2024年全国甲卷高考文科数学真题试卷及答案

这是一份2024年全国甲卷高考文科数学真题试卷及答案，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
全国甲卷文科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. 1C. -1D. 2
3. 若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的前项和为，若，（ ）
A. B. C. 1D.
5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
7. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数在区间的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：
①若，则或 ②若，则
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题编号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
11. 在中内角所对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12. 函数在上的最大值是______．
13. 已知，，则______．
14. 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
15. 已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的通项公式.
16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到的距离.
17. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若时，证明：当时，恒成立．
18. 设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
19. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求的值.
20. 实数满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷文科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
一、选择题
1. A
2. D
3. D
4. D
5. B
6. C
7. A
8. B
9. B
10. A
11. C
二、填空题
12. 2
13. 64
14.
三、解答题
（一）必考题：共60分．
15. （1）
因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）
由等比数列求和公式得.
16. （1）
因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）
如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，
又，所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
由等体积法可得，，
，，
设点到的距离为，则，
解得，即点到距离为.
17. （1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
18. （1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
（二）选考题
19. （1）由，将代入，
故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.
（2）对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
法1：直线的斜率为，故倾斜角为，
故直线的参数方程可设为，.
将其代入中得
设两点对应的参数分别为，则，
且，故，
，解得.
法2：联立，得，
，解得，
设,，
则，
解得
20. （1）因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
（2）