2023-2024学年四川省南充高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省南充高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果函数y=f(x)在x=2处的导数为1，那么Δx→0limf(Δx+2)−f(2)Δx=( )
A. 1B. 12C. 13D. 14
2.数列32，−54，78，−916，…的一个通项公式为( )
A. an=(−1)n2n+12nB. an=(−1)n2n+12n
C. an=(−1)n+12n+12nD. an=(−1)n+12n+12n
3.已知数列{an}为等差数列，且a2+a3+a6+a9+a10=10，则a4+a8的值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)的图象如图所示，则( )
A. f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)
B. f′(x3)>f′(x2)>f′(x1)
C. f′(x2)>f′(x3)>f′(x1)
D. f′(x1)>f′(x3)>f′(x2)
5.已知圆C：x2+2x+y2−3=0，则直线l：x+n(y−1)=0与圆C( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过点F的直线l：x+ 3y+m=0与y轴交于点B，与双曲线C交于点A(A在y轴右侧).若B是线段AF的中点，则双曲线C的离心率是( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
7.斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：a1=a2=1,an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗).已知a12+a22+a32+⋯+am2am是该数列的第100项，则m=( )
A. 98B. 99C. 100D. 101
8.已知定义在R上的连续偶函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x>0时，f′(x)+f(x)x<0，且f(2)=−3，则不等式f(2x−1)<−62x−1的解集为( )
A. (−12,12)∪(12,32)B. (12,32)
C. (32,+∞)D. (−∞,12)∪(32,+∞)
9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1⋅a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是( )
A. q=2B. 数列{Sn+2}是等比数列
C. S8=510D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是ℎ(t)=−4.9t2+6.5t+10，判断下列说法正确的是( )
A. 运动员在t=1s时的瞬时速度是3.3m/s
B. 运动员在t=1s时的瞬时速度是−3.3m/s
C. 运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度上升
D. 运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度下降
11.已知抛物线y2=2px的焦点为F，且A(2,2)，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是( )
A. 点F的坐标为(12,0)
B. 若直线BC过点F，O为坐标原点，则OB⋅OC=−34
C. 若|BC|=4，则线段BC的中点到y轴距离的最小值为54
D. 若直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为3x+6y+4=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=sin2x+2csx的导函数为f′(x)，则f′(π6)= ______．
13.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为6 2π的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0)，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为(1,1)，则|PQ|+|PF|的最大值为______．
14.数列{an}满足an+2+(−1)nan=3n−1，前16项和为668，则a1= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=1x．
(1)曲线y=f(x)在点P处的切线与直线y=4x−11互相垂直，求点P的坐标．
(2)过点Q(−1,3)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程．
16.(本小题15分)
设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足_____.给出下列三个条件：
①a3=4，2lgan=lgan−1+lgan+1(n≥2)；
②Sn=man−1(m∈R)；
③2a1+3a2+4a3+⋯+(n+1)an=kn⋅2n(k∈R)．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=3n⋅lg2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．
(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在[3,5]上是增函数，求a的取值范围；
(3)讨论f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线3x+ 3y−3=0上.
(1)求椭圆E的标准方程及离心率；
(2)设直线l1：y=kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C.记直线OP的斜率为k1，直线BC的斜率为k2，求k1k2的值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}中，a1=54，4an+1=an+3(n∈N∗).
(Ⅰ)证明：数列{an−1}是等比数列，并求{an}前n项的和Sn；
(Ⅱ)令bn=2n⋅an，求证：12b1+3+12b2+3+…+12bn+3<1340．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.A
6.C
7.B
8.D
9.D
10.BD
11.ABD
12.0
13.7
14.23
15.解：(1)由f(x)=1x，f′(x)=−1x2，
由题意可得−1xP2×4=−1，故xP=±2，
当xP=2时，f(xP)=12，当xP=−2时，f(xP)=−12，
故点P的坐标为(2,12)或(−2,−12)；
(2)设切点坐标为(x0,y0)，则有y−1x0=−1x02(x−x0)，
故3−1x0=−1x02(−1−x0)，整理得3x02−2x0−1=0，
即(x0−1)(3x+1)=0，故x0=1或x0=−13，
当x0=1时，有y−1=−(x−1)，即x+y−2=0，
当x0=−13时，有y+3=−9(x+13)，即9x+y+6=0，
故此切线的方程为x+y−2=0或9x+y+6=0．
16.解：(1)选①：由2lgan=lgan−1+lgan+1(n≥2)得：
lgan2=lgan−1an+1(n≥2)，所以an2=an−1an+1(n≥2)，
又因为a1=1，因此数列{an}为等比数列，
设数列{an}的公比为q，则q>0，由a3=a1q2=q2=4，
解得q=2或q=−2(舍去)，
所以an=2n−1(n∈N∗)；
选②：因为Sn=man−1，
当n=1时，S1=ma1−1，又a1=1，
所以1=m−1，即m=2，所以Sn=2an−1，
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，
两式相减得an=2an−2an−1(n≥2)，
即an=2an−1(n≥2)，
所以数列{an}是a1=1，公比为2的等比数列，
所以an=2n−1(n∈N∗)；
选③：因为2a1+3a2+4a3+⋯+(n+1)an=kn⋅2n，
当n=1时，2a1=k⋅21=2，
所以k=1，即2a1+3a2+4a3+⋯+(n+1)an=n⋅2n，
当n≥2时，2a1+3a2+4a3+⋯+nan−1=(n−1)⋅2n−1，
两式相减，得(n+1)an=n⋅2n−(n−1)⋅2n−1=(n+1)⋅2n−1，
即an=2n−1(n≥2)，
当n=1时，a1=1满足上式．
所以an=2n−1(n∈N∗)；
(2)bn=3n⋅lg2a2n+1=3n⋅lg222n=2n⋅3n，
设数列{n⋅3n}的前n项和T′n=1×3+2×32+3×33+⋯+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n，
故3T′n=1×32+2×33+3×34+⋯+(n−1)⋅3n+n⋅3n+1，
两式相减得：−2T′n=3+32+33+⋅⋅⋅+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，
化简得，T′n=(2n−1)⋅3n+1+34，
故数列{bn}的前n项和Tn=(2n−1)⋅3n+1+32．
17.解：(1)当a=−1 时，f(x)=lnx−x2−x(x>0)，
f′(x)=1x−2x−1=−2x2−x+1x=−(2x−1)(x+1)x，
令f′(x)=0，则−(2x−1)(x+1)x=0，
解得x=12或x=−1(舍)，
当x>12时，f′(x)<0，当00，
所以f(x) 的单调递增区间为(0,12)，单调递减区间为(12,+∞)．
(2)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，
所以f′(x)=1x+2ax+(2a+1)，
因为f(x)在[3,5]上是增函数，
所以f′(x)=1x+2ax+(2a+1)≥0在[3,5]上恒成立，
即2ax2+(2a+1)x+1≥0在[3,5]上恒成立，
因为y=2ax2+(2a+1)x+1的对称轴为y=2a+1−2a=−1−12a，
当a>0时，y=−1−12a<0，则y=2ax2+(2a+1)x+1在[3,5]上单调递增，
当a=0时，y=x+1在[3,5]上单调递增，
当a<0时，y=2ax2+(2a+1)x+1开口向下；
综上所述，要使得2ax2+(2a+1)x+1≥0在[3,5]上恒成立，
只需2a×32+(2a+1)×3+1≥02a×52+(2a+1)×5+1≥0，解得a≥−110，
所以a的取值范围为[−110,+∞)．
(3)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x(x>0)，
所以f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x，
当a≥0时，2ax+1>0，x+1>0，
所以f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，令f′(x)=0，则(2ax+1)(x+1)x=0，
解得x=−12a或x=−1(舍)，
当x>−12a时，f′(x)<0，当00，
所以f(x)在(0,−12a) 上单调递增，在(−12a,+∞) 上单调递减；
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,−12a) 上单调递增，在(−12a,+∞) 上单调递减．
18.解：(1)设椭圆E的半焦距为c，
由已知点B的坐标为(0,b)，点F的坐标为(c,0)，
因为点B、F都在直线3x+ 3y−3=0上，
所以 3b−3=0，3c−3=0，又a2=b2+c2，
所以a=2，b= 3，c=1，
所以椭圆E的方程为：x24+y23=1，
椭圆E的离心率e=ca=12；
(2)由y=kx+mx24+y23=1，整理得：(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0，①
由Δ=0⇒(8km)2−4(4k2+3)(4m2−12)=0⇒m2=4k2+3，
此时方程①可化为：m2x2+8kmx+16k2=0，
解得：x=−4km，(由条件可知：k、m异号)
设P(x0,y0)，则x0=−4km，y0=kx0+m=k⋅(−4km)+m=m2−4k2m=3m，
即P(−4km,3m)，所以k1=3m−4km=−34k，
因为l1//l2，所以可设直线l2：y=kx+n(n≠0,n≠m)，
由y=kx+nx24+y23=1，整理得：(4k2+3)x2+8knx+4n2−12=0，
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−8kn4k2+3，x1x2=4n2−124k2+3，
因为A，C两点关于原点对称，所以C(−x1,−y1)，
所以k2=y2+y1x2+x1=kx2+n+kx1+nx2+x1=k+2nx2+x1=k+2n−8kn4k2+3=k−4k2+34k=−34k，
所以k1=k2⇒k1k2=1．
19.证明：(Ⅰ)∵4an+1=an+3，∴4an+1−4=an−1，
则an+1−1=14(an−1)，
又a1−1=14≠0，∴an−1≠0，从而an+1−1an−1=14，
∴数列{an−1}是以14为首项，14为公比的等比数列．
则an−1=14n，即an=1+14n；
∴Sn=a1+a2+…+an=n+(14+142+…+14n)=n+14⋅(1−14n)1−14=n+13−13⋅4n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，an=1+14n，∴bn=2n⋅an=2n+12n．
∴12bn+3=12(2n+12n)+3=2n2(22n+1)+3⋅2n=2n2n⋅2n+1+2n+1+2n+2
=2n(2n+1)(2n+1+1)+1<2n(2n+1)(2n+1+1)=12n+1−12n+1+1．
当n=1时，12b1+3=18<1340．
当n≥2时，12b1+3+12b2+3+…+12bn+3
<18+(122+1−123+1)+(123+1−124+1)+…+(12n+1−12n+1+1)
=18+15−12n+1+1<1340．