【暑假衔接】高中物理新高三（高二升高三）暑假自学讲义 专题05 圆周运动综合分析（教师版+学生版）

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知识点1：描述圆周运动的物理量
1、物理量
2、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
3、向心、离心运动
1．汽车后备厢盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图所示，可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O'点，B为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动。在合上后备厢盖的过程中（ ）
A．A点相对O'点做圆周运动
B．A点与B点相对于O点转动的线速度大小相等
C．A点与B点相对于O点转动的角速度大小相等
D．A点与B点相对于O点转动的向心加速度大小相等
2．厦门的鼓浪屿（图1）是集观光、度假、旅游、购物、休闲、娱乐为一体的综合性海岛风景文化旅游区。“鼓浪屿：国际历史社区”于2017年被列入世界遗产名录。图2为小闽生在游玩鼓浪屿某段时间内的图像。随后小闽沿半径为的圆进行取景，在内绕行1.5圈。由图可知（ ）
A．在时间内，小闽的行走轨迹为一条曲线
B．在时间内，小闽的加速度越来越小，行走的平均速度小于
C．取景过程，小闽绕行的平均速率为
D．取景过䅣中，为实时监测相机的大致位置，可以将小闽与相机视为一个质点
3．如图所示，滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧滑道AB，从A点滑行到最低点B的过程中，运动员的速率不变。关于该过程，下列说法正确的是（ ）

A．运动员所受合外力指向圆心B．运动员所受合外力不变
C．运动员处于失重状态D．运动员所受摩擦力大小不变
4．由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．Q点在竖直方向做匀速运动
B．Q点在水平方向做匀速运动
C．P点的线速度大小不变
D．P点的加速度方向不变
5．如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为的细直杆可绕在竖直面内匀速转动。某汽车以匀速驶来，自动识别系统的反应时间为，到距离为，汽车可看成高的长方体，其左侧面底边在直线上，且到汽车左侧面的水平距离为，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与时针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为（ ）
A．B．C．D．12h
7．一个圆柱形小物块放在水平转盘上，随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方向下拍照，得到的频闪照片如图所示，已知频闪仪的闪光频率为30Hz，则转盘转动的最小转速是（ ）
A．5r/sB．10r/sC．15r/sD．20r/s
8．穿梭于大街小巷的共享单车解决了人们出行的“最后一公里”问题。单车的传动装置如图所示，链轮的齿数为38，飞轮的齿数为16，后轮直径为660mm，若小明以5m/s匀速骑行，则脚踩踏板的角速度约为（ ）
A．3.2 rad/sB．6.4 rad/sC．12.6 rad/sD．18.0rad/s
9．如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为D．P点随圆盘转动的线速度可能为
10．如图所示，在圆规匀速转动画圆的过程中（ ）
A．笔尖的速度不变
B．笔尖的加速度不变
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．任意相等的时间内转过的角度相同
11．星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是（ ）
A．旋转舱的半径越大，转动的线速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的线速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
12．明代出版的《天工开物》一书中，有牛力齿轮（牛转翻车）的图画，如图所示，这说明勤劳勇敢的先辈们已经掌握了齿轮传动技术。A、B两轮边缘质点做匀速圆周运动的半径分别为、，A、B两轮边缘的齿轮数分别为、，在两轮转动过程中（不打滑），下列说法正确的是（ ）

A．A、B两轮边缘质点的线速度大小之比
B．A、B两轮的转速之比
C．A、B两轮的角速度
D．A、B两轮边缘质点的向心加速度大小之比
13．如图所示，一光滑细杆的下端固定在竖直轴上的O点，杆与轴的夹角为，杆以角速度绕竖直轴匀速旋转。质量为m的小球套在杆上，在距离O点一定距离的A处随杆一起在水平面上做匀速圆周运动。现对杆的运动进行适当调节，使小球位于距离O较远的B点，相对杆静止以新的角速度匀速转动，下列说法正确的是（ ）
A．小球在A、B两个位置做匀速圆周运动的加速度相同
B．小球在B位置上的线速度小于在A位置上的线速度
C．杆转动的角速度满足
D．小球在B处的机械能等于在A处的机械能
知识点2：不同传动模式
14．图为皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（ ）

A．a、c两点角速度大小之比为1︰1
B．a、c两点向心加速度大小之比为1︰2
C．b、d两点角速度大小之比为1︰1
D．b、c两点向心加速度大小之比为2︰1
15．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是大、小齿轮边缘上的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮半径的2倍，小轮中心到A点和大轮中心到C点的距离之比为2∶1，则A、B、C三点（ ）

A．线速度大小之比为4∶4∶1B．角速度之比为1∶1∶1
C．转速之比为2∶2∶1D．向心加速度大小之比为2∶1∶1
16．如图所示，半径分别为R和2R的两个转盘A、B处于水平面内，两者边缘紧密接触，靠静摩擦传动，均可以绕竖直方向的转轴O1及O2转动，两个转盘A、B始终不打滑。一个滑块（视为质点，图中未画出）放在转盘A上，离O1的距离为，已知滑块与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。现使转盘B的转速逐渐增大，要使滑块不滑动，转盘B的角速度的最大值为（ ）

A．B．C．D．
17．我国劳动人民发明的汉石磨盘可使谷物脱壳、粉碎，通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图所示。若驴对磨杆的拉力F沿圆周切线方向，大小为500N，磨盘半径r为0.4m，磨杆长为0.4m，驴对磨杆的拉力作用在磨杆末端，磨盘转动一周的时间为5s（驴拉磨可以看成做匀速圆周运动），则（ ）
A．磨盘与磨杆处处线速度相等
B．磨杆末端的线速度大小为πm/s
C．磨盘边缘的向心加速度大小为0.64πm/s2
D．驴拉磨转动一周拉力的平均功率为160πW
18．疫情期间居家上课，同学们在学习之余积极进行身体锻炼，自行车骑行是一项非常受喜爱的户外运动．如图所示为小明同学自行车的传动装置示意图，已知链轮的半径，飞轮的半径，后轮的半径（图中未画出）分别为链轮、飞轮和后轮边缘上的点．若小明同学踩脚蹬使链轮匀速转动，若其每转一圈用时，该过程可认为自行车匀速前进，则下列说法正确的是（ ）
A．链轮、飞轮和后轮的角速度大小之比为B．三点的线速度大小之比为
C．三点的向心加速度大小之比为D．自行车前进的速度大小约为
知识点3：水平面、竖直面和斜面上的圆周运动
竖直面内圆周运动的求解思路
确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
确定临界点：v临＝eq \r(gr)，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。
确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。
进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
19．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方，悬线碰到钉子瞬间（ ）

A．小球的线速度突然增大为原来的2倍
B．小球的加速度突然增大为原来的2倍
C．小球受的拉力突然增大为原来的2倍
D．小球的向心力突然增大为原来的4倍
20．如图1所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图2所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）

A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．若小球质量不变，换用更长的轻杆做实验，图2中a点的位置不变
D．时，在最高点杆对小球的弹力大小为3b
21．如图所示，一半圆形内表面光滑的轨道固定在水平面上，在轨道圆心等高处的右侧由静止释放一质量为m的小球，小球顺着半圆形轨道内侧下滑过程中，其对轨道的压力大小F与下降的高度h的图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，用两根等长的细线将两个质量均为kg的小球A、B（均看做质点）系在点，两个小球之间连着一根劲度系数为50N/m的轻弹簧，两球静止时两根细线之间的夹角为60°，，则（ ）
A．系在小球上细线的拉力为N
B．斜面对小球的支持力为15N
C．弹簧的形变量为0.2m
D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小为
23．如图所示为一种叫作“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动比较慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当“魔盘”转动到一定的转速时，即使底板脱落，人也会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会掉下．若魔盘半径为r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．人随“魔盘”转动过程中受四个力作用
B．如果“魔盘”转速变大，人与竖直壁之间的摩擦力变大
C．如果“魔盘”转速变大，人与竖直壁之间的弹力不变
D．为使人不掉落，“魔盘”的转速一定不小于
24．如图所示，轻弹簧的一端固定在光滑杆下端的点，另一端拴接一可视为质点的小球，现使整个装置环绕竖直轴匀速转动，以角速度稳定转动时，小球位于A点，轻弹簧恰处于原长状态，设弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是（ ）

A．选用不同质量的小球，的大小不同
B．角速度由逐渐增大，杆与小球间的作用力大小可能不变
C．角速度由逐渐增大，小球将沿杆向上移动
D．若解除小球与弹簧的拴接，装置以略大于的角速度匀速转动时，小球将在A点上方某位置随杆一起转动
25．如图所示一个小球在力F作用下以速度v做匀速圆周运动，若从某时刻起小球的运动情况发生了变化，对于引起小球沿a、b、c三种轨迹运动的原因说法正确的是（ ）
A．沿a轨迹运动，可能是F增大了
B．沿b轨迹运动，一定是v减小了
C．沿c轨迹运动，可能是v减小了
D．沿b轨迹运动，一定是F减小了
26．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与之间的夹角为，重力加速度为g。下列说法不正确的是（ ）
A．物块做圆周运动的加速度大小为
B．陶罐对物块的弹力大小为
C．转台转动的角速度大小为
D．如果转台的转速稍稍增大，小物块相对罐壁有向下的运动趋势
解答题
1．如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R=0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔。已知摆线长，，小球质量为，D点与A孔的水平距离，取。（，）试求：
（1）求摆球运动到最低点D点时的速度大小；
（2）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（3）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数的范围。
2．如图所示，光滑半圆形轨道AB竖直固定放置，轨道半径为R（可调节），轨道最高点A处有一弹射装置，最低点B处与放在光滑水平面上足够长的木板Q上表面处于同一高度，木板左侧x处有一固定挡板C（x未知）。可视为质点的物块P压缩弹射装置中的弹簧，使弹簧具有弹性势能，P从A处被弹出后沿轨道运动到B处时的速度大小始终为；已知P的质量，Q的质量，P、Q间的动摩擦因数，Q与C之间的碰撞为弹性碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。
（1）若P恰好不脱离轨道，求轨道半径R的值；
（2）若P始终不脱离轨道，写出弹性势能与R的关系式，并指出R的取值范围；
（3）若Q与C恰好发生n次碰撞后静止，求x的值。

3．如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角为，底端H有一弹簧，A、、、D、、H在同一水平直线上。一质量为0.01kg的小钢球（其直径稍小于圆管内径，可视作质点）从距A点高为h处的O点静止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为，轨道GH的动摩擦因数，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。，，，求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小；
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时受到的支持力大小；
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。

4．如图，一半径为的光滑四分之一圆弧轨道竖直放置，其末端A与一水平传送带相连，传送带以的速度向右匀速转动（不计转轮大小），在传送带右端B的正下方有一水平放置的静止圆盘，在其右边缘C点固定一个高度不计且没有底的光滑小桶，传送带与圆盘直径平行且传送带右端B与圆盘左边缘D点在同一竖直线上，其高度差为。一质量为的物块（可视为质点）从四分之一圆孤轨道上某处由静止滑下，无能量损失地滑上传送带后，先加速，经与传送带共速，后经传送带右端B水平抛出，恰好落入小桶内，圆盘随即开始加速转动至角速度后匀速转动，在此过程中，物块与圆盘始终保持相对静止。已知物块与传送带间的动摩擦因数为，物块与圆盘间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取。求：
（1）圆盘的半径R和物块经过A点时，对四分之一圆弧轨道的压力大小；
（2）圆盘匀速转动时，小桶对物块的作用力大小F（结果可用分数表示）；
（3）圆盘所在水平面与地面间的高度差为，匀速转动时，若将小桶轻轻拿走，求物块落地点与圆盘圆心O的水平距离d。
5．如图1所示，水平圆盘上质量与的A、B两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。AB一起随圆盘绕竖直中心轴转动，转动角速度从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块转动半径，。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。
（1）若先将轻绳去掉，将A、B两物块先后单独放到如图所示位置，分别求出A、B相对圆盘静止时圆盘转动的最大角速度？若将A、B两物块同时放到图所示位置（无轻绳），逐渐增大圆盘转动角速度，哪个物块先滑动？
（2）在A、B两物块间加上轻绳，如1所示，随着圆盘转动角速度逐渐增大，绳上的力从无到有，使得物块相对圆盘保持静止的时间延长。求当角速度为多大时，A受到的静摩擦力达到最大值？
（3）求当角速度继续增大至时，B受到的静摩擦力的大小？
（4）当角速度继续增大至时，AB物块组成的系统相对圆盘开始滑动，求的大小？并将物块B受到的摩擦力与的分段函数关系图像画在图2中（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的横纵坐标值）。
物理量
物理意义
表达式
线速度
描述物体圆周运动快慢。
v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2πr,T)
角速度
描述物体转动快慢。
ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T)
周期
物体沿圆周运动一周所用的时间，描述物体转动快慢
T＝eq \f(2πr,v)
频率
单位时间内完成周期性变化的次数，描述物体转动快慢
f=1/T
转速
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数。描述物体做圆周运动的快慢。
n=f=1/T
向心加速度
指向圆心（曲率中心）的加速度，与曲线切线方向垂直。反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。
an＝rω2＝eq \f(v2,r)＝ωv＝eq \f(4π2,T2)r
向心力
当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。作用效果是产生向心加速度。
Fn＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝eq \f(mr4π2,T2)＝mr4π2f2
圆周运动的类型
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度的大小不变的圆周运动
线速度的大小和方向不断变化的圆周运动
性质
①向心加速度、向心力和线速度的大小不变，方向改变；
②角速度不变
向心加速度、向心力、线速度和角速度均发生变化。
条件
合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
①合力沿速度方向分量产生切向加速度，它只改变速度的大小；②合力沿半径方向分量产生向心加速度，它只改变速度的方向。
受力特点
图例
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动。
当F＝0时，物体沿切线方向飞出。
当F当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。
方式
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同。
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。
图例
特点
A、B两点角速度、周期相同
A、B两点线速度相同
A、B两点线速度相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：
角速度与半径成反比：
，
周期与半径成正比：
角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶
，
周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比：
类型
描述
方法
水平面内的圆周运动
此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。
选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；分析物体受力情况，其合外力提供向心力；由Fn＝meq \f(v2,r)=mrω2列方程求解。
竖直面内的圆周运动
拱桥模型
受力特征：下有支撑，上无约束
临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝eq \r(gR)。过最高点条件：v≤eq \r(gr)。讨论分析：v≤eq \r(gr)时：mg－FN＝meq \f(v2,r)，FN＝mg－meq \f(v2,r)eq \r(gr)时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。
轻绳模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
临界特征：FN＝0 ，mg＝meq \f(v\\al(2,min),R)即vmin＝eq \r(gR)。过最高点条件：在最高点的速度v≥eq \r(gR)。讨论分析：过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v轻杆模型
受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。
临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。
过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大。
斜面上的圆周运动
静摩擦力控制下的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
轻杆控制下的圆周运动
轻绳控制下的圆周运动