【暑假衔接】人教A版新高二数学 新课预习-2.5.1 直线与圆的位置关系（教师版+学生版）

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1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
【知识梳理】
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
【例题详解】
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 (1)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可.
【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径
圆心到直线2x+y+1＝0的距离
由，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
(2)直线与圆相切，则（ ）
A．3B．C．或1D．3或
【答案】D
【分析】利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为
又直线与圆相切，
则，解之得或，
故选：D．
(3)已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由，得，
∵直线与圆相离，
∴解得．
∴实数m的取值范围是，
故选:D．
跟踪训练1 (1)直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交
C．相离D．由的取值确定
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断.
【详解】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.
故选：A．
(2)已知圆C:x2+y2=1，直线：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1）B．（-，-）C．（，）D．（-，）
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线，
由于圆与直线相交，
所以，解得.
故选：D
二、圆的弦长问题
例2 (1)若圆与y轴交于A，B两点，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】直接联立方程求A、B坐标即可.
【详解】联立得，故A、B坐标为，即.
故选：D
(2)若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果.
【详解】
当最短时，直线，所以.
又，所以，
所以的方程为，即.
故选：D
(3)若直线截圆所得弦长，则的值为 .
【答案】或
【分析】根据直线截圆的弦长公式计算.
【详解】圆心到直线的距离为 ，
由得，解得或，
故答案为：或
跟踪训练2 (1)直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
(2)经过点的直线l与圆交与P，Q两点，如果，则直线l的方程为 ．
【答案】或
【分析】求出圆心到直线的距离，再按直线斜率存在与否分类求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，
因为圆截直线所得弦长为，则圆到直线的距离，
因为直线过点，则当直线斜率不存在时，直线，
显然圆心到直线距离为1，因此直线：符合题意；
当直线斜率存在时，设其方程为，即，
于是，解得，方程为，
所以直线l的方程为或.
故答案为：或

三、求圆的切线方程
例3 (1)已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【分析】利用切线与半径垂直求出切线的斜率，再根据点斜式可求出切线方程.
【详解】因为圆的圆心为，所以，
所以切线的斜率，
所以所求切线的方程为，即，
故选：A
(2)已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
例4 已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点与圆相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）先得到过点且与直线：垂直的直线方程，与联立求得圆心即可；
（2）若过点的直线斜率不存在，即直线是判断，若过点的直线斜率存在，设直线方程为，再根据直线与圆相切求解.
【详解】（1）过点与直线：垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得.
所以.
故圆的方程为：.
（2）①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；
②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，
即，
若直线与圆相切，则有，解得.
此时直线的方程为，即.
综上，切线的方程为或.
跟踪训练3 已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】设圆的一般方程为，
由题意可得，解得，
所以，圆的方程为，圆心为，
直线的斜率为，
因此，圆在点处的切线方程为，即.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
跟踪训练4 已知圆的方程为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）或；（2）或．
【分析】（1）分直线斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案；
（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，结合（1）可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，根据圆心到直线的距离列出方程，从而可得答案.
【详解】解：（1）根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：
当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆：相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得．
此时，直线的方程为．
所以满足条件的直线的方程是或；
（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，
结合（1）知直线的斜率一定存在．
设直线的方程为，即，则，解得或．
所以满足条件的直线方程是或．
【课堂巩固】
1．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】由，
所以直线恒过定点，
因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.
故选：B
2．若直线与圆相切，则（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求.
【详解】因为圆心坐标为，半径为，
所以该圆心到直线的距离，结合解得.
故选：A.
3．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是
直线所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.
【详解】， ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为： ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
4．圆：在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率即可.
【详解】圆：，圆心，
，
所以切线的斜率为 ，
所以在点处的切线方程为 ，
即.
故选：A
【点睛】本题主要考查圆的切线的求法，要注意几何法的应用，属于基础题.
5．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线过圆心代入求解即可.
【详解】由题意得，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，即，解得.
故选：D
6．与y轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为即可求得圆的方程.
【详解】由圆心在直线上，可设圆心坐标为，
又因为与y轴相切，所以半径，
易知圆心到直线的距离为，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线被截得的弦长为，
所以，解得；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为；
当时，该圆是以为圆心，为半径的圆，圆方程为.
故选：C
7．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，
所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.
故选：C.
8．设为原点，点在圆上，若直线与圆相切，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用勾股定理即可求解．
【详解】由圆的方程可得，故，
为原点，在圆上，与圆相切，
则.

故选:A．
9．设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程 .
【答案】或.
【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
【详解】由题意设所求的圆的方程为：.
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或.
故答案为：或.
10．已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得的取值范围.
【详解】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.
圆的圆心为，半径为，，
当圆和线段AB相切时，，即，
，得，
当圆过B点时，，得.
故答案为：.
11．已知圆过点，，且圆心在上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于、两点，求线段的长度．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）首先求出线段的中垂线方程，即可求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理、勾股定理计算可得.
【详解】（1）因为圆过点，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，
又圆心在上，所以，解得，所以圆心，
又，所以圆的标准方程为.
（2）圆心到直线的距离，
所以.

12．已知圆
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案；
（2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案..
【详解】（1）当直线斜率存在时，设直线，
即，
圆心到直线的距离为，解得，
此时直线方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，
综上，所求直线方程为或.
（2）记圆心到直线的距离为，则，
又弦长为，圆的半径为2，则，
解得，所以.
【课时作业】
1．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【答案】B
【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相切，
故选：B.
2．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
3．已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）
A．或2B．或4C．D．
【答案】A
【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】解：的圆心，半径，
因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，
即，整理得，解得或，
故选：A.
4．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.
【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1，
设圆心到直线的距离为
则，解得：或.
由此可知，“”是“或”的充分不必要条件，
故选：A.
5．过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，
圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），
又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，
则，则切线的斜率k＝1，
则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故选：C．
6．已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【分析】根据圆的方程和直线方程可得圆心坐标，以及直线所过定点，然后结合图形可得.
【详解】将圆C化为标准方程得，所以圆心为，
直线的方程为，所以直线过定点，
过点C作，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然，当时，，
所以圆心C到直线l的最大距离为.
故选：D

7．点在圆：上运动，点，当直线的斜率最大时，直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设直线的方程为，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到的最大值.
【详解】设直线的方程为，即，
，即，则圆心，半径，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，
，解得，则的最大值为，
此时直线的方程为，化简得，
故选：C.
8．已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a.
【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，
∵圆的方程为∴ 圆心，圆的半径为3，，
又，∴， 即点到直线的距离为，
所以， 所以解得或.
故选：D．
9．（多选）已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为1B．圆心到直线的距离为2
C．D．
【答案】BD
【分析】根据点到直线的距离公式计算可知A错误，B正确；利用几何法求出弦长可知C错误，D正确．
【详解】因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确．
因为，所以C错误，D正确．
故选：BD
10．已知直线与圆：交于、两点，则的面积为 .
【答案】2
【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.
【详解】由圆C方程：可得：；
即圆心C的坐标为（0，-1），半径r=2；
联立方程得交点，如下图：
可知轴，∴是以为直角的直角三角形，，
故答案为：2.
11．设直线与圆相交所得弦长为，则 ；
【答案】
【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线，即的距离，
由圆的弦长公式，即，得，
所以，解得，
经检验，满足题意，所以.
故答案为：.
12．过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是 .
【答案】
【分析】先求出圆心的坐标，再求出所求直线的斜率，进而得出所求直线的方程.
【详解】将圆的方程整理成标准方程得，
则圆心的坐标为，，
所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线垂直时，弦最短，
此时所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即.
故答案为：
13．已知圆的圆心坐标为.若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据相切关系可得垂直，利用垂直关系可得，即可根据点点距离求解半径，进而可得圆的方程.
【详解】直线过点，可得直线，其斜率.
由相切可得，可得，
所以，则圆的标准方程为.
故答案为：
14．圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；
（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.
【详解】（1）设圆心的坐标为,
则.
化简得，解得,
所以点坐标为，
半径，
故圆的方程为.
（2）圆心到轴的距离为，
所以圆在轴截得的弦长为.
15．已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．
【答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）.
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令求解，即可证结论.
（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．
【详解】（1）证明：直线l的方程可化为，又，
∴，解得，
∴直线l恒过定点．
（2）圆心，，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．
（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．
∴此时直线l被圆C截得的弦长为．
16．已知点，圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】（1）由圆的方程得到圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
∴ 方程为，即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
（2）∵ 弦长为，半径为2.
圆心到直线的距离，
∴，
解得.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判断方法
几何法：
设圆心到直线的距离为d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0