2024年上海卷高考数学真题试卷及答案

这是一份2024年上海卷高考数学真题试卷及答案，共12页。试卷主要包含了已知，_________等内容，欢迎下载使用。

1.设全集，集合，则_________.
2.已知，_________.
3.已知，的解集为_________.
4.已知，若是奇函数，，_________.
5.已知，，，，则k的值为_________.
6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________.
7.已知抛物线上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为_________.
8.某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是_________.
9.已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为_________.
10.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值_________.
11.已知A在O正东方向，B在O的正北方向，O到A、B距离相等，，，则_________.（精确到0.1度）
12.等比数列首项，，记，若对任意正整数n，是闭区间，则q的范围是_________.
13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是( )
A.气候温度高，海水表层温度就高
B.气候温度高，海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
14.下列函数的最小正周期是的是( )
A.B.C.D.
15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，，，使得.已知，则的充分条件是( )
A.B.C.D.
16.定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A.是偶函数B.在处取最大值
C.严格增D.在处取到极小值
17.如图为正四棱锥，O为底面ABCD的中心.
（1）若，，求绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.
18.若（，）.
（1）过，求的解集；
（2）存在x使得、、成等差数列，求a的取值范围.
19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附：，.
20.双曲线，，，为左右顶点，过点的直线l交双曲线于两点P、Q，且点P在第一象限.
（1）若时，求b.
（2）若，为等腰三角形时，求点P的坐标.
（3）过点Q作OQ延长线交于点R，若，求b取值范围.
21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称P是M在的“最近点”.
（1）对于，，求证，对于点，存在点P，使得P是M在的“最近点”；
（2）对于，，，请判断是否存在一个点P，它是M在最近点，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）设存在导函数，且在定义域R上恒正，设点，.若对任意的，都存在点P，满足P是的最近点，也是的最近点，试求的单调性.
参考答案
1．答案：
2．答案：
3．答案：
4．答案：0
解析：由题可知，，则.
5．答案：15
解析：由题可知，，则.
6．答案：10
解析：由题可知，展开式中各项系数的和是，所以，该二项式的通项公式是，令，，得.
7．答案：
解析：设P坐标为，P到准线的距离为9，即，，代入抛物线方程，可得，则P到x轴的距离为.
8．答案：
解析：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，.
9．答案：2
解析：设，
所以，
因为，所以，解得，所以.
10．答案：329
解析：由题可知，集合A中每个元素都互异的，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：
（1）若个位为0，这样的偶数有种；
（2）若个位不为0，这样的偶数有种；
所以集合元素个数最大值为种.
11．答案：
解析：不妨设，，，则
所以在中，①
在中，②
在中，③
①②③联立.
12．答案：
解析：由题不妨设，若x，y均在，则有，若x，y均在，则有，若x，y分別在两个区间，则，又因为，总有ln是闭区间，则恒成立即可，化简得，所以有恒成立.
13．答案：C
解析：成对数据相关分析中，若相关系数为正数，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋垫，故A，B，D选项错误，答案选C.
14．答案：A
解析：对于A，，则，满足条件，故A正确；
对于B，，则，不满足条件，故B错误；
对于C，，为常值函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故C错误；
对于D，，则，不满足条件，故D错误；故答案选A.
15．答案：C
解析：因为，，不全为0，，所以三个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为，所以对于A，三者可以构成一组基，故不能推出，故A错误；对于B，若，均属于，且，共线，所以可以属于，此时三者不共面，故B错误；
对于C，显然，三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，故C正确；
对于D，三者无法构成一组基，故不能推出，故D错误.故答案选C.
16．答案：D
解析：时，，又因为，所以，当且时，恒成立，说明在上，函数单调递增，故A错误；
对于B，且在上，函数单调递增，故函数在上最大值为，若函数在时，，则M的集合不会是，所以在1处取到极大值，在2处不一定取最大值，故B错误；
对于C，在时，若函数严格增，则集合M的取值不会是，而是全体定义域，故C错误.
对于D，因为当时，，所以左侧不是单调递减，若左侧单调递增，或者在某一段单调递增，则M的集合不会是，所以在左侧相邻一段是常函数，又因为在上，函数单调递增，故D正确.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是正四棱锥，
所以底面ABCD是正方形，且底面ABCD，
因为，所以，
因为，所以，
所以绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，
所以.
（2）如图建立空间直角坐标系，因为，
由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设，
则，，
则可得，，，，，，，
故，，
设为平面AEC的法向量，
则，
令，则，，所以，
则，
设直线BD与面AEC所成角为，
因为，，所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由过可得，
则，又，故，
因为在上是严格增函数，，所以解集为.
（2）因为、、成等差数列，所以，
即有解，化简可得，
得且，则在上有解，
又，
故在上，，
即或，又，所以.
19．答案：（1）12500人
（2）
（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
解析：（1）580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比
该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为人；
（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为：
；
（3）
①提出原假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.
②确定显著性水平，
③
④否定原假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为，即，所以.
因为，所以.
因为，所以，所以（负舍）.
（2）因为为等腰三角形，
①若为底，则点P在直线时，与P在第一象限矛盾，故舍去.
②若为底，则，与矛盾，故舍去.
③若MP为底，则，设，，.
则，即，
又因为，得，很，
得，，即.
（3）由，设，，则，
设直线
联立得，
则，，，
又由，得
即，即
化简后可得到
再由韦达定理得，化简：
所以得，又，得.
21．答案：（1）见解析
（2）存在点使直线MP于在点P处的切线垂直
（3）略
解析：（1）证明：，
当且仅当即时取到最小值，
所以对于点存在点使得P是M在的最近点.
（2），
所以当时，取到最小值，此时点，，，
在点P处的切线为，，此时，
所以存在点使直线MP于在点P处的切线垂直.
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
其他
总数
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
0
负
0
正
严格减
极小值
严格增