（人教版）初升高物理暑假预习2.5 专题1：追及相遇问题（讲义）（学生版+教师版）

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知识点1：追及、相遇问题
1.追及、相遇问题是常见的运动学问题，其实质是研究两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2.分析追及、相遇问题时，一定要抓住以下两点∶
（1）位移关系∶x2=x0+x1。
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移。
（2）临界状态∶v1=v2
当两个物体的速度相等时，往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的状态，也是可能出现恰好追上、恰好避免相撞等临界情况的状态。
3.处理追及、相遇问题的常用方法
（1）临界法∶追和被追的两物体速度相等（同向运动）是能否追上或两者距离有极值的临界条件.
第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追赶速度小者，若追不上则两者速度相等时有最小距离.
第二类∶速度小者加速（如匀加速直线运动）追赶速度大者，当两者速度相等时有最大距离，具体可参考图像法进一步理解。
（2）图像法：若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图线相交，则说明两个物体相遇;若用速度—时间图像求解，则注意比较图线与时间轴包围的面积，在同一坐标系中若画出几个物体的速度一时间图像，可比较它们速度变化的快慢，也可知道它们速度相等（两图线的交点）的时刻.
①初速度小者追初速度大者
②初速度大者追初速度小者
（3）函数法∶用判别式求解直线运动中的追及、相遇问题.两物体间的距离x=f（t），设两物体在t时刻相遇，即x=f（t）=0，通常是一元二次方程，利用判别式△=b2-4ac判断，若方程f（t）=0无正实数解，则说明两物体不可能相遇;若方程f（t）=0存在正实数解，则说明两物体能相遇。
例如，一个做匀速直线运动的物体追一个做匀变速直线运动的物体，两物体间的距离用x=a（t-b）2+c （a＞0）表示，这时可根据c的大小判断两物体是否相遇：
如图线①c = 0，两物体相遇一次;图线②c＞0，两物体不相遇;图线③c＜0，两物体相遇两次.
（4）转换参考系法
一般情况下，都是选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可转换参考系，然后找两物体间的相对运动关系.在追及、相遇问题中，常把被追及的物体作为参考系，追赶物体的相关物理量可表示为"v相=v后-v前，α相=α后-α前，x相=x后-x前.注意统一正方向。
4.相遇、追及问题的常见限制条件
（1）物体有最大速度，例如道路的限速.
（2）物体有最小速度，例如刹车时汽车减速为零即为最小速度，此后静止。
（3）其他限制条件使物体运动状态发生变化。
一、单选题
1．某玩具车生产厂家为了测试玩具车的性能，进行了如下的测试。现使两玩具车沿平直的公路行驶，时刻两玩具车刚好并排，此时玩具车甲开始运动，利用计算机描绘了两玩具车的的关系图像。下列说法正确的是（ ）
A．时两玩具车共速
B．玩具车甲的加速度大小为
C．时两玩具车第二次并排行驶
D．0~2 s的时间内，玩具车乙的位移等于玩具车甲的2倍
【答案】C
【详解】B．根据匀变速直线运动公式得
结合图像可知玩具车甲做匀变速直线运动，初速度为0，图线斜率
由图像得
所以玩具车甲的加速度
玩具车乙做速度的匀速直线运动，B错误；
A．时玩具车甲的速度为
而玩具车乙的速度为
故A错误；
CD．0~2 s时间内两玩具车的平均速度相等，则该时间内两玩具车的位移相等，因此时两玩具车第二次并排行驶，C正确，D错误。
故选C。
2．A、B两辆汽车在平直公路上沿同一方向做直线运动，两辆汽车运动的速度—时间图像如图所示。已知t＝0时刻B车在前，A车在后，且在前6s内A车没有追上B车，两车间的最短距离为3m。下列说法中正确的是（ ）
A．两车在前4s内运动方向相反
B．两车在前6s内B车的速度变化更快
C．前4s内A车比B车多运动了40m
D．两车在t＝0时相距33m
【答案】D
【详解】A．由v-t图像可知在前4s内两车的速度均为正，所以两车运动方向相同，选项A错误；
B．v-t图线斜率的绝对值表示物体加速度的大小，由图可知A车的加速度较大，即A车的速度变化更快，选项B错误；
CD．两车同向运动，当后者的速度大于前者的速度时，两者之间的距离变小，当后者的速度小于前者的速度时，两者之间的距离变大，速度相等时距离最近，故4s末两车相距最近，最近为3m，由图可知前4s内A车比B车多运动了30m，所以t＝0时两车相距33m，选项C错误，D正确。
故选D。
3．甲、乙两车在同一平直公路上，从同一位置沿相同方向做直线运动，它们运动的速度v与时间t关系图象如图所示。对甲、乙两车运动情况的分析。下列结论正确的是（ ）

A．甲车运动的加速度大于乙车运动的加速度
B．在t=1s时刻，乙车刚运动，此时两车相距最远
C．在t=2s时刻，甲乙两车相遇
D．在t=2s时刻，甲、乙两车相距最远
【答案】D
【详解】A．v-t图象的斜率等于加速度，由图可知，甲车运动的加速度小于乙车运动的加速度，选项A错误；
BCD．在t=1s时刻，乙车刚运动，此时因甲车的速度大于乙车，两车间距逐渐变大，当两车在t=2s共速时两车相距最远，选项D正确，BC错误。
故选D。
【点睛】速度-时图象图线的斜率表示加速度，图线与时间轴包围的面积表示对应时间的位移，两图线的交点是速度相等的时刻，一般会出现距离最大或最小。
4．有甲、乙两辆汽车，在平直并列的两条公路上行驶。时刻甲的速度是，乙的速度为零，它们的速度—时间图像如图所示，在内下列说法正确的是（ ）
A．若它们从同一地点出发，则它们在末只能相遇一次
B．若它们从同一地点出发，则它们不可能相遇
C．若乙车在后，甲车在前，则它们有可能相遇一次
D．若甲车在后，乙车在前，则它们不可能相遇两次
【答案】A
【详解】AB．由图像知若它们从同一地点出发，在速度相等前甲的位移为
乙车的位移为
设共速时间为t，即开始到共速之前甲车在乙车的前方，共速后乙车追赶甲车，在20s时恰好追上，所以只能相遇一次，故A正确，B错误；
C．若乙车在后，甲车在前，在内，甲和乙位移相等，不可能相遇，故C错误；
D．若甲车在后，乙车在前，如果甲乙之间的距离不是特别大，甲车在之前追上乙车，在内乙车会反追上甲车，在内有可能相遇两次，故D错误。
故选A。
5．入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足20m。在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车。两辆车刹车时的v-t图像如图，则（ ）

A．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定等于112.5 m
B．若两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距一定小于90 m
C．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s之内的某时刻发生相撞
D．若两车发生碰撞，则一定是在刹车后20 s以后的某时刻发生相撞
【答案】C
【详解】AB．由题图可知，两车速度相等经历的时间为20 s，甲车的加速度
乙车的加速度
此时甲车的位移
乙车的位移
两车发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距最大值为
则两车的距离小于100 m，故AB错误；
CD．因为速度相等后，若不相撞，两者的距离又逐渐增大，可知两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的，故C正确，D错误。
故选C。
二、多选题
6．甲乙两车在平直公路上同向行驶，其图像如图所示，已知两车在t=2s时并排行驶，则（ ）
A．0-4s内两车间距先减小后增大
B．t=0时刻，乙车在后甲车在前
C．t=3s时，甲车在乙车前0.75m
D．两车另一次并排行驶的时刻是t=6s
【答案】ACD
【详解】A．由图像与时间轴所围面积表示位移结合题意可知内乙车在前甲车在后，二者距离逐渐减小，，甲车在前，乙车在后且二者距离逐渐增大，A正确；
B．由v-t图像与时间轴所围面积表示位移，可知在0~2s时间内甲车的位移大于乙车的位移，已知两车在t=2s时并排行驶，因此在t=0时刻，乙车在前，甲车在后，B错误；
C．由v-t图像的斜率表示加速度，可知甲车的加速度为
甲车在第2s末的速度为
甲车在第3s内的位移为
乙车在第3s内的位移为
可知t=3s时，甲车在乙车前0.75m，C正确；
D．已知两车在t=2s时并排行驶，可知在第二次并排行驶时，从t=2s开始两车行驶的位移相等，甲车从t=2s开始到停下所用时间，则有
设从t=2s开始再经∆t时间两车行驶位移相等，则有
解得
可知两车在
时刻再一次并排行驶，D正确。
故选ACD。
7．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的图像如图所示，时，乙在甲前方相距为处，则（ ）
A．若，甲、乙将一次并排行驶
B．若，甲、乙将两次并排行驶
C．若，两次并排行驶的位置间距为8m
D．两次并排行驶的最大时间间隔为2s
【答案】BC
【详解】A．根据图像面积代表位移可知，达到共速时两车位移差
乙在甲前方相距为处，如果共速时，甲没追上乙，则追不上了，所以若，甲、乙将不会并排行驶，故A错误；
B．若，在共速前甲追上乙，之后乙加速，甲减速，会再次相遇，甲、乙将两次并排行驶，故B正确；
C．若，则甲追上乙的时间为
， ，
解得
两次并排行驶的位置间距为
故C正确；
D．根据C分析可知，，两次并排行驶时间间隔为2s，如果变小，则并排行驶时间大于2s，故D错误。
故选BC。
8．甲、乙两车在同一水平路面上做直线运动，两车从时刻开始计时的图像如图所示。已知开始计时时乙车在甲车前处，且在和时两车各相遇一次，则下列判断正确的是（ ）
A．内甲车的加速度大小是乙车的三倍
B．时乙车的速度大小为
C．两车在运动过程中一定会相遇三次
D．当乙车停止运动时，甲、乙两车仍相距
【答案】CD
【详解】AB．两车在和时相遇，根据运动学公式得
，
由图像可知
，
得甲、乙的初速度和加速度分别为
，，，
AB错误；
C．时，甲车速度为，由匀变速运动规律可知，此时乙车速度为
设两车又经过时间相遇，则
得
可知，两车在时第三次相遇，且均未停止，C正确；
D．从开始，乙车再运动2s速度减为零，此过程中甲、乙两车位移为
，
则当乙车停止时，甲车在乙车前方距离为
D正确。
故选CD。
9．甲乙两车在一平直道路上同向运动，其图像如图所示，图中△PQR和△MNR的面积分别为s1和s2（）。初始时，甲车在乙车前方处。则（ ）
A．若，两车一定不会相遇B．若，两车一定相遇2次
C．若，两车可能相遇1次D．若，两车可能相遇2次
【答案】AD
【详解】A．开始时乙车的速度大于甲车，故两车距离逐渐减小，当速度相等时，两车距离最小，此时若两车相遇，则满足
即
由题意可知
可得
可知两车一定不会相遇，A正确；
B．若
即
即在两车在达到速度相等之前已经相遇一次，在两车速度相同时乙在甲之前，且两车相距最远，以后两车距离逐渐减小，但是可能在甲追上乙车之前两车都已停止，故两车不一定相遇2次，B错误；
C．若
两车只在速度相等时相遇1次，C错误；
D．若
因为
即
所以两车在达到速度相等之前已经相遇一次，在两车速度相同时乙在甲之前，且两车相距最远，以后两车距离逐渐减小，可能再次相遇，故可能相遇2次，D正确。
故选AD。
三、解答题
10．在平直的公路上，一辆小汽车正以2m/s的速度匀速行驶，司机突然发现前方20m处，一辆以v货=10m/s的速度匀速前进的箱柜货车的后门打开，这时小汽车立即以a=2m/s2的加速度追赶，不计车长，则：
（1）在小汽车追上货车前，两车的最大距离是多少；
（2）小汽车何时追上货车；
（3）追上货车时小汽车的速度有多大。
【答案】（1）36m；（2）10s；（3）22m/s
【详解】（1）在小汽车追上货车前，两车速度相等时，距离最大，设经过时间速度相等，即
解得
这段时间内小汽车位移
货车位移
两车的最大距离是
（2）设小汽车经过时间t2追上货车，则小汽车位移
货车位移
联立解得
或
（舍去）
（3）追上货车时小汽车的速度
11．疲劳驾驶是一种危险的驾驶行为，极易引发交通事故。一轿车在平直公路上以的速度匀速行驶，在它正前方处有一货车以的速度同向匀速行驶，货车由于故障而开始做匀减速直线运动。由于疲劳导致反应迟钝，轿车司机在货车减速后才发现危险，轿车司机经反应时间后，立即采取紧急制动措施，使轿车开始做匀减速直线运动。若货车从故障开始，需向前滑行才能停下。
（1）求货车做匀减速直线运动的加速度大小a；
（2）求当轿车开始刹车时，两车之间的距离；
（3）若轿车和货车不发生追尾，求轿车刹车的最小加速度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由匀变速直线运动公式有
解得
（2）从货车开始减速到轿车开始刹车的过程中，这段时间内货车运动的位移大小
解得
轿车运动的位移大小
解得
当轿车开始刹车时，两车之间的距离
解得
（3）轿车开始刹车时，货车的速度大小
解得
设再经时间两者速度相等，恰好不相碰，有
由位移关系有
解得
12．如图，甲、乙两名运动员在训练2×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动，且经加速后都能达到并保持vm=8m/s的速度跑完全程。已知接力区的长度为L=18m，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小。
(1)在某次练习中，甲以vm=8m/s的速度跑到接力区前端s合=12m处时，向乙发出起跑口令，求此次练习中交接棒处离接力区前端的距离；
(2)为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令?
(3)若接力区的长度只有L′=9m，他们跑完2×100m全程的最好成绩（从甲起跑开始，至乙到达终点的总时间）是多少?
【答案】(1)4m；(2)16m；(3)27.125s
【详解】(1)设乙起跑后经t时间被追上，则
解得
（跑出接力区，舍去），
则
(2)乙从起跑到加速至最大速度时间为t0，则
这段时间内乙的位移
故乙起跑时，与甲的距离为
(3)由于L′＜x0，故不可能在乙达到最大速度时完成接棒。为取得最好成绩，应在接力区末端即乙跑出L′时完成交接棒，设乙此时的速度为v1，由代入数据解得
接棒后，乙继续加速至最大速度，设接棒后乙加速的时间为t2，则有
全程的时间除了甲的加速时间t0、乙接到棒后加速运动的时间t2外，接力棒均在做匀速运动，设接力棒匀速运动的总时间为t3，则有
则有
t′总=t0+t2+t3=27.125s
追及类型
图像描述
相关结论
匀加速追匀速
设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶
a.t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大;
b.t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x;
c.t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小再逐渐增大;
d.一定能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
匀加速追匀速
追及类型
图像描述
相关结论
匀减速追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶
若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件;
若△xx0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
匀减速追匀减速