2023-2024学年江西省吉安市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省吉安市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=2x+csx，则limΔx→0f(π2+Δx)−f(π2)Δx=( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X>1)=0.76，则P(2≤X≤3)=( )
A. 0.52B. 0.44C. 0.28D. 0.26
3.函数g(x)=−16x3+ax2−2满足g(3)=232，则g(x)的极大值点为( )
A. 4B. 8C. 10D. 12
4.已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为80%，90%，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的70%，30%.现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为( )
A. 83%B. 84%C. 86%D. 90%
5.口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，则( )
A. P(A∪B)=1B. 事件A，B，C可能同时发生
C. A与B互斥D. 事件A与事件B不相互独立
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=A⋅2n+B，则A+B=( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
7.为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的45，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的14，若本次调查得出“有99%的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有( )
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，363442≈0.82．
A. 5人B. 10人C. 15人D. 20人
8.函数f(x)=2+lnx与函数g(x)=ex公切线的斜率为( )
A. 1B. ±eC. 1或eD. 1或e2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~B(4,p),E(X)=2,则（ ）
A. p=12B. P(32< X<113)=78C. D(X)=2D. E(4X+3)=11
10.下列说法正确的是( )
A. 若样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的方差为15
B. |r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强
C. 若P(B|A)=0.4，P(B)=0.4，则事件A，B相互独立
D. 在一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)(n≥2,x1,x2,⋯,xn，不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)都在直线y=−23x+3上，则这组样本数据的线性相关系数为−23
11.已知首项为1的正项数列{an}满足4an+12−1=4an+1an，则下列说法正确的是( )
A. {an}为递增数列B. 1a82>1a72
C. a20252−a20242<12D. 数列{an+1−an}为递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.Sn为等比数列{an}的前n项和，{Sn}是首项为2的等差数列，则Sn的公差为 ．
13.如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为 ．
14.当−π6四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为1，2，3，4且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为X．
(1)求该排球筐内有球的概率;
(2)求X的分布列．
16.已知Sn为数列{an}的前n项和，且an+2Sn=1．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{(2n−1)an}的前n项和，求证：13≤Tn<1．
17.已知函数f(x)=eax−e−x−bx为R上的增函数．
(1)当a=1时，求b的取值范围;
(2)当b=a+1时，求a的值．
18.2024年3月15日的“3⋅15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两.经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改.以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为xi、执法人员称重重量为yi(单位：kg)，i=110xi=9.9，i=110yi=7.1.其他数据如下：i=110xi2=12.408，i=110xiyi=9.146．
(1)利用最小二乘法，求执法人员称重重量y与商贩称重重量x之间的线性回归方程l1(a,b精确到小数点后2位，下同);
(2)经核实，数据点(0.99,0.305)严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程l2，证明：直线l1与直线l2斜率相等，并求直线l2的线性回归方程．
参考公式与数据：线性回归方程y=bx+a中斜率的最小二乘法估计公式为b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx yi=1nxi2−nx2，且a=y−bx，21172607≈0.812．
19.设函数f(x)=x2ex．
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)已知直线l:y=kx与曲线y=f(x)交于三点A(x1,kx1)，B(x2,kx2)，C(x3,kx3)，且x1(ⅰ) 若x1，x2，x3成等差数列，求k;(ⅱ)证明：x1+x2<−2．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D
6.C
7.B
8.C
9.AD
10.BC
11.ACD
12.2
13.332
14.[4 33,3)
15.解：(1)设事件A:“排球筐内有球”，
则易得且P(A)=1−P(X=0)=1−3444=175256．
(2)由题意，X的值可以为0，1，2，3，4且P(X=0)=3444=81256;
P(X=1)=C41×3344=2764;
P(X=2)=C42×3244=27128;
P(X=3)=C43×344=364;
P(X=4)=C1444=1256，
∴X的分布列为

16.解：(1)当n=1时，a1+2S1=3a1=1，可得a1=13，
当n≥2时，由an+2Sn=1，可得an−1+2Sn−1=1，
相减可得an−an−1+2Sn−2Sn−1=0，即有3an−an−1=0，可得3an=an−1，
则{an}是首项、公比都为13的等比数列，
故an=13n;
(2)Tn=a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=13+3⋅132+5⋅133+⋯+(2n−3)⋅13n−1+(2n−1)⋅13n．
13Tn=132+3⋅133+5⋅134+⋯+(2n−3)⋅13n+(2n−1)⋅13n+1
上面两式相减可得23Tn=13+2(132+133+⋯+13n−1+13n)−(2n−1)⋅13n+1=13+2⋅19(1−13n−1)1−13−(2n−1)⋅13n+1=23−2n+23n+1
化简可得Tn=1−n+13n．
易得{Tn}是单调递增数列，且n→+∞，Tn→1，Tn≥T1=1−23=13，
故13≤Tn<1，得证．
17.(1)当a=1时，易得f′(x)=ex+e−x−b≥0恒成立，
∴b≤ex+e−x≤2 ex⋅e−x=2.当且仅当ex=e−x，即x=0时，等号成立．
(2)当b=a+1时，f(x)=eax−e−x−(a+1)x，
则f′(x)=aeax+e−x−(a+1)，又f(x)为R上的增函数，
∴f′(x)≥0.
设g(x)=f′(x)=aeax+e−x−(a+1)，
则g′(x)=a2eax−e−x=a2ea+1x−1ex，
则∃x′使得g′(x′)=0.又g(0)=0，g(x)≥0，
则必有x′=0，否则根据函数g(x)的单调性可推出g(x)≥0不恒成立，与题意矛盾．
由g′(0)=a2−1=0，得a=±1.当a=−1时，f(x)=0，f(x)为常函数，舍去;
当a=1时，f′(x)=ex+e−x−2≥0，f(x)为R上的增函数，符合题意．
综上所述，a=1．
18.解：(1)由题意，x=110i=110xi=0.99，
y=110i=110yi=0.71，
故b=i=110xiyi−10×x yi=110xi2−10×x2=9.146−10×0.99×−10×0.992
=≈0.812，
a=y−bx≈−0.094，
因此回归方程l1为y=0.81x−0.09；
(2)不妨设被删除的数据点为(x10,y10)，由题意x10=x，
设删除该数据点后，商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为x′、y′，
因此x′=19i=19xi=19(i=110xi−x10)=19(10x−x)=x=0.99，
y′=19i=19yi=19(i=110yi−y10)=19×(7.1−0.305)=0.755，
故x10−x′=0，
对于回归方程l2，b′=i=19(xi−x′)(yi−y′)i=19(xi−x′)2
=i=110(xi−x′)(yi−y′)−(x10−x′)(y10−y′)i=110(xi−x′)2−(x10−x′)2
=i=110(xi−x)(yi−y′)i=110(xi−x)2
=i=110xiyi+10x y′−i=110yix −i=110xi y′i=110xi2−10x2
=i=110xiyi+10x y′−10x y−10x y′i=110xi2−10x2
=i=110xiyi−10x yi=110xi2−10x2=b，
因此斜率相等得证．
故a′=y′−b′x′≈−0.049，
因此回归方程l2为y=0.81x−0.05．
19.(1)解：因为f′(x)=x2+2xex，
所以由f′(x)>0得x∈(−∞,−2)∪(0,+∞)；由f′(x)<0得x∈(−2,0)，
因此函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−2)和(0,+∞)，单调递减区间为(−2,0)．
(2)(ⅰ) 解：由x2ex=kx得x(xex−k)=0，因此直线l:y=kx(k∈R)与曲线y=f(x)的一个交点为原点．
设g(x)=xex，
则直线l:y=kx(k∈R)与曲线y=f(x)的一个交点为原点，另外两个交点是直线y=k和函数g(x)的图象的交点．
因为g′(x)=(x+1)ex，所以由g′(x)>0得x>−1，由g′(x)<0得x<−1，
因此函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，因此函数g(x)在x=−1处取得最小值．
因为当x<0时，g(x)<0；当x>0时，g(x)>0，
所以作直线y=k和函数g(x)的图象如下：
因为直线l:y=kx(k∈R)与曲线y=f(x)交于A(x1,kx1)、B(x2,kx2)、C(x3,kx3)三点，且x1所以由直线y=k和函数g(x)的图象知x1∈(−∞,−1)、x2∈(−1,0)、x3=0．
因为x1，x2，x3成等差数列，所以2x2=x1，因此由k=x2ex2=x1ex1得k=x2ex2=2x2e2x2
所以由x2ex2=2x2e2x2和x2∈(−1,0)解得x2=−ln2，
因此k=x2 ex2=−ln2e−ln2=−12ln2．
(ⅱ)证明：由 ①知：x1∈(−∞,−1)、x2∈(−1,0)，因此−x2−2<−1．
因为函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，所以要证x1+x2<−2，只要证g(x1)>g(−2−x2)，
即要证g(x2)>g(−2−x2).
令ℎ(x)=g(x)−g(−2−x)=xex+x+2e−x−2x∈(−1,0)，
因此ℎ′(x)=x+1ex−x+1e−x−2
=x+1ex−e−x−2>0x∈(−1,0)，
所以函数ℎ(x)在(−1,0)上单调递增，因此ℎ(x)>ℎ(−1)=0，
所以g(x2)−g(−2−x2)>0，因此x1+x2<−2． p(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.7
3.8
6.6
7.9
10.8
X
0
1
2
3
4
P
81256
2764
27128
364
1256