（人教版）初升高数学暑假衔接高一预习-5.7 三角函数的应用（学生版+教师版）

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知识点一 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
【基础自测】
1．如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】D
【详解】由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______ s往返一次．
【答案】0.8
【详解】观察图象可知，此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________cm.
【答案】eq \f(g,4π2)
【详解】由已知得eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq \r(\f(g,l))＝2π，eq \f(g,l)＝4π2，l＝eq \f(g,4π2).
5．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
【答案】20.5
【详解】根据题意得18＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)12－6))＝a－A，28＝a＋A，解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))，令x＝10，
得y＝23＋5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)10－6))＝23＋5cs eq \f(2π,3)＝20.5.
【例题详解】
一、几何中的三角函数模型
例1 (1)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【详解】，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设，现有下述四个结论，其中错误的结论为（ ）
A．水深为尺B．芦苇长为尺
C．D．
【答案】B
【分析】设尺，则尺，根据几何关系，由勾股定理即可求出x，由此可逐项求解.
【详解】设尺，则尺，
尺，，，AC=13尺.
，由，解得（负根舍去）．
，故ACD正确，错误的结论为B．
故选：B.
跟踪训练1 (1)要某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知圆心角为，过O作AB的垂线，通过计算可得.
【详解】由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则．
故选：D
(2)如图，摩天轮的半径为， 圆心距地面的高度为. 已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈. 游客在穈天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱. 游客进入摩天轮的舱位，开始转动后，他距离地面的高度为_______.
【答案】
【分析】设距离地面的高度为，求得解析式，令，代入解析式，即可求解.
【详解】因为摩天轮的半径为， 圆心距地面的高度为，
设在时，距离地面的高度为，其中，
由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以，
即，
当时，可得，即，解得
所以，
令，可得.
故答案为：.
二、三角函数在物理中的应用
例2 (1)智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
(2)电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．
【答案】
【分析】根据图象可求函数的解析式，从而可求对应的函数值.
【详解】由函数的图象可得，且，故，
而，故，
解得，故，
故，
故答案为：.
跟踪训练2 (1)单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4B．，4C．3，2D．，2
【答案】A
【分析】根据求解.
【详解】解：因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，
所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为，
故选：A
(2)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
【答案】D
【分析】对于A,把代入已知函数，求得值即可得初始位置；
对于B,由解析式可得振幅，即为所求；
对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解；
对于D,由频率与周期的关系即可求解．
【详解】对于A,由题意可得当时，，
故小球在开始振动时的位置在；故A正确；
对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为；
故B正确；
对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确；
对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确.
故选：D．
三、三角函数在生活中的应用
例3 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
【答案】20.5
【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
(2)潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．
用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数________．
【答案】
【分析】由题知所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为，进而得，，再待定系数法求解即可.
【详解】解：由题知，所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为
所以且，解得，，
故，
因为在零时，所生潮的高的最大值为，
所以，，解得，
所以.
故答案为：
(3)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.
【答案】
【分析】先设出函数关系式，由初始位置确定初相位，再由周期确定即可求解.
【详解】设点的纵坐标与时间的函数关系式为，由初始位置可得函数的初相位为，又函数周期是秒，且秒针按顺时针旋转，即，所以，即，所以.
故答案为：.
跟踪训练3 (1)小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示的横截面为正弦型曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计）．已知入口处高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为______．
【答案】
【分析】根据雨棚的最低点和最高点到地面的距离，结合题意得到，即可求解.
【详解】设雨棚横截面正弦型曲线振幅为A，则雨棚的最低点到地面的距离为H－A，雨棚的最高点到地面的距离为H＋A，
由题意有，解得，
所以雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为．
故答案为：．
(2)某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中h为水深（单位：米），t为时间（单位：小时），该函数部分图象如图所示．若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内能在该港口停留多久？
【答案】8小时．
【分析】根据最值可得A＝3，B＝4，根据周期可得，代入最高点可得，即，再根据正弦函数解．
【详解】由图可知：,可得：A＝3，B＝4．
由，得T＝12，所以．
因为，所以，得，
又，所以，所以．
由题意得，得，
得，即，
当k＝0时，，
当k＝1时，，
所以该船一天之内能在该港口停留7－3＋19－15＝8小时．
四、三角函数新定义
例4 (1)我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角.
【详解】由面度数的定义可知，即，
.
故选：B
(2)定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，利用切化弦和同角三角函数关系转化成的二次方程，可求出的值，结合对称轴可求出，最后利用周期公式进行求解即可．
【详解】，
因为，所以，
即，，
所以，解得或（舍去），
而，所以，
即，
而的图象的一条对称轴为，
所以，
即，，
解得，，
所以正数取最小值为，此时函数的最小正周期为．
故选：．
跟踪训练4 设表示不超过实数的最大整数，则函数的最小值为______.
【答案】
【分析】可得的一个周期为，只要考虑的取值情况，分段讨论求出的值即可求出最小值.
【详解】，
的一个周期为，只要考虑的取值情况，
；当时，；，
当时，；；
当时，；；
当时，.
综上，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解题的关键是讨论每段的情况求值.
【课堂巩固】
1．八一起义纪念碑(如图甲所示)是江西省南昌市的标志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一广场.纪念碑的碑身为长方体，正北面是叶剑英元帅题写的“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字.建军节那天，李华同学去八一广场瞻仰纪念碑，把地面抽象为平面､碑身抽象为线段，李华同学抽象为点，则李华同学站在广场上瞻仰纪念碑的情景可简化为如图乙所示的数学模型，设A､B两点的坐标分别为，，要使看上去最长(可见角最大)，李华同学(点)的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据几何关系表示出，利用基本不等式求其最大值即可判断C的坐标．
【详解】设，则C(c，0)，
，当且仅当，即时取等号，
∵为锐角，故当tan最大时，最大．
故选：A．
2．将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm
【答案】C
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.
【详解】由，得.
由函数的图象可知函数的周期为，
所以，即.
故选：C.
3．如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】确定A的值，根据函数的周期可计算，利用点代入解析式中结合函数的单调性质可求得，即可确定答案.
【详解】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则，
由题意知,代入解析式中，，
由于，故或，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，
所以，，，
故选：C
4．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数，表示不超过实数的最大整数，如，，表示的非负纯小数，即．若函数（且）有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据高斯函数的定义，将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题，然后借助函数图象数形结合求参数的取值范围即可．
【详解】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有3个交点．画出函数的图象，易知当时，与的图象最多有1个交点，故，作出函数的大致图象，结合题意可得，解得．
故选：C．
【点睛】由函数的零点个数求参数的取值范围，常用分离参数法和数形结合法，如本题，在同一平面内作出和的大致图象，通过观察图象的交点个数得出参数的取值范围，这里要特别注意端点值的取舍．
5．（多选）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，江面宽度，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头处，则下列说法正确的是（ ）
A．当，游船航行到达北岸的位置在右侧
B．当，游船航行到达北岸的位置在左侧
C．当，游船也能够达到处
D．游船能到达处时，需要航行时间为
【答案】BCD
【分析】当时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可．
设船的实际速度为，游船正好到达处，则，即可求出，以及速度，从而即可判断；
【详解】解：设船的实际速度为，和的夹角为，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
此时游船垂直江岸方向的速度，
时间，
所以当时，游船也能够达到处，需要航行，故CD正确；
当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧，故A错误，B正确．
故选：BCD
6．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0， 1)，则该简谐运动的振幅为______，初相为____.
【答案】 2
【分析】利用图象所过的点可求，从而可求振幅和初相.
【详解】因为图象过，故即，而，故，
故简谐振动的初相为，又由的解析式可得振幅为2，
故答案为：2，.
7．如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的边AD上，记为G，若，则折痕l的长度为__________cm.
【答案】
【分析】用表示出然后利用表示出折痕l，再将代入可得解.
【详解】由已知及对称性知又,
所以由
得
故答案为：
8．一半径为4m的水车，水车圆心距离水面2m，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间，当秒时，点离水面的高度是______m.
【答案】4
【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.
【详解】因为=4，圆心到水面的距离为2，
所以到x轴的距离为2，
所以x轴与所成角为 ，
由题知水车转动的角速度为
因为水车的半径为4，设P点到水面的距离为y，
根据匀速圆周运动的数学模型有：

当t=10秒时，y=4，所以点离水面的高度是4m.
故答案为：4.
9．如图所示，设计一种测量建筑物高度的方法.，，三点在同一条水平基线上，在，两点处用测角仪器测得的仰角分别为，，米，若测角仪器高度忽略不计，当建筑物高度__________米时，角的值最大．
【答案】
【分析】设出未知数，表达出，，，利用基本不等式求出答案.
【详解】设，，
，
其中，当且仅当，即取得最大值.
故答案为：
10．已知定义在R上的函数不是常数函数，写出一个同时具有下列三个性质的一个函数___________.
①；②；③.
【答案】（形式不唯一）
【分析】由联想得到，可设，由周期性确定，猜想的值代入检验可确定.
【详解】解:由，
得，
联想到，
可推测.
由，
得，
则，
设，
则，所以满足题意.
故答案为：.（不唯一）
11．若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？
(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
【答案】(1)
(2)从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动; 从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动
(3)
【分析】（1）根据周期的定义，由图象观察可以得出；
（2）完成一次往复运动，即在函数图象上呈现一个周期的图象，结合图象确定正确答案；
（3）根据周期函数的运算，可以计算出秒相当于运动几个周期，还剩多少时间，可以算出位移．
【详解】（1）从题图可以看出，单摆运动的周期是；
（2）若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；
（3），所以小球经过相对于静止位置的位移是．
12．如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且矩形ABCD的周长为l．如果AB与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？
【答案】.
【分析】用矩形的邻边AB，AD结合角表示出矩形的周长，借助三角函数性质求解作答.
【详解】依题意，在中，，，
而，在中，，，
又，，则有，
因此，，，
于是得矩形的周长，
因是AB与的夹角，则当时，取得最大值1，，
所以当时，矩形的周长最大.
13．一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
【答案】(1)；(2)2秒
【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后结合题意和物理意义及待定系数法确定参数值即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式即可确定有多长时间点距水面的高度不低于2米．
【详解】(1)解：设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知当时，，
则，所以，则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以；
(2)解：根据题意可知，，
即，
当水轮转动一圈时，，，
可得：，
所以此时，
解得，
又因为 （秒，
即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．
14．如图,天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一 .永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点，当点到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点在最低点处开始计时.
（1）试确定在时刻 (单位:分钟)时点距离下层桥面的高度 (单位:米)；
（2）若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？
【答案】（1）米.（2）米.
【分析】（1）如图，建立平面直角坐标系，以为始边，为终边的角为，计算得到答案.
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度，计算得到答案.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.由题可知在分钟内所转过的角为，
因为点在最低点处开始计时，所以以为始边，为终边的角为，
所以点的纵坐标为，
则（），
故在分钟时点距离下层桥面的高度为（米）.
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度.
当时，
故上层桥面距离下层桥面的高度约为米.
【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
15．如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移（单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用来刻画．
(1)试确定位移关于时间的函数关系式；
(2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）
【答案】(1)
(2)弹簧振子的位移是，路程为
【分析】（1）根据最值确定，由周期求，代入一个最高点或最低点坐标求出；
（2）经过秒，该弹簧振子的位移即为时的函数值，而计算该弹簧振子经过的路程则要先计算周期，再乘以一个周期弹簧振子经过的路程.
【详解】(1)由数据表可知，．
振子的周期为0.60s，所以，解得．
所以，因为时，．
所以，，，
因为，所以．
所以位移y关于时间t的函数解析式为．
(2)当时，
，
所以该弹簧振子的位移是10mm．
因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期，
所以该弹簧振子经过的路程为．
【课时作业】
1．如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】试题分析：当时，，，当时，，，故选C.
考点：三角函数
2．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（ ）
A．-2B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得，进而求得h的解析式，再代入求解即可
【详解】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，
故选：D
3．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）
A．B．πC．D．2π
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数.
【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，可得.
故选：B
4．一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式，，，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据题意可得周期，由可得，由最值可得A，然后可得答案.
【详解】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，
函数周期，所以
由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以，得.
故选：A
5．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的一个周期是D．的最小值小于0
【答案】D
【解析】利用奇函数的性质判断A，分别求和判断大小，取特殊值验证的方法判断C，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D。
【详解】A.，所以函数不是奇函数；
B.，，所以，故B不正确；
C. ，，所以函数的一个周期不是，故C不正确；
D.，所以函数的周期,
当时，
当时，，，
当时， ，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上可知，一个周期内的最小值是，因为，所以，
即，所以的最小值小于0.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题是三角函数新定义，难点是读懂题意，判断最后一个选项的关键是求出函数的周期，并利用三角函数的性质，在一个周期内分区间段讨论函数值.
6．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．
【详解】由题意，的最小值是，
又，
由，得，
，，
时，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．
7．（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示：
如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛B．疲倦乏力C．心情愉快D．思维敏捷
【答案】BC
【分析】根据图象求得体力周期、情绪周期、智力周期，根据周期性求得正确答案.
【详解】由题图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为．
从同学甲出生到今日的天数为5860，
故对于体力，有5860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有5860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有5860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．BC选项正确.
故选: BC
8．（多选）在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（ ）
A．函数关于对称B．函数关于对称
C．函数在单调递增D．函数值域为
【答案】CD
【分析】正确理解“正余弦函数”的定义可知，然后利用辅助角公式化简，并逐一进行验证可得结果.
【详解】由题可知：
所以可知函数的值域为，故D正确
当时，，并没取到最值，故不关于对称，故A错误
当时，，故不关于对称，故B错误
当时，则，所以函数在单调递增，故C正确
故选：CD
9．如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的内接矩形面积的最大值为_______________.
【答案】
【分析】根据设角为自变量，分别表示矩形长与宽，最后根据三角函数二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质求最值.
【详解】设
扇形的内接矩形面积为
因为
因此当时，扇形的内接矩形面积取最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数应用、二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
10．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置的坐标是____________.
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点所处位置的坐标．
【详解】解：由题意可得图：
每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为；
点的初始位置坐标为，若角的始边为轴的非负半轴，此时角终边所在直线为，
则
运动到3分钟时，形成的角度为，
所以
动点所处位置的坐标是．
故答案为：．
11．某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.
【答案】
【分析】设，根据题意得到和，根据周期得到，代入最低点，得到的值，即可求出解析式.
【详解】设，
由题意可得，，，
因为为最低点，
代入可得，，
，时，，
.
故答案为：
12．若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A．
【答案】 0
【分析】由题可得该函数的最小正周期是，然后利用函数的周期性可得函数值.
【详解】由图象，可知该函数的最小正周期是，
设，由函数的最小正周期是，
可知，
故时的电流是0A．
故答案为：；0.
13．如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为，则曲线段TDBS对应的函数解析式为___________.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为___________千米.
【答案】 且
【分析】根据函数图象得到，再由正弦函数最小正周期公式求得，五点法求参数，即可写出解析式，注意定义域；设代入解析式，结合范围确定坐标，再应用两点式求距离.
【详解】由题中图象知：A=2，.
当x= -1时，，
所以，，解得，，又，
所以，则曲线段TDBS对应的函数解析式为，.
因为D到海岸线TO的距离为千米，设，显然，
所以，即，
所以，或，，解得，或，，
又，所以，即，而另一点D与S重合，排除，
所以.
故答案为：且，
14．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为； ②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为；
⑤该函数的递增区间为.
其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号）
【答案】①④⑤.
【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．
详解：①中，由三角函数的定义可知，
所以，所以是正确的；
②中，，所以，所以函数关于原点对称是错误的；
③中，当时，，所以图象关于对称是错误的；
④中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为，所以是正确的；
⑤中，因为，令，
得，即函数的单调递增区间为，所以是正确的，
综上所述，正确命题的序号为①④⑤．
点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
15．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．
点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．
(1)求秒钟后，点到直线的距离用的解析式；
(2)当时，求的值
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意求出旋转角即可得出点的横坐标，即可求出解析式；
（2）可得当时，，即可求出.
【详解】（1）由题意可得周期为，则秒钟后，旋转角为，
此时点的横坐标为，
所以点到直线的距离为；
（2）当时，，
可得旋转了或，
解得或.
16．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
（2）转四圈需要多少时间？
（3）你第四次距地面最高需要多少时间？
（4）转60分钟时，你距离地面是多少？
【答案】（1）是周期现象；（2）48（分钟）；（3）42（分钟）；（4）0.5（米）．
【分析】（1）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．
（2）每转一圈需要12分钟，由此能求出转四圈需要的时间．
（3）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点，由此能求出你第四次距地面最高需要的时间．
（4）由已知可设，，由周期为12分钟可知，当时，摩天轮第一次到达最高点，从而求出，进而求出，，由此能求出转60分钟时，你距离地面高度．
【详解】解：（1）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径40米，从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，利用三角函数的周期性得到你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象．
（2）每转一圈需要12分钟，
转四圈需要分钟．
（3）游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面
40.5米，半径40米，
出发后6分钟时，摩天轮第一次到达最高点，
你第四次距地面最高需要：分钟．
（4）由已知可设，，
由周期为12分钟可知，
当时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以，即，
，
转60分钟时，你距离地面高度为：（米)．
17．如图，在扇形POQ中，半径，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记．
（1）当时，求矩形ABCD的面积；
（2）求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】（1）；（2）当时，矩形ABCD的面积，最大面积为．
【分析】（1）在中，求得，，在中，求得
，进而得到CD，代入矩形面积公式求解；
（2）在中，用表示，．在中，表示，进而得到CD，代入矩形面积公式，然后利用正弦函数的性质求解；
【详解】（1）在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，则.
（2）在中，，．
在中，，
所以，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，
则，
，
由，得，
所以当，即时．
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
18．南昌之星摩天轮位于江西省南昌市赣江边上的市民公园，是世界上第三高､国内第一高的摩天轮，是南昌市地标建筑之一.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.
（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？
（2）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.
【答案】（1）37.5米；（2）10分钟.
【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式，代入，即可求解．
（2）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，应满足，化简得，可求范围，解得的范围，即可得解．
【详解】解：（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，
设函数解析式为，
摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以，
由题意可得，，
所以，解得，
当时，，即，可取，
所以，
当时，，
所以游客分钟后距离地面的高度是37.5米，
（2）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，
应满足，
化简得，
因为，所以
所以，解得，
所以摩天轮旋转一周能有10分钟最佳视觉效果．
19．如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.
(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？
(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？
【答案】(1)1.5cm；(2).
【分析】（1）根据给定条件，把代入直接计算作答.
（2）利用余弦型函数周期公式，列式计算作答.
【详解】(1)在函数中，当时，，
所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm.
(2)依题意，，而周期，又，则，即，解得()，
所以线的长度l应该为.
20．已知表示电流强度与安培时间的函数关系式﹒
(1)若电流强度与时间的函数关系图象如图所示，试根据图象写出的解析式；
(2)为了使中任意一段秒的时间内电流强度能同时取得最大值A与最小值，那么正整数的最小值是多少？
(3)在(1)中其他条件不变的情况下，当秒时的电流强度应为多少？
【答案】(1)；
(2)629；
(3)安培.
【分析】(1)根据图像最高点可知A，根据周期可知ω，根据最高点坐标可知φ；
(2)根据正弦函数的周期即可求解；
(3)将t＝10代入即可求得I的值.
【详解】（1）由图知，，，，
，由图可知是该函数图象的第一个最高点，
∴，
．
（2）问题等价于，即，
．正整数的最小值为．
（3）由(1)可得，将秒代入可得，安培．
21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．
（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，．
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.
【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以．
所以，．
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以．
因为，所以，
所以的取值范围为．
（注：的取值范围不考虑开闭）
22．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
时刻（t）
0
2
4
6
8
10
12
水深（y）单位：米
5.0
4.8
4.7
4.6
4.4
4.3
4.2
时刻（t）
14
16
18
20
22
24
水深（y）单位：米
4.3
4.4
4.6
4.7
4.8
5.0
甲
乙
t
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
y
10.3
20.0
10.3
高潮期
低潮期
体力
体力充沛
疲倦乏力
情绪
心情愉快
心情烦躁
智力
思维敏捷
反应迟钝