2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题1.8 集合专题中的七个陷阱

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专题1.8 集合专题中的七个陷阱TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc23252" 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】  PAGEREF _Toc23252 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23360" 【陷阱2：集合中元素重复】  PAGEREF _Toc23360 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc30161" 【陷阱3：隐含条件】  PAGEREF _Toc30161 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3535" 【陷阱4：代表元的变化】  PAGEREF _Toc3535 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7476" 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】  PAGEREF _Toc7476 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32157" 【陷阱6：子集中的空集】  PAGEREF _Toc32157 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12938" 【陷阱7：新定义】  PAGEREF _Toc12938 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12938" 【押题专练】 9【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来.1．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下列关系中错误的个数是（    ）①∅=0；            ②∅=0；                ③∅=∅④0∈∅；            ⑤0∈{0}；                ⑥∅∅A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据元素与集合、集合与集合的包含关系判断可得出合适的选项.【详解】由元素与集合的关系可知，①④都错，⑤对，由集合与集合的关系可知，②③都错，⑥对.故选：B.2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）设集合A=xx≥−1，则下列四个关系中正确的是（    ）A．1∈A B．1∉A C．1∈A D．1⊆A【答案】A【分析】根据描述法表示集合的含义，由元素集合的关系，即可判断结论.【详解】由题意知，集合A=x|x≥−1表示所有不小于−1的实数组成的集合，所有，1是集合中的元素，故1∈A.故选：A.3．（多选）（2023秋·海南·高一校考期中）设P=x|x≤7，a=48，则下列关系中正确的是（  　）A．a⊆P B．a∈PC．a⊆P D．a∈P【答案】BC【分析】利用元素与集合的关系判断即可得解.【详解】因为48<49，所以48<49=7，所以a∈P，a⊆P.故选：BC.【陷阱2：集合中元素重复】陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.1．（2023·全国·高一假期作业）已知−3∈12,a2+4a,a，则实数a= .【答案】−1【分析】讨论a=−3、a2+4a=−3，结合集合元素的互异性确定参数a的值.【详解】若a=−3，则a2+4a=9−12=−3，不符合集合元素的互异性，排除；若a2+4a=−3，则a2+4a+3=0，可得a=−1或a=−3（舍），所以a=−1，此时12,−3,−1.故答案为：−12．（多选）（2023·全国·高一专题练习）设集合A=−3,x+2,x2−4x，且5∈A，则x的值可以为（    ）A．3 B．−1 C．5 D．−3【答案】BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵5∈A，则有：若x+2=5，则x=3，此时x2−4x=9−12=−3，不符合题意，故舍去；若x2−4x=5，则x=−1或x=5，当x=−1时，A=−3,1,5，符合题意；当x=5时，A=−3,7,5，符合题意；综上所述：x=−1或x=5.故选：BC.3．（多选）（2023秋·云南·高一校联考阶段练习）已知集合A=0,a+b,ab，B=2,2-b,c，若A=B，则a+b+c的值可能为（    ）A．32 B．2 C．232 D．12【答案】ABD【分析】根据A=B，得到2−b=0或c=0，分类讨论得到a的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出a+b+c的值.【详解】因为A=B，所以2−b=0或c=0.①当b=2时，A=0,a+2,a2，B=2,0,c，所以a+2=2或a2=2，得a=0或4.当a=0时，A=0,2不合题设，舍去.当a=4时，A=0,6,2，c=6，此时a+b+c=12.②当c=0时，A=0,a+b,ab，B=2,2−b,0，所以a+b=2ab=2−b或a+b=2−bab=2，解得：a=0b=2或a=1b=1或a=1b=12当a=0时，A=0,2不合题设，舍去.当a=1b=1时，A=B=0,2,1，此时a+b+c=2.当a=1b=12时，A=B=0,32,2，此时a+b+c=32.故选：ABD【陷阱3：隐含条件】陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知A=x,yxy=12，B=x,yx,y∈N,y01+4=51×4=m，解得m=4，所以m的值等于4.故选：A3．（2023秋·高一课时练习）集合A={x|−2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}，(1)若B⊆A，求实数m的取值范围.(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【答案】(1)m≤3(2)2≤m≤4【分析】（1）分类讨论B是否为空集，当B≠∅时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；（2）先求A∩B=∅时，实数m的取值范围，再求其补集即可得解.【详解】（1）①当B=∅时，B⊆A，此时m+1>2m−1,解得m<2，②当B≠∅时，为使B⊆A，m需满足m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得2≤m≤3，综上所述：实数m的取值范围为m≤3.（2）先求A∩B=∅时，实数m的取值范围，再求其补集，当B=∅时，由（1）知m<2，当B≠∅时，为使A∩B=∅，m需满足m+1≤2m−1m+1>5或m+1≤2m−12m−1<−2，解得m>4，综上知，当m<2或m>4时，A∩B=∅，所以若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是2≤m≤4.【陷阱4：代表元的变化】陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集.1．（多选）（2023秋·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）已知集合A=y|y=x2+2，集合B=(x,y)|y=x2+2，下列关系正确的是（    ）A．(1,3)∈B B．(0,0)∉B C．0∈A D．A=B【答案】AB【分析】根据集合A,B中的元素分别为值域中的实数以及抛物线上的点，结合元素与集合之间的关系即可求解.【详解】∵集合A={y|y⩾2}=[2,+∞)，∵集合B是由抛物线y=x2+2上的点组成的集合，∴A正确，B正确，C错误，D错误，故选：AB．2．（2023秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ）A．M={(3,2)}，N={(2,3)} B．M=(x,y)x+y=1，N=yx+y=1C．M={1,2}，N={(1,2)} D．M=y|y=x2+3，N=x|y=x−3【答案】D【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.【详解】对于A，两个集合都为点集，(3,2)与(2,3)是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；对于D，M=y|y=x2+3=[3,+∞)，N=x|y=x−3=[3,+∞)，故M、N为同一集合，故D正确.故选：D.3．（2023·浙江·高三专题练习）下列说法中正确的是（    ）A．班上爱好足球的同学，可以组成集合B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}C．集合{1，2，3，4}是有限集D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合【答案】C【解析】根据构成集合中对象的确定性判断A，由集合中元素的互异性判断B，根据集合有限集的定义判断C，分析集合中元素判断D.【详解】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x（x﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C正确；集合{x2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D不正确．故选：C．【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用.1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=xx2−4=0，B=xax−2=0，若A∩B=B，则实数a的所有可能取值构成的集合为（    ）A．−1 B．1 C．−1,1 D．−1,0,1【答案】D【分析】由题意可知B⊆A，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可．【详解】集合A=xx2−4=0=−2,2，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当B=∅时，a=0，符合题意，②当B≠∅时，a≠0，B=xax−2=0=xx=2a，则有2a=−2或2a=2，解得：a=−1或a=1，综上所述，实数a的所有可能的取值组成的集合为−1,0,1故选：D2．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若集合A=x∣ax2−3x+1=0，若A的真子集个数是3个，则a的范围是 .【答案】{a|a<94，且a≠0}【分析】由题意可得方程ax2−3x+1=0有两个不相等的根，所以a≠0Δ>0，从而可求出a的范围【详解】因为集合A的真子集个数是3个，所以集合A中有两个元素，所以方程ax2−3x+1=0有两个不相等的根，所以a≠0Δ=9−4a>0，解得a<94，且a≠0，即a的范围为{a|a<94，且a≠0}，故答案为：{a|a<94，且a≠0}.【陷阱6：子集中的空集】陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集.1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=x2a+1≤x≤3a−5，B=xx<0或x>19.若A⊆A∩B，则实数a的取值范围是 ．【答案】aa<6或a>9【分析】根据题意，若A⊆A∩B，则A⊆B，分情况讨论，进而求解，得出答案．【详解】已知集合A=x2a+1≤x≤3a−5，B=xx<0或x>19.若A⊆A∩B，则A⊆B，当2a+1>3a−5，即a<6时，A=∅满足条件；当2a+1≤3a−5时，即当a≥6时，若A⊆B，则3a−5<0或2a+1>19，解得a<53（舍）或a>9，综上，实数a的取值范围是aa<6或a>9.故答案为：aa<6或a>9.2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=x|x2+x−6=0,B=x|mx+1=0，若A∩B=B，求实数m的取值范围．【答案】m=13或m=−12或m=0【分析】由A∩B=B得B⊆−3,2，分类讨论B的情况即可.【详解】由x2+x−6=0，得A=−3,2∵A∩B=B ∴B⊆A，且B中至多一个元素，∴B=−3或B=2或B=∅（1）当B=−3时，由−3m+1=0，得m=13；（2）当B=2时，由2m+1=0得m=−12；（3）当B=∅时，由mx+1=0无解，得m=0.∴m=13或m=−12或m=0.【陷阱7：新定义】陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答.1．（2023秋·高一课时练习）已知集合A={0,2,3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b,a∈A,b∈A}，则A※A= .【答案】{0,2,3,4,5,6}【分析】由新定义运算求解，【详解】由题意知，集合A={0,2,3}则a与b可能的取值为0，2，3，∴a+b的值可能为0，2，3，4，5，6，∴A※A={0,2,3,4,5,6}故答案为：{0,2,3,4,5,6}2．（2023秋·高一课时练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k=5n+k|n∈Z,k=0,1,2,3,4．给出如下三个结论：①2022∈2；②−2∈2；③Z=0∪1∪2∪3∪4．其中，正确结论的序号是 ．【答案】①③【分析】根据题目所给的定义分别验证各个结论即可.【详解】对于①：因为2022÷5=404⋯⋯2，所以2022∈2故①正确；对于②：因为−2=5×−1+3，所以−2∉2，故②错误；对于③：因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z=0∪1∪2∪3∪4，故③正确．故答案为：①③.3．（2023秋·高一课时练习）约定□与⊕是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b，有a□b=ab，a⊕b=ba2+b2+1．设−21；（2）k=0或1．【分析】（1）集合A是空集，转化为关于x的方程kx2−8x+16=0无解，列出不等式组k≠0,Δ=64−64k<0,，求解即可；（2）分k=0，k≠0两种情况讨论，当k≠0时，即Δ=64−64k=0，即得解【详解】（1）若集合A是空集，则关于x的方程kx2−8x+16=0无解，则有k≠0,Δ=64−64k<0,即k>1．（2）当k=0时，原方程变为−8x+16=0，所以x=2，此时集合A中仅有一个元素2．当k≠0时，要使一元二次方程kx2−8x+16=0有两个相等的实根，需要Δ=64−64k=0，即k=1．此时方程的解为x1=x2=4，集合A中仅有一个元素4．综上所述，k=0或1．10．（2023·高一课时练习）设集合A={x|−1≤x+1≤6}，B={x|m−11时，其非空真子集的个数为2n−2，即可得到答案；对于(2)，由于空集是任何非空集合的子集，故对于B集合是否为空集需分情况讨论：①集合B为空集，即m−1≥2m+1； ②集合B为非空集合，即m−1<2m+1.【详解】由题意得A={x|−2≤x≤5}．（1）∵x∈Z，∴A={−2,−1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集的个数为28−2=254．（2）①当m−1≥2m+1，即m≤−2时，B=∅⊆A；②当m−1<2m+1，即m>−2时，B={x|m−16}；(2){a|2≤a<6}【分析】（1）解不等式求得集合B，由此求得A∩B，进而求得∁R(A∩B).（2）根据A是C的子集列不等式组，由此求得a的取值范围.【详解】（1）3x−7≥8−2x,5x≥15,x≥3，所以B=x|x≥3，所以A∩B=x|3≤x≤6,∁R(A∩B)={x|x<3或x>6}.（2）由于C=x|a−4