2023-2024学年重庆市璧山区来凤中学等九校联考高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆市璧山区来凤中学等九校联考高一（下）月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=(1−3i)(2+i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知△ABC的直观图是一个边长为4的等边三角形，则△ABC的面积是( )
A. 6B. 4 3C. 8 3D. 8 6
3.已知向量a=(2,−1)，b=(1,3)，且a⊥(ka+b)，则k=( )
A. −15B. −54C. 15D. 54
4.某班同学利用课外实践课，测量A，B两地之间的距离，在C处测得A，C两地之间的距离是4千米，B，C两地之间的距离是6千米，且∠ACB=60°，则A，B两地之间的距离是( )
A. 2 7千米B. 4 3千米C. 2 19千米D. 6 2千米
5.已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是( )
A. 28B. 36C. 42D. 50
6.已知复数z满足|z|=5，且|z+1+i|=4，则|z−1−i|=( )
A. 38B. 4 5C. 5D. 6
7.已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得PD⋅AC=PD⋅BC，若AB=4，则PA⋅AB=( )
A. −16B. −8C. 8D. 16
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E在线段CD1上，则AE+B1E的最小值是( )
A. 4 3
B. 4 5
C. 4 6
D. 4 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 棱台的所有侧棱交于同一点
D. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
10.已知函数f(x)= 3sin2x+cs2x+1，则( )
A. f(x)的最小正周期是πB. f(x)的图象关于点(−π12,0)中心对称
C. f(x+π12)是偶函数D. f(x)在[−π6,3π2]上恰有4个零点
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(2b+c)csA+acsC=0，点D在边BC上，AD=1，AB⋅CD=BD⋅AC，则( )
A. A=π3B. b+c=bc
C. △ABC面积的最小值是 3D. 2b+8c的最小值是18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1的面积分别为S和S1，若AB=2A1B1，则SS1= ______．
13.已知sin(α+π6)=34，则cs(α−π3)= ______，cs(2α−2π3)= ______．
14.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，且|z|=2，则z+4z−a−5a+3的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中AB=AA1=2，AD=6．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−5π6,−π4]上的值域．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinB+sinC=2sinA，8b=7a．
(1)求sinB的值；
(2)求sin(A−B)的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=cs(2x+π6)+2sin2x．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求不等式2f(x)≥ 3的解集；
(3)若对任意的x∈[π2,13π12]，f(x)≤2m−1恒成立，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
对任意两个非零向量m，n，定义：m⊗n=m⋅nn2．
(1)若向量a=(5,3)，b=(−3,2)，求a⊗(a+2b)的值；
(2)若单位向量a，b满足(a+b)⊗(2a−b)=516，求向量a与a−b的夹角的余弦值；
(3)若非零向量a，b满足|a|≥3|b|，向量a与b的夹角是锐角，且4(b⊗a)是整数，求a⊗b的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.A
5.B
6.A
7.B
8.C
9.ABD
10.AD
11.BCD
12.4
13.34 18
14.1
15.解：(1)长方体的体积为2×2×6=24，
半圆柱的底面积为12π(AB2)2=12π(22)2=π2，
半圆柱的体积为π2×AD=π2×6=3π，
该几何体的体积为24+3π．
(2)长方体去掉上底面后的表面积为2×6+2×2×2+2×6×2=44，
由(1)得半圆柱的底面积为π2，
半圆柱的侧面积为2π×AB2×12×6=6π，
所以该几何体的表面积为44+π2×2+6π=44+7π．
16.解：(1)由图象可知，A=2，
由9π8−3π8=3π4=3T4，则T=π，即2πω=π，得ω=2，
则f(x)=2cs(2x+φ)，
因为f(3π8)=2cs(2×3π8+φ)=2cs(3π4+φ)=2，
所以3π4+φ=2kπ,k∈Z，由−π<φ<0，得φ=−3π4，
所以f(x)=2cs(2x−3π4)．
(2)因为x∈[−5π6,−π4]，所以2x−3π4∈[−29π12,−5π4]，
余弦函数y=csx在[−29π12,−2π]上单调递增，在[−2π,−5π4]上单调递减，
cs(−29π12)=cs(−2π−5π12)=cs5π12= 6− 24，
cs(−2π)=1，cs(−5π4)=−csπ4=− 22，
则2cs(2x−3π4)∈[− 2,2]．
所以f(x)在[−5π6,−π4]上的值域为[− 2,2]．
17.解：(1)根据sinB+sinC=2sinA，由正弦定理得b+c=2a，
由8b=7a，得b=78a，可得c=2a−b=98a，
根据余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=a2+(98a)2−(78a)22a⋅98a=1+8164−496494=23，
因为B∈(0,π)，所以sinB= 1−cs2B= 1−49= 53(舍负)；
(2)由8b=7a，可得8sinB=7sinA，所以sinA=87sinB=87× 53=8 521，
根据b=78a，c=98a，由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4964a2+8164a2−a22×78a×98a=1121，
所以sin(A−B)=sinAcsB−csAsinB=8 521×23−1121× 53=5 563．
18.解：(1)由题f(x)=cs(2x+π6)+2sin2x= 32cs2x+32sin2x= 3sin(2x+π6)，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．
(2)由(1)2f(x)≥ 3即sin(2x+π6)≥12，
所以2kπ+π6≤2x+π6≤2kπ+5π6,k∈Z,⇒kπ≤x≤kπ+π3,k∈Z，
故不等式2f(x)≥ 3的解集为[kπ,kπ+π3],k∈Z．
(3)由(1)f(x)= 3sin(2x+π6)，
因为x∈[π2,13π12]，所以2x+π6∈[7π6,7π3]，
所以sin(2x+π6)∈[−1, 32]，故f(x)∈[− 3,32]，
所以若对任意的x∈[π2,13π12]，f(x)≤2m−1恒成立，
则2m−1≥32，⇒m≥54，
故m的取值范围为：[54,+∞)．
19.解：(1)因为a=(5,3)，b=(−3,2)，所以a+2b=(−1,7)，
所以a⊗(a+2b)=a⋅(a+2b)(a+2b)2=5×(−1)+3×7(−1)2+72=825，
故a⊗(a+2b)的值为825；
(2)因为向量a、b是单位向量，所以|a|=1，|b|=1，
由(a+b)⊗(2a−b)=516，
可得(a+b)⋅(2a−b)(2a−b)2=2a2+a⋅b−b24a2−4a⋅b+b2=a⋅b+15−4a⋅b=516，
解得a⋅b=14，
由(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=32，可得|a−b|= (a−b)2= 62，
则cs=a⋅(a−b)|a||a−b|=a2−a⋅b|a||a−b|=1−141× 62= 64，
故向量a与a−b的夹角的余弦值为 64；
(3)设向量a与b的夹角为θ，由题意可知0<θ<π2，则0因为|a|≥3|b|，所以0<|b||a|≤13，0<|b||a|csθ<13，
因为b⊗a=b⋅aa2=|b||a|csθ，所以0<4(b⊗a)<43，
因为4(b⊗a)是整数，所以4(b⊗a)=1，所以b⊗a=14，|b||a|=14csθ，
而0<|b||a|≤13，所以34≤csθ<1，
因为a⊗b=a⋅bb2=|a||b|csθ=4cs2θ，
又916≤cs2θ<1，所以94≤a⊗b<4，
故a⊗b的取值范围为[94,4)．