2024年黑龙江省绥化市绥棱县克音河学校中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2024年黑龙江省绥化市绥棱县克音河学校中考数学一模试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−5的相反数是( )
A. −5B. 5C. 15D. −15
2.“壮丽70年，数字看中国”.1952年我国国内生产总值仅为679亿元，2018年达到90万亿元，是世界第二大经济体．90万亿元这个数据用科学记数法表示为( )
A. 9×104亿元B. 9×105亿元C. 9×106亿元D. 90×104亿元
3.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算错误的是( )
A. (m2)3=m6B. a10÷a9=aC. x3⋅x5=x8D. a4+a3=a7
5.周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱(两种物品都买)，小明的购买方案共有( )
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
6.如图所示的是由几个相同小立方体组成的几何体从上面所看到的图形，正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则从左面看这个几何体所得到的图形是( )
A. B. C. D.
7.为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是( )
A. 中位数是5B. 众数是5C. 平均数是5.2D. 方差是2
8.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC.若∠ABC=70°，则∠1的大小为( )
A. 20°
B. 35°
C. 40°
D. 70°
9.不等式组x−1≥01−12x<0的最小整数解是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为( )
A. 480(1+50%)x−480x=4B. 480x−480(1−50%)x=4
C. 480x−480(1+50%)x=4D. 480(1−50%)x−480x=4
11.小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分.如图是两人之间的距离y(米)与小明离开家的时间x(分)之间的函数图象，下列说法：
①小明家与小亮家距离为540米；
②小亮比赛前的速度为120米/分；
③小明出发7分钟时，两人距离为80米；
④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．
其中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
12.皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L−1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点.已知A(0,30)，B(20,10)，O(0,0)，则△ABO内部的格点个数是( )
A. 266B. 270C. 271D. 285
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
13.函数y=x+12x−3中，自变量x的取值范围是______．
14.分解因式：a2b−4ab+4b=______．
15.已知扇形的弧长为4πcm，该扇形的圆心角度数为120°，则扇形面积为______cm2．
16.在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是______．
17.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=12，则AC的长为______．
18.若关于x的方程x2−2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1，则m的值为______．
19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD.若∠AOD=120°，AD= 3，BC的长为______．
20.如图在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为弧BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E.若CFAF=13，则CEAE= ______．
21.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A′恰好落在∠BCD的平分线上时，CA′的长为______．
22.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3、正方形PA4A5A6、…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(−3,0)，A1(−2,1)，A2(−1,0)，A3(−2,−1)，则顶点A2024的坐标为______．
三、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，∠DAB=30°．
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0)，顶点A、B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK=30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC=8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN=60°，CE=4米，且BC/​/NE/​/KD，AB⊥BC(点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内)．
(1)填空：∠BCD= ______度，∠AEC= ______度；
(2)求信号塔的高度AB(结果保留根号)．
26.(本小题10分)
已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，连接OB、OC；OC交AB于点D．
(1)如图1，求证：OC⊥AB；
(2)如图2，EF是⊙O的弦，交BD于点G，交OB于点H，EF/​/OC，连接AE、AF，∠BAE=2∠BAF，求证：AB=AE；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接DF，若OD=5，HE=16，求△DFG的面积．
27.(本小题10分)
【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′E展平纸片，连接AB′，BB′，BE′.请完成：
(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明(1)中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′.请完成：
(3)证明BB′是∠NBC的一条三等分线．
28.(本小题12分)
如图，抛物线y=a(x+2)(x−5)(a<0)交x轴于A、B两点(A左B右)，交y轴于C，且5OA=2OC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作OF//PA，交BC于点F，若PE=PF，求点P的坐标．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.B
6.D
7.D
8.C
9.C
10.C
11.D
12.C
13.x≠32
14.b(a−2)2
15.12π
16.14
17.2
18.2
19.1
20.12
21.3 2或4 2
22.(1347,0)
23.解：(1)如图E即为所求作的点；
(2)∵cs∠DAB=AEAD，
∴AE=AD⋅cs30°=4× 32=2 3，
∴BE=AB−AE=6−2 3．
24.解：(1)过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，如图：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACT=90°−∠BCK=∠CBK，
在△ATC和△CKB中
∵∠ACT=∠CBK∠ATC=∠CKBAC=BC
∴△ATC≌△CKB(AAS)，
∴AT=CK，CT=BK，
∵C(3,0)，B(6,m)，
∴AT=CK=6−3=3，CT=BK=m，
∴OT=3−m，
∴A(3−m,3)，
∵A(3−m,3)，B(6,m)恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上，
∴k=3(3−m)=6m，
∴m=1，k=6，
∴反比例函数的表达式为y=6x，A(2,3)，B(6,1)，
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=k′x+b，把A(2,3)，B(6,1)代入得：
2k′+b=36k′+b=1，
解得k′=−12b=4，
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=−12x+4；
(2)在x轴上存在一点P，使△ABP周长的值最小，理由如下：
作A(2,3)关于x轴的对称点A′(2,−3)，连接A′B交x轴于P，如图：
∵A(2,3)，B(6,1)，
∴AB= (2−6)2+(3−1)2=2 5，
∴当AP+BP最小时，△ABP周长最小，
∵A，A′关于x轴对称，
∴AP=A′P，
∴当A′，P，B共线时，AP+BP最小，△ABP周长也最小，
∵A′(2,−3)，B(6,1)，
∴A′B= (2−6)2+(−3−1)2=4 2，
∴AP+BP=A′P+BP=A′B=4 2，
∴△ABP周长的最小值为4 2+2 5．
25.150 30
26.(1)证明：如图，连接OA，

∵点C是弧AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，
∴OC⊥AB；
(2)证明：如图，连接BE，

∴∠BEG=∠FAG，
∵EF/​/OC，OC⊥AB，
∴∠EGB=90°，
设∠FAB=x，∠BAE=2x，
∴∠AEB=∠AEF+∠FEB=90°−2x+x=90°−x，
∠ABE=∠AFG=90°−∠FAB=90°−x，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE；
(3)解：如图，连接AO并延长交EF于点K，作OR⊥EF于点R，

设GH=a，
∵EF⊥AB，OR⊥EF，
∴OR//AB，
∴∠KOR=∠KAB=∠ABO=∠HOR，
∴∠OKR=90°−∠KOR=90°−∠HOR=∠OHR，
∴OH=OK，
∵OR⊥HK，
∴HR=KR，
∵AB=AE，
∴∠BAE=2∠BAO=2∠BAF，
∴∠BAO=∠BAF=∠B，
∴OB/​/AF，
∴∠OHR=∠AFK=∠AKF，
∴AF=AK，FG=KG，
同理AM=AO，MD=0D=5，
∵EF/​/OC，OB//AF，OR//AB，OR⊥EF，
∴四边形OHFM是平行四边形，四边形ODGR是矩形，
∴FH=OM=10，
∴FG=GK=10−a，FR=15−a；
∵HE=16，
∴EF=FH+HE=26，
∵OR⊥EF，
∴FR=12EF=13，
∴15−a=13，
解得a=2；
∴GH=a=2，HR=3，
∵OR//BG，
∴△ORH∽△BGH，
∴GBOR=GHHR=23，
设GB=2b，则OR=DG=3b，AD=BD=5b，AE=AB=10b，
在Rt△AGE中，AE2=AG2+GE2，
即(10b)2=(10b−2b)2+(16+2)2，
解得b=3，
∴DG=9，FG=10−2=8，
∴S△DFG=12×8×9=36．
27.(1)解：∠1=∠2=∠3；
(2)证明：如图1，

设AM，EF交于点O，
由题意得：EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB=AB′，
∴AB′=BB′，OA=OB=OB′，
∴AB′=BB′=AB，O为外心，
∴∠ABB′=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠3=90°−60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3；
(3)证明：如图2，

同理(2)得：OB=OB′=OP=OP′，BP′=PB′=BB′，
∴∠P′BO=∠B′BO，∠OBB′=∠BB′O，
∵EF/​/BC，
∴∠OB′B=∠B′BC，
∴∠P′BO=∠B′BO=∠B′BC，
∴BB′是∠NBC的一条三等分线．
28.解：(1)在y=a(x+2)(x−5)中，
当x=0时，y=−10a，
∴C(0,−10a)，
∴OC=−10a，
此时a(x+2)(x−5)=0，
∵a≠0，
∴(x+2)(x−5)=0，
∴x=−2或x=5，
∴A(−2,0)，B(5,0)，
∴OA=2，OB=5，
∵5OA=2OC，
∴10=−20a，
∴a=−12，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+32x+5；
(2)P点的横坐标为m，则P(m,−12(m+2)(m−5))．
如图，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∵tan∠PAH=ODOA=PHAH，
∴tan∠PAH=OD2=−12(m+2)(m−5)m−(−2)=12(5−m)，
∴OD=5−m，
∴CD=5−(5−m)=m，
∴S△PCD=12CD⋅OH=12m2，
∴S=12m2；
(3)∵OB=OC=5，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
如图，设PH交BC于点G，连接GD交OF点N，
∴∠BGH=∠OBC=45°，
∴GH=BH=OD=5−m，
∴四边形OHGD为矩形，
∴DG/​/AB，
∴∠PGD=∠PHO=90°，
∴∠PGF=∠BGH=45°，
∴∠NGF=∠PGF=45°，
∵OF//PA，
∴四边形AOND为平行四边形，
∴DN=OA=2，
设∠APF=2α，
∵PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE=90°−α，
∵OF//PA，
∴∠EFN=∠PEF=∠PFE，
∴∠PFG=∠NFG，
又∵FG=FG，
∴△PGF≌△NGF，
∴NG=PG=(−12m2+32m+5)−(5−m)=−12m2+52m，
∵DG=CD，
∴−12m2+52m+2=m，
解得：m=4或m=−1(舍)，
∴P(4,3)．