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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【第2章《轴对称图形》章节达标检测】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【第2章《轴对称图形》章节达标检测】(原卷版+解析)，共27页。
章节达标检测
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•望城区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）（2022•雨花区校级开学）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
3．（2分）（2020秋•雨花区校级月考）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
4．（2分）（2018秋•雨花区校级月考）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
5．（2分）（2022•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
6．（2分）（2022•开福区校级二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
7．（2分）（2021秋•雨花区校级期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
8．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（2分）（2021秋•长沙期中）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，∠BAC＝20°，∠B'＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
10．（2分）（2021秋•长沙县校级月考）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝2，则PD＝ ．
12．（2分）（2019•雨花区校级开学）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 ．
13．（2分）（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 ．
14．（2分）（2019秋•天心区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 ．
15．（2分）（2022春•长沙期中）如图，将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠AEB′＝30，则∠DFE的度数为 ．
16．（2分）（2022•开福区三模）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长为 ．
17．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC＝32°，∠ACB＝18°，则∠CFE的度数为 ．
18．（2分）（2021秋•长沙县期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OC＝6，点E是射线OA上的一个动点，那么EC的最小值为 ．
19．（2分）（2022春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
20．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2020秋•长沙期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BC的长．
22．（6分）（2019春•雨花区校级期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝30°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ABC的面积为24，CD＝3，求AE的长．
23．（6分）（2021秋•长沙期末）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积；
（4）设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
24．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
25．（6分）（2021秋•开福区校级月考）小刚准备用一段长41米的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知第一条边长m米，第二条边是第一条边的3倍少4米．
（1）请用含m的式子表示第三边的长度；
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边长．
26．（6分）（2019秋•浏阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长．
27．（8分）（2022•长沙开学）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DF＝FG；
（3）若DC＝2，求线段EG的长．
28．（8分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
29．（8分）（2018秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
题号
一
二
三
总分
评分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第2章《轴对称图形》
章节达标检测
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•望城区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2分）（2022•雨花区校级开学）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案为：6，
故选：C．
3．（2分）（2020秋•雨花区校级月考）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
4．（2分）（2018秋•雨花区校级月考）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
5．（2分）（2022•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝10，
故选：C．
6．（2分）（2022•开福区校级二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
7．（2分）（2021秋•雨花区校级期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
解：根据折叠的性质得：∠2＝∠BOG，
∵∠1＝70°，
∴∠B′OG+∠BOG＝110°，
∴∠2＝×110°＝55°，
故选：D．
8．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××DE•AB＝DE•AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝DE•AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝DE，
∵DE＝4，
∴BF＝8，
故选：D．
9．（2分）（2021秋•长沙期中）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，∠BAC＝20°，∠B'＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
解：∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
故选：D．
10．（2分）（2021秋•长沙县校级月考）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠ECD＝∠CED＝∠A+∠CDB＝45°
∴∠EDF＝∠EFD＝∠A+∠CED＝60°
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝2，则PD＝ 2 ．
解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PC＝2．
故答案为：2．
12．（2分）（2019•雨花区校级开学）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 ．
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
13．（2分）（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4 ．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
14．（2分）（2019秋•天心区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 2 ．
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
15．（2分）（2022春•长沙期中）如图，将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠AEB′＝30，则∠DFE的度数为 75° ．
解：由折叠可得，∠BEF＝∠B'EF，
∵∠AEB′＝30，∠AEB′+∠BEF+∠B'EF＝180°，
∴∠BEF＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵CD∥AB，
∴∠DFE＝∠BEF＝75°，
故答案为：75°．
16．（2分）（2022•开福区三模）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长为 5 ．
解：∵MN垂直平分BC，CE＝4，
∴BE＝CE＝4，BD＝DC，
∵△BDC的周长为18，
∴BD+DC+BC＝18，
∴2BD+BC＝18，
∴2BD+4+4＝18，
∴BD＝5．
故答案为：5．
17．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC＝32°，∠ACB＝18°，则∠CFE的度数为 118° ．
解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，
∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，
∵∠ABC＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣18°﹣32°＝130°＝∠BAE，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，
故答案为：118°．
18．（2分）（2021秋•长沙县期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OC＝6，点E是射线OA上的一个动点，那么EC的最小值为 3 ．
解：过点C作CE⊥OA于E，
根据垂线段最短可知，此时EC最小，
∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝×6＝3，即EC的最小值为3，
故答案为：3．
19．（2分）（2022春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 12 ．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，
故答案为：12．
20．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 27 ．
解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2020秋•长沙期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BC的长．
（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上；
（2）在Rt△ADC中，AD＝2CD＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+2＝6．
22．（6分）（2019春•雨花区校级期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝30°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ABC的面积为24，CD＝3，求AE的长．
解：（1）∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∵AC是∠BAE的角平分线．
∴∠BAC＝∠BAE＝30°；
（2）∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝6，
∵S△ABC＝BC•AE，
∴×6×AE＝24，
∴AE＝8．
23．（6分）（2021秋•长沙期末）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积；
（4）设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如上图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）S﹣＝4；
（4）当点P在y轴上时，△ABP的面积＝AP×|xB|＝4，
即AP×2＝4，
解得：AP＝4．
∴点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
24．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
解：（1）∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△CED是等腰三角形．
25．（6分）（2021秋•开福区校级月考）小刚准备用一段长41米的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知第一条边长m米，第二条边是第一条边的3倍少4米．
（1）请用含m的式子表示第三边的长度；
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边长．
解：（1）第二条边的长为（3m﹣4）米，
第三边长为：41﹣m﹣（3m﹣4）＝（45﹣4m）米；
（2）当m＝3m﹣4时，解得m＝2，三角形三边长分别为2，2，37，不符合三角形三边的关系，舍去；
当m＝45﹣4m时，解得m＝9，三角形三边长分别为9，9，23，不符合三角形三边的关系，舍去；
当3m﹣4＝45﹣4m时，解得m＝7，三角形三边长分别为7，7，17，符合三角形三边的关系；
综上所述，三角形三边长分别为7米，17米，17米．
26．（6分）（2019秋•浏阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长．
解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长26cm，AC＝10cm，
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm）．
27．（8分）（2022•长沙开学）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DF＝FG；
（3）若DC＝2，求线段EG的长．
（1）解：∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°；
（2）证明：∵∠DAC＝45°，CF⊥AF，
∴∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴FG＝FD；
（3）在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，
DF＝CD＝1，
∴FG＝DF＝1，CF＝＝，
∴CG＝CF＝FG＝﹣1，
在Rt△CGE中，EG＝CG＝．
28．（8分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．
29．（8分）（2018秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 直角三角形 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝＝＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED＝＝＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°
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考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•望城区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）（2022•雨花区校级开学）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
3．（2分）（2020秋•雨花区校级月考）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
4．（2分）（2018秋•雨花区校级月考）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
5．（2分）（2022•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
6．（2分）（2022•开福区校级二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
7．（2分）（2021秋•雨花区校级期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
8．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（2分）（2021秋•长沙期中）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，∠BAC＝20°，∠B'＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
10．（2分）（2021秋•长沙县校级月考）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝2，则PD＝ ．
12．（2分）（2019•雨花区校级开学）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 ．
13．（2分）（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 ．
14．（2分）（2019秋•天心区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 ．
15．（2分）（2022春•长沙期中）如图，将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠AEB′＝30，则∠DFE的度数为 ．
16．（2分）（2022•开福区三模）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长为 ．
17．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC＝32°，∠ACB＝18°，则∠CFE的度数为 ．
18．（2分）（2021秋•长沙县期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OC＝6，点E是射线OA上的一个动点，那么EC的最小值为 ．
19．（2分）（2022春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 ．
20．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2020秋•长沙期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BC的长．
22．（6分）（2019春•雨花区校级期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝30°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ABC的面积为24，CD＝3，求AE的长．
23．（6分）（2021秋•长沙期末）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积；
（4）设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
24．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
25．（6分）（2021秋•开福区校级月考）小刚准备用一段长41米的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知第一条边长m米，第二条边是第一条边的3倍少4米．
（1）请用含m的式子表示第三边的长度；
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边长．
26．（6分）（2019秋•浏阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长．
27．（8分）（2022•长沙开学）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DF＝FG；
（3）若DC＝2，求线段EG的长．
28．（8分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
29．（8分）（2018秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
题号
一
二
三
总分
评分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第2章《轴对称图形》
章节达标检测
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•望城区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2分）（2022•雨花区校级开学）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案为：6，
故选：C．
3．（2分）（2020秋•雨花区校级月考）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
4．（2分）（2018秋•雨花区校级月考）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
5．（2分）（2022•长沙模拟）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（ ）
A．5B．8C．10D．13
解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝10，
故选：C．
6．（2分）（2022•开福区校级二模）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．
故选：A．
7．（2分）（2021秋•雨花区校级期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若∠1＝70°，求∠2的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
解：根据折叠的性质得：∠2＝∠BOG，
∵∠1＝70°，
∴∠B′OG+∠BOG＝110°，
∴∠2＝×110°＝55°，
故选：D．
8．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××DE•AB＝DE•AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝DE•AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝DE，
∵DE＝4，
∴BF＝8，
故选：D．
9．（2分）（2021秋•长沙期中）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，∠BAC＝20°，∠B'＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
解：∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
故选：D．
10．（2分）（2021秋•长沙县校级月考）如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠ECD＝∠CED＝∠A+∠CDB＝45°
∴∠EDF＝∠EFD＝∠A+∠CED＝60°
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝2，则PD＝ 2 ．
解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PC＝2．
故答案为：2．
12．（2分）（2019•雨花区校级开学）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 ．
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
13．（2分）（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4 ．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为：2.4
14．（2分）（2019秋•天心区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是 2 ．
解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为2．
15．（2分）（2022春•长沙期中）如图，将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠AEB′＝30，则∠DFE的度数为 75° ．
解：由折叠可得，∠BEF＝∠B'EF，
∵∠AEB′＝30，∠AEB′+∠BEF+∠B'EF＝180°，
∴∠BEF＝×（180°﹣30°）＝75°，
∵CD∥AB，
∴∠DFE＝∠BEF＝75°，
故答案为：75°．
16．（2分）（2022•开福区三模）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD．若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长为 5 ．
解：∵MN垂直平分BC，CE＝4，
∴BE＝CE＝4，BD＝DC，
∵△BDC的周长为18，
∴BD+DC+BC＝18，
∴2BD+BC＝18，
∴2BD+4+4＝18，
∴BD＝5．
故答案为：5．
17．（2分）（2021秋•望城区期末）如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC＝32°，∠ACB＝18°，则∠CFE的度数为 118° ．
解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，
∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，
∵∠ABC＝32°，
∴∠BAC＝180°﹣18°﹣32°＝130°＝∠BAE，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，
故答案为：118°．
18．（2分）（2021秋•长沙县期末）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OC＝6，点E是射线OA上的一个动点，那么EC的最小值为 3 ．
解：过点C作CE⊥OA于E，
根据垂线段最短可知，此时EC最小，
∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝×6＝3，即EC的最小值为3，
故答案为：3．
19．（2分）（2022春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 12 ．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，EF＝BC＝5，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，
故答案为：12．
20．（2分）（2021秋•长沙期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 27 ．
解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2020秋•长沙期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BC的长．
（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上；
（2）在Rt△ADC中，AD＝2CD＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+2＝6．
22．（6分）（2019春•雨花区校级期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝30°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ABC的面积为24，CD＝3，求AE的长．
解：（1）∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∵AC是∠BAE的角平分线．
∴∠BAC＝∠BAE＝30°；
（2）∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝6，
∵S△ABC＝BC•AE，
∴×6×AE＝24，
∴AE＝8．
23．（6分）（2021秋•长沙期末）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（3）求△ABC的面积；
（4）设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如上图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）S﹣＝4；
（4）当点P在y轴上时，△ABP的面积＝AP×|xB|＝4，
即AP×2＝4，
解得：AP＝4．
∴点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
24．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB＝DE．
（1）求∠BDE的度数；
（2）求证：△CED为等腰三角形．
解：（1）∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBE＝30°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△CED是等腰三角形．
25．（6分）（2021秋•开福区校级月考）小刚准备用一段长41米的篱笆围成三角形，用于养鸡，已知第一条边长m米，第二条边是第一条边的3倍少4米．
（1）请用含m的式子表示第三边的长度；
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形三边长．
解：（1）第二条边的长为（3m﹣4）米，
第三边长为：41﹣m﹣（3m﹣4）＝（45﹣4m）米；
（2）当m＝3m﹣4时，解得m＝2，三角形三边长分别为2，2，37，不符合三角形三边的关系，舍去；
当m＝45﹣4m时，解得m＝9，三角形三边长分别为9，9，23，不符合三角形三边的关系，舍去；
当3m﹣4＝45﹣4m时，解得m＝7，三角形三边长分别为7，7，17，符合三角形三边的关系；
综上所述，三角形三边长分别为7米，17米，17米．
26．（6分）（2019秋•浏阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长．
解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长26cm，AC＝10cm，
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm）．
27．（8分）（2022•长沙开学）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DF＝FG；
（3）若DC＝2，求线段EG的长．
（1）解：∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°；
（2）证明：∵∠DAC＝45°，CF⊥AF，
∴∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴FG＝FD；
（3）在Rt△CFD中，∠CFD＝90°，∠FCD＝30°，
DF＝CD＝1，
∴FG＝DF＝1，CF＝＝，
∴CG＝CF＝FG＝﹣1，
在Rt△CGE中，EG＝CG＝．
28．（8分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．
29．（8分）（2018秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 直角三角形 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝＝＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED＝＝＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°
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