【暑假衔接】人教版新高二物理 暑假衔接讲义 第03讲 复习专题三 抛体运动规律（教师版+学生版）

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知识点1：抛体运动
1、平抛运动在斜面上的两种类型
2、平抛运动物理量的求解
3、多体平抛问题
知识点2：平抛运动的求解技巧
如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度。
如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移。
两种分解方法：①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。
知识点3：类平抛运动的求解技巧
常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
根据物体受力特点和运动特点判断情景是否属于类平抛运动问题；
根据情景求出物体运动的加速度；
根据具体问题选择常规分解法还是特殊分解法将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动。
一、单选题
1．某同学在一次立定投篮练习中，在距离水平地面高为1.95m处将篮球（视为质点）投出，篮球恰好垂直击中距离地面高为3.2m的篮板上，篮球被水平弹回后，又恰好击中自己的双脚（视为质点），篮球抛出点和双脚可认为在同一竖直线上，不计空气阻力，则篮球撞击篮板前后瞬间的速度大小之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设篮球撞击篮板前后瞬间的速度大小分别为、，篮球抛出到垂直撞击篮板过程可逆向看成做平抛运动，则有
，
解得
篮球被水平弹回后，又恰好击中自己的双脚，篮球做平抛运动，则有
，
解得
则篮球撞击篮板前后瞬间的速度大小之比为
故选D。
2．如图所示，从一根空心光滑竖直钢管A上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰后，水平速度反向，竖直速度不变，不计空气阻力），若换一根等高但较粗的光滑竖直钢管B，用同样方法抛入此钢球，则钢球（ ）
A．在A管中的运动时间长B．在B管中的运动时间长
C．在两管中的运动时间一样长D．在两管中的运动时间无法比较
【答案】C
【详解】由于钢球水平抛入，所以可看成竖直方向做自由落体与水平方向做匀速直线运动，根据题意：两钢管等高，由自由落体公式，可知球在两根管内的运动时间相等。故C正确，ABD错误；
故选C。
3．3月15日，2023年全国室内田径锦标赛在天津团泊体育中心室内田径馆开赛。在首日比赛中，黑龙江老将高兴龙凭借最后一跳8米20的成绩，以1厘米的优势反超江苏名将王嘉男夺冠。经测量，该运动员轨迹最高点距离地面，假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为，运动员可视为质点，不计空气阻力，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】运动员在空中的运动可看做斜抛，从斜抛的最高点到落地点可看做平抛，根据平抛运动的规律可知
故选B。
4．如图所示，为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等高的任意点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在面上的Q点，且速度与水平方向夹角为，则小球抛出后的水平距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图所示，小球恰好垂直落在面上的Q点，作速度的反向延长线，交于O点，由平抛运动的推论可知，速度反向延长线交水平位移的中点，故满足
结合圆的几何关系可得
联立可解得，D正确。
故选D。
5．随着2022年北京冬奥会的成功举办，冰雪项目在我国也越来越受欢迎。如图所示，某运动员训练时从助滑道上不同位置下滑，都从斜坡顶点B水平飞出。若以速度v1飞出，用时t1落在斜坡上的C点；若以速度v2飞出，用时t2落在斜坡上的D点。已知，不计空气阻力。关于运动员从B点飞出，落回斜面的过程，下列判断正确的是（ ）
A．两次位移关系有
B．两次初速度大小之比
C．两次落在斜面上时速度与斜面夹角之比
D．两次落在斜面上时速度大小之比
【答案】B
【详解】B．令斜面的倾角为，运动员落在斜面上，则有
解得
可知速度与时间成正比，即
故B正确；
A．下落的高度为
运动的位移为
可知运动的位移与时间的平方成正比，即
故A错误；
C．落在斜面上时速度与水平方向的夹角为α，则有
则落在斜面上时速度与斜面的夹角大小
θ= α-
同一斜面不变，故落在斜面上时速度与斜面的夹角与运动员飞出时的初速度无关，则两次落在斜面上时速度与斜面的夹角之比为
故C错误；
D．落在斜面上时的速度
可知落地时的速度大小之比与初速度之比相等，故两次落在斜面上时速度大小之比为
故D错误。
故选B。
6．如图所示，以的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ=30°的斜面上，g取，以下结论中正确的是（ ）
A．物体飞行时间是1s
B．物体撞击斜面时的速度大小为20m/s
C．物体飞行的水平距离10m
D．物体下降的距离是10m
【答案】B
【详解】ACD．将小球撞击斜面时的速度分解成水平方向和竖直方向，据几何关系可得
解得
又
得物体飞行的时间
故ACD项错误。
B．将小球撞击斜面时的速度分解成水平方向和竖直方向，据几何关系可得
得物体撞击斜面时的速度
B正确。
故选B。
【点睛】平抛与斜面结合问题的解题思路是分解速度或分解位移，也有可能是同时分解速度和位移。
7．如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为，高为h，重力加速度为g。现有一小球在A处贴着斜面以水平速度射出，最后从B处离开斜面。下列说法中正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹不是抛物线
B．小球所受合力始终与速度垂直
C．小球到达B点的时间为
D．小球的加速度大小为
【答案】C
【详解】AB．对小球受力分析，竖直向下的重力、垂直于斜面斜向上的支持力。其合力大小为重力的下滑分力，即
方向沿斜面向下，依题意可知小球合力方向与初速度方向垂直，且为恒力，随着时间的变化，合外力方向与速度方向夹角变小，所以运动轨迹为抛物线，故AB错误；
C．把小球的实际运动分解为水平方向的匀速直线运动和沿合力方向的初速度为零的匀加速直线运动，根据运动的等时性，可得
解得
故C正确；
D．根据牛顿第二定律，可得
故D错误；
故选C。
8．随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐。如图所示，假设甲、乙、丙三位运动员从同一点O沿不同方向斜向上击出的高尔夫球分别落在水平地面上不同位置A、B、C，三条路径的最高点在同一水平面内，不计空气阻力，则（ ）
A．甲击出的高尔夫球在空中运动时间最长
B．三个高尔夫球在空中运动时间相等
C．三个高尔夫球飞到最高点时速度为零
D．三个高尔夫球击出的初速度水平分量相等
【答案】B
【详解】AB．三个高尔夫球在空中运动竖直方向的加速度均为g，因竖直高度相同，可知运动时间相等，选项A错误，B正确；
C．三个高尔夫球飞到最高点时都有水平速度，即在最高点的速度不为零，选项C错误；
D．根据可知，三个高尔夫球击出的初速度水平分量不相等，甲最大，丙最小，选项D错误。
故选B。
9．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也．宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也．”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长，壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（，，，）（ ）
A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长
C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大
D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙小
【答案】D
【详解】根据题意，设位移与水平方向的夹角为，速度与水平方向的夹角为，由平抛运动规律有
AB．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，则有
由可得
可知，甲所投的箭在空中运动时间长，由
可知，甲所投箭的初速度较小，故AB错误；
CD．若箭在竖直方向下落的高度相等，则箭在空中运动时间相等，且有
则甲所投箭的初速度较小，由可知，甲、乙所射箭落入壶口时竖直速度相等，则由
可得，甲所射箭落入壶口时速度比乙小，故C错误，D正确。
故选D。
10．如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上点等高且相距为。玩具子弹以水平速度从枪口射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．子弹将击中点，大于
B．子弹将击中点，等于
C．子弹将击中点上方，小于
D．子弹将击中点下方，大于
【答案】B
【详解】根据题意可知，子弹做平抛运动，小积木做自由落体运动，子弹和小积木竖直方向的运动相同，子弹一直与小积木的点等高，则子弹将击中点，子弹在水平方向上做匀速直线运动，由可得，运动时间为
故选B。
11．据报载，近日东部战区空军某新训旅组织新兵进行投弹训练，从水平匀速向左飞行的飞机上以相等的时间间隔，依次放出三颗炸弹，不考虑空气阻力，则在地面上静止不动的人，某时刻看到的炸弹在空中下落的情况符合实际的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】炸弹落下前和飞机具有相同的速度，落下来时不计空气阻力，由于惯性保持原来的水平速度不变，相同时间内，在水平方向上和飞机前进的距离相等，所以炸弹始终在飞机的正下方。第二和第三颗炸弹同理也始终在飞机的正下方，并且在竖直方向做初速度为零的匀变速直线运动，则在连续相等的时间间隔内位移之比为。
故选B。
12．固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为、，经时间、分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量
D．落在D点的小球垂直打在圆弧上
【答案】A
【详解】AB．根据两小球的轨迹可知
竖直方向的位移相同，两小球下落的时间相同，即，水平位移之比为，所以水平速度之比为，故A正确，B错误；
C．在竖直方向上下落时间相同，甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误；
D．假设落在D点的小球垂直打在圆弧上，此时速度方向沿半径，则速度的反向延长线交水平位移的中点，应在圆心处，因为水平位移小于2R，所以速度的反向延长线不可能交于圆心，故D错误。
故选A。
一、单选题
1．如图所示以9.8m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（ ）（g取）
A．2sB．C．D．
【答案】B
【详解】小球撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图
则
解得
则
故选B。
2．某同学要探究类平抛运动的规律，设计了如图所示实验装置，他将一块足够大的平整方木板的一端放在水面地面上，另一端用支撑物垫起，形成一个倾角为的斜面。他先将一个小木块轻轻放在斜面上，放手后发现小木块会沿斜面向下运动；接着该同学将木块置于木板左上角，同时给小木块一个平行木板水平向右的初速度 ，为探究木块的运动轨迹，在木板上沿斜面向下和水平方向建立xOy直角坐标系。木块与木板表面间的动摩擦因数处处相同均为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．小木块在斜面上的运动轨迹为一条抛物线，该同学实验方案可行
B．小木块获得初速度开始运动的瞬间，其加速度大小为
C．小木块沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动
D．小木块最终沿与y轴平行的方向做匀加速直线运动，加速度大小
【答案】D
【详解】ABD．小木块获得初速度开始运动的瞬间，受重力、支持力、滑动摩擦力，滑动摩擦力的方向与方向反向，把重力分解为垂直斜面向下和沿斜面向下的两个力，则根据牛顿第二定律有
解得小木块获得初速度开始运动的瞬间的加速度大小为
此后木块在y方向做加速运动，x方向做减速运动，当x方向速度减为零时，x方向不再运动，最终木块在y方向做匀加速直线运动，其加速度大小为
所以木块不是做类平抛运动，故AB错误，D正确；
C．滑动摩擦力的方向从最初与方向反向，逐渐变为沿y轴负方向，则小木块沿y轴方向的分运动为先做加速度减小的加速直线运动，后做匀加速直线运动，故C错误。
故选D。
3．如图所示，一足够长的气垫导轨静置在水平桌面上，导轨上有一台能自由滑动、并能竖直向上发射小球的装置，发射前后装置的运动状态不变。初始时刻，整个装置以v=4m/s的速度向右运动，小球相对装置竖直向上以的速度发射，取，不计一切阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球做竖直上抛运动B．小球在空中的运动时间为t=0.2s
C．小球在距离发射点1.6m处恰好落回装置中D．小球落回装置时相对地面的速度为v=2m/s
【答案】C
【详解】A．运动分析可知小球在水平方向做的匀速直线运动，竖直方向做初速度为的运动，故A错误；
B．小球在空中的运动时间为
故B错误；
C．小球在距离发射点
处恰好落回装置中，故C正确；
D．小球相对地面落回装置的速度
故D错误。
故选C。
4．从高处以水平速度平抛小球，同时从地面以初速度竖直上抛小球，两球在空中相遇，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
A．从抛出到相遇所用的时间为
B．从抛出到相遇所用的时间为
C．两球抛出时的水平距离为
D．两球抛出时的水平距离为
【答案】C
【详解】AB．小球在水平方向为匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球做竖直上抛运动，则相遇时，两球在竖直方向的位移大小之和等于高度，即
解得
此过程中的时间也等于小球在水平方向的位移与初速度的比值。故AB错误；
CD．两球之间的水平距离为
故C正确，D错误。
故选C。
5．如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2沿相反方向抛出两个小球1和2（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球的初速度之比为（ ）
A．tanαB．csα
C．D．
【答案】C
【详解】两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R，两小球运动的时间分别为t1、t2。则对球1有
Rsinα=v1t1，
对球2有
Rcsα=v2t2，
解得
故选C。
二、多选题
6．一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的位移为
【答案】ABC
【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A项正确；
B．根据牛顿第二定律知，有
解得
故B项正确；
C．由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为
根据公式
解得
故C项正确；
D．小球在沿初速度方向的位移为
则小球从A处到达B处的位移为
故D项错误。
故选ABC。
7．如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（ ）
A．Q、A两点竖直高度差为
B．甲同学抛出的小石块初速度大小为
C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
D．若乙同学仅将小石块抛出的速度方向变为垂直山坡平面向上，则小石块运动到最高点时的速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．设甲抛出的初速度为，Q点相对于P点的竖直高度为H，则
甲落在P点时速度的竖直分量
甲抛出小石块的水平位移
，，
联立可得
，，
则A点相对于P点的高度
Q、A两点竖直高度差为
故A错误，B正确；
C．对于乙，有
，
结合前面式子可得
，
故C正确；
D．小石块运动的最高点，此时速度即为水平方向分速度，大小为
故D错误。
故选BC。
三、解答题
8．如图所示，在h=5m高的平台上，沿着与水平线成θ=45°角的方向以初速度v0斜向上抛出一小球，小球的着地点与抛出点之间的水平距离用l表示，如果要限制在0~5m，则对v0的取值有何限制？（空气阻力不计，g取10m/s2）
【答案】
【详解】由题图可知，竖直方向位移
水平方向位移
将以上两式消去t，得
又因为,,，解得
当l=0时，得
v0=0
当l=5m时，得
v0=5m/s
所以v0的取值范围为
曲线运动类型
平抛运动
斜抛运动
类平抛运动
定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。
将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
在水平方向上不受力，维持初速度不变；在竖直方向上，存在一个恒力（区别于平抛运动的重力）。
图示
运动规律
水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t；
竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2；合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)。
水平方向：速度公式：vx＝v0x＝v0cs θ；位移公式：x＝v0cs θ·t。
竖直方向：速度公式：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt，位移公式：y＝v0sin θ·t－eq \f(1,2)gt2。
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m)。
重要结论
做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
当vy＝0时，v＝v0x＝v0cs θ，物体到达最高点hmax＝eq \f(v\\al(0y2),2g)＝eq \f(v\\al(02)sin2θ,2g)。
做类平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝eq \f(1,2)gt2
合位移：s＝eq \r(x2＋y2)
分解位移，构建位移三角形
飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
水平位移
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
落地速度
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。
速度变化
水平方向做匀速直线运动，竖直方向的速度vy=gt，从抛出点看，每隔∆t时间的速度的矢量关系如下图所示。任意相等时间间隔∆t内的速度改变量均竖直向下，则有：∆v=∆vy=g∆t。
两物体同时从同一高度(或同一点)抛出
两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
两物体同时从不同高度抛出
两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
两物体从同一点先后抛出
两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。