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苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式】(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册同步考点必刷练精编讲义必刷基础练【6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式】(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了5D．x＝﹣1等内容，欢迎下载使用。
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了 ，此时自变量的值就是 的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定 .
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求 .
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个 ，这个不等式的解集的端点值就是我们把 .
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1.5D．x＝﹣1
2．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3
3．（2021•山西模拟）如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．转化思想
C．分类讨论思想D．函数思想
4．（2022秋•崂山区期中）如图，直线AB是一次函数y＝kx+k﹣1的图象，若关于x的方程kx+k﹣1＝0的解是x＝﹣，则直线AB的函数关系式为 ．
5．（2022秋•济南期中）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于P（1，3），则关于x的方程x+b＝kx+4的解是 ．
6．（2022秋•敦煌市期中）在平面直角坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解为 ；
（2）y＞0时，x的取值范围是 ．
7．（2022春•台江区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个一次函数的图象上；
（3）直接写出关于x的一元一次方程kx+b＝0的解．
8．（2021秋•江阴市期末）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数关系式，①当x≥2时，y＝ ，
②当x＜2时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在如图所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，则实数a的取值范围是 ．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022春•徐汇区期末）如图，函数y＝kx+b的图象与y轴、x轴分别相交于点A（0，2）和点B（4，0），则关于x的不等式kx+b≥2的解集为（ ）
A．x≤0B．x≤4C．x≥0D．x≥4
10．（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
11．（2021秋•济南期末）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤1的解集是（ ）
A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x≥0
12．（2022秋•靖西市期中）如图，已知直线y＝kx+b经过点A（3，1），则不等式kx+b＞1的解为 ．
13．（2022秋•海淀区校级月考）函数y＝kx与y＝﹣x+3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx＞﹣x+3的解集是 ．
14．（2021秋•德清县期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 ．
15．（2022秋•肇源县期中）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）请根据图像直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．
16．（2021秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：
（1）列表：
直接写出m、n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．
（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而 （填写“增大”或“减小”）；
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣x+4的解集 ．
17．（2019秋•岑溪市期中）如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．
（1）求P点的坐标；
（2）求△APB的面积；
（3）利用图象求当x取何值时，y1＞y2．
考点03：一次函数综合题
18．（2014•市中区一模）如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A．4B．8C．D．16
19．（2014•宜阳县校级模拟）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．B．C．D．
20．（2022•玉林模拟）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为 ．
21．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 ．
22．（2020春•济南期末）如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ ．
23．（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
24．（2021秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022春•翔安区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
8
m
2
﹣1
0
1
n
3
…
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第6章《一次函数》
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1.5D．x＝﹣1
解：把点（0，﹣2）和点（﹣3，0）代入y＝ax+b得，，
解得，
∴y＝﹣x﹣2，
当y＝﹣1时，即﹣x﹣2＝﹣1，
解得x＝﹣，
故方程ax+b+1＝0的解是﹣1.5，
故选：C．
2．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3
解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（1，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝1，
故选：C．
3．（2021•山西模拟）如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．转化思想
C．分类讨论思想D．函数思想
解：观察图象，一次函数与x轴交点是（2，0），
所以方程的解为x＝2，
这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合．
故选：A．
4．（2022秋•崂山区期中）如图，直线AB是一次函数y＝kx+k﹣1的图象，若关于x的方程kx+k﹣1＝0的解是x＝﹣，则直线AB的函数关系式为 y＝3x+2 ．
解：把x＝﹣代入关于x的方程kx+k﹣1＝0得，﹣k+k﹣1＝0，
解得k＝3，
因此直线AB的函数关系式为y＝3x+2，
故答案为：y＝3x+2．
5．（2022秋•济南期中）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于P（1，3），则关于x的方程x+b＝kx+4的解是 x＝1 ．
解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），
则关于x的方程x+b＝kx+4的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
6．（2022秋•敦煌市期中）在平面直角坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解为 x＝﹣2 ；
（2）y＞0时，x的取值范围是 x＞﹣2 ．
解：y＝x+2
列表如下：
图象如下图所示：
（1）由图形可得，方程x+2＝0的解是x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2；
（2）由图象可得，y＞0时，x的取值范围是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
7．（2022春•台江区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个一次函数的图象上；
（3）直接写出关于x的一元一次方程kx+b＝0的解．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），
可得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝2x﹣1；
（2）当时，，
∴点C（，0）在这个一次函数的图象上；
（3）由（2）可得一元一次方程kx+b＝0的解．
8．（2021秋•江阴市期末）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数关系式，①当x≥2时，y＝ x ，
②当x＜2时y＝ 2 ；
（2）根据（1）中的结果，请在如图所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，则实数a的取值范围是 或a≥1或a＜0 ．
解：（1）当x≥2时，；
当x＜2时，；
故答案为：x；2；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如下：
（3）根据画出的函数图象：
①当a＜0时，直线y＝ax+1与函数y＝图象只有一个交点；
②当a≥1时，直线y＝ax+1与函数y＝2（x＜2）的图象有一个交点，与函数y＝x（x≥2）的图象没有交点；
③当a＝时，直线y＝ax+1经过点（2，2）．
若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，
则实数a的取值范围是：或a≥1或a＜0．
故答案为：a＝或a≥1或a＜0．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022春•徐汇区期末）如图，函数y＝kx+b的图象与y轴、x轴分别相交于点A（0，2）和点B（4，0），则关于x的不等式kx+b≥2的解集为（ ）
A．x≤0B．x≤4C．x≥0D．x≥4
解：∵直线y＝kx+b和y轴的交点是A（0，2），
∴不等式kx+b≥2的解集是x≤0，
故选：A．
10．（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
解：由图象可得当x＜﹣3时，y＜2，
∴kx+b＜2解集为x＜﹣3．
故选：B．
11．（2021秋•济南期末）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤1的解集是（ ）
A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x≥0
解：由图象可得，
当x≥0时，y＝kx+b对应的函数值不大于1，
∴不等式kx+b≤1的解集是x≥0，
故选：D．
12．（2022秋•靖西市期中）如图，已知直线y＝kx+b经过点A（3，1），则不等式kx+b＞1的解为 x＜3 ．
解：∵y＝kx+b经过A（3，1），
不等式kx+b＞1的解集为x＜3，
故答案为：x＜3．
13．（2022秋•海淀区校级月考）函数y＝kx与y＝﹣x+3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx＞﹣x+3的解集是 x＞1 ．
解：不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
14．（2021秋•德清县期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 x＜﹣2 ．
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝ax相交于点A（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2时，ax＜kx+b，
∴不等式ax＜kx+b的解集为x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
15．（2022秋•肇源县期中）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）请根据图像直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）由（1）可得，不等式2x＜kx+b＜0变为2x＜﹣2x﹣4＜0，
解得﹣2＜x＜﹣1．
故不等式2x＜kx+b＜0的解集为：﹣2＜x＜﹣1．
16．（2021秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：
（1）列表：
直接写出m、n的值：m＝ 5 ，n＝ 2 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．
（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而 减小 （填写“增大”或“减小”）；
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣x+4的解集 ﹣3≤x≤3 ．
解：（1）把x＝﹣3代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝5；
把x＝2代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝2；
∴m＝5，n＝2，
故答案为：5，2；
（2）描点连线作出如下图所示函数图象，
（3）观察图象，当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小；
（4）从图上看，两个函数的交点为（﹣3，5）、（3，3），
故不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣x+4的解集为：﹣3≤x≤3．
17．（2019秋•岑溪市期中）如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．
（1）求P点的坐标；
（2）求△APB的面积；
（3）利用图象求当x取何值时，y1＞y2．
解：（1）当y1＝y2时，有2x+1＝﹣x﹣2，
解得x＝﹣1，所以y＝﹣1，
所以P（﹣1，﹣1）；
（2）令x＝0，得y1＝1，＝y2﹣2
∴A（0，1），B（0，﹣2），
则 S△APB＝＝；
（3）由图象可知：当y1＞y2时，x的取值范围是x＞﹣1．
考点03：一次函数综合题
18．（2014•市中区一模）如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A．4B．8C．D．16
解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，
∵C（1，4），
∴FD＝CA＝4，
将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，
∵A（1，0），即OA＝1，
∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，
则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．
故选：D．
19．（2014•宜阳县校级模拟）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．B．C．D．
解：对于直线y＝﹣x+8，
令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM＝∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM＝B′M，
设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，
在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OM＝3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y＝kx+b，
将A与M坐标代入得：，
解得：，
则直线AM解析式为y＝﹣x+3．
故选：B．
20．（2022•玉林模拟）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为 （0，256） ．
解：∵l：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1O（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A4纵坐标为44＝256，
∴A4（0，256），
故答案为：（0，256）．
21．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 （4，8）或（﹣12，﹣8） ．
解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
把A、E坐标代入可得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（4，0），
∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，
解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，
∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
解得m＝﹣6，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
由，解得．
∴E（﹣12，﹣8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．
故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．
22．（2020春•济南期末）如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ 1 ．
解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过矩形的中心，
∵B点坐标为B（12，5），
∴矩形中心的坐标为（6，），
∴×6+b＝，
解得b＝1．
故答案为：1．
23．（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+6与直线y＝x交于点C，
∴联立方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）①点P的横坐标为m，
∵PD∥y轴，
∴点P、D，E三点横坐标都为m，
当x＝m时，y＝m，y＝﹣m+6，
∴点D坐标为（m，﹣m+6），
∴PD＝﹣m+6；
②当x＝m时，y＝m，
∴点E坐标为（m，m），
而点P坐标为（m，0），
第一种情形：点D是PE的中点时，
m+6，
解得：m＝；
第二种情形：点E是PD的中点时，
（﹣m+6+0）＝m，
解得：m＝；
综上，m＝或；
（3）BM+BN存在最小值，
在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，
∵C（4，3），A（8，0），B（0，6），∠AOB＝90°，
∴AB＝10，
∵CF⊥BO，
∴点F坐标为（0，3），
∴CF垂直平分BO，
∴CB＝OC＝AC＝5，∠BCF＝∠OCF，
∵CF∥AO，
∴∠FCO＝∠AOC，
∴∠BCM＝∠HON，
∵MC＝NO，CB＝OH，
∴△BCM≌△HON（SAS），
∴BM＝NH，
∴BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，
此时最小值＝＝＝．
24．（2021秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC•AH＝×12×8＝48；
（3）存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的M'处，CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段MM'的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴M'（﹣4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．
25．（2022春•翔安区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线y＝x+b过点C，
4＝b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
y＝x+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴•4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
8
m
2
﹣1
0
1
n
3
…
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了 ，此时自变量的值就是 的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定 .
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求 .
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个 ，这个不等式的解集的端点值就是我们把 .
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1.5D．x＝﹣1
2．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3
3．（2021•山西模拟）如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．转化思想
C．分类讨论思想D．函数思想
4．（2022秋•崂山区期中）如图，直线AB是一次函数y＝kx+k﹣1的图象，若关于x的方程kx+k﹣1＝0的解是x＝﹣，则直线AB的函数关系式为 ．
5．（2022秋•济南期中）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于P（1，3），则关于x的方程x+b＝kx+4的解是 ．
6．（2022秋•敦煌市期中）在平面直角坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解为 ；
（2）y＞0时，x的取值范围是 ．
7．（2022春•台江区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个一次函数的图象上；
（3）直接写出关于x的一元一次方程kx+b＝0的解．
8．（2021秋•江阴市期末）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数关系式，①当x≥2时，y＝ ，
②当x＜2时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在如图所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，则实数a的取值范围是 ．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022春•徐汇区期末）如图，函数y＝kx+b的图象与y轴、x轴分别相交于点A（0，2）和点B（4，0），则关于x的不等式kx+b≥2的解集为（ ）
A．x≤0B．x≤4C．x≥0D．x≥4
10．（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
11．（2021秋•济南期末）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤1的解集是（ ）
A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x≥0
12．（2022秋•靖西市期中）如图，已知直线y＝kx+b经过点A（3，1），则不等式kx+b＞1的解为 ．
13．（2022秋•海淀区校级月考）函数y＝kx与y＝﹣x+3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx＞﹣x+3的解集是 ．
14．（2021秋•德清县期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 ．
15．（2022秋•肇源县期中）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）请根据图像直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．
16．（2021秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：
（1）列表：
直接写出m、n的值：m＝ ，n＝ ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．
（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而 （填写“增大”或“减小”）；
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣x+4的解集 ．
17．（2019秋•岑溪市期中）如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．
（1）求P点的坐标；
（2）求△APB的面积；
（3）利用图象求当x取何值时，y1＞y2．
考点03：一次函数综合题
18．（2014•市中区一模）如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A．4B．8C．D．16
19．（2014•宜阳县校级模拟）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．B．C．D．
20．（2022•玉林模拟）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为 ．
21．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 ．
22．（2020春•济南期末）如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ ．
23．（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
24．（2021秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022春•翔安区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
8
m
2
﹣1
0
1
n
3
…
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（苏科版）基础
第6章《一次函数》
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
知识点01：一次函数与一元一次方程
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
知识点02：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
知识要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
知识点03：一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
知识点04：如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
考点01：一次函数与一元一次方程
1．（2022秋•淮北月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1.5D．x＝﹣1
解：把点（0，﹣2）和点（﹣3，0）代入y＝ax+b得，，
解得，
∴y＝﹣x﹣2，
当y＝﹣1时，即﹣x﹣2＝﹣1，
解得x＝﹣，
故方程ax+b+1＝0的解是﹣1.5，
故选：C．
2．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3
解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（1，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝1，
故选：C．
3．（2021•山西模拟）如图是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象可直接写出方程x﹣1＝0的解为x＝2，这种解题方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．转化思想
C．分类讨论思想D．函数思想
解：观察图象，一次函数与x轴交点是（2，0），
所以方程的解为x＝2，
这一求解过程主要体现的数学思想是数形结合．
故选：A．
4．（2022秋•崂山区期中）如图，直线AB是一次函数y＝kx+k﹣1的图象，若关于x的方程kx+k﹣1＝0的解是x＝﹣，则直线AB的函数关系式为 y＝3x+2 ．
解：把x＝﹣代入关于x的方程kx+k﹣1＝0得，﹣k+k﹣1＝0，
解得k＝3，
因此直线AB的函数关系式为y＝3x+2，
故答案为：y＝3x+2．
5．（2022秋•济南期中）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于P（1，3），则关于x的方程x+b＝kx+4的解是 x＝1 ．
解：∵一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），
则关于x的方程x+b＝kx+4的解是x＝1，
故答案为：x＝1．
6．（2022秋•敦煌市期中）在平面直角坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解为 x＝﹣2 ；
（2）y＞0时，x的取值范围是 x＞﹣2 ．
解：y＝x+2
列表如下：
图象如下图所示：
（1）由图形可得，方程x+2＝0的解是x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2；
（2）由图象可得，y＞0时，x的取值范围是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
7．（2022春•台江区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点是否在这个一次函数的图象上；
（3）直接写出关于x的一元一次方程kx+b＝0的解．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），
可得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为y＝2x﹣1；
（2）当时，，
∴点C（，0）在这个一次函数的图象上；
（3）由（2）可得一元一次方程kx+b＝0的解．
8．（2021秋•江阴市期末）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数关系式，①当x≥2时，y＝ x ，
②当x＜2时y＝ 2 ；
（2）根据（1）中的结果，请在如图所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，则实数a的取值范围是 或a≥1或a＜0 ．
解：（1）当x≥2时，；
当x＜2时，；
故答案为：x；2；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如下：
（3）根据画出的函数图象：
①当a＜0时，直线y＝ax+1与函数y＝图象只有一个交点；
②当a≥1时，直线y＝ax+1与函数y＝2（x＜2）的图象有一个交点，与函数y＝x（x≥2）的图象没有交点；
③当a＝时，直线y＝ax+1经过点（2，2）．
若关于x的方程ax+1＝只有一个实数解，
则实数a的取值范围是：或a≥1或a＜0．
故答案为：a＝或a≥1或a＜0．
考点02：一次函数与一元一次不等式
9．（2022春•徐汇区期末）如图，函数y＝kx+b的图象与y轴、x轴分别相交于点A（0，2）和点B（4，0），则关于x的不等式kx+b≥2的解集为（ ）
A．x≤0B．x≤4C．x≥0D．x≥4
解：∵直线y＝kx+b和y轴的交点是A（0，2），
∴不等式kx+b≥2的解集是x≤0，
故选：A．
10．（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
解：由图象可得当x＜﹣3时，y＜2，
∴kx+b＜2解集为x＜﹣3．
故选：B．
11．（2021秋•济南期末）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤1的解集是（ ）
A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x≥0
解：由图象可得，
当x≥0时，y＝kx+b对应的函数值不大于1，
∴不等式kx+b≤1的解集是x≥0，
故选：D．
12．（2022秋•靖西市期中）如图，已知直线y＝kx+b经过点A（3，1），则不等式kx+b＞1的解为 x＜3 ．
解：∵y＝kx+b经过A（3，1），
不等式kx+b＞1的解集为x＜3，
故答案为：x＜3．
13．（2022秋•海淀区校级月考）函数y＝kx与y＝﹣x+3的图象如图所示，根据图象可知，不等式kx＞﹣x+3的解集是 x＞1 ．
解：不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
14．（2021秋•德清县期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣3，0），直线y＝ax经过点A，则不等式ax＜kx+b的解为 x＜﹣2 ．
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝ax相交于点A（﹣2，﹣3），
∴观察图象得：当x＜﹣2时，ax＜kx+b，
∴不等式ax＜kx+b的解集为x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
15．（2022秋•肇源县期中）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）请根据图像直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）由（1）可得，不等式2x＜kx+b＜0变为2x＜﹣2x﹣4＜0，
解得﹣2＜x＜﹣1．
故不等式2x＜kx+b＜0的解集为：﹣2＜x＜﹣1．
16．（2021秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：
（1）列表：
直接写出m、n的值：m＝ 5 ，n＝ 2 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．
（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而 减小 （填写“增大”或“减小”）；
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣x+4的解集 ﹣3≤x≤3 ．
解：（1）把x＝﹣3代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝5；
把x＝2代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝2；
∴m＝5，n＝2，
故答案为：5，2；
（2）描点连线作出如下图所示函数图象，
（3）观察图象，当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小；
（4）从图上看，两个函数的交点为（﹣3，5）、（3，3），
故不等式2|x+1|﹣x﹣2≤﹣x+4的解集为：﹣3≤x≤3．
17．（2019秋•岑溪市期中）如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．
（1）求P点的坐标；
（2）求△APB的面积；
（3）利用图象求当x取何值时，y1＞y2．
解：（1）当y1＝y2时，有2x+1＝﹣x﹣2，
解得x＝﹣1，所以y＝﹣1，
所以P（﹣1，﹣1）；
（2）令x＝0，得y1＝1，＝y2﹣2
∴A（0，1），B（0，﹣2），
则 S△APB＝＝；
（3）由图象可知：当y1＞y2时，x的取值范围是x＞﹣1．
考点03：一次函数综合题
18．（2014•市中区一模）如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A．4B．8C．D．16
解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，
∵C（1，4），
∴FD＝CA＝4，
将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，
∵A（1，0），即OA＝1，
∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，
则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．
故选：D．
19．（2014•宜阳县校级模拟）如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．B．C．D．
解：对于直线y＝﹣x+8，
令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM＝∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM＝B′M，
设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，
在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OM＝3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y＝kx+b，
将A与M坐标代入得：，
解得：，
则直线AM解析式为y＝﹣x+3．
故选：B．
20．（2022•玉林模拟）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为 （0，256） ．
解：∵l：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1O（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A4纵坐标为44＝256，
∴A4（0，256），
故答案为：（0，256）．
21．（2021•新吴区模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为 （4，8）或（﹣12，﹣8） ．
解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，
∴E点坐标为（4，8）；
当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，
把A、E坐标代入可得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（4，0），
∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，
∵∠EAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，
解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，
∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
解得m＝﹣6，
∴直线AE的解析式为y＝x+8，
由，解得．
∴E（﹣12，﹣8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．
故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．
22．（2020春•济南期末）如图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（12，5），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b＝ 1 ．
解：∵将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过矩形的中心，
∵B点坐标为B（12，5），
∴矩形中心的坐标为（6，），
∴×6+b＝，
解得b＝1．
故答案为：1．
23．（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+6与直线y＝x交于点C，
∴联立方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）①点P的横坐标为m，
∵PD∥y轴，
∴点P、D，E三点横坐标都为m，
当x＝m时，y＝m，y＝﹣m+6，
∴点D坐标为（m，﹣m+6），
∴PD＝﹣m+6；
②当x＝m时，y＝m，
∴点E坐标为（m，m），
而点P坐标为（m，0），
第一种情形：点D是PE的中点时，
m+6，
解得：m＝；
第二种情形：点E是PD的中点时，
（﹣m+6+0）＝m，
解得：m＝；
综上，m＝或；
（3）BM+BN存在最小值，
在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，
∵C（4，3），A（8，0），B（0，6），∠AOB＝90°，
∴AB＝10，
∵CF⊥BO，
∴点F坐标为（0，3），
∴CF垂直平分BO，
∴CB＝OC＝AC＝5，∠BCF＝∠OCF，
∵CF∥AO，
∴∠FCO＝∠AOC，
∴∠BCM＝∠HON，
∵MC＝NO，CB＝OH，
∴△BCM≌△HON（SAS），
∴BM＝NH，
∴BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，
此时最小值＝＝＝．
24．（2021秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC＝OC•AH＝×12×8＝48；
（3）存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的M'处，CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的，
此时C为线段MM'的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴M'（﹣4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．
25．（2022春•翔安区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线y＝x+b过点C，
4＝b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
y＝x+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴•4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
8
m
2
﹣1
0
1
n
3
…
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