（人教版）新高一上数学暑假测试密卷（一）（原卷版+解析版）

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1．已知命题，都有，则命题p的否定为（ ）
A．，都有B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定方法进行求解.
【详解】因为命题，都有，
所以命题p的否定为，使得.
故选：C.
2．若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】讨论是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.
【详解】①当时，成立
②当 时，若不等式的解集为，
则不等式在恒成立，
则，
解得：
综上，实数的取值范围是
故选：D.
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
4．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分段函数值域为R，在x＝1左侧值域和右侧值域并集为R.
【详解】当，
∴当时，，
∵的值域为R，∴当时，值域需包含，
∴，解得，
故选：C.
5．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指，对，幂函数的单调性，即可比较大小.
【详解】函数单调递减，所以，
函数在上单调递增，所以，
单调递减，，
所以，即.
故选：C
6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成木，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年），，满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年.
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意，年平均利润为，，
因为时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即当时，年平均利润最大为6万元.
故选：B
7．设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围.
【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为，
当，则在定义域上递减，则，
此时，若，即时，最小值为；
若，即时，无最小值；
当，则在定义域上为常数，而，故最小值为；
当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值.
综上，.
故选：B
8．函数的图象如下图所示，函数的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图象求出的范围，然后可得答案.
【详解】由图可知当或时，满足；
由可得，由可得，
综上的解集是.
故选：D.
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】取特值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D.
【详解】对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题；
对于B，若，则，，所以，故B是真命题；
对于C，若，则，
所以，故C是假命题；
对于D，若，则成立，故D是真命题.
故选：BD.
10．设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后结合换底公式进行判断即可.
【详解】解：函数，定义域为，
，
所以为奇函数，所以，
当时，由复合函数的单调性可知单调递增，
因为，
所以，
结合选项可知A，B正确.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：比较函数值的大小一般从函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质方面进行判断.
11．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．“”的否定是“”
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若函数，则
【答案】ABD
【分析】根据全称量词命题的否定即可判断A；根据指数函数、对数函数的性质即可判断B；根据幂函数的定义与性质即可判断C；令，则，代入即可判断D．
【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确；
对于B，函数（其中，且），当，即时，此时，故的图象过定点，故B正确；
对于C，当时，幂函数（），其图象是一条直线（除去与y轴的交点），故C错误；
对于D，令，则，即，所以，故D正确．
故选：ABD．
12．已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，恒有
B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为
C．不存在实数k，使函数有5个不相等的零点
D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则
【答案】BC
【解析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．
【详解】当时，且为R上的奇函数，
作函数f（x）的图象如图：
对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；
对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；
对于C，联立，得，
△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，
∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；
对于D，由 可得或，
∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，
∴函数的根与根关于原点对称，则，
但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，
若关于x的两个方程与所有根的和为0，
则的根为，此时 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算： .
【答案】
【分析】由对数和指数幂的运算性质计算即可.
【详解】原式.
故答案为：.
14．已知函数，若有两个零点，且在上单调递增，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数有两个零点得出的范围，再根据单调性求出范围，取交集可得答案.
【详解】因为有两个零点，所以，解得或；
因为在上单调递增，所以；
综上可得实数m的取值范围为.
故答案为：.
15．已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】由题可得为偶函数，且在上单调递增，后利用可得答案.
【详解】因为的定义域为，且，所以是偶函数.
又当时，单调递增.
因为是偶函数，所以在单调递减，
又因为，
所以.
故答案为：.
16．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
【详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；
（2）由条件可知，，再分和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】（1）解不等式，得，
所以，
当时，则，
所以，；
（2）因为，所以
当时，，即，此时；
当时，，则，解得:，
综上所述，实数m的取值范围是.
18．已知函数（且）为定义在R上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若实数t满足，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性求解析式即可；
（2）利用函数的单调性解不等式，求参数的范围.
【详解】（1）函数为定义在R上的奇函数，
所以，解得，
又，解得，
所以函数的解析式为：.
经检验，函数满足题设要求.
（2）因为，
所以，
因为和在R上单调递减，
所以在R上单调递减，
所以，解得：.
所以实数t的取值范围.为：.
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．
【答案】5km；最小费用为8万元
【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值.
【详解】设，
当时，，
∴，
∴，
∴两项费用之和为．
当且仅当时，即当时等号成立．
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，
且最小费用为8万元．
20．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论关于x的方程的根的个数．
【答案】（1）；（2）具体见解析．
【分析】（1）根据偶函数的定义求出时的函数解析式即可.
（2）对参数分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.
【详解】解：（1）由图可知，解得．
设，则，
∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
∴．
∴．
（2）作出函数的图象如图所示：
．
由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；
当或时，关于x的方程的根的个数为2；
当时，关于x的方程的根的个数为4；
当时，关于x的方程的根的个数为3．
【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)对于，成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇偶性定义可求出答案；
（2）由可得，然后求出右边对应函数的最小值即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，，
于是，，，因此 ；
（2）在上恒成立，
在上成立，
于是，在上恒成立，
记，
当且仅当，即等号成立.
因此，，即，
所汉，实数m的取值范围为.
22．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.