（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第03讲：一元二次方程根与系数的关系（学生版+教师版）讲义

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考点一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
(1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ；
(2) 当时，方程有两个相等的实数根：；
(3) 当时，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.
考点二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为：
.
所以：，
.
定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：
.
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．
【题型归纳】
题型一：一元二次方程的根的判断式
1．关于x的一元二次方程，根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
2．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数的取值有关
3．在正比例函数中，的值随值的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定
题型二: 判断式求参数问题
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．
5．一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（ ）
A．B．C．或3D．或1
题型三：一元二次方程的根与系数的关系
7．已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（ ）
A．0B．−11C．9D．11
8．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．设与为一元二次方程的两根，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：根和系数与判别式的综合应用
10．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
(2)若此方程的两根互为倒数，求的值．
12．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．
(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．
(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．
(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．
【专题突破】
一、单选题
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．且
C．且D．
16．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
17．对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
18．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
19．已知m、n是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．4B．C．2D．
20．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是( )
A．B．C．D．
21．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．2B．3C．D．
22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．且
23．若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为( )
A．11B．C．11或D．11或或1
24．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题
25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
26．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为______．
27．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；
28．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．
29．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
三、解答题
30．已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
31．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，设方程的根为，，求代数式 的值．
32．已知，是方程的两根，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
33．阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
34．关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
35．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
36．若是一元二次方程（为常数）的两个根，则，．这个定理叫做书达定理．
如：是方程的两个根，则、
已知：M、N是方程的两根，记；，
(1)__________， __________；（直接写出答案）
(2)当且为整数时，猜想之间有何关系？并证明．
(3)利用（2）猜想求的值．