（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版+教师版）

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知识点一 一元二次不等式的概念
知识点二 一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

知识点四 解一元二次不等式
①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
③有根求根；
④根据图象写出不等式的解集.
知识点五 解分式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)·g(x)>0；
(2)eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx≤0，,gx≠0；))
(3)eq \f(fx,gx)≥a⇔eq \f(fx－agx,gx)≥0.
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；
k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
【基础自测】
1．不等式的解集是（ ）
A．全体实数B．空集C．正实数D．负实数
【答案】B
【详解】
所以不等式的解集为空集．
故选：B．
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求函数得，再解不等式得，再求集合交集运算即可.
【详解】解：因为的定义域为，所以函数的值域为，
所以，
又因为，
所以
故选：D
3．若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式的解集是
则根据对应方程的韦达定理得到：，解得，
则的解集为
故选：A
4．不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，即当时，则有恒成立，符合题意；
②当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
5．不等式的解集是___________.
【答案】或
【详解】因为，所以，解得或，
所以不等式的解集是或.
故答案为：或.
【例题详解】
题型一、解不含参数的一元二次不等式
例1 解下列不等式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）（2）（3）根据一元二次不等式的解法解出答案即可.
【详解】（1）由可得，
所以或，即解集为；
（2）由可得，
所以，即解集为；
（3）由可得，
所以解集为.
(4)；
(5).
【答案】(4)；(5)或
【分析】(4) 将不等式转化为，解一元二次不等式即可；
(5)将不等式化简为解一元二次不等式.
【详解】（1）原不等式可化为，
所以解得，
故原不等式的解集是.
（2）原不等式可化为
所以，解得或，
故原不等式的解集为或.
(6)；
(7)
【答案】(6)或；(7)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（6）原不等式整理得，，
即，解得或，
原不等式的解集为或
（7）原不等式整理得，，
，
原不等式的解集为.
(8)
【答案】(8)
【分析】(8)将不等式转化为即可得解.
【详解】（8）由可得：，
所以，故解集为.
跟踪训练1 解下列不等式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）（2）利用一元二次不等式解法即可求出解集.
【详解】（1）由得：，
解得：或，
所以不等式的解集为：或；
（2）由，
令，可知，
又对应抛物线开口向上，
所以的解集为：.
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(3)或
(4)
(5)
【分析】根据一元二次不等式的解法运算求解.
【详解】（3）∵，则，
∴或，
故不等式的解集为或
（4）∵，即，则，
∴，
故不等式的解集为.
（5）令，则或，
∵，
∴，
故不等式的解集为.
(6)
【答案】(6)
【分析】借助三个“二次”的关系解不等式和不等式组即可.
【详解】（6）不等式解得或；
不等式解得，
所以不等式组的解集为.
题型二、解含有参数的一元二次不等式
例2 (1)解关于的不等式．
【分析】将与1比较，分类讨论即可求解．
【详解】不等式可化为．
①当时，原不等式即为，解得；
②当时，原不等式化为，解得；
③当时，原不等式化为，解得．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
(2)求关于的不等式的解集.
【分析】对二次项系数的正负及根的情况进行分类讨论，分别求得相应的解集.
【详解】，
当，不等式为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或.
综上：当时，不等式的解集为
当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
跟踪训练2 (1)求不等式的解集.
【分析】不等式可化为，令，解得，或，分、、讨论解不等式求解.
【详解】不等式可化为，
令，解得，或，
当即时，不等式的解集为或，
当即时，不等式的解集为或，
当即时，不等式的解集为.
综上所述，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为.
(2)解关于的不等式.
【分析】分类讨论解含参不等式，讨论二次项系数是否为0，开口方向，两根的大小.
【详解】，
当时原不等式变形为，解得；
当时，的根为或．
当时，∴或，
当时，∴，
当时，∴，
当时，∴
综上可得：
当时原不等式解集为；
当时原不等式解集为或；
当时原不等式解集为；
当时原不等式解集为；
当时原不等式解集为．
题型三、由一元二次不等式的解确定参数
例3 (1)若不等式的解集为，则值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，为方程的根，再利用韦达定理求解即可.
【详解】因为的解集为，
所以，为方程的根.
所以，所以.
故选：B
(2)已知关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程即可求出和的值，再代入解一元二次不等式即可；
【详解】不等式等价于，即
所以和为方程的两根，且
由韦达定理可得，解得，
所以原不等式为，
即，解得.
即不等式的解集为
故答案为：
跟踪训练3 (1)若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三个“二次”的关系得到和2是方程的两个根，然后利用韦达定理求，，代入不等式中解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以和2是方程的两个根，
则，，即，，
不等式即为，解得.
故选：A.
(2)已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题意可知，且时方程的两根，再由韦达定理求出，代入中解不等式即可求出答案.
【详解】由关于的不等式的解集为，
可知，且时方程的两根，
则，
所以等价于，即，
解得：，
所以的解集为.
故答案为：.
题型四、一元二次方程根的分布问题
例4 (1)若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.
故选：C
(2)已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得判别式，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得.
【详解】设方程的两根为，依题意有：，
因都大于1，则，且，显然成立，
由得，则有，解得，
由解得：，于是得，
所以的取值范围是.
故选：A
跟踪训练4 (1)关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】讨论a，确定，则可将化为，
令，结合二次函数知识可得，即可求得答案.
【详解】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
(2)已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设方程关于的方程的两根分别为、，
则，解得.
故答案为：.
(3)设命题：方程有两个不相等的正根；命题：方程无实根．若与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】分别求得命题p，q为真时m的范围，根据题意可得命题p，q一真一假，分p真q假和p假q真两种情况，分别求解，综合即可得答案．
【详解】当命题p为真时，有，解得．
当命题q为真时，有，即，解得．
由题意，p与q中有且只有一个是真命题，分两种情况：
若p真q假，则，解得；
若p假q真，则，解得．
所以，实数m的取值范围是．
题型五、解分式不等式
例5 解关于的不等式：
(1)； (2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
【详解】(1)可化为，解得：或，
所以原不等式的解集为：或.
（2）由得，∴，解得，
故不等式的解集为.
(3)；
等价变形为：且； （注意分母）
解得
所以原不等式的解集为
(4)可化为，解得：，
所以原不等式的解集为：.
(5)可化为：，用“穿针引线法”如图示：
所以原不等式的解集为：或.
（6）因为，
所以，则，即，
故，解得，
所以的解集为.
（7）解：等价于，
方程的解为，
所以原不等式的解集是；
跟踪训练5 (1)已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合，利用集合交集的定义求得结果．
【详解】由等价于，即，
则，解得，故，
所以.
故选：C.
(2)（多选）若“”是“”充分不必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】BCD
【分析】根据分式不等式化简得，进而根据充分不必要条件转化成子集关系，即可求解.
【详解】由得，故“” 是“”充分不必要条件，所以，故，
故选：BCD
(3)不等式的解集为______.
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果.
【详解】因为，即，解得，
所以不等式的解集为
故答案为:
(4)解下列不等式.
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)；（ = 3 \* rman \* MERGEFORMAT iii）
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)；（ = 3 \* rman \* MERGEFORMAT iii）或
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)由可得，即，解得 ，
所以不等式的解集为.
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)由，可得，即 ，解得 或
所以的解集为.
（ = 3 \* rman \* MERGEFORMAT iii），解得或
所以该不等式解集为或.
题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
例6 (1)若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案.
【详解】当时，原式化为，显然恒成立；
当时，不等式对一切恒成立，
则有且，解得.
综上可得，.
故选：C
(2)“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.
【详解】不等式在R上恒成立 ，即，
因为，但不能推出成立，
故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，
故选：A
跟踪训练6 (1)已知对于任意实数恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】讨论、，根据不等式恒成立，结合二次函数性质列不等式组求范围.
【详解】当时，不恒成立；
当时，，所以；
综上，.
故选：
(2)若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由判别式小于0可得．
【详解】由题意，．
故答案为：．
题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
例7 (1)若1≤x≤2时，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数在区间上恒成立，列出满足的条件求解即可.
【详解】根据题意，令，若不等式在上恒成立，则有或或，解得，所以实数的最小值为:，
故选:B
(2)已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合二次函数的图象列不等式，解不等式即可.
【详解】根据题意可得，解得.
故选：D.
(3)已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，
解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，
解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
跟踪训练7 (1)若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，然后求出的最大值即可.
【详解】因为对任意，有恒成立，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
(2)若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________
【答案】或
【分析】令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，所以
令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为
故答案为：
(3)已知关于的不等式．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式可得参数范围；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)不等式换成以为主元，为一次不等式，这样只要和时不等式都成立即可得的范围．
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题
例8 (1)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可
【详解】时，不等式可化为；
当时，不等式为，满足题意；
当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，
所以，即；
当时，恒成立；
综上所述，实数的取值范围是
答案选A
【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法
(2)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【分析】由题意知在上有解，等价于，解不等式即可求实数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，
即，所以，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
跟踪训练8 (1)若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围
【详解】设，开口向上，对称轴为直线，
所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，
即，得，
所以实数a的取值范围为，
故选：D
(2)设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.
【详解】由在上有解，得在上有解，
则，由于，而在单调递增，
故当时，取最大值为，故，
故选：C
题型九、一元二次不等式的应用
例4 某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，
可列不等式 同时需要注意最低售价为15元，即.同时满足上述条件，可解得范围得到答案
【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
故选：B．
跟踪训练4 某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
【答案】120或130
【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可.
【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，
所以，旅馆每晚的收入为元，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，
所以，，即，解得，
因为是10的整数倍，
所以，每个床位的定价应为120或130元.
故答案为：120或130
【课堂巩固】
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，再与集合Q求交集即可.
【详解】由，得或，所以或，，
故，
故选：C.
【点晴】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式，是一道容易题.
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.
【详解】依题意可得，分别是关于的一元二次方程的两根，根据韦达定理可得：.
故选：A.
3．已知：，：，，则是的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】记集合，，用集合法判断.
【详解】记集合，.
因为AB，所以是的充分不必要条件.
故选：A
4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；
故选：C．
5．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分､两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，即当时，则有恒成立，符合题意；
②当时，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
6．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，故 ，
故选：A
7．（多选）下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集.
【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集；
B选项，，而开口向上，所以解集为空集；
C选项，的解集为，所以不为空集；
D选项，当且仅当 a = 2时等号成立，而开口向下，所以为空集；
故选：BD
8．（多选）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】解出不等式，然后根据条件p成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果.
【详解】，解得或
又
则p成立的一个充分不必要条件是和
故选:CD.
9．“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
【答案】
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
10．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】根据存在量词命题，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】因为命题“，”为真命题
则，有解，
设，则，
当时，单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
11．已知不等式的解集为或．
(1)求a，b；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)，；(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果.
（2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，且．
由根与系数的关系，得，解得；
（2）原不等式化为：，即，
①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为
③当时，不等式的解集为．
12．（1）求关于x的不等式的解集；
（2）求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】分类讨论结合二次不等式的解法即得.
【详解】（1）当时，原不等式为，则原不等式的解集为；
当时，方程的两根为，，，
当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式为，其解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
（2）方程的两根为，，
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
13．已知函数的图像如图所示，求不等式的解集．
【答案】
【分析】先根据图像判断对应的二次方程的根，得到系数的关系，再代入求解分式不等式即可.
【详解】由图像可知，方程的根为1和2，
故，，即，，
所以不等式即，即，
等价于，解集为．
故答案为:
14．把一块长为80mm、宽为60mm的长方形铁皮的四个角各剪去一个边长相等的小正方形，做成一个无盖铁盒．求当底面积不小于1500mm2时，小正方形的边长的取值范围．
【答案】小正方形的边长不超过15mm.
【分析】设出小正方形的边长，进而根据题意建立不等式，然后解出答案.
【详解】设小正方形的边长为xmm，则(80－2x)(60－2x)≥1500，即x2－70x＋15×55≥0，解得x≥55或x≤15.
因为60－2x>0, 80－2x>0, x>0，解得0答：当底面积不小于1500mm2时，小正方形的边长不超过15mm.
15．已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求a，b的值；
(2)若，解关于的不等式．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；
（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.
【详解】（1）关于x的不等式的解集为或
即方程的根为，
，解得；
（2）由（1）得关于的不等式，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
16．已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）将代入函数，求解即可.
（2）由一元二次方程有一正一负根，即列式求解可得a的范围，再检验必要性即可.
【详解】（1）证明：当时，，
则，即：，解得：，
所以是关于x的方程有解的一个充分条件.
（2）当时，因为方程有一个正根和一个负根，
所以，解得：
反之，当时，，且，
所以有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当时，关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件为.
【课时作业】
1．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
【详解】解：，解得：.
故选：C.
2．已知不等式的解集是，则的值为（ ）
A．B．7C．D．
【答案】A
【分析】先将题目转化为和为方程的根，且，再结合韦达定理即可求解.
【详解】由题意，不等式的解集是，
则和为方程的根，且，
即，解得，，
所以.
故选：A.
3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围.
【详解】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，
故选：B.
4．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
5．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.
【详解】由不等式在上有实数解，
等价于不等式在上有实数解，
因为函数在上单调递减，在单调递增，
又由，
所以，所以，即实数的取值范围是.
故选：A.
6．年月日，迎来了香港回归祖国周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归周年纪念章，每枚的最低售价为元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出枚，每枚售价每提高元，日销售量将减少枚，为了使这批纪念章每天获得元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出的取值范围.
【详解】由题意，得，即,解得．
又每枚的最低售价为元，．
故选：B．
7．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【详解】由得 ，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是
故选：C．
8．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．}C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
9．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解.
【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得
，
故A错误，B正确，，故C正确，
不等式变为，解得，故D错误，
故选：BC
10．（多选）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的值可以是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】BCD
【解析】根据题意直接列出不等式，求解的取值范围，进而得答案.
【详解】解：根据题意，要使附加税不少于128万元，需
整理得，解得 ，即.
所以的值可以是.
故选：BCD
11．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】讨论，两种情况，由一元二次不等式的解法得出实数的取值范围.
【详解】由题意得的解集为，
当时，的解集为，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
故答案为：
12．已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.
【答案】
【分析】根据不等式的解集可得方程的解，再利用韦达定理求得，最后根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】解：因为不等式的解集为，
所以且方程的解为，
则，所以，
则不等式即为不等式，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
13．若为单元素集合，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】由题意知，只要有且仅有一个实数满足即可，所以，解方程即可得出答案.
【详解】若为单元素集合，
只要有且仅有一个实数满足即可，
所以，解得：.
故答案为：.
14．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
15．若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，，使关于的不等式成立，则，即，，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围．
【详解】解：，使关于的不等式成立，
则，即，，
令，，则对勾函数在上单调递增，
所以，
故
故答案为：
16．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先根据不等式的解集求得，得到，再把对任意，恒成立，结合二次函数的性质，转化为恒成立，即可求解.
【详解】由函数，且不等式的解集为，
即是方程两个实数根，
可得，解得，所以，
又由，且，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为对任意恒成立，即恒成立，
解得或，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
17．解不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由分母恒大于0直接求解即可；
（2）作差，转化为求一元二次不等式即可.
【详解】（1），原不等式可化为：，
所以原不等式的解集为．
（2），
故，解得.
所以原不等式的解集为.
18．（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可；
（2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可.
【详解】（1）原不等式化为，
当时，可得，解得，
当时，的根为且，解得或，
当时，可得，解得；
当时，的根为且，解得或；
当时，由解得，故不等式解集为.
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）由题意得，且，解得，
不等式可化为，
即，解得或，
故不等式解集为.
19．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；
（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和的大小，分情况写出不等式的解集．
【详解】（1）由题意，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：时，等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
20．已知关于x的不等式．
(1)若不等式的解集为，求a，b的值：
(2)若，解不等式．
【答案】(1)；(2)答案见解析．
【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根的关系求解；
（2）根据相应方程两根的大小分类讨论求解．
【详解】（1）原不等式可化为，
由题知，，是方程的两根，
由根与系数的关系得，解得．
（2）原不等式可化为，
因为，所以原不等式化为，
当，即时，解得；当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
21．设．
(1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围．
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
（2）依题意可得，分别讨论，，，，，结合二次不等式的解法，可得所求解集．
【详解】（1）解：对于函数，当时，有两根一个比小，一个比大，
所以，即，解得；
（2）解：不等式，
即，
当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为；
当时，即，解得，所以不等式的解集为；
若，不等式即，
当时，不等式化为，解得，所以不等式的解集为；
当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或；
当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或．
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
22．设函数．
(1)若对于，恒成立，求的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据已知可得对于恒成立，分离参数，构造函数，求解函数的最小值即可；
（2）根据已知可得对于，恒成立，构造关于的函数，由即可求解的取值范围.
【详解】（1）解：若对于，恒成立，即对于恒成立，
即对于恒成立．
令，，则，故，
所以的取值范围为．
（2）解：对于，恒成立，即恒成立，故恒成立，
令，则，解得，
所以的取值范围为．
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅