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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.2勾股定理的逆定理】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷提高练【3.2勾股定理的逆定理】(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了2 勾股定理的逆定理，3，0，5，2，2，5﹣4﹣2等内容，欢迎下载使用。
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是 .
（2）勾股定理的逆定理是把 ”，是通过计算来
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定
验证与是否具有 .若，则△ABC是∠C＝90°的 ；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个 ，称为 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为 时，以为三角形的 ，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•鼓楼区期中）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
2．（2022秋•碑林区校级月考）若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022秋•平湖市期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
4．（2022秋•杭州期中）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：；中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022秋•禅城区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则BE＝ ．
6．（2022春•巴东县期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝ ．
7．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
8．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 ．
9．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
10．（2021秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
11．（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
12．（2022春•平舆县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
考点02:勾股数
13．（2022秋•盐都区期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，7
C．5，12，13D．8，15，16
14．（2022秋•招远市期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．100B．200C．240D．360
15．（2022秋•漳州期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．，，D．，，
16．（2022秋•南岸区校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．0.3，0.4，0.5
C．，，D．8，15，17
17．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：
（1）3，4，5；
（2）5，12，13；
（3）7，24，25；
（4）9，40，41；
…
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ．
18．（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
19．（2019秋•柯桥区期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B＝ ．
20．（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5），，
21．（2019秋•新城区校级月考）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数：32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．
22．（2018秋•仪征市期中）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数 ．
23．（2018秋•雁江区期末）观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
n
2
3
4
5
……
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
……
b
4
6
8
10
……
c
22+1
32+1
42+1
52+1
……
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第3章《勾股定理》
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•鼓楼区期中）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（2022秋•碑林区校级月考）若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①∵∠B＝∠A﹣∠C，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴能判定△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能判定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∵a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝3k2，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
所以，能判定△ABC是直角三角形的个数有3个，
故选：C．
3．（2022秋•平湖市期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故符合题意；
C、52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（）2＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：B．
4．（2022秋•杭州期中）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：；中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能确定△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∴a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝2k2，
∴a2+b2≠c2，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
所以，能确定△ABC是直角三角形的条件有1个，
故选：A．
5．（2022秋•禅城区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则BE＝ ．
解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，
∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，
∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，
∵∠DAB＝90°，
∴BD＝＝2，S△ABD＝AB•AD＝＝1，
∴AO＝DO＝BO＝1，
∴CO＝＝2，
∴S△BCD＝＝＝2，
∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，
∵S△BCD＝BC•DM＝2，
∴DM＝，
∴BM＝，
∵线段DE平分四边形ABCD的面积，
∴S△CDE＝，S△BDE＝，
∴BE：CE＝1：3，
∴BE＝，
故答案为：．
6．（2022春•巴东县期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝ 45° ．
解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：
AB2＝12+32＝10，
AE2＝12+22＝5，
EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，
∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，
∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
故答案为：45°．
7．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 或5 时，此三角形为直角三角形．
解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得x＝；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，x＝或5．
故答案为：或5．
8．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 ．
解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵CD＝，BD＝2，
（）2+（3）2＝（2）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．
故答案为：．
9．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
（1）解：四边形ABCD的面积＝
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5；
∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，
∴，，，，
∴四边形ABCD的周长＝，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为；
（2）解：连接BD，如图，
由题意得：BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
10．（2021秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
11．（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
解：连接AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，
＝×1×2+××2，
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
12．（2022春•平舆县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
考点02:勾股数
13．（2022秋•盐都区期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，7
C．5，12，13D．8，15，16
解：A、0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、32+42≠72，不能构成直角三角形，不是勾股数，故选项不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
D、38+152≠162，故不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：C．
14．（2022秋•招远市期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．100B．200C．240D．360
解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即20＝2×（8+2），
b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝20时，b＝102﹣1＝99，
c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝20时，c＝102+1＝101，
所以当a＝20时，b+c＝99+101＝200．
故选：B．
15．（2022秋•漳州期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．，，D．，，
解：A、∵12+22≠32，
∴1，2，3三个数不是勾股数，本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴3，4，5三个数是勾股数，本选项符合题意；
C、∵，，都不是正整数，
∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意；
D、∵，，，
∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：B．
16．（2022秋•南岸区校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．0.3，0.4，0.5
C．，，D．8，15，17
解：A、92+162≠252，能构成直角三角形，符合题意；
B、三边长0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
C、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
D、82+152＝172，不能构成直角三角形，不合题意；
故选：D．
17．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：
（1）3，4，5；
（2）5，12，13；
（3）7，24，25；
（4）9，40，41；
…
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 2n2+2n ．
解：（1）3，4，5中，4＝；
（2）5，12，13中，12＝；
（3）7，24，25中，24＝；
（4）9，40，41中，40＝；
以此类推，第（n）组勾股数中，当最小的数为2n+1时，排在中间的数为，即2n2+2n，
故答案为：2n2+2n．
18．（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11，60，61 ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
19．（2019秋•柯桥区期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B＝ 142 ．
解：∵由9生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴92＝81，81＝40+41，
故A＝41，
∵“由20生成的勾股数”的“弦数”记为B，
∴102＝100，则100﹣1＝99，100+1＝101，
即B＝101，
则A+B＝41+101＝142．
故答案为：142．
20．（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 2 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5），，
解：因为62+82＝102；72+242＝252，6，8，10，7，24，25都是正整数
∴勾股数有2组，
故答案为2．
21．（2019秋•新城区校级月考）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n的代数式表示：a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数：32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．
解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602＝612．
22．（2018秋•仪征市期中）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数 112+602＝612 ．
解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602＝612．
故答案为：112+602＝612．
23．（2018秋•雁江区期末）观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；
（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
n
2
3
4
5
……
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
……
b
4
6
8
10
……
c
22+1
32+1
42+1
52+1
……
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是 .
（2）勾股定理的逆定理是把 ”，是通过计算来
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定
验证与是否具有 .若，则△ABC是∠C＝90°的 ；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个 ，称为 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为 时，以为三角形的 ，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•鼓楼区期中）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
2．（2022秋•碑林区校级月考）若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022秋•平湖市期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
4．（2022秋•杭州期中）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：；中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022秋•禅城区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则BE＝ ．
6．（2022春•巴东县期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝ ．
7．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
8．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 ．
9．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
10．（2021秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
11．（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
12．（2022春•平舆县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
考点02:勾股数
13．（2022秋•盐都区期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，7
C．5，12，13D．8，15，16
14．（2022秋•招远市期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．100B．200C．240D．360
15．（2022秋•漳州期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．，，D．，，
16．（2022秋•南岸区校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．0.3，0.4，0.5
C．，，D．8，15，17
17．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：
（1）3，4，5；
（2）5，12，13；
（3）7，24，25；
（4）9，40，41；
…
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ．
18．（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
19．（2019秋•柯桥区期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B＝ ．
20．（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5），，
21．（2019秋•新城区校级月考）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数：32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．
22．（2018秋•仪征市期中）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数 ．
23．（2018秋•雁江区期末）观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
n
2
3
4
5
……
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
……
b
4
6
8
10
……
c
22+1
32+1
42+1
52+1
……
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）提高
第3章《勾股定理》
3.2 勾股定理的逆定理
知识点01：勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
知识要点（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
知识要点当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点03：勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
知识要点（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
考点01:勾股定理的逆定理
1．（2022秋•鼓楼区期中）下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（2022秋•碑林区校级月考）若a，b，c为△ABC的三边，下列条件中：①∠B＝∠A﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：，则能判定△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①∵∠B＝∠A﹣∠C，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴能判定△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能判定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∵a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝3k2，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
所以，能判定△ABC是直角三角形的个数有3个，
故选：C．
3．（2022秋•平湖市期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
解：A、32+42＝52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故符合题意；
C、52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（）2＝（）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：B．
4．（2022秋•杭州期中）在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：；中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能确定△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：：，
∴设a＝k，b＝k，c＝k，
∴a2+b2＝k2+（k）2＝3k2，c2＝（k）2＝2k2，
∴a2+b2≠c2，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
所以，能确定△ABC是直角三角形的条件有1个，
故选：A．
5．（2022秋•禅城区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则BE＝ ．
解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，
∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，
∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，
∵∠DAB＝90°，
∴BD＝＝2，S△ABD＝AB•AD＝＝1，
∴AO＝DO＝BO＝1，
∴CO＝＝2，
∴S△BCD＝＝＝2，
∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，
∵S△BCD＝BC•DM＝2，
∴DM＝，
∴BM＝，
∵线段DE平分四边形ABCD的面积，
∴S△CDE＝，S△BDE＝，
∴BE：CE＝1：3，
∴BE＝，
故答案为：．
6．（2022春•巴东县期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝ 45° ．
解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：
AB2＝12+32＝10，
AE2＝12+22＝5，
EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，
∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，
∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
故答案为：45°．
7．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 或5 时，此三角形为直角三角形．
解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得x＝；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，x＝或5．
故答案为：或5．
8．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 ．
解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵CD＝，BD＝2，
（）2+（3）2＝（2）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．
故答案为：．
9．（2022秋•绥德县期中）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1．四边形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
（1）解：四边形ABCD的面积＝
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5；
∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，
∴，，，，
∴四边形ABCD的周长＝，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为；
（2）解：连接BD，如图，
由题意得：BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
10．（2021秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝．
11．（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积．
解：连接AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，
＝×1×2+××2，
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
12．（2022春•平舆县期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
考点02:勾股数
13．（2022秋•盐都区期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，7
C．5，12，13D．8，15，16
解：A、0.3，0.4，0.5，都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
B、32+42≠72，不能构成直角三角形，不是勾股数，故选项不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
D、38+152≠162，故不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：C．
14．（2022秋•招远市期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．100B．200C．240D．360
解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即20＝2×（8+2），
b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝20时，b＝102﹣1＝99，
c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝20时，c＝102+1＝101，
所以当a＝20时，b+c＝99+101＝200．
故选：B．
15．（2022秋•漳州期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．，，D．，，
解：A、∵12+22≠32，
∴1，2，3三个数不是勾股数，本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴3，4，5三个数是勾股数，本选项符合题意；
C、∵，，都不是正整数，
∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意；
D、∵，，，
∴，，三个数不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：B．
16．（2022秋•南岸区校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．0.3，0.4，0.5
C．，，D．8，15，17
解：A、92+162≠252，能构成直角三角形，符合题意；
B、三边长0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
C、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
D、82+152＝172，不能构成直角三角形，不合题意；
故选：D．
17．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：
（1）3，4，5；
（2）5，12，13；
（3）7，24，25；
（4）9，40，41；
…
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 2n2+2n ．
解：（1）3，4，5中，4＝；
（2）5，12，13中，12＝；
（3）7，24，25中，24＝；
（4）9，40，41中，40＝；
以此类推，第（n）组勾股数中，当最小的数为2n+1时，排在中间的数为，即2n2+2n，
故答案为：2n2+2n．
18．（2021春•肥乡区月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 11，60，61 ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ．
解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
19．（2019秋•柯桥区期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为A，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则A+B＝ 142 ．
解：∵由9生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴92＝81，81＝40+41，
故A＝41，
∵“由20生成的勾股数”的“弦数”记为B，
∴102＝100，则100﹣1＝99，100+1＝101，
即B＝101，
则A+B＝41+101＝142．
故答案为：142．
20．（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 2 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）32，42，52（4）7，24，25 （5），，
解：因为62+82＝102；72+242＝252，6，8，10，7，24，25都是正整数
∴勾股数有2组，
故答案为2．
21．（2019秋•新城区校级月考）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n的代数式表示：a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数：32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．
解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602＝612．
22．（2018秋•仪征市期中）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）请你观察下列四组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（9，40，41），分析其中的规律，直接写出第五组勾股数 112+602＝612 ．
解：（1）由题意：a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）观察可知：第五组勾股数为：112+602＝612．
故答案为：112+602＝612．
23．（2018秋•雁江区期末）观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；
（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
n
2
3
4
5
……
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
……
b
4
6
8
10
……
c
22+1
32+1
42+1
52+1
……
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
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