苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【第3章《勾股定理》章节复习巩固】(原卷版+解析)

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1．（2分）（2022八上·乳山期中）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2分）（2022八上·济南高新技术产业开发期中）如图，数轴上点A、B、C分别对应、、，过点作，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）（2022八上·乳山期中）如图，将一根长的铅笔放入底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为，则x的最小值是（ ）
A．5B．7C．12D．13
4．（2分）（2022八上·保定期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10mB．15mC．26mD．30m
5．（2分）（2022八上·城阳期中）如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）
A．20cmB．C．D．40cm
6．（2分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：
①AE+BF=AB；②△DEF始终为等腰直角三角形；③S四边形CEDF=AB2；④AE2+CE2=2DF2．
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①④D．②③
7．（2分）（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
8．（2分）（2021八上·河西期末）如图，在中，，AD，CE是的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．ACB．BCC．ADD．CE
9．（2分）（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB•AC ④ ，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2分）（2021八上·运城期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 处有一滴糖浆，容器外 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 ，宽为 ，高为 ，点 距底部 ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．B．C．D．
11．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，已知等边，点D在的外侧，将绕点B顺时针旋转至，点F与点D相对应，连接，则的长为 .
12．（2分）（2022八上·市北区期中）如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为 .
13．（2分）（2022八上·罗湖期中）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点小，点E是CD中点，若BC=5，AD=12，BE=12.5，则AB的长是
14．（2分）下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 个．
15．（2分）（2022八上·新昌期中）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝4，CE＝1，则DE＝ ．
16．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，在Rt中，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连结，设点D运动时间为t秒，当是等腰三角形时，则t= 秒.
17．（2分）（2022八上·碑林期中）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是 ．
18．（2分）（2022八上·乐清期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连接PA，PD，已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP＋DP的最小值为 ．
19．（2分）（2022八上·下城月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ．
20．（2分）（2021八上·林口期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
21．（6分）（2022八上·乳山期中）如图，将墙面和地平线的一部分分别标记，，且．把长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD．
22．（8分）（2021八上·彭州开学考）如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2.
23．（8分）（2020八上·东台月考）如图，在平面直角坐标系中长方形ABCO的顶点A，C的坐标分别为(0，8) ，(20，0)，D是OC的中点，点P在AB上运动，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，求点P的坐标.
24．（13分）（2022八上·上城期中）如图，是等边三角形，P，Q分别是边上的点，且，交于点O.
（1）（4分）求证：；
（2）（4分）求的度数；
（3）（5分）当时，求的长.
25．（12分）（2022八上·杭州期中）如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．
（1）（3分）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）（4分）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．
（3）（5分）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
26．（12分）（2022八上·杭州期中）如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点.现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接.
（1）（3分）如图1，求证：.
（2）（4分）当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长.
（3）（5分）如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积.
阅卷人
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
阅卷人
二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分
阅卷人
三、解答题(共6题；共59分)
得分
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第3章《勾股定理》章节复习巩固
考试时间：100分 试卷满分：100分
1．（2分）（2022八上·乳山期中）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【完整解答】解：由勾股定理得：，，，，，
，，
、是直角三角形，
∴任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为2个，
故答案为：B．
【思路引导】利用勾股定理的逆定理判断出、是直角三角形，从而得解。
2．（2分）（2022八上·济南高新技术产业开发期中）如图，数轴上点A、B、C分别对应、、，过点作，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【完整解答】解：根据数轴可知：，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴点对应的数是．
故答案为：B．
【思路引导】利用勾股定理求出AD的长，所以，再结合AO的长，求出，即可得到点M表示的数即可。
3．（2分）（2022八上·乳山期中）如图，将一根长的铅笔放入底面直径为，高为的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为，则x的最小值是（ ）
A．5B．7C．12D．13
【答案】A
【完整解答】解：如图，
当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，
此时，
故；
故答案为：A．
【思路引导】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求出即可。
4．（2分）（2022八上·保定期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（ ）
A．10mB．15mC．26mD．30m
【答案】C
【完整解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，
故答案为：C
【思路引导】利用勾股定理求出BC的长即可。
5．（2分）（2022八上·城阳期中）如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）
A．20cmB．C．D．40cm
【答案】D
【完整解答】解：将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，
∴，
在中，，
∴，
∴需要金色铁丝的长度最少为，
故答案为：D．
【思路引导】将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，利用勾股定理求出AB的长，再求解即可。
6．（2分）在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：
①AE+BF=AB；②△DEF始终为等腰直角三角形；③S四边形CEDF=AB2；④AE2+CE2=2DF2．
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①④D．②③
【答案】A
【完整解答】解：如图所示，连接CD，
∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD＝AB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠ADE＋∠EDC＝90°，
∵∠EDC＋∠FDC＝∠GDH＝90°，
∴∠ADE＝CDF．
在△ADE和△CDF中，
∠A＝∠DCF，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．
∵AC＝BC，
∴AC−AE＝BC−CF，
∴CE＝BF．
∵AC＝AE＋CE，
∴AC＝AE＋BF．
∵AC2＋BC2＝AB2，AC＝BC，
∴AC＝
∴ AE+BF=AB ，故①正确；
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形，故②正确；
∵S四边形CEDF＝S△EDC＋S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△EDC＋S△ADE＝S△ABC，
又∵S△ABC＝AC2＝（AB）2=AB2
∴S四边形CEDF＝S△ABC＝×AB2＝AB2，故③正确；
∵CE2＋CF2＝EF2，DE2＋DF2＝EF2，
∴CE2＋AE2＝EF2＝DE2＋DF2，
又∵DE＝DF，
∴AE2＋CE2＝2DF2，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故答案为：A.
【思路引导】连接CD根据等腰直角三角形的性质得AD＝CD＝BD＝AB，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°，根据同角的余角相等得∠ADE＝CDF，从而利用ASA证△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF，进而得出CE＝BF，就有AE＋BF＝AC，再由勾股定理就可以求出结论．
7．（2分）（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】C
【完整解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
8．（2分）（2021八上·河西期末）如图，在中，，AD，CE是的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．ACB．BCC．ADD．CE
【答案】D
【完整解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：D．
【思路引导】接PC，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即得AD垂直平分BC，可得PB=PC，即得PB+PE=PC+PE，由三角形三边关系可知P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
9．（2分）（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB•AC ④ ，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【完整解答】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①符合题意；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②符合题意；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③符合题意；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④符合题意；
正确的有：①②③④，
故答案为：D．
【思路引导】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。
10．（2分）（2021八上·运城期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 处有一滴糖浆，容器外 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 ，宽为 ，高为 ，点 距底部 ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【完整解答】解：沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，
将容器展开：
∵
∴蚂蚁需爬行的最短距离是
故答案为：D
【思路引导】沿着上面和棱将A点翻折至 处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm，分三总情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可。
11．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，已知等边，点D在的外侧，将绕点B顺时针旋转至，点F与点D相对应，连接，则的长为 .
【答案】
【完整解答】解：如图，连接 ，延长 交 于E，
∵ 绕点B顺时针旋转 至
∴ ，
∴ 是等边三角形， .
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴
.
故答案为： .
【思路引导】连接 ，延长 交 于E，由旋转的性质可求△BDF是等边三角形，从而求出∠DFA=30°，利用等腰三角形三线合一可得EF垂直平分BD，易证△DAB是等腰直角三角形，可得，即得，利用勾股定理求出EF，根据AF=EF-AE即可求解.
12．（2分）（2022八上·市北区期中）如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为 .
【答案】3cm
【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设CE=xcm，则DE=EF=CD−CE=(8−x)cm，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC−BF=10−6=4(cm)，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即(8−x)2=x2+42，
∴64−16x+x2=x2+16，
∴x=3，
即CE=3cm.
故答案为3cm.
【思路引导】设CE=xcm，则DE=EF=CD−CE=(8−x)cm，利用勾股定理可得(8−x)2=x2+42，再求出x的值即可。
13．（2分）（2022八上·罗湖期中）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点小，点E是CD中点，若BC=5，AD=12，BE=12.5，则AB的长是
【答案】24
【完整解答】解：延长BE交AD于点G，如图：
∵AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，
∴BC//AD，∠A=90°，
∴∠C=∠D，∠CBE=∠DGE
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
在△BCE和△GDE中，
∴△BCD≌△GDE（AAS），
∴BE=GE=12.5，BC=DG=5，
∴BG=BE+GE=25，
∵AD=12，
∴AG=AD-DG=7，
∴。
故答案为：24.
【思路引导】延长BE交AD于点G，先证明BC//AD，∠A=90°，再利用“AAS”证明△BCD≌△GDE，可得BE=GE=12.5，BC=DG=5，再求出BG和AG的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
14．（2分）下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 个．
【答案】4
【完整解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
③∵a= c，b= c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.
故答案为：4.
【思路引导】根据三角形的内角和定理，结合已知找出最大内角的度数，根据最大内角是90°，即可判断该三角形是直角三角形，据此判断①与②；根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边两边的平方和等于最大边长的平方，该三角形就是直角三角形，据此判断③④.
15．（2分）（2022八上·新昌期中）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝4，CE＝1，则DE＝ ．
【答案】
【完整解答】解：∵AE＝4，CE＝1，
∴AC=AB=AE+CE=4+1=5，
∵AD、BE是等腰三角形ABC的高线，
∴∠AEB=∠BEC=90°，BD=CD，
在Rt△ABE中
；
在Rt△BEC中
；
在Rt△BEC中，DE是中线，
∴.
故答案为：.
【思路引导】利用已知求出AC，AB的长，利用三角形的高的定义和等腰三角形的性质可证得∠AEB=∠BEC=90°，BD=CD；在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，在Rt△BEC中，利用勾股定理求出EC的长；然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DE的长.
16．（2分）（2022八上·杭州期中）如图，在Rt中，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连结，设点D运动时间为t秒，当是等腰三角形时，则t= 秒.
【答案】 或 或2
【完整解答】解：在 中， ，
由勾股定理得： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
当 时， ，
则 ，
，即 ，
解得： ，
由勾股定理得： ，
∴ ；
当 时，
，
，
由勾股定理得： ，
，
，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 是等腰三角形时，t的值为 或 或2.
【思路引导】分三种情况：①当 时，②当AF=AB时，③当BF=AB时，据此分别解答即可.
17．（2分）（2022八上·碑林期中）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是 ．
【答案】
【完整解答】解：建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，
，D为边上靠近点的三等分点，
可得，，，，，
，
设，分别是点关于直线和轴的对称点，
则，，
由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，
光线走过的路径，
，
即光线走过的路径是．
故答案为：．
【思路引导】建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，先求出M、N的坐标，由光的反射原理可知、、、四点共线，即得，，即得光线走过的路径，利用勾股定理求出即可.
18．（2分）（2022八上·乐清期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连接PA，PD，已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP＋DP的最小值为 ．
【答案】15
【完整解答】解：如图所示，作A点关于BC对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A'点作A'M⊥DC交于点M，
∴AP＝A'P，
∴AP+PD＝A'P+PD，
当A'，P，D三点共线时，A'P+PD=A'D，此时A'P+PD的值最小，
又∵AB＝5，DC＝4，BC＝12，
∴AM＝12，DM＝5+4＝9，
在Rt△A'DM中，A'D＝＝＝15，
∴AP+PD的最小值是15.
故答案为：15．
【思路引导】作A点关于BC对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A'点作A'M⊥DC交于点M，当A'，P，D三点共线时，A'P+PD=A'D，此时A'P+PD的值最小，再利用勾股定理求得A'D的长，即可解决问题.
19．（2分）（2022八上·下城月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ．
【答案】
【完整解答】解：如图所示，
过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，
∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠EAG＝∠AGD＝90°，
∵BC＝1，
∴Rt△ABC中，AC＝，AB＝2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE＝，DG＝，
∴DG＝AE，
又∵∠DFG＝∠EFA，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴DF＝DE，
又∵Rt△AEH中，∠EAH＝30°，
∴HE＝AE＝，AH＝，
∴DH＝DA+AH＝2+＝，
∴Rt△DEH中，DE＝＝＝，
∴DF的长为.
故答案为：．
【思路引导】过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，易得∠EAG＝∠AGD＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB，利用勾股定理可得AC，根据等边三角形的性质可得DG＝AE，证明△AEF≌△GDF，得到DF＝DE，由含30°角的直角三角形的性质可得HE＝AE，然后求出AH，由DH＝DA+AH可得DH，再利用勾股定理可得DE，进而可得DF.
20．（2分）（2021八上·林口期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
【答案】5
【完整解答】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【思路引导】连接BD，OB，由折叠知EF是BD的对称轴，可得OB=OD，求出CD=AC-AD=2，由于△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，当点B、O、C共线时，BO+OC=BC为最小值，从而求出△OCD周长最小值=2+BC，继而得解.
21．（6分）（2022八上·乳山期中）如图，将墙面和地平线的一部分分别标记，，且．把长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD．
【答案】解：由题意得：，，
在Rt中，可求得
在Rt中，，
∴梯子底部滑动的距离
【思路引导】利用勾股定理求出DF的长，再利用BD=DF-BF计算即可。
22．（8分）（2021八上·彭州开学考）如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2.
【答案】证明：将△ABQ绕A点顺时针旋转90°得到△ACQ′，连接PQ′，
∴AQ′＝AQ，CQ′＝BQ，∠BAQ＝∠CAQ′，∠ACQ′＝∠ABC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACQ′＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠CAP+∠BAQ＝45°，
∴∠Q′AP＝∠CAQ′+∠CAP＝45°，
∴∠Q′AP＝∠QAP，
在△Q′AP和△QAP中，
，
∴△Q′AP≌△QAP（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∵∠Q′CP＝∠ACQ′+∠ACB＝90°，
在Rt△Q′CP中，由勾股定理得，
Q′P2＝Q′C2+CP2，
∴CP2+BQ2＝PQ2.
【思路引导】将△ABQ绕A点顺时针旋转90°得到△ACQ′，连接PQ′，由旋转的性质可得AQ′＝AQ，CQ′＝BQ，∠BAQ＝∠CAQ′，∠ACQ′＝∠ABC，由正方形的性质可得∠ACQ′＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，推出∠Q′AP＝∠QAP，证明△Q′AP≌△QAP，得到PQ＝PQ′，然后结合勾股定理进行证明.
23．（8分）（2020八上·东台月考）如图，在平面直角坐标系中长方形ABCO的顶点A，C的坐标分别为(0，8) ，(20，0)，D是OC的中点，点P在AB上运动，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，求点P的坐标.
【答案】解：∵A（0，8），C（20，0），四边形OABC是矩形，D是OC的中点，
∴OA＝8，OD＝10，∠OAB＝∠COA＝ ，
①当OP＝OD＝10时，
过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8.
在Rt△PEO中，由勾股定理得：OE＝ ，
即P点的坐标是（6，8）；
②当DP＝OD＝10时，
过P作PE⊥OC于E，
则PE＝OA＝8，
由勾股定理得：DE＝ ，
OE＝10-6＝4，
即P点坐标是（4，8）；
③当OP＝DP＝10时，
由勾股定理得：DE＝OE＝ ，
即OD=DE+OE=12≠10，即此时不存在；
④当OD＝PD时，
过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8
在Rt△PED中，由勾股定理得：DE= ，
∴OE=OD+DE=10+6=16
∴此时点P坐标为（16，8）.
故P点的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）.
【思路引导】由点A、C的坐标以及矩形的性质可得OA＝8，OD＝10，∠OAB＝∠COA＝90°，①当OP＝OD＝10时，过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8，在Rt△PEO中，由勾股定理求得OE，据此可得点P的坐标；②当DP＝OD＝10时，过P作PE⊥OC于E，则PE＝OA＝8，由勾股定理求出DE，进而得OE，据此可得点P的坐标；③当OP＝DP＝10时，由勾股定理得：DE=OE=6，求出OD，判断出此种情况不存在；④当OD＝PD时，过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8，在Rt△PED中，由勾股定理求得DE，进而求出OE，据此可得点P的坐标.
24．（13分）（2022八上·上城期中）如图，是等边三角形，P，Q分别是边上的点，且，交于点O.
（1）（4分）求证：；
（2）（4分）求的度数；
（3）（5分）当时，求的长.
【答案】（1）证明： 是等边三角形，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
；
（3）解：如图，过点Q作QH⊥BP于H，
∵∠CBP=45°， QH⊥BP，
∴∠PBQ=∠BQH=45°，
∴BH=HQ，
∵BQ=，
∴BH=HQ=，
∵∠BOQ=60°，
∴∠AQH=30° ，
∴HQ=OH，
∴OH=4，
∴OB=OH+BH=+4 .
【思路引导】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，根据SAS证明△ACQ≌△BAP；
（2）由△ACQ≌△BAP可得∠CAQ=∠ABP，根据三角形外角的性质及角的和差关系可推出∠BOQ=∠BAC，继而得解；
（3）过点Q作QH⊥BP于H，由等腰直角三角形的性质可求BH、QH的长，由直角三角形的性质可求HO的长，即可求解.
25．（12分）（2022八上·杭州期中）如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．
（1）（3分）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）（4分）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．
（3）（5分）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
【答案】（1）解：AE=BD，AE⊥BD，
理由如下：∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE⊥BD；
（2）解：∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6；
（3）解：如图3，点D在AB的延长线上，
如图4，点D在BA的延长线上，
PQ为定值6
【完整解答】解：（3）如图3，若点D在AB的延长线上，
∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D在BA的延长线上，
∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6.
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，根据角的和差关系可得∠ACE=∠DCB，利用SAS证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，则∠EAC+∠CAB=90°，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得PA=AQ，利用勾股定理可得AQ，进而可得PQ；
（3）若点D在AB的延长线上，同（1）可得∠EAB=90°，根据等腰三角形的性质可得PA=AQ，利用勾股定理可得AQ，进而可得PQ；若点D在BA的延长线上，同理求解即可.
26．（12分）（2022八上·杭州期中）如图，是等腰直角三角形，在线段上，是线段的一点.现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接.
（1）（3分）如图1，求证：.
（2）（4分）当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长.
（3）（5分）如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积.
【答案】（1）证明：如图1中，
， 都是等腰三角形，
， ， ，
，
，
（2）解：如图2中，
， ，
，
，
，
，
，
.
（3）解：如图2中，作 于H.
，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
是等边三角形，
，
.
【思路引导】（1）根据SAS证明△AEC≌△BFC；
（2）由△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=6，由△AEC≌△BFC可得 ，由对顶角相等可得 ，根据三角形的内角和可求 ， 利用勾股定理求出BF即可；
（3）作于H，根据等腰三角形的性质及全等三角形的性质可， ， ， 再求△ECD是等边三角形，可得 ，根据即可求解 .
阅卷人
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
阅卷人
二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分
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三、解答题(共6题；共59分)
得分