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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.1勾股定理】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.1勾股定理】(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了1 勾股定理，8cm，，2cm，等内容，欢迎下载使用。
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形 ．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 ．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的 ．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以 求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求 ；
用于解决 ；
3． 与勾股定理有关的
4．勾股定理在 中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•渝北区校级期中）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
2．（2022秋•新吴区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°B．9°C．10°D．8°
3．（2022秋•源汇区校级月考）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．（2022•二七区校级开学）如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ ．
5．（2022春•新城区校级期末）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
6．（2021秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝ ．
7．（2021秋•惠山区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
8．（2015秋•川汇区校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB＝40°，求∠EDC′的度数．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•大田县期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（ ）
A．12 cmB．15 cmC．17 cmD．20 cm
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的一点，且BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为（ ）
A．4B．9C．16D．25
11．（2022秋•六盘水期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若AC＝，则BC的长为（ ）
A．B．C．2D．3
13．（2022秋•玄武区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3＝12，则S4＝ ．
14．（2022秋•桐乡市期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，AB＝5，点M为AC上动点，N为AB上一点，且MN＝3，当点M从点A运动到点C时，则点N运动的路程为 ．
15．（2022秋•泗阳县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为线段AB上一点，连接CD，CD与∠ABC的角平分线BE相交于点F，若△CEF是以EF为底边的等腰三角形，则DF的长为 ．
16．（2022春•灞桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
17．（2022春•梁山县期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
18．（2022春•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
考点03:勾股定理的证明
19．（2022秋•凤翔县期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
20．（2022秋•兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．25B．28C．16D．48
21．（2022秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
22．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是，小正方形的边长是，直角三角形的两直角边分别是a和b，则a+b的值为 ．
23．（2022春•东莞市期中）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 ．
24．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 ．
25．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
26．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
27．（2021•宜昌模拟）如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第3章《勾股定理》
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•渝北区校级期中）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
2．（2022秋•新吴区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°B．9°C．10°D．8°
解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，
∴∠BCB′＝162°，
由翻折的性质可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，
故选：B．
3．（2022秋•源汇区校级月考）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故①能确定△ABC是直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°、60°、75°，
故②不能确定△ABC是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
故③能确定△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝0.5∠C，
∴0.5∠C+0.5∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故④能确定△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有三个．
故选：C．
4．（2022•二七区校级开学）如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ 52°或26°或38°或64°或116°或142° ．
解：如图，当DE∥AB时，DE⊥CG，
∵∠DGC＝∠C＝26°，
∴∠ADG＝∠DGC+∠C＝52°；
如图，当DG∥AB时，则∠ADG＝180°﹣∠A＝180°﹣64°＝116°；
如图，当DG∥BC时，∠ADG＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AC时，∠ADG＝∠G＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AB时，
则∠A＝∠CFE＝64°，∠B＝∠CEG＝90°，
由折叠可知，∠DEG＝∠DEC＝45°，
∴∠EDF＝∠C+∠DEC＝26°+45°＝71°，
∴∠ADG＝∠EDG﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF＝109°﹣71°＝38°；
如图，当DG∥AB时，
则∠ADG＝∠A＝64°，
如图，
∵AB∥EG，
∴∠GEB＝∠B＝90°，
∴∠CEG＝90°，
由折叠性质得：∠DEC＝∠DEG＝＝135°，
∵∠C＝26°，
∴∠GDE＝∠CDE＝180°﹣135°﹣26°＝19°，
∴∠ADG＝180°﹣19°﹣19°＝142°；
综上，其他所有情况下∠ADG的度数为52°或26°或38°或64°或116°或142°．
故答案为：52°或26°或38°或64°或116°或142°．
5．（2022春•新城区校级期末）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 40° ．
解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
6．（2021秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝ 45°+α ．
解：如图，连接AO，过O点作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于点N，则∠FMO＝∠DNO＝90，
∵∠BAC＝90°，∠BAC﹣∠ACB＝α，
∴∠ACB＝90°﹣α，∠MON＝90°，
∴∠ABC＝α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝α，
∵FO⊥BD，
∴∠BOF＝∠FOD＝90°，
∴∠MOF＝∠NOD，∠AFO＝∠BOF+∠ABD＝90°+α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAD＝45°，MO＝NO，
在△MOF和△NOD中，
，
∴△MOF≌△NOD（ASA），
∴OF＝OD，
∴∠OFD＝45°，
∴∠AFD＝∠AFO﹣∠OFD＝45°+α，
故答案为：45°+α．
7．（2021秋•惠山区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①
∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，
∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，
∴AP＝PB＝CP．
∴△APC，△PBC是等腰三角形．
∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥
8．（2015秋•川汇区校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB＝40°，求∠EDC′的度数．
解：由题意得△DEC≌△DEC'，
∴∠CED＝∠DEC'，
∵∠C′EB＝40°，
∴∠CED＝∠DEC'＝，
∴∠EDC′＝90°﹣70°＝20°．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•大田县期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（ ）
A．12 cmB．15 cmC．17 cmD．20 cm
解：设另一条直角边为xcm，则斜边为（x+2）cm，
∵一条直角边长8cm，
∴82+x2＝（x+2）2，
解得x＝13，
∴斜边长为15cm．
故选：B．
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的一点，且BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为（ ）
A．4B．9C．16D．25
解：在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
AD2＝AC2+CD2，
∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2
＝（BD+CD）2﹣CD2
＝52﹣32
＝16，
故选：C．
11．（2022秋•六盘水期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若AC＝，则BC的长为（ ）
A．B．C．2D．3
解：∵AB＝＝2，AC＝，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣＝，
故选：A．
13．（2022秋•玄武区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3＝12，则S4＝ 6 ．
解：连接PE，过点E作EF⊥AK于点F，
∵AB＝DB，∠ACB＝∠DNB＝90°，
而∠CBA+∠CBD＝∠DBN+∠CBD＝90°，
∴∠CBA＝∠DBN，
∴△CBA≌△NBD（AAS），
故S4＝S△ABC；
同理△AEF≌△ABC，
∴AC＝EF＝AQ＝CP，
∵∠QAC＝∠KFE＝∠PCD＝90°，
∴AQ∥EF，
∴四边形CFEP是矩形，
∴∠CPE＝90°，
∴∠QPC+∠CPE＝180°，
∴Q，P，E三点共线，
又∵EA＝AB，∠EFA＝∠ACB＝90°，
而∠EAF+∠CAB＝∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠EAF＝∠ABC，
∴△EAF≌△ABC（AAS），
同理可证△ACT≌△EFK，
∴S2＝S△EFA＝S△ABC，
同理可证△TPE≌△KMD，△AQE≌△ABC，
∴S1+S3＝S△AFE＝S△ABC，
∴S1+S2+S3＝2S△ABC＝12，
∴S△ABC＝6，
∴S4＝S△ABC＝6．
故答案为：6．
14．（2022秋•桐乡市期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，AB＝5，点M为AC上动点，N为AB上一点，且MN＝3，当点M从点A运动到点C时，则点N运动的路程为 4﹣4 ．
解：如图，当点M与A重合时，点N在N'的位置，此时AN'＝3，
当MN⊥AC时，点N在点D的位置上，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝45°，
∴AM＝DM＝3，
∴AD＝3，
∴DN'＝3﹣3，
当点M继续向点C运动时，点N由点D向左运动到点N的位置，过点C作CH⊥AB于H，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝4，
∴AH＝CH＝2，
∵CN＝3，
∴NH＝＝＝1，
∴DN＝AD﹣AH﹣NH＝3﹣2﹣1＝﹣1，
∴点N运动的路程＝DN'+DN＝3﹣3+﹣1＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
15．（2022秋•泗阳县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为线段AB上一点，连接CD，CD与∠ABC的角平分线BE相交于点F，若△CEF是以EF为底边的等腰三角形，则DF的长为 ．
解：作EG⊥BA于点G，
∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴EC＝EG，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴×10EG+×6EC＝×8×6＝S△ABC，
∴×10EG+×6EG＝×8×6，
∴EC＝EG＝3，
∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形，
∴FC＝EC＝3，
∵∠CFE＝∠BCD+∠CBE，∠CEF＝∠A+∠ABE，且∠CFE＝∠CEF，
∴∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CBE＝∠ABE，
∴∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠ABC＝∠A+∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∴×10CD＝×8×6＝S△ABC，
∴CD＝，
∴DF＝CD﹣FC＝﹣3＝，
∴DF的长为，
故答案为：．
16．（2022春•灞桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC＝，
当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
解得t＝；
当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；
当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；
∴t＝2×8＝16，
综上，t的值为或10或16．
17．（2022春•梁山县期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 是 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
解：（1）∵（2）2+42＝4×32＝36，
∴△ABC是常态三角形，
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a、b，斜边长为c，
则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，
∴2a2＝3b2，
∴a：b＝：，
设a＝x，b＝x，
则c＝x，
∴此三角形的三边比为：：：；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵△BCD是常态三角形，
当CD2+BD2＝4×42时，
解得：BD＝CD＝4，
则AB＝8，
∴AC＝＝4，
∴△ABC的面积为：＝8，
当CD2+BC2＝4×BD2时，
解得：BD＝CD＝，
则AB＝，
∴AC＝，
∴△ABC的面积为：×4×＝，
∴△ABC的面积为8或．
18．（2022春•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6 cm，
∴AD＝10﹣6＝4 cm．
设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．
考点03:勾股定理的证明
19．（2022秋•凤翔县期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
解：设正方形EFGH的边长为x，
∵正方形IJKL的边长为2，
∴S△EJH+S△EKF+S△FLG+S△GIH＝x2﹣22＝x2﹣4，
∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH＝x2﹣4，
∵正方形ABCD的边长为14，
∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH+S正方形EFGH＝142，
即（x2﹣4）+x2＝196
解得x＝10或x＝﹣10（舍去），
∴正方形EFGH的边长为10，
故选：C．
20．（2022秋•兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．25B．28C．16D．48
解：∵大正方形的面积为16，
∴它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4××ab+4＝16，
2ab＝12，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+12＝28．
故选：B．
21．（2022秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
解：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
∴（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
故选：A．
22．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是，小正方形的边长是，直角三角形的两直角边分别是a和b，则a+b的值为 5 ．
解：由题意得，
∴ab＝12，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝，
∴（a+b）2＝2+4×12＝50，
∴a+b＝5（负值已舍），
故答案为：5．
23．（2022春•东莞市期中）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 9 ．
解：由题意知，小正方形ABCD的面积为（6﹣3）2＝9，
故答案为：9．
24．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 4 ．
解：6﹣4＝2，
2×2＝4．
故图2中小正方形ABCD的面积为4．
故答案为：4．
25．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
解：由图可得：
正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，
即S正方形ACFD＝S△BAE+S△BFE，
∴b2＝c2+，
整理得：a2+b2＝c2．
26．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．
27．（2021•宜昌模拟）如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．
解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴直角三角形的斜边的平方为13，
∵直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，
∴a2+b2＝13，
∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，
∴4×ab＝13﹣1，即2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形 ．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么 ．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的 ．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以 求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求 ；
用于解决 ；
3． 与勾股定理有关的
4．勾股定理在 中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•渝北区校级期中）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
2．（2022秋•新吴区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°B．9°C．10°D．8°
3．（2022秋•源汇区校级月考）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．（2022•二七区校级开学）如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ ．
5．（2022春•新城区校级期末）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
6．（2021秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝ ．
7．（2021秋•惠山区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
8．（2015秋•川汇区校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB＝40°，求∠EDC′的度数．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•大田县期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（ ）
A．12 cmB．15 cmC．17 cmD．20 cm
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的一点，且BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为（ ）
A．4B．9C．16D．25
11．（2022秋•六盘水期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若AC＝，则BC的长为（ ）
A．B．C．2D．3
13．（2022秋•玄武区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3＝12，则S4＝ ．
14．（2022秋•桐乡市期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，AB＝5，点M为AC上动点，N为AB上一点，且MN＝3，当点M从点A运动到点C时，则点N运动的路程为 ．
15．（2022秋•泗阳县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为线段AB上一点，连接CD，CD与∠ABC的角平分线BE相交于点F，若△CEF是以EF为底边的等腰三角形，则DF的长为 ．
16．（2022春•灞桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
17．（2022春•梁山县期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
18．（2022春•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
考点03:勾股定理的证明
19．（2022秋•凤翔县期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
20．（2022秋•兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．25B．28C．16D．48
21．（2022秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
22．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是，小正方形的边长是，直角三角形的两直角边分别是a和b，则a+b的值为 ．
23．（2022春•东莞市期中）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 ．
24．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 ．
25．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
26．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
27．（2021•宜昌模拟）如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第3章《勾股定理》
3.1 勾股定理
知识点01：勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
知识要点
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
知识点02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
知识点03：勾股定理的作用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
考点01:直角三角形的性质
1．（2022秋•渝北区校级期中）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
2．（2022秋•新吴区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A．12°B．9°C．10°D．8°
解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，
∴∠BCB′＝162°，
由翻折的性质可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，
故选：B．
3．（2022秋•源汇区校级月考）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝0.5∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故①能确定△ABC是直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，
则3x+4x+5x＝180°，
解得，x＝15°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°、60°、75°，
故②不能确定△ABC是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
故③能确定△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝0.5∠C，
∴0.5∠C+0.5∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，
故④能确定△ABC是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有三个．
故选：C．
4．（2022•二七区校级开学）如图，三角形ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°．点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时，∠ADG＝ 52°或26°或38°或64°或116°或142° ．
解：如图，当DE∥AB时，DE⊥CG，
∵∠DGC＝∠C＝26°，
∴∠ADG＝∠DGC+∠C＝52°；
如图，当DG∥AB时，则∠ADG＝180°﹣∠A＝180°﹣64°＝116°；
如图，当DG∥BC时，∠ADG＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AC时，∠ADG＝∠G＝∠C＝26°；
如图，当EG∥AB时，
则∠A＝∠CFE＝64°，∠B＝∠CEG＝90°，
由折叠可知，∠DEG＝∠DEC＝45°，
∴∠EDF＝∠C+∠DEC＝26°+45°＝71°，
∴∠ADG＝∠EDG﹣∠EDF＝∠CDE﹣∠EDF＝109°﹣71°＝38°；
如图，当DG∥AB时，
则∠ADG＝∠A＝64°，
如图，
∵AB∥EG，
∴∠GEB＝∠B＝90°，
∴∠CEG＝90°，
由折叠性质得：∠DEC＝∠DEG＝＝135°，
∵∠C＝26°，
∴∠GDE＝∠CDE＝180°﹣135°﹣26°＝19°，
∴∠ADG＝180°﹣19°﹣19°＝142°；
综上，其他所有情况下∠ADG的度数为52°或26°或38°或64°或116°或142°．
故答案为：52°或26°或38°或64°或116°或142°．
5．（2022春•新城区校级期末）如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 40° ．
解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
6．（2021秋•江夏区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝ 45°+α ．
解：如图，连接AO，过O点作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于点N，则∠FMO＝∠DNO＝90，
∵∠BAC＝90°，∠BAC﹣∠ACB＝α，
∴∠ACB＝90°﹣α，∠MON＝90°，
∴∠ABC＝α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝α，
∵FO⊥BD，
∴∠BOF＝∠FOD＝90°，
∴∠MOF＝∠NOD，∠AFO＝∠BOF+∠ABD＝90°+α，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAD＝45°，MO＝NO，
在△MOF和△NOD中，
，
∴△MOF≌△NOD（ASA），
∴OF＝OD，
∴∠OFD＝45°，
∴∠AFD＝∠AFO﹣∠OFD＝45°+α，
故答案为：45°+α．
7．（2021秋•惠山区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①
∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，
∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，
∴AP＝PB＝CP．
∴△APC，△PBC是等腰三角形．
∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥
8．（2015秋•川汇区校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB＝40°，求∠EDC′的度数．
解：由题意得△DEC≌△DEC'，
∴∠CED＝∠DEC'，
∵∠C′EB＝40°，
∴∠CED＝∠DEC'＝，
∴∠EDC′＝90°﹣70°＝20°．
考点02:勾股定理
9．（2022秋•大田县期中）直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（ ）
A．12 cmB．15 cmC．17 cmD．20 cm
解：设另一条直角边为xcm，则斜边为（x+2）cm，
∵一条直角边长8cm，
∴82+x2＝（x+2）2，
解得x＝13，
∴斜边长为15cm．
故选：B．
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的一点，且BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为（ ）
A．4B．9C．16D．25
解：在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
AD2＝AC2+CD2，
∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2
＝（BD+CD）2﹣CD2
＝52﹣32
＝16，
故选：C．
11．（2022秋•六盘水期中）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若AC＝，则BC的长为（ ）
A．B．C．2D．3
解：∵AB＝＝2，AC＝，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣＝，
故选：A．
13．（2022秋•玄武区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3＝12，则S4＝ 6 ．
解：连接PE，过点E作EF⊥AK于点F，
∵AB＝DB，∠ACB＝∠DNB＝90°，
而∠CBA+∠CBD＝∠DBN+∠CBD＝90°，
∴∠CBA＝∠DBN，
∴△CBA≌△NBD（AAS），
故S4＝S△ABC；
同理△AEF≌△ABC，
∴AC＝EF＝AQ＝CP，
∵∠QAC＝∠KFE＝∠PCD＝90°，
∴AQ∥EF，
∴四边形CFEP是矩形，
∴∠CPE＝90°，
∴∠QPC+∠CPE＝180°，
∴Q，P，E三点共线，
又∵EA＝AB，∠EFA＝∠ACB＝90°，
而∠EAF+∠CAB＝∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠EAF＝∠ABC，
∴△EAF≌△ABC（AAS），
同理可证△ACT≌△EFK，
∴S2＝S△EFA＝S△ABC，
同理可证△TPE≌△KMD，△AQE≌△ABC，
∴S1+S3＝S△AFE＝S△ABC，
∴S1+S2+S3＝2S△ABC＝12，
∴S△ABC＝6，
∴S4＝S△ABC＝6．
故答案为：6．
14．（2022秋•桐乡市期中）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，AB＝5，点M为AC上动点，N为AB上一点，且MN＝3，当点M从点A运动到点C时，则点N运动的路程为 4﹣4 ．
解：如图，当点M与A重合时，点N在N'的位置，此时AN'＝3，
当MN⊥AC时，点N在点D的位置上，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝45°，
∴AM＝DM＝3，
∴AD＝3，
∴DN'＝3﹣3，
当点M继续向点C运动时，点N由点D向左运动到点N的位置，过点C作CH⊥AB于H，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝4，
∴AH＝CH＝2，
∵CN＝3，
∴NH＝＝＝1，
∴DN＝AD﹣AH﹣NH＝3﹣2﹣1＝﹣1，
∴点N运动的路程＝DN'+DN＝3﹣3+﹣1＝4﹣4．
故答案为：4﹣4．
15．（2022秋•泗阳县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为线段AB上一点，连接CD，CD与∠ABC的角平分线BE相交于点F，若△CEF是以EF为底边的等腰三角形，则DF的长为 ．
解：作EG⊥BA于点G，
∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，
∴EC＝EG，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴×10EG+×6EC＝×8×6＝S△ABC，
∴×10EG+×6EG＝×8×6，
∴EC＝EG＝3，
∵△CEF是以EF为底边的等腰三角形，
∴FC＝EC＝3，
∵∠CFE＝∠BCD+∠CBE，∠CEF＝∠A+∠ABE，且∠CFE＝∠CEF，
∴∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CBE＝∠ABE，
∴∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠ABC＝∠A+∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∴×10CD＝×8×6＝S△ABC，
∴CD＝，
∴DF＝CD﹣FC＝﹣3＝，
∴DF的长为，
故答案为：．
16．（2022春•灞桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC＝，
当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
解得t＝；
当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；
当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；
∴t＝2×8＝16，
综上，t的值为或10或16．
17．（2022春•梁山县期末）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是3，2和4，则此三角形 是 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
解：（1）∵（2）2+42＝4×32＝36，
∴△ABC是常态三角形，
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a、b，斜边长为c，
则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，
∴2a2＝3b2，
∴a：b＝：，
设a＝x，b＝x，
则c＝x，
∴此三角形的三边比为：：：；
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D为AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵△BCD是常态三角形，
当CD2+BD2＝4×42时，
解得：BD＝CD＝4，
则AB＝8，
∴AC＝＝4，
∴△ABC的面积为：＝8，
当CD2+BC2＝4×BD2时，
解得：BD＝CD＝，
则AB＝，
∴AC＝，
∴△ABC的面积为：×4×＝，
∴△ABC的面积为8或．
18．（2022春•红花岗区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长；
（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；
（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．
∵∠C＝90°，
∴由勾股定理得PB＝2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；
（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴PD＝PC．
在Rt△BPD与Rt△BPC中，，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD＝BC＝6 cm，
∴AD＝10﹣6＝4 cm．
设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm
在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴当t＝3秒时，AP平分∠CAB；
（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP＝7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC
∴PA＝PB＝5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．
考点03:勾股定理的证明
19．（2022秋•凤翔县期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
解：设正方形EFGH的边长为x，
∵正方形IJKL的边长为2，
∴S△EJH+S△EKF+S△FLG+S△GIH＝x2﹣22＝x2﹣4，
∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH＝x2﹣4，
∵正方形ABCD的边长为14，
∴S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DGH+S正方形EFGH＝142，
即（x2﹣4）+x2＝196
解得x＝10或x＝﹣10（舍去），
∴正方形EFGH的边长为10，
故选：C．
20．（2022秋•兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（ ）
A．25B．28C．16D．48
解：∵大正方形的面积为16，
∴它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4××ab+4＝16，
2ab＝12，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+12＝28．
故选：B．
21．（2022秋•山亭区校级月考）如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等三角形拼成的图形，观察图形，可以验证（ ）
A．a2+b2＝c2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
解：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
∴（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
故选：A．
22．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是，小正方形的边长是，直角三角形的两直角边分别是a和b，则a+b的值为 5 ．
解：由题意得，
∴ab＝12，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝，
∴（a+b）2＝2+4×12＝50，
∴a+b＝5（负值已舍），
故答案为：5．
23．（2022春•东莞市期中）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 9 ．
解：由题意知，小正方形ABCD的面积为（6﹣3）2＝9，
故答案为：9．
24．（2021秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 4 ．
解：6﹣4＝2，
2×2＝4．
故图2中小正方形ABCD的面积为4．
故答案为：4．
25．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
解：由图可得：
正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，
即S正方形ACFD＝S△BAE+S△BFE，
∴b2＝c2+，
整理得：a2+b2＝c2．
26．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．
27．（2021•宜昌模拟）如图的图形取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，试求（a+b）2的值．
解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴直角三角形的斜边的平方为13，
∵直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，
∴a2+b2＝13，
∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，
∴4×ab＝13﹣1，即2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25
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