【暑假衔接】高中物理新高三（高二升高三）暑假自学讲义 专题03 共点力平衡（教师版+学生版）

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知识点1：力的合成和分解
1、力的合成
合力与分力：一个力产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
2、力的合成
求几个力的合力的过程。
3、力的合成法则
4、合力大小的范围
5、力的分解
求一个已知力的分力的过程。
6、力的分解法则
遵循平行四边形定则或三角形定则。
7、力的分解情形
8、力的分解方法
9、绳子模型
10、轻杆模型
杆的弹力方向不一定沿杆的方向，其大小和方向的判断要根据物体的运动状态来确定。
“死杆”：即轻质固定杆，它的弹力方向不一定沿杆的方向，作用力的方向需要结合平衡方程或牛顿第二定律求得。
“活杆”：即一端有铰链相连的杆属于活动杆，轻质活动杆中的弹力方向一定沿杆的方向。
1．关于几个力与其合力，下列说法不正确的是（ ）
A．合力的大小可能等于其中一个分力的大小
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵循平行四边形定则
【答案】B
【详解】A．根据平行四边形定则，合力的大小可能等于其中一个分力的大小，故A正确，不符合题意；
B．合力与分力只是等效替代的关系，合力并非与原来那几个力同时作用在物体上，故B错误，符合题意；
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用，故C正确，不符合题意；
D．求几个力的合力遵循平行四边形定则，故D正确，不符合题意。
故选B。
2．如图所示，甲、乙两位同学用同样大小的力提着一个水桶，水桶在空中处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．大小都等于水桶重力的一半
B．与竖直方向的夹角相等
C．减小与的夹角，大小不变
D．减小与的夹角，的合力变大
【答案】B
【详解】A．根据平衡条件可知，只有当都是沿竖直向上的方向时，两力大小才等于水桶重力的一半，故A错误；
B．由平衡条件可知，与竖直方向的夹角相等，故B正确；
CD．两人的合力确定，大小等于桶和水的重力，根据力的合成结论可知，两分力夹角越小，分力越小，故CD错误。
故选B。
3．一物体在F1、F2、F3三个共点力的作用下处于平衡状态，若F1的大小为6 N，F2的大小为16 N，那么F3的大小可能为（ ）
A．6 NB．8 NC．14 ND．24 N
【答案】C
【详解】F1、F2的合力大小范围是
题中四个选项中只有C项在此范围内。
故选C。
4．如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，其合力为；若撤去其中的一个大小为3F的力，其余五个力的合力为，则下列结论正确的是（ ）
A．，，方向与3F方向相同
B．，，方向与6F方向相同
C．，，方向与6F方向相同
D．，，方向与3F方向相同
【答案】B
【详解】如图所示
求六个共点力的合力先求共线的两个力的合力，共线的两个力的合力都为3F且两两的夹角都为120°，再求其中两个力的合力，作出平行四边形为菱形，由几何关系知合力也为3F且方向与另一个3F的力反向，故；若撤去其中的一个大小为3F的力，则其余五个力的合力与3F的力等大反向，即，方向与6F的力方向相同。
故选B。
5．一物体受到三个共点力F1、F2、F3共同作用，其力的矢量关系如图所示，则它们的合力大小是（ ）
A．0B．2F1
C．F3D．2F2
【答案】D
【详解】根据三角形定则，F1与F3的合力等于从F1的起点到F3的终点的有向线段，即与F2相同，合力等于2倍的F2，故D正确，ABC错误；
故选D。
6．如图所示，一质量为0.8kg的木块放在水平面上，向左运动，受到一个与水平面成30°的拉力F＝8N作用，木块与地面的动摩擦系数是0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．物体受到的弹力大小是8N
B．摩擦力大小为N，方向向右
C．合力大小是8N
D．摩擦力大小是2N，方向向右
【答案】D
【详解】A．对木块进行受力分析
根据力的合成与分解，竖直方向
整理，代入数据
A错误；
BD．因为
解得
方向：水平向右，B错误，D正确；
C．水平方向
代入数据，解得
C错误。
故选D。
知识点2：共点力平衡
1、共点力
物体同时受到多个力的作用，如果这几个力都作用在物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力。能简化成质点的物体受到的力可视为共点力。
2、平衡状态
平衡状态：物体保持静止或匀速运动状态（或有固定转轴的物体匀速转动）。说明：这里的静止需要二个条件：①物体受到的合外力为零；②物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态。
3、共点力平衡
共点力的平衡：如果物体受到共点力的作用，且处于平衡状态，就叫做共点力的平衡。F合=0（或者Fx=0；Fy=0），a=0（而不是v=0）。
多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡，其中任何一个力与其余力的合力大小相等，方向相反。
4、静态平衡分析方法
5、动态平衡分析方法
6、共点力平衡中的临界极值问题
临界或极值条件的标志
有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
7、解决动力学临界、极值问题的常用方法
7．如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则（ ）
A．Ff变小B．Ff不变C．FN变小D．FN不变
【答案】B
【详解】AB．先对三个物体以及支架整体受力分析，受重力，2个静摩擦力，两侧墙壁对整体有一对支持力，根据平衡条件，有
解得
故静摩擦力不变，故A错误B正确；
CD．将细线对O的拉力按照效果正交分解，如图
设两个杆夹角为，则有
再将杆对滑块m的推力按照效果分解，如图
根据几何关系，有
故
若挡板间的距离稍许增大后，角θ变大，变大，故滑块m对墙壁的压力变大，故CD错误。
故选B。
8．如图所示，用轻质细绳悬挂一质量为m的小球，再对小球施加一个力，使小球平衡时悬线绷紧且与竖直方向成β角，则所加力的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】如图所示
以小球为研究对象，小球受重力mg、绳拉力FT、外力F。根据平衡条件知F与FT合力与mg等大反向。即F与FT的合力为
在合力一定，其一分力FT方向一定的前提下，另一分力的最小值条件是F垂直于绳所在直线向上，则有
故选A。
9．如图甲为某风景旅游区的观光索道。某段时间其运行的简化示意图如图乙，缆索倾角为，缆车通过卡扣固定悬挂在缆索上，在缆索的牵引下一起斜向上匀速运动。已知缆车和卡扣的总质量为m，运行过程中缆车始终处于竖直方向，重力加速度为g，。下列说法正确的是（ ）
A．缆索对卡扣的摩擦力为
B．缆索对卡扣的作用力为
C．卡扣受到的合外力为
D．运行过程中缆车处于超重状态
【答案】A
【详解】A．缆车通过卡扣固定悬挂在缆索上，在缆索的牵引下一起斜向上匀速运动，对缆车和卡扣受力分析如图：
根据共点力平衡条件可知
故A正确；
BC．缆索对卡扣的作用力为，卡扣受到的合外力为0，故BC错误；
D．运行过程中缆车处于平衡状态，故D错误
故选A。
10．如图所示，细线穿过固定在重物上的光滑小环C后，两端分别固定在天花板上的A、B两点，重物（包括小环）的质量为m，对重物施加一个水平向左的拉力F，使AC段细线竖直且重物静止，已知A、B间距离为L，细线长为，重力加速度为g，则F的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设AC段长为，与BC的夹角为θ，则BC段长为，根据几何知识有
解得
因此
设细线上的拉力大小为T，对重物进行受力分析，如图所示

则根据力的平衡条件有
，
解得
故选A。
11．擦玻璃机器人可以帮助人们解决高层和户外擦玻璃难的问题，如图所示，一栋大厦表面均为玻璃材料，擦玻璃机器人牵引擦子清洁玻璃时，将大厦某一表面简化为正三角形ABC，与水平面夹角为30°，擦玻璃机器人对擦子的牵引力平行于玻璃表面，擦子与玻璃间的动摩擦因数为，机器人在该表面由B点匀速运动到AC中点D的过程中，质量为m的擦子受的牵引力为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】机器人在垂直玻璃表面的方向，重力垂直于玻璃表面的分力大小等于机器人对玻璃表面的压力大小，则有
而滑动摩擦力
带入数据解得
滑动摩擦力与物体相对玻璃表面的速度方向相反，机器人匀速运动，合力为零，在玻璃表面机器人受力分析如图所示

滑动摩擦力与重力沿斜面向下的分力的合力与牵引力大小相等方向相反，由几何关系可知滑动摩擦力与重力沿斜面向下的分力的夹角为，则，在中，由余弦定理可得
代入数据可得
故选D。
12．如图，质量为m的木块A放在水平地面上，固定在A上的竖直轻杆的上端与小球B用细绳连接，当与水平方向成角的力F作用在小球B上时，A、B恰好能一起向右匀速运动，此时细绳与竖直方向的夹角为。已知小球B的质量也为m，则木块A与水平地面间的动摩擦因数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对B球，根据平衡条件，水平方向有
竖直方向有
解得
对A、B整体，根据平衡条件，水平方向有
竖直方向有
解得
故选B。
13．如图所示，穿过小动滑轮的轻绳两端分别固定在a、b两点，质量为m的小物块通过轻绳拴接在小动滑轮的轴上。现给小物块施加一个水平向右的拉力F，系统静止时，滑轮到固定点a、b的两部分轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，滑轮质量、大小忽略不计，重力加速度为g。下列判断正确的是（ ）

A．小物块与滑轮间的轻绳与竖直方向夹角为37°
B．作用在小物块上的水平拉力大小为
C．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为
D．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为
【答案】C
【详解】CD．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为T，把滑轮与物块看作整体，竖直方向有
解得
故C正确，D错误；
B．水平方向有
解得
故B错误；
A．小物块与滑轮间的轻绳中张力大小为
由数学知识可知小物块与滑轮间的轻绳与竖直方向夹角为45°，故A错误。
故选C。
14．如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a和水平轻绳b共同固定一个小球，这时轻绳b的拉力为F1，现保持小球在原位置不动，使轻绳b在原竖直平面内逆时针转过θ角固定，轻绳b的拉力为F2，再逆时针转过θ角固定，轻绳b的拉力为F3，则（ ）

A．F1=F3>F2B．F1＜F2＜F3
C．F1=F3＜F2D．轻绳a的拉力增大
【答案】A
【详解】轻绳b处在三个不同位置时，小球均处于平衡状态；对小球受力分析并根据平衡条件可知，它受到的三个力可以构成矢量三角形，如图所示

根据几何关系可知，F2垂直于轻绳a对小球的拉力T，所以F1=F3>F2，而轻绳a的拉力T逐渐减小，故选A。
15．轻杆BO的O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（ ）

A．FN先减小后增大B．FN一直减小
C．F先减小后增大D．F一直减小
【答案】D
【详解】设重物的重力为G，以B点为研究对象，受力分析如图所示

作出力FN与F的合力F2，根据平衡条件得F2= F1= G，由△F2FNB∽△ABO得
由于BO、AO、G不变，则FN保持不变，AB逐渐减小，所以F逐渐减小。
故选D。
16．如图所示，一粗糙木板上端有固定的光滑定滑轮，一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块M，另一端与木板上的物块N相连，系统处于静止状态，木板与竖直方向的夹角为θ。现以定滑轮轮心O为旋转的轴心，缓慢增大木板与竖直方向的夹角，直到木板水平。已知物块M始终保持静止，则在木板转动过程中（ ）

A．细绳的拉力一直减小
B．细绳的拉力一直增大
C．物块N所受木板的摩擦力可能先减小后增大
D．物块N所受木板的摩擦力可能先增大后减小
【答案】C
【详解】AB．物块M始终保持静止，故细绳的拉力大小不变，AB错误；
CD．如果最初物块N的重力沿木板面向下的分力大于细绳的拉力，则物块N受到木板的摩擦力开始时沿木板面向上，当木板转动至水平位置时，物块N受到的摩擦力水平向右，此情况下，在木板转动过程中，物块N所受木板的摩擦力先减小后增大，C正确，D错误。
故选C。
17．如图所示，竖直墙面1与斜面2之间的夹角为θ，木棒的一端支在光滑的墙上，另一端放置在光滑的斜面上而处于静止状态，已知墙对木棒的支持力为F，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．木棒受到三个力（或延长线）可能不交同一点
B．若木棒与墙的夹角为a（锐角），则斜面对木棒的支持力与木棒之间的夹角为90°-θ+
C．斜面对木棒的支持力的大小为
D．木棒的质量为
【答案】D
【详解】A．根据分析，可知木棒受到的三个作用力方向不平行，由于木棒处于静止平衡状态，则这三个力必定是共点力，即木棒受到三个力（或延长线）必定交于同一点，A错误；
B．根据上述，对木棒进行受力分析如图所示
由几何关系，斜面对木棒的支持力与木棒之间的夹角为
B错误；
CD．根据上述受力分析有
，
解得
，
C错误，D正确。
故选D。
18．如图所示，站在水平地面上的人通过轻绳绕过定滑轮A和轻质动滑轮B将一重物吊起。若系统在图示位置静止时B两侧轻绳的夹角为，A右侧轻绳沿竖直方向，不计一切摩擦，此时人对地面恰好无压力，则人与重物的质量之比为（ ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3
【答案】A
【详解】人对地面恰好无压力，则绳子的张力大小为
对重物分析有
解得人与重物的质量之比为
故选A。
19．如图所示，轻杆的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为、的物体，另一端系于点，图乙中两轻绳分别挂着质量为、的物体，另一端系于点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳、与竖直方向的夹角均为，下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】AB．图甲中，OB绳的张力为
由平衡条件可得
则
故A错误，B正确；
CD．CD杆固定在墙上，杆的弹力方向不确定，则m3、m4的比例不确定，故CD错误。
故选B。
20．港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快速成岛技术，1600t起重船“振浮8号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛，如图甲，每个圆钢筒的直径为22.5m，高度为55m，质量为550t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为，如图乙所示，每根绳所能承受的最大拉力为，则至少需要多少根绳子才能成功起吊（，）（ ）
A．7根B．8根C．9根D．10根
【答案】C
【详解】设n根绳拉力在竖直方向的分矢量和与重力大小相等、方向相反。则
由题知

得
即至少需要9根绳子才能成功起吊。
故选C。
21．竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A与部件B界面具有摩擦系数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈夹角。部件B质量为m，重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A上的水平力F至少是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设A、B刚好发生相对滑动，A、B的受力如图所示
以B为对象，则有
以A为对象，则有
又
联立解得施加在部件A上的水平力F的最小值为
22．如图甲所示，倾角为的斜面体C置于水平地面上，物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物块A连接，连接B的一段细绳与斜面平行，整个装置处于静止状态。现在B上再轻放一小物块D，整个系统仍处于静止状态，如图乙所示。则放上D之后与没放D时相比（ ）
A．B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C的摩擦力大小和方向都没改变
B．B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，地面对C的摩擦力大小一定变大
C．B对C的摩擦力大小一定发生改变，地面对C的摩擦力大小和方向都没改变
D．B对C的摩擦力大小一定发生改变，地面对C的摩擦力大小一定变大
【答案】A
【详解】CD．甲图，绳的拉力
因为A、B间质量关系未知，故B、C间摩擦力方向未知；乙图，绳的拉力
以B和D为研究对象，因为A和BD总质量间关系未知，故B、C间摩擦力方向未知，则放上D之后与没放D时相比B受到C的摩擦力方向可能会发生改变，故C、D错误；
AB．甲图，以B、C整体为研究对象，地面摩擦力向左，大小为
乙图，以B、C和D整体为研究对象，地面摩擦力向左，大小为
则地面对C的摩擦力大小和方向都没改变，故A正确，B错误。
故选A。
23．如图所示，两个可视为质点的小球和，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球和的质量之比为。当两球处于平衡状态时，光滑球面对小球的支持力大小等于，对小球的支持力大小等于。若要求出的比值大小，则（ ）
A．需要知道刚性细杆的长度与球面半径的关系B．需要知道刚性细杆的长度和球面半径的大小
C．不需要其他条件，有D．不需要其他条件，有
【答案】C
【详解】受力分析如图
分别对小球和受力分析有
，
根据几何关系有
，
则有
故选C。
24．如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则（重力加速度为g）
A．当β＝30°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
B．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgcsα
C．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
D．当β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
【答案】D
25．物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图所示，θ＝60°。若要使两绳都能伸直，求拉力F的取值范围。（g取10 m/s2）
【答案】eq \f(20\r(3),3) N≤F≤eq \f(40\r(3),3) N
【解析】当c刚好伸直时，F有最小值；当b刚要松弛时，F有最大值。
法一 c绳刚好伸直时，拉力F最小，物体A受力如图甲所示。
由平衡条件得
Fminsinθ＋Fbsinθ－mg＝0 ①
Fmincsθ－Fbcsθ＝0 ②
解得Fmin＝eq \f(mg,2sinθ)＝eq \f(20\r(3),3) N

b绳刚好伸直时，拉力F最大，物体A受力如图乙所示。

法二 作出物体A的受力分析图如图丙所示，
由平衡条件得
Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0 ①
Fcsθ－F2－F1csθ＝0 ②
由①式得F＝eq \f(mg,sinθ)－F1 ③
由②③式得F＝eq \f(mg,2sinθ)＋eq \f(F2,2csθ) ④
要使两绳都伸直，则有F1≥0，F2≥0，
所以由③式得Fmax＝eq \f(mg,sinθ)＝eq \f(40\r(3),3) N
解答题
1．如图所示，已知物体在三个共点力的作用下沿x轴运动，其中F1=80N，F2=120N，它们与x轴夹角都是30°，F3是确保物体沿x轴运动的最小分力。试问：
（1）最小分力为多大？沿什么方向？
（2）三个分力的合力多大？

【答案】（1）20N，沿y轴正向；（2）100N
【详解】建立直角坐标系，其中三个力的交点O为原点，以原x轴为x轴，y轴垂直于x轴方向，把F1、F2沿x、y轴分解。则
（1）要使物体沿x轴方向运动，则y轴方向上合力为零，根据题意，当F3沿y轴正向，且
时，分力F3最小。
（2）三个分力的合力
2．在水平面上放有一个物体,水平力F=10N作用于物体,现要在物体上施加一个力F′,使F与F′的合力沿OO′方向,OO′与F之间的夹角为37°,如图所示．（sin37°=0．6 cs37°=0．8）求：
（1）F′的最小值是多少?
（2）此条件下F与F′的合力F合的大小．
【答案】（1）6N；（2）8N
【详解】（1）当F′垂直于OO′时F′最小, 见下图．
F′=F·sinθ =10×sin37°N=10×0．6N=6N
（2）F合=F·csθ =10×cs37°N=10×0．8N=8N
【点睛】此题考查了力的平行四边形法则；关键是画出力的分解图，联系几何关系很容易找到力的最小值．
3．如图所示，在水平光滑地面上放着一块质量为3m的长木板C，在其上方叠放着质量为2m、倾角为30°的斜面体B和质量为m的物块A，三者均相对地面静止。已知A与B之间的动摩擦因数为，B与C之间的动摩擦因数为，重力加速度的大小为g，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求A与B之间的摩擦力大小；
（2）若有一水平向右的恒力F作用在长木板C上，此时A、B、C三者相对静止且A、B间无摩擦力，求F的大小；
（3）若有一水平向右的恒力F作用在长木板C上，为保持A、B、C三者相对静止，求F的大小范围。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）A静止时，根据受力平衡可知
（2）因A、B、C三者相对静止，故可将三者看作一个整体，设整体的加速度大小为a，由牛顿第二定律有
对A分析可得
对AB整体,加速度大小需满足
所以
（3）由（2）中分析知三者相对静止时，加速度大小需满足
对A受力分析，当其所受静摩擦力沿斜面向下达到最大时，由牛顿第二定律有
其中
解得
则
则F的范围为
4．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）。
（1）木楔与斜面的动摩擦因数；
（2）当α=θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
（3）当α=θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？

【答案】（1）tanθ；（2）mgsin2θ；（3）mgsin4θ
【详解】（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
即
（2）木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动时，
，
又
解得
则当时，有
（3）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到的地面摩擦力等于F的水平分力，即
当时，有
可得
5．如图所示，质量为的物体放在倾角为的斜面上，与斜面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，M用平行于斜面的轻绳绕过光滑的定滑轮与不计质量的吊盘连接，吊盘架足够高，两个劲度系数均为的轻弹簧和两个质量都是m的物体栓接，此时M刚好不上滑，取。问：
（1）m的质量是多大；
（2）现将上面的m物体缓慢向上提，当M刚要开始下滑时，绳子拉力为多少；
（3）此时上面的m物体缓慢向上提起的高度是多少。
【答案】（1）2kg；（2）10N；（3）
【详解】（1）对M和m的系统，由平衡知识可知
解得
m=2kg
（2）使M刚要开始下滑时，则绳的拉力为T
解得
T=10N
（3）此时吊盘中下面弹簧的弹力应为10N，因开始时下面弹簧的弹力为
2mg=40N
可知下面弹簧伸长了
对中间的物体m受力分析可知，上面的弹簧对之间物体应该是向上的拉力，大小为F=10N，即上面的弹簧应该处于拉长状态，则上面弹簧的伸长量应该是
可知上面的m物体向上提起的高度是
6．如图甲，万家灯火，离不开这些高空舞者，电缆在铁塔之间悬成的曲线叫悬链线。简化如图乙，把两个铁塔之间的电线平分成两段，看成两个质点A和C，电线上的结冰认为是质点B，它们之间看成不可伸长的轻绳。已知悬点P，Q连线水平，，PA和水平线夹角为45°，AB和水平线夹角为30°，AC的质量为重力加速度为g。
（1）求质点B的质量是质点A的质量的多少倍。
（2）除掉结冰，求PA段绳对A的拉力多大？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）对质点A研究，受重力、PA与BA对其的拉力，受力分析如图所示，在水平方向上
竖直方向上
对质点B研究，受力分析后，根据平衡条件可得
整理解得
（2）设绳子PA长度为L，没有出去结冰，根据几何关系可知
除去结冰后，A与C之间绳子被拉直，则
如图所示
则对A点受力分析后，设PA段绳对A的拉力为，竖直方向受力平衡可得
整理解得
7．如图所示，一个所受重力为G的小环套在竖直放置的半径为R的光滑大环上．一轻质弹簧的自然长度为L（L＜2R），其一端固定在大圆环的顶点A，另一端与小环相连，当弹簧劲度系数k＝k0时，环静止平衡时位于大环上的B点，此时弹簧与竖直方向的夹角θ满足关系式csθ＝．分析：当k取不同值时，弹簧与竖直方向的夹角θ、弹簧弹性力及大环对小环的正压力如何变化？
【答案】当＝1时，csθ＝1，θ＝0，对应的k′＝，弹性力达到最大，最大值为2G．
k继续减小，弹性力继续减小，k′≥k≥k″＝时，弹性力在区间（2G≥F≥G），在这过程中G≥N≥0，
k＜k″时，N方向转为向上，值不断增加，F继续减小，满足k（2R﹣L）+N＝G．
【详解】以小球为研究对象，则小球受到重力、弹簧的弹力和大环的弹力，小球处于平衡状态，所以受到的三个力的矢量合成关系如图：
由相似三角形关系，则：＝，csθ＝，
所以：F＝2G csθ＝．
又：＝，N＝G，k0减小时，θ减小，F增大，N不变，
当＝1时，csθ＝1，θ＝0，对应的k′＝，弹性力达到最大，最大值为2G．
k继续减小，θ保持为0，弹簧伸长量不变，但k减小，弹性力继续减小，k′≥k≥k″＝时（对应于k″（2R﹣L）＝G），弹性力在区间（2G≥F≥G），在这过程中G≥N≥0，k＜k″时，N方向转为向上，值不断增加，F继续减小，满足k（2R﹣L）+N＝G
8．如图所示，在质量为m＝1kg的物块上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着轻质圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75，另有一条细绳，其一端跨过光滑定滑轮与物块相连，定滑轮固定在距离圆环50cm的地方．当细绳的另一端挂上重物G，而圆环将要开始滑动时（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2），试问：
（1）与物块相连的两绳夹角φ多大？
（2）长为30cm的细绳的张力是多少？
（3）重物G的质量是多少？
【答案】（1）90°；（2）8N；（3）0.6kg
【详解】（1）当圆环将要开始滑动时，对圆环进行受力分析得：
μFN－FTcsθ＝0
FN－FTsinθ＝0
解得
tanθ＝＝
故
θ＝53°
又
AO＝30cm，AB＝50cm
由数学知识求得
φ＝90°
（2）按如图所示选取坐标轴：
物块处于平衡状态，则有
Gcsθ＋FT′sinθ－mg＝0
FT′csθ－Gsinθ＝0
解得
FT′＝8N
G＝6N
（3）重物的重力
G＝m′g
解得
m′＝0.6kg
9．如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，∠ACB=30°；轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳FG拉住一个质量也为10kg的物体，，求：
（1）轻绳AC段的张力与细绳EG的张力之比；
（2）横梁BC对C端的支持力大小和方向；
（3）轻杆HG对G端的支持力大小和方向。
【答案】（1）；（2）100N；与水平方向成30°，指向斜右上方；（3）；水平向右
【详解】
（1）上图（a）中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力
上图（b）中由于
得
所以
（2）上图（a）中，根据
且夹角为120°，故
方向与水平方向成30°，指向斜右上方。
（3）上图（b）中，根据平衡方程有
所以
方向水平向右。
10．如图所示，在一倾角为30°固定斜面上放一个质量为2kg的小物块，一轻绳跨过两个轻滑轮一端固定在墙壁上，一端连接在物块上，且物块上端轻绳与斜面平行，动滑轮下方悬挂质量为3kg的重物，整个装置处于静止状态。已知跨过动滑轮的轻绳夹角为60°，物块与斜面的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）斜面上物块所受的静摩擦力大小；
（2）若要使斜面上的物块滑动，动滑轮下悬挂重物的质量应该满足什么条件？
【答案】（1）（2）
【分析】考查平衡状态的受力分析。
【详解】（1）设斜面上物体质量为m1，动滑轮下方悬挂的物体质量为m2，绳的拉力为T，斜面支持力为N，摩擦力为f，受力分析如图：
动滑轮节点受力平衡：
解得
斜面上的物体受力平衡：
解得摩擦力大小为
（2）最大静摩擦力为：
当绳的拉力等于0时，物体刚好保持静止，所以不可能往下运动，则只能是拉力足够大，当摩擦力达到最大静摩擦时，物体开始向上滑动：
解得
即动滑轮下悬挂重物的质量应满足。
法则
方法
图例
平行四边形法则
求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的线段作邻边，作平行四边形，夹在两分力之间的对角线就表示合力的大小和方向。这叫做力的平行四边形定则。
说明：①力的合成是唯一的。
②只有同一物体所受的力才可合成。
③不同性质的力也可以合成。
三角形法则
把两个矢量首尾相连从而求出合矢量的方法。
说明：不在同一直线上的两个分力与其合力，一定围成一个封闭的三角形。类推，不在同一直线上的n个力与其合力，一定围成一个封闭的（n+1）边形。
两个力
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
①当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；
②当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
三个力
三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小力的和的绝对值。
力合成中两类最小值问题
合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。
合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小。
类型
内容
图例
不受条件限制的分解
一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个。
有条件限制的力的分解
已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。
已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。
已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α。
当Fsinα