2023-2024学年广东省佛山市顺德区郑裕彤中学高二（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区郑裕彤中学高二（下）月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=( )
A. 2B. 3C. 6D. 7
2.已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12，则2a9−a11的值为( )
A. −3B. 3C. −12D. 12
3.设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.曲线f(x)=2x2−mlnx在x=1处的切线与直线y=x平行，则m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知数列{an}的首项a1=2，且an=4an−1+1(n≥2)，则a4为( )
A. 148B. 149C. 150D. 151
6.函数f(x)=x3−3x(|x|f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是( )
A. f(a)>f(0)eaB. f(a)m≥2,k,m∈N∗)，使得b1、bm、bk成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−12ax2(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+2y=2垂直，求实数a的值；
(2)若函数g(x)=f(x)−x在区间[1,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围；
(3)若f(x)在定义域内有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.C
5.B
6.C
7.D
8.B
9.AB
10.ABC
11.ABC
12.1
13.3n2−2n
14.[−1,12]
15.解：(1)f′(x)=x2+2x−3，
由 f′(x)>0解得x1，
故f(x)的增区间为(−∞,−3)，(1,+∞)；
(2)令f′(x)=x2+2x−3=0，x=−3(舍)或x=1，
而f(1)=13+1−3=−53，f(0)=0，f(2)=13×23+22−3×2=23，
故f(x)max=23，f(x)min=−53．
16.解：(1)依题意，当n为奇数时，可令n=2k−1，k∈N∗，
由an+2=an+2，可知数列{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，
即数列{a2k−1}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a2k−1=1+2⋅(k−1)=2k−1，
∴当n为奇数时，an=n，
同理，当n为偶数时，可令n=2k，k∈N∗，
由an+2=2an，可知数列{an}的偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
即数列{a2k}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a2k=2⋅2k−1=2k，
∴当n为偶数时，an=2n2，
综上，可得an=n,n为奇数2n2,n为偶数．
(2)由题意，令bn=a2n−1⋅a2n，
则bn=a2n−1⋅a2n=(2n−1)⋅2n，
故Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋅⋅⋅+(2n−1)⋅2n，
2Tn=1⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，
两式相减，
可得−Tn=1⋅21+2⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+2⋅2n−(2n−1)⋅2n+1，
=2+2⋅(22+23+⋅⋅⋅+2n)−(2n−1)⋅2n+1
=2+2⋅22−2n+11−2−(2n−1)⋅2n+1
=−(2n−3)⋅2n+1−6，
∴Tn=(2n−3)⋅2n+1+6．
17.解：(1)由①S1，S2，S4成等比数列可得：S22=S1⋅S4，即(2a1+d)2=a1⋅(4a1+6d)，
整理可得：d=2a1，
由②S4=16可得：S4=4a1+6d=16，即2a1+3d=8，
由③S8=4(a8+1)可得：8a1+8×72d=4(a1+7d+1)，可得：a1=1，
若选①②：由d=2a12a1+3d=8，可得a1=1d=2，所以an=1+2(n−1)=2n−1，
若选①③：由d=2a1a1=1可得a1=1d=2，所以an=1+2(n−1)=2n−1，
若选②③：由2a1+3d=8a1=1可得a1=1d=2，所以an=1+2(n−1)=2n−1，
综上所述：{an}的通项公式为an=2n−1
(2)由(1)知：bn=an+1=2n，
故Tn=n(2+2n)2=n(n+1)=n2+n，
∵bnTn+11≤λ恒成立，则[bnTn+11]max≤λ，bnTn+11=2nn2+n+11，
令f(x)=2xx2+x+11(x>0)，
则f′(x)=2(x2+x+11)−2x(2x+1)(x2+x+11)2=2x2+2x+22−4x2−2x(x2+x+11)2=22−2x2(x2+x+11)2，
故f(x)在x∈(0, 11)上单调递增，在x∈( 11,+∞)上单调递减；
令g(n)=2nn2+n+11，又3< 110，
故n=3时，bnTn+11=2nn2+n+11有最大值，
此时，[bnTn+11]max=g(3)=623，
由[bnTn+11]max≤λ，有623≤λ．
故λ的最小值为623．
18.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n−1)2d．
由已知，得10a1+10×92d=5520a1+20×192d=210.
即2a1+9d=112a1+19d=21解得a1=1d=1
∴an=a1+(n−1)d=n(n∈N∗).
(2)假设存在m、k(k>m≥2,m,k∈N)，使得b1、bm、bk成等比数列，
则bm2=b1bk．
∵bn=anan+1=nn+1，
∴b1=12,bm=mm+1,bk=kk+1．
∴(mm+1)2=12×kk+1．
整理，得k=2m2−m2+2m+1．
∵k>0，∴−m2+2m+1>0．
解得1− 20时，00；x> 1a时，f′(x)0，解得0