腰三角形.
【思路引导】先求出 a（2+b）=c（2+b）， 再求出 a=c， 最后判断求解即可。
16．（2021八上·徐闻期末）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BAAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
即△OAB是等腰三角形；
（2）解：由（1）得：∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
∵∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAB＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，
∴AO＝BO＝2OC，
∵AC＝AO+OC，
∴AC＝3OC．
【思路引导】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB＝∠DBA，即可得出结论；
（2）由（1）得出∠CAB＝∠DBA，则AO＝BO，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，再由含30度角的直角三角形的性质得出AO＝BO＝2OC，即可得出结论。
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2019八上·肥城开学考）如图， 中， 是角平分线， 交 于 ，交 于 ，若 ， ，则 （ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【完整解答】∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，△EDB为等腰三角形， ，
∴
故答案为：B．
【思路引导】先利用角平分线和平行线的性质得到 ，再得到△EBD为等腰三角形，所以 ，最后计算即可．
18．（2018八上·沈河期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两条边相等的三角形是等腰三角形
B．同位角相等
C．如果 ，那么
D．等腰三角形的两边长是2和3，则周长是7
【答案】A
【完整解答】A、有两条边相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确；
B、两直线平行，同位角相等，故本选项错误；
C、如果|a|=|b|，那么a=±b，故本选项错误；
D、等腰三角形的两边长是2和3，则周长是2+2+3=7或3+3+2=8，故本选项错误，
故答案为：A.
【思路引导】分别根据等腰三角形的判定定理、绝对值的性质及等腰三角形的性质各选项进行逐一分析即可.
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
【答案】或
【完整解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【思路引导】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
20．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
【答案】140°
【完整解答】解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°.
【思路引导】连接OB、OC，利用角平分线的定义可求出∠BAO的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质和等边对等角可得到∠OBA，∠OBC的度数，然后利用SAS证△ABO≌△ACO，可得OB=OC，从而得到∠OCB的度数，再利用折叠的性质可证得OE=CE，∠COE=20°；然后利用三角形的内角和定理求出∠OEC的度数.
21．（2021八上·武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝ .
【答案】5
【完整解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵MF∥AD，
∴∠DAC＝∠AFE，∠BAD＝∠E，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF；
延长FM至点N，使MN＝FM， ∠BMN＝∠CMF，MB＝CM，
∴△BMN≌△CMF（SAS），
∴CF＝BN，∠N＝∠MFC，
∵∠EFA＝∠MFC，
∴∠N＝∠EFA，
∴∠N＝∠E，
∴BN＝BE，
∴AB＋AC＝AB＋AF＋FC＝AB＋AE＋FC＝BE＋FC，
∵BE＝FC，
∴2BE=10，
∴BE=5.
故答案为：5.
【思路引导】根据平行线的性质得∠DAC＝∠AFN，∠BAD＝∠E，结合角平分线的定义证出∠E＝∠AFE，根据等角对等边得出AE=AF；延长FM至点N，使MN＝FM，连接AN，证明△BMN≌△CMF，得出CF＝BN，∠N＝∠MFC，得出BN＝BE，证明得出AB＋AC＝2BE，可求出答案．
22．（2020八上·河南期中）如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
【答案】解：∵△ABC满足∠A=86°，∠B=42°，
∴∠ACB=180°-86°-42°=52°，
∴∠DCE=52°，
∵CD=CE，
∴∠E=（180°-52°）÷2=64°.
【思路引导】在△ABC中，用三角形内角和定理求得∠ACB的度数，由对顶角相等可得∠DCE的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理可求解.
23．（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
【答案】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【思路引导】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。
24．（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证： ；
（2）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
知识点04：等边三角形的性质
25．（2021八上·如皋期中）等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴ CE⊥AB，BD平分∠ABC
∴∠OEB=90°，∠EBO= ∠ABC=30°，
则在△BOE中，
∴∠BOE= 180°-∠BEO- ∠OBE= 60°.
故答案为：C.
【思路引导】画出示意图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，由等边三角形的性质可得CE⊥AB，BD平分∠ABC，根据角平分线的概念可得∠EBO=∠ABC=30°，然后在Rt△BOE中，根据内角和定理就可求出∠BOE的度数.
26．（2021八上·剑河月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．等腰三角形是特殊的等边三角形
D．所有的等腰三角形都是锐角三角形
【答案】B
【完整解答】解：A、根据三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，故此选项错误；
B、等腰三角形分为一般等腰三角形（腰与底不相等的等腰三角形）和特殊等腰三角形（等边三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形，故此选项正确；
C、等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故此选项错误；
D、等腰直角三角形也是等腰三角形，但它是直角三角形，故此选项错误.
故答案为：B.
【思路引导】根据三角形按角分类可判断A；根据等边三角形、等腰三角形的关系可判断B、C；等腰直角三角形既是等腰三角形，也是直角三角形，据此判断D.
27．（2021八上·汉寿期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.则 .
【答案】30°
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
故答案为：30°.
【思路引导】根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，根据等边对等角得出∠CAD＝∠D，进而根据三角形外角的性质，由∠ACB＝∠CAD＋∠D即可求解.
28．（2019八上·灌云月考）如图1.在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样健的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 .
【答案】(4，60°)
【完整解答】解：如图，
∵在等边△AOB中，OB=4，∠O=60°，
∴点B的极坐标为（4，60°）.
故答案是：（4，60°）.
【思路引导】根据等边三角形的性质得到OB=4，∠O=60°，结合极坐标的定义填空.
29．（2021八上·抚顺期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【思路引导】（1）结论：BM＝AN，BM⊥AN．证明△MBP≌△ANP（SAS），即可得出结论；
（2）结论成立，证明△MPB≌△APN（SAS）即可得出结论；
（3）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．证明△APC为等边三角形，即可得出结论。
30．（2021八上·巨野期中）如图， 是等边三角形，若 ， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 与 中， ，
∴ ≌ （SSS），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】根据 是等边三角形，得出 ， ，利用SSS证明出 ≌ ，得出 ，得出 ，从而得出答案。
31．（2021八上·章贡期末）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFP=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BFP=60°，
又∵BP⊥AD，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP=30°，
∴BF=2PF=2×6=12
【思路引导】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，AD=BE，再利用角的运算和等量代换可得∠BFP=60°，再利用BP⊥AD，求出∠FBP=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
32．（2021八上·通州期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．
（1）求证：直线是线段的垂直平分线；
（2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）证明：连接，，
∵点与点关于射线对称，
∴，
∴
∴
∴为等边三角形，
∵
∴
∴在和中，
∴
∴
∵，
∴
又
∴垂直平分
（2）解：，
【完整解答】解：（2）分两种情况来讨论：
第一种情况，如图，当点D在内部时：
∵点与点关于射线对称，
∴
∴
∵
∴
第二种情况，如图，当点D在外部时：
∵点与点关于射线对称，
∴
∴
∵
∴
【思路引导】（1）先求出 ， ，再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）分类讨论，结合图形求解即可。
33．（2021八上·通榆期末）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）如（图1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）如（图2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数。
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动 秒后，可得到等边△CQP。
【答案】（1）解：△BPD≌△CQP
证明：经过1s后，BP=1×3=3， CP=BC-BP=9. CQ=BP=3
∵AB=BC=AC=12cm，
∴△ABC是等边三角形，∠B=∠C=60°
∵BD=AB=9，∴BD=CP，
在△BPD和△CQP中，
△BPD≌CQP（SAS）
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴BP=CQ
∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形.
∠BAC=∠ABC=∠C=60°
∵在△ABP和△BCQ中，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP=∠CBQ；
∠AFQ=∠BAP+∠BAF
∴∠AFQ=∠CBQ+∠BAF=∠ABC=60°
（3）
【完整解答】解：（3）当点Q运动秒后，可得到等边△CQP
【思路引导】（1）经过1s后，BP=3， CP=9.，CQ=3，由已知可得BD=CP，BP=CQ，，可证得△BPD≌CQP（SAS）；
（2） 由题意可知点Q的运动速度与点P的运动速度相等，可得BP=CQ，已知AB=BC=AC，可知△ABC是等边三角形.∠ABC=∠C=60°，可证得△ABP≌△BCQ（SAS），即∠BAP=∠CBQ，∠AFQ=∠BAP+∠BAF，可知∠AFQ=∠CBQ+∠BAF=∠ABC=60°。
（3）要使 △CQP是等边三角形，必须满足 CQ=CP=QP。
知识点05：等边三角形的判定
34．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
【答案】D
【完整解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】根据平行线的性质可判断A；根据等边三角形的判定定理可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；根据线段垂直平分线的性质可判断D.
35．（2021八上·姜堰月考）下面给出几种三角形：（1）有两个角为 的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为 的等腰三角形；其中是等边三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【完整解答】解：（1）有两个角为 的三角形是等边三角形，故（1）正确；
（2）∵三个外角都相等，
∴相邻的三个内角都相等，
又∵三角形的内角和为180°，
∴三个内角都是60°，
∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故（2）正确；
（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故（3）错误；
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故（4）正确，
∴能证得等边三角形的有（1）、（2）、（4），共3个.
故答案为：B.
【思路引导】根据等边三角形的判定定理可判断（1）；由三个外角相等可得三个内角都是60°，据此判断（2）；一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，据此判断（3）；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，据此判断（4）.
36．（2020八上·西宁月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足|a－b|＋|b－c|＝0，△ABC的形状为
【答案】等边三角形
【完整解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ 是等边三角形.
故答案是：等边三角形.
【思路引导】根据绝对值的非负性，得到 ， ，所以 是等边三角形.
37．（2021八上·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【完整解答】解：①如果添加条件为“ ”，由 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故①正确；
②如果添加条件为“ ”，由 ，三角形内角和为 ，可知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，则可得出 是等边三角形；故②正确；
③如果添加条件为“边 、 上的高相等”，由 的面积 底 高，边 、 上的高相等，可知 ，又因为 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故③正确．
故答案为：①②③．
【思路引导】利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对①作出判断；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出此三角形的三个内角的度数，利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可对②作出判断；利用同一个三角形的面积相等，可证得AB=BC，因此利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对③作出判断；综上所述可得正确结论的序号。
38．（2019八上·扬州月考）如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60°，∴∠BAD=∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得DA=DC， 根据等边对等角可得∠DAC=∠C=30°， 利用三角形的外角的性质可得∠ADB=60°， 由三角形的内角和定理可得∠BAD=60°， 根据三个角是60°的三角形是等边三角形即可判断△ABD是等边三角形.
39．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵ ， ，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵ ，
∴∠B=60°，
是等边三角形.
【思路引导】利用垂直的定义可证∠BED=∠CFD=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠B=∠C，再求出∠B=60°，即可证得结论.
40．（2021八上·金昌期末）已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足 ，试判断三角形ABC的形状.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
【思路引导】先将已知的等式变形成两个完全平方式的和的形式，再根据非负数的性质即可得出a、b、c的关系，进而进行判断.
41．（2021八上·荷塘期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，
（1）作∠ADC的角平分线DE，交AB于点E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
（2）判断△ADE是什么三角形，并说明理由；
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：△ADE是等边三角形；
理由如下：
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∵∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
【思路引导】（1）利用尺规作图作出∠ADC的角平分线DE，交AB于点E即可；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，由平行线的性质可得∠CDE=∠AED，即得∠ADE=∠AED，利用等角对等边可得AD=AE，根据等边三角形的判定即证.
知识点06：等边三角形的判定与性质
42．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．12
【答案】A
【完整解答】在△ABC中，∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC＝3，∴△ABC的周长为：3BC＝9，
故答案为：A．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，得△ABC为等边三角形，即而求出△ABC的周长。
43．（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（ ）
A．8＋2mB．8＋mC．6＋2mD．6＋m
【答案】C
【完整解答】解：∵ ， ，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ= ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，
∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= ，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12， ，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【思路引导】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ= MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
44．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44B．43C．42D．41
【答案】C
【完整解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12.
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42.
故答案为：C.
【思路引导】根据旋转的性质可得BD＝BC＝12，推出△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝12，利用勾股定理求出AB，进而可将△ACF与△BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.
45．（2018八上·如皋期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于 ．
【答案】4
【完整解答】∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=30°，
∵AD=1，
∴AE=2，
∵BC=6，
∴AC=BC=6，
∴CE=AC−AE=6−2=4.
故答案为：4.
【思路引导】先由有两个角是60°的三角形为等边三角形可知∠A=60°，所以结合DE⊥AB，可知∠AED=30°，进而由直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半可知AE=2AD=2，故CE=6-2=4.
46．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中， 的平分线与 的平分线相交于D，过点D作 交AB于E，交AC于F， ，则BC的长为 .
【答案】6
【完整解答】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA=4，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6.
【思路引导】证得△AEF也是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE=EF=FA=4，AB=AC=BC，从而得EB=FC，由角平分定义及平行线的性质得∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，利用等角对等边可得EB=ED=DF=FC=2，从而求出BC=AB=AE+EB=6.
47．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为 ．
【答案】130°
【完整解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【思路引导】根据角平分线的性质、等边三角形的判定与性质即可得出答案。
48．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【完整解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【思路引导】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
49．（2021八上·江阴月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求证：AD=DE.
【答案】证明：如图，在AB上截取AF=DC，连接FD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
又∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，BD=DF，
∴∠AFD=120°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
∴∠DCE=∠AFD，
∵CE=BD，
∴CE=DF，
在△ADF和△DEC中，
∵CE=DF，∠DCE=∠AFD，DC = AF，
∴△ADF≌△DEC（SAS），
∴AD=DE.
【思路引导】 在AB上截取AF=DC，连接FD，证出△ADF≌△DEC，即可得出AD=DE.
50．（2020八上·漳平期中）如图，C是BE上一点，D是AC的中点，且AB=AC，DE=DB，∠A=60°，△ABC的周长是18cm．求∠E的度数及CE的长度．
【答案】解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵△ABC的周长是18cm，
∴AB=AC=BC= ×18=6cm，
∵D是AC的中点，
∴CD= AC= ×6=3cm，
∵AB=BC，D是AC的中点，
∴∠CBD= ∠ABC= ×60°=30°，
∵BD=DE，
∴∠CBD=∠E=30°，
∵∠ACB是△DCE的一个外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD=3cm．
【思路引导】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得：△ABC是等边三角形，由此可计算边长为6cm，根据等腰三角形三线合一的性质得中线AD是高线和角平分线，所以可以求得CD的长，由外角定理证明∠CDE=∠E，所以CE=CD=3cm．
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
的三角形，叫做等腰三角形，其中 叫做腰，另一边叫做底， 叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为 ,∠A是
∠B 、∠C是 ．
知识要点：等腰直角三角形的两个 相等，且都等于 .等腰三角形的底角只能为 ，不能为钝角（或直角），但顶角可为
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）．
性质2：等腰三角形的 互相重合（简称“ ”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角 .是证明 的一个重要依据．
性质2用来证明 等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的 所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有 相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“ ”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明 的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为 的重要依据.等腰三角形的 是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·长沙期末）如图，B在AC上，D在CE上， ， ， 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
2．（2021八上·大庆期末）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
3．（2021八上·无棣期中）等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°
4．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．（2021八上·大庆期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为 ．
6．（2021八上·淮滨月考）如图，已知∠AOB＝72°，点C为∠AOB平分线上的一点，点D为OB上一点，OD＝CD.则∠OCD等于 °.
7．（2019八上·渭源月考）如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
8．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
10．（2020八上·金坛期中）如图，在四边形ABCD中， ，DE平分 交BC于点E，若 ， ，则CD的长是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
11．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
12．（2018八上·九台期末）将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在 处， 交AD于点E，则△EBD的形状是 ．
13．（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
14．（2021八上·岳阳期末）如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
15．（2021八上·密山期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
16．（2021八上·徐闻期末）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2019八上·肥城开学考）如图， 中， 是角平分线， 交 于 ，交 于 ，若 ， ，则 （ ）
A．10B．12C．14D．16
18．（2018八上·沈河期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两条边相等的三角形是等腰三角形
B．同位角相等
C．如果 ，那么
D．等腰三角形的两边长是2和3，则周长是7
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
20．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
21．（2021八上·武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝ .
22．（2020八上·河南期中）如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
23．（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
24．（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证： ；
（2）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
知识点04：等边三角形的性质
25．（2021八上·如皋期中）等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
26．（2021八上·剑河月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．等腰三角形是特殊的等边三角形
D．所有的等腰三角形都是锐角三角形
27．（2021八上·汉寿期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.则 .
28．（2019八上·灌云月考）如图1.在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样健的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 .
29．（2021八上·抚顺期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
30．（2021八上·巨野期中）如图， 是等边三角形，若 ， ， ，求 的度数．
31．（2021八上·章贡期末）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
32．（2021八上·通州期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．
（1）求证：直线是线段的垂直平分线；
（2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
33．（2021八上·通榆期末）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）如（图1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）如（图2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数。
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动 秒后，可得到等边△CQP。
知识点05：等边三角形的判定
34．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
35．（2021八上·姜堰月考）下面给出几种三角形：（1）有两个角为 的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为 的等腰三角形；其中是等边三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
36．（2020八上·西宁月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足|a－b|＋|b－c|＝0，△ABC的形状为
37．（2021八上·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有 ．（填序号）
38．（2019八上·扬州月考）如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证： 是等边三角形.
39．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
40．（2021八上·金昌期末）已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足 ，试判断三角形ABC的形状.
41．（2021八上·荷塘期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，
（1）作∠ADC的角平分线DE，交AB于点E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
（2）判断△ADE是什么三角形，并说明理由；
知识点06：等边三角形的判定与性质
42．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．12
43．（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（ ）
A．8＋2mB．8＋mC．6＋2mD．6＋m
44．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44B．43C．42D．41
45．（2018八上·如皋期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于 ．
46．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中， 的平分线与 的平分线相交于D，过点D作 交AB于E，交AC于F， ，则BC的长为 .
47．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为 ．
48．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
49．（2021八上·江阴月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求证：AD=DE.
50．（2020八上·漳平期中）如图，C是BE上一点，D是AC的中点，且AB=AC，DE=DB，∠A=60°，△ABC的周长是18cm．求∠E的度数及CE的长度．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第2章《轴对称图形》
2.5 等腰三角形的轴对称性
必刷知识点
知识点01：等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
知识点03：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
知识要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
知识点01：等腰三角形的性质
1．（2021八上·长沙期末）如图，B在AC上，D在CE上， ， ， 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【完整解答】解： ， ，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【思路引导】由等边对等角得，利用三角形外角的性质求出，由等边对等角得，根据三角形外角的性质求出.
2．（2021八上·大庆期末）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【完整解答】∵AD BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故答案为：C．
【思路引导】利用平行四边形的性质得出三角形ABE为等腰三角形，然后求出CDE的度数。
3．（2021八上·无棣期中）等腰三角形的底角等于50°，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°
【答案】B
【完整解答】解：∵ 等腰三角形的底角等于50°，
∴ 等腰三角形的顶角度数=180°-50°×2=80°.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，再根据三角形内角和定理即可得出顶角的度数.
4．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
5．（2021八上·大庆期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为 ．
【答案】10或14或10
【完整解答】解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
， ，
BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，
， ，
， ，
由等角对等边可知： ， ，
情况1：当 与 相交时，如下图所示：
，
，
，
情况2：当 与 不相交时，如下图所示：
，
，
故答案为：10或14．
【思路引导】根据四边形ABCD是平行四边形，证明= ， ，由等角对等边可知： ， ，然后分为当 与 相交和当 与 不相交两种情况进行求解。
6．（2021八上·淮滨月考）如图，已知∠AOB＝72°，点C为∠AOB平分线上的一点，点D为OB上一点，OD＝CD.则∠OCD等于 °.
【答案】36
【完整解答】解：∵∠AOB＝72°，点C为∠AOB平分线上的一点，
∴∠DOC＝ ∠AOB＝36°，
∵OD＝CD，
∴∠OCD＝∠DOC＝36°.
故答案为：36.
【思路引导】根据角平分线的概念可得∠DOC＝∠AOB＝36°，然后根据等腰三角形的性质进行计算.
7．（2019八上·渭源月考）如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
【答案】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可以证明DF=EF，BF=CF，然后两式相减即可得到BD=CE.过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF（三线合一），
∵AD=AE，AF⊥BC，
∴DF=EF，（三线合一）
∴BF-DF=CF-EF，
即BD=CE.
【思路引导】 如图所示：过点A作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可以证明DF=EF，BF=CF，然后两式相减即可得到BD=CE.
8．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【思路引导】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
知识点02：等腰三角形的判定
9．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【完整解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
10．（2020八上·金坛期中）如图，在四边形ABCD中， ，DE平分 交BC于点E，若 ， ，则CD的长是（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
【答案】C
【完整解答】解：∵
∴∠ADE=∠DEC
又∵DE平分
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC
∴CD=CE
∵ ，
∴CD=CE=10-4=6cm
故答案为：C.
【思路引导】根据平行线的性质，结合角平分线的定义得出∠CDE=∠DEC，根据等角对等边求出CD=CE，然后根据线段的和差关系求CD即可.
11．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【完整解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【思路引导】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
12．（2018八上·九台期末）将一张长方形的纸片ABCD按如图所示方式折叠，使C点落在 处， 交AD于点E，则△EBD的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【完整解答】根据折叠的性质可知∠DBC=∠DBE，然后根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，因此可得∠DBE=∠EDB，根据等角对等边可证得△DBE为等腰三角形．
【思路引导】根据折叠的性质可知∠DBC=∠DBE，然后根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，因此可得∠DBE=∠EDB，根据等角对等边可证得△DBE为等腰三角形．
13．（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有 个．
【答案】3
【完整解答】解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，
∴为等腰三角形，符合题意；
第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；
第三个图以B为圆心，AB长为半径，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，符合题意；
第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，
∴为等腰三角形，符合题意；
综上可得：有三个图使得为等腰三角形，
故答案为：3．
【思路引导】根据等腰三角形的判定定理判断各图形即可得出答案。
14．（2021八上·岳阳期末）如图， △ABC中， AB=AC ，D、E分别是AB、AC上的点，且 ∠ABE=∠ACD ，BE、CD交于点O，求证： △OBC是等腰三角形.
【答案】证明：方法一：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形；
方法二：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△OBD和△OCE中，
，
∴OBD≌△OCE（AAS），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形.
【思路引导】 方法一 ：由等边对等角可得∠ABC=∠ACB， 由等量减等量差相等得∠EBC=∠DCB，根据等腰三角形的判定定理即证；
方法二 ：利用ASA证明△ABE≌△ACD，可得AD=AE，再永AAS证明OBD≌△OCE，可得OB=OC，根据等腰三角形的判定定理即证.
15．（2021八上·密山期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
【答案】解：由原式可得，a（2+b）=c（2+b），
∵2+b≠0，a、b、c不等于0，
∴a=c，
∴ΔABC是等腰三角形.
【思路引导】先求出 a（2+b）=c（2+b）， 再求出 a=c， 最后判断求解即可。
16．（2021八上·徐闻期末）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BAAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
即△OAB是等腰三角形；
（2）解：由（1）得：∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
∵∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAB＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，
∴AO＝BO＝2OC，
∵AC＝AO+OC，
∴AC＝3OC．
【思路引导】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB＝∠DBA，即可得出结论；
（2）由（1）得出∠CAB＝∠DBA，则AO＝BO，由直角三角形的性质得出∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，再由含30度角的直角三角形的性质得出AO＝BO＝2OC，即可得出结论。
知识点03：等腰三角形的判定和性质
17．（2019八上·肥城开学考）如图， 中， 是角平分线， 交 于 ，交 于 ，若 ， ，则 （ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【完整解答】∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，△EDB为等腰三角形， ，
∴
故答案为：B．
【思路引导】先利用角平分线和平行线的性质得到 ，再得到△EBD为等腰三角形，所以 ，最后计算即可．
18．（2018八上·沈河期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两条边相等的三角形是等腰三角形
B．同位角相等
C．如果 ，那么
D．等腰三角形的两边长是2和3，则周长是7
【答案】A
【完整解答】A、有两条边相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确；
B、两直线平行，同位角相等，故本选项错误；
C、如果|a|=|b|，那么a=±b，故本选项错误；
D、等腰三角形的两边长是2和3，则周长是2+2+3=7或3+3+2=8，故本选项错误，
故答案为：A.
【思路引导】分别根据等腰三角形的判定定理、绝对值的性质及等腰三角形的性质各选项进行逐一分析即可.
19．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
【答案】或
【完整解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【思路引导】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
20．（2021八上·云梦期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为 .
【答案】140°
【完整解答】解：如图：连接OB、OC，
∵∠BAC＝70°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝ ∠BAC＝ ×70°＝35°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ （180°−∠BAC）＝ （180°−70°）＝55°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝35°，
∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝55°−35°＝20°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO（SAS）
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝20°，
在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−20°−20°＝140°，
故答案为：140°.
【思路引导】连接OB、OC，利用角平分线的定义可求出∠BAO的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用垂直平分线的性质和等边对等角可得到∠OBA，∠OBC的度数，然后利用SAS证△ABO≌△ACO，可得OB=OC，从而得到∠OCB的度数，再利用折叠的性质可证得OE=CE，∠COE=20°；然后利用三角形的内角和定理求出∠OEC的度数.
21．（2021八上·武汉月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝ .
【答案】5
【完整解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵MF∥AD，
∴∠DAC＝∠AFE，∠BAD＝∠E，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF；
延长FM至点N，使MN＝FM， ∠BMN＝∠CMF，MB＝CM，
∴△BMN≌△CMF（SAS），
∴CF＝BN，∠N＝∠MFC，
∵∠EFA＝∠MFC，
∴∠N＝∠EFA，
∴∠N＝∠E，
∴BN＝BE，
∴AB＋AC＝AB＋AF＋FC＝AB＋AE＋FC＝BE＋FC，
∵BE＝FC，
∴2BE=10，
∴BE=5.
故答案为：5.
【思路引导】根据平行线的性质得∠DAC＝∠AFN，∠BAD＝∠E，结合角平分线的定义证出∠E＝∠AFE，根据等角对等边得出AE=AF；延长FM至点N，使MN＝FM，连接AN，证明△BMN≌△CMF，得出CF＝BN，∠N＝∠MFC，得出BN＝BE，证明得出AB＋AC＝2BE，可求出答案．
22．（2020八上·河南期中）如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
【答案】解：∵△ABC满足∠A=86°，∠B=42°，
∴∠ACB=180°-86°-42°=52°，
∴∠DCE=52°，
∵CD=CE，
∴∠E=（180°-52°）÷2=64°.
【思路引导】在△ABC中，用三角形内角和定理求得∠ACB的度数，由对顶角相等可得∠DCE的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理可求解.
23．（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
【答案】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【思路引导】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。
24．（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证： ；
（2）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
知识点04：等边三角形的性质
25．（2021八上·如皋期中）等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【完整解答】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴ CE⊥AB，BD平分∠ABC
∴∠OEB=90°，∠EBO= ∠ABC=30°，
则在△BOE中，
∴∠BOE= 180°-∠BEO- ∠OBE= 60°.
故答案为：C.
【思路引导】画出示意图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，由等边三角形的性质可得CE⊥AB，BD平分∠ABC，根据角平分线的概念可得∠EBO=∠ABC=30°，然后在Rt△BOE中，根据内角和定理就可求出∠BOE的度数.
26．（2021八上·剑河月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形
B．等边三角形是特殊的等腰三角形
C．等腰三角形是特殊的等边三角形
D．所有的等腰三角形都是锐角三角形
【答案】B
【完整解答】解：A、根据三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，故此选项错误；
B、等腰三角形分为一般等腰三角形（腰与底不相等的等腰三角形）和特殊等腰三角形（等边三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形，故此选项正确；
C、等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故此选项错误；
D、等腰直角三角形也是等腰三角形，但它是直角三角形，故此选项错误.
故答案为：B.
【思路引导】根据三角形按角分类可判断A；根据等边三角形、等腰三角形的关系可判断B、C；等腰直角三角形既是等腰三角形，也是直角三角形，据此判断D.
27．（2021八上·汉寿期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.则 .
【答案】30°
【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
故答案为：30°.
【思路引导】根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，根据等边对等角得出∠CAD＝∠D，进而根据三角形外角的性质，由∠ACB＝∠CAD＋∠D即可求解.
28．（2019八上·灌云月考）如图1.在平面内取一定点O，引一条射线Ox，再取定一个长度单位，那么平面上任一点M的位置可由OM的长度m与∠xOM的度数α确定，有序数对(m，α)称为M点的极坐标，这样健的坐标系称为极坐标系，如图2，在极坐标系下，有一个等边三角形AOB，AB＝4，则点B的极坐标为 .
【答案】(4，60°)
【完整解答】解：如图，
∵在等边△AOB中，OB=4，∠O=60°，
∴点B的极坐标为（4，60°）.
故答案是：（4，60°）.
【思路引导】根据等边三角形的性质得到OB=4，∠O=60°，结合极坐标的定义填空.
29．（2021八上·抚顺期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．
（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．
【答案】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【思路引导】（1）结论：BM＝AN，BM⊥AN．证明△MBP≌△ANP（SAS），即可得出结论；
（2）结论成立，证明△MPB≌△APN（SAS）即可得出结论；
（3）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．证明△APC为等边三角形，即可得出结论。
30．（2021八上·巨野期中）如图， 是等边三角形，若 ， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 与 中， ，
∴ ≌ （SSS），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】根据 是等边三角形，得出 ， ，利用SSS证明出 ≌ ，得出 ，得出 ，从而得出答案。
31．（2021八上·章贡期末）如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFP=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BFP=60°，
又∵BP⊥AD，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP=30°，
∴BF=2PF=2×6=12
【思路引导】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，AD=BE，再利用角的运算和等量代换可得∠BFP=60°，再利用BP⊥AD，求出∠FBP=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
32．（2021八上·通州期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．
（1）求证：直线是线段的垂直平分线；
（2）点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）证明：连接，，
∵点与点关于射线对称，
∴，
∴
∴
∴为等边三角形，
∵
∴
∴在和中，
∴
∴
∵，
∴
又
∴垂直平分
（2）解：，
【完整解答】解：（2）分两种情况来讨论：
第一种情况，如图，当点D在内部时：
∵点与点关于射线对称，
∴
∴
∵
∴
第二种情况，如图，当点D在外部时：
∵点与点关于射线对称，
∴
∴
∵
∴
【思路引导】（1）先求出 ， ，再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）分类讨论，结合图形求解即可。
33．（2021八上·通榆期末）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）如（图1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）如（图2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数。
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动 秒后，可得到等边△CQP。
【答案】（1）解：△BPD≌△CQP
证明：经过1s后，BP=1×3=3， CP=BC-BP=9. CQ=BP=3
∵AB=BC=AC=12cm，
∴△ABC是等边三角形，∠B=∠C=60°
∵BD=AB=9，∴BD=CP，
在△BPD和△CQP中，
△BPD≌CQP（SAS）
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴BP=CQ
∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形.
∠BAC=∠ABC=∠C=60°
∵在△ABP和△BCQ中，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP=∠CBQ；
∠AFQ=∠BAP+∠BAF
∴∠AFQ=∠CBQ+∠BAF=∠ABC=60°
（3）
【完整解答】解：（3）当点Q运动秒后，可得到等边△CQP
【思路引导】（1）经过1s后，BP=3， CP=9.，CQ=3，由已知可得BD=CP，BP=CQ，，可证得△BPD≌CQP（SAS）；
（2） 由题意可知点Q的运动速度与点P的运动速度相等，可得BP=CQ，已知AB=BC=AC，可知△ABC是等边三角形.∠ABC=∠C=60°，可证得△ABP≌△BCQ（SAS），即∠BAP=∠CBQ，∠AFQ=∠BAP+∠BAF，可知∠AFQ=∠CBQ+∠BAF=∠ABC=60°。
（3）要使 △CQP是等边三角形，必须满足 CQ=CP=QP。
知识点05：等边三角形的判定
34．（2021八上·宜宾期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．有两条边和一个角对应相等的两个三角形一定全等
D．到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上
【答案】D
【完整解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
C、有两边和夹角对应相等的两个三角形一定全等，故原命题错误，不符合题意；
D、到一条线段的两端距离相等的点，必在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】根据平行线的性质可判断A；根据等边三角形的判定定理可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；根据线段垂直平分线的性质可判断D.
35．（2021八上·姜堰月考）下面给出几种三角形：（1）有两个角为 的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为 的等腰三角形；其中是等边三角形的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【完整解答】解：（1）有两个角为 的三角形是等边三角形，故（1）正确；
（2）∵三个外角都相等，
∴相邻的三个内角都相等，
又∵三角形的内角和为180°，
∴三个内角都是60°，
∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故（2）正确；
（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故（3）错误；
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故（4）正确，
∴能证得等边三角形的有（1）、（2）、（4），共3个.
故答案为：B.
【思路引导】根据等边三角形的判定定理可判断（1）；由三个外角相等可得三个内角都是60°，据此判断（2）；一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，据此判断（3）；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，据此判断（4）.
36．（2020八上·西宁月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足|a－b|＋|b－c|＝0，△ABC的形状为
【答案】等边三角形
【完整解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ 是等边三角形.
故答案是：等边三角形.
【思路引导】根据绝对值的非负性，得到 ， ，所以 是等边三角形.
37．（2021八上·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【完整解答】解：①如果添加条件为“ ”，由 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故①正确；
②如果添加条件为“ ”，由 ，三角形内角和为 ，可知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，则可得出 是等边三角形；故②正确；
③如果添加条件为“边 、 上的高相等”，由 的面积 底 高，边 、 上的高相等，可知 ，又因为 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故③正确．
故答案为：①②③．
【思路引导】利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对①作出判断；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出此三角形的三个内角的度数，利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可对②作出判断；利用同一个三角形的面积相等，可证得AB=BC，因此利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对③作出判断；综上所述可得正确结论的序号。
38．（2019八上·扬州月考）如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60°，∴∠BAD=∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得DA=DC， 根据等边对等角可得∠DAC=∠C=30°， 利用三角形的外角的性质可得∠ADB=60°， 由三角形的内角和定理可得∠BAD=60°， 根据三个角是60°的三角形是等边三角形即可判断△ABD是等边三角形.
39．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵ ， ，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵ ，
∴∠B=60°，
是等边三角形.
【思路引导】利用垂直的定义可证∠BED=∠CFD=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠B=∠C，再求出∠B=60°，即可证得结论.
40．（2021八上·金昌期末）已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足 ，试判断三角形ABC的形状.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴a－b=0且b－c=0，
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
【思路引导】先将已知的等式变形成两个完全平方式的和的形式，再根据非负数的性质即可得出a、b、c的关系，进而进行判断.
41．（2021八上·荷塘期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，
（1）作∠ADC的角平分线DE，交AB于点E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
（2）判断△ADE是什么三角形，并说明理由；
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：△ADE是等边三角形；
理由如下：
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∵∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
【思路引导】（1）利用尺规作图作出∠ADC的角平分线DE，交AB于点E即可；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，由平行线的性质可得∠CDE=∠AED，即得∠ADE=∠AED，利用等角对等边可得AD=AE，根据等边三角形的判定即证.
知识点06：等边三角形的判定与性质
42．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9B．8C．6D．12
【答案】A
【完整解答】在△ABC中，∵∠B＝60°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC＝3，∴△ABC的周长为：3BC＝9，
故答案为：A．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，得△ABC为等边三角形，即而求出△ABC的周长。
43．（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（ ）
A．8＋2mB．8＋mC．6＋2mD．6＋m
【答案】C
【完整解答】解：∵ ， ，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ= ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，
∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= ，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12， ，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【思路引导】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ= MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
44．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44B．43C．42D．41
【答案】C
【完整解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12.
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42.
故答案为：C.
【思路引导】根据旋转的性质可得BD＝BC＝12，推出△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝12，利用勾股定理求出AB，进而可将△ACF与△BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.
45．（2018八上·如皋期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于 ．
【答案】4
【完整解答】∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=30°，
∵AD=1，
∴AE=2，
∵BC=6，
∴AC=BC=6，
∴CE=AC−AE=6−2=4.
故答案为：4.
【思路引导】先由有两个角是60°的三角形为等边三角形可知∠A=60°，所以结合DE⊥AB，可知∠AED=30°，进而由直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半可知AE=2AD=2，故CE=6-2=4.
46．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中， 的平分线与 的平分线相交于D，过点D作 交AB于E，交AC于F， ，则BC的长为 .
【答案】6
【完整解答】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA=4，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6.
【思路引导】证得△AEF也是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE=EF=FA=4，AB=AC=BC，从而得EB=FC，由角平分定义及平行线的性质得∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，利用等角对等边可得EB=ED=DF=FC=2，从而求出BC=AB=AE+EB=6.
47．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为 ．
【答案】130°
【完整解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【思路引导】根据角平分线的性质、等边三角形的判定与性质即可得出答案。
48．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【完整解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【思路引导】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
49．（2021八上·江阴月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求证：AD=DE.
【答案】证明：如图，在AB上截取AF=DC，连接FD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
又∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，BD=DF，
∴∠AFD=120°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
∴∠DCE=∠AFD，
∵CE=BD，
∴CE=DF，
在△ADF和△DEC中，
∵CE=DF，∠DCE=∠AFD，DC = AF，
∴△ADF≌△DEC（SAS），
∴AD=DE.
【思路引导】 在AB上截取AF=DC，连接FD，证出△ADF≌△DEC，即可得出AD=DE.
50．（2020八上·漳平期中）如图，C是BE上一点，D是AC的中点，且AB=AC，DE=DB，∠A=60°，△ABC的周长是18cm．求∠E的度数及CE的长度．
【答案】解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵△ABC的周长是18cm，
∴AB=AC=BC= ×18=6cm，
∵D是AC的中点，
∴CD= AC= ×6=3cm，
∵AB=BC，D是AC的中点，
∴∠CBD= ∠ABC= ×60°=30°，
∵BD=DE，
∴∠CBD=∠E=30°，
∵∠ACB是△DCE的一个外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD=3cm．
【思路引导】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得：△ABC是等边三角形，由此可计算边长为6cm，根据等腰三角形三线合一的性质得中线AD是高线和角平分线，所以可以求得CD的长，由外角定理证明∠CDE=∠E，所以CE=CD=3cm．
相关试卷
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【6.1函数】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了1 函数，03等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【6.1函数】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【6.1函数】(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了1 函数，5小时，这里的“1，9t2；，8m/s2）；，3xB．y＝8x+0，3升/分钟，则油箱中剩余油量Q，6；等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【3.3勾股定理的应用】(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【3.3勾股定理的应用】(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了3 勾股定理的应用，9mB．1，2尺C．4，5m，等内容，欢迎下载使用。
