专题二十 导数及其应用解答题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编

这是一份专题二十 导数及其应用解答题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编，共26页。
（1）当时，曲线的切线方程为，求的值；
（2）求函数的单调区间：
（3）若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围.
【2022南开二模】已知函数（，是自然对数的底数，）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值．
【2022河西二模】已知函数，，，．
（1）若直线与的图象相切，求实数的值；
（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数．
（3）设，比较与的大小，并说明理由．
【2022河北二模】已知函数，.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数，讨论的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），求证：.
【2022河东二模】已知函数（且）．
（1），求函数在处的切线方程．
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，且，证明：．
【2020红桥二模】已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
【2022滨海新区二模】已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）是的极值点，求证：.
【2022部分区二模】设函数为的导函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论零点的个数；
（3）若有两个极值点且，证明：.
【2022耀华中学二模】已知为的导函数.
（1）求在的切线方程；
（2）讨论在定义域内的极值；
（3）若在内单调递减，求实数的取值范围.
【2022天津一中五月考】已知函数（自然对数底数）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，
（ⅰ）证明：存在唯一的极值点；
（ⅱ）证明：.
2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编
专题二十 导数及其应用（答案及解析）
【2022和平二模】设为实数，且，已知函数.
（1）当时，曲线的切线方程为，求的值；
（2）求函数的单调区间：
（3）若对任意，函数）有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，点斜式写出切线方程，与已知切线方程对照即可求解；
（2）求出函数导数，分和讨论，即可得出函数的单调性区间；
（3）由（2）知函数有两个零点可转化为极小值，化简换元后可得对任意都成立，即可得出.
【小问1详解】
设切点坐标，
切线方程为，即
又曲线的切线方程为
，.
【小问2详解】
，
令，即，又，，所以不等式化为，
当时，不等式恒成立，在R上单调递增，
单调递增区间为，无单调递减区间.
当时，解集为，
时，单调递增；
时，单调递减.
综上，时，的单调递增区间为，
时，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
【小问3详解】
函数有两个不同的零点，，
即，，
即，设，
令当时，在单调递减；
当时，在上单调递增.
又当时，且，
当且仅当时，，即对任意成立，，.
【点睛】关键点点睛：函数有两个不同零点问题，可在已知函数单调性的基础上转化为极小值为负即可，据此得出不等式，令换元后构造函数是解题的关键，利用导数分析函数的单调性、极值、零点，得出满足不等式的条件为即可求解.
【2022南开二模】已知函数（，是自然对数的底数，）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，且，求的最大值．
【答案】（1）， ；
（2）
（3）
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到，与的关系表，从而得到函数的极值点，计算可得；
（2）令，求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；
（3）求出的导函数，依题意在上有两个不等实根，令，则在上有两个不等实根、，求出函数的导函数，结合零点存在性定理得到且，即可得到，再由导数说明函数的单调性，即可求出的最大值；
【小问1详解】
解：当时，
令，解得，，
所以，与的关系如下：
所以当时，函数取得极大值，即，
当时，函数取得极小值，即；
【小问2详解】
解：因为，
所以
令，
则
依题意在上恒成立，
令，则，解得
【小问3详解】
解：因为，即，
则，
因为在上有两个极值点，
即在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根、，
因为，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
则，所以，解得，
所以，
所以在和上各有一个实根，
所以函数在上有两个极值点时，并且，
因为，
所以，
令，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，即
则
因为且，所以满足题意的整数的最大值为；
【点睛】导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
【2022河西二模】已知函数，，，．
（1）若直线与的图象相切，求实数的值；
（2）设，讨论曲线与曲线公共点的个数．
（3）设，比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
（3）；理由见解析
【分析】（1）由题意可知，直线是函数在处的切线方程，由此我们可以根据函数值相等和直线的斜率等于在该点取得得到函数值列出方程组，求解即可；
（2）题中讨论的零点个数，我们可以进行参变分离，转化成两个函数图像的交点个数，通过求解函数的值域，即可进行判断求解；
（3）题中要比较两个式子，我们可以将式子进行通分、化简合并，转化成部分有相同变量形式的式子，然后对该部分狮子构造函数判断其正负，即可完成大小的判断.
【小问1详解】
（1）设直线与相切与点，，
则有
解得，．
【小问2详解】
当， 时，曲线与曲线的公共点个数即方程
根的个数．
由，
令，
则当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增．
故（2）是的极小值同时也为最小值．
所以对曲线与曲线公共点的个数，
讨论如下：
当时，有0个公共点；
当，有1个公共点；
当有2个公共点．
【小问3详解】
设
令，．
则的导函数
，
所以在上单调递增，且．
因此，，故在上单调递增，
而，所以在上，．
因为当时，且，
故，
所以当时，.
【点睛】在求解函数的交点个数时，我们可以利用参编分离将函数分成两部分，例如本题，我们转化成与两个函数图像的交点问题，这样，我们将零点问题，转化成无参数的函数求解值域的问题，这样的话，难度马上就下来了.
【2022河北二模】已知函数，.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数，讨论的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），求证：.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）代入的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求出函数的最大值即可；
（2）首先对函数进行求导，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根，进而可得判别式、根与系数的关系，所以可以得两极值点，的关系，及极值点的取值范围；然后写出关于极值点的表达式，构造函数，根据函数的单调性证明结论成立即可.
【详解】（1）当时，，，
当时，，∴单调递增，
当时，，∴单调递减，
所以的最大值为；
（2）由已知得，，
.
①当时，由得
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递；
②当时，，所以当时，单调递增；
③当时，由，得或，
所以当与时，，单调递增，
当时，，单调递减；
④当时，由，得或，
因而当与时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在与上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在与上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：，则定义域为，
，
若有两个极值点，（），
则方程的判别式，且，，，
又∵，∴，即，
，
设，其中，
由得，
由于，即，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值为，
从而成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
（4）考查数形结合思想的应用.
【2022河东二模】已知函数（且）．
（1），求函数在处的切线方程．
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个零点，且，证明：．
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
（2）求出导函数，对a分类讨论： a0分别讨论单调性；
（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.
【小问1详解】
当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
的定义域为(0，+∞)， .
当a0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
【小问3详解】
当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)利用导数判断单调性，证明不等式．
【2020红桥二模】已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
【答案】（Ⅰ）由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是
（Ⅱ）实数的取值范围是
（Ⅲ）
【详解】解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
【2022滨海新区二模】已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）是的极值点，求证：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）对求导，求出，，由导数的几何意义即可求出答案.
（2）（i）分类讨论，求出的单调性，结合零点存在性定理，即可求出a的取值范围；
（ii）设，，令，由转化为，由（i）可知，是的极值点，故，即，即，由，，只需证，令，证.
【小问1详解】
的定义域是，
，
可得，又
故曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（i）由（1）可知
①时，，在单调递增，此时至多有一个零点；
②时，，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
要使有两个零点，需，解得，即，
而，
，
当时，令，
则，故，，
，
由零点存在性定理可知，在与上分别存在唯一零点．
综上.
（ii）因为，，令，
由，
即，
由（i）可知，
是的极值点
故，
即，
由，，只需证，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，；
.
【2022部分区二模】设函数为的导函数.
（1）求的单调区间；
（2）讨论零点的个数；
（3）若有两个极值点且，证明：.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数；
（3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证；
【小问1详解】
解：因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
【小问2详解】
解：由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
【小问3详解】
证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
【2022耀华中学二模】已知为的导函数.
（1）求在的切线方程；
（2）讨论在定义域内的极值；
（3）若在内单调递减，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【分析】（1）求出函数的导数，从而可求切线方程；
（2）设，其中，求出，讨论其符号后可求导数的极值.
（3）在内单调递减即为，利用导数可求后者，从而可求参数的取值范围.
【小问1详解】
，，而，
故切线方程为：即.
【小问2详解】
设，其中，
则，
当时，，故在上为减函数，故无极值；
当时，
若，则，故在上增函数；
若，则，故在上为减函数；
故有极大值其极大值为，无极小值.
【小问3详解】
因为在内单调递减，则于恒成立，
故在恒成立即.
令，则.
令得，令得，
故在单调递减，单调递增.
所以，故.
所以.
【2022天津一中五月考】已知函数（自然对数底数）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，
（ⅰ）证明：存在唯一的极值点；
（ⅱ）证明：.
【答案】（1），单调递增，，单调递减；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由导数法讨论单调性即可；
（2）（ⅰ）结合零点存在定理证明存在唯一零点即可；
（ⅱ）结合（ⅰ）中证明的唯一极大值点及其范围，则，先用导数法求的最大值，再进一步用导数法证关于的函数的最大值小于0即可
【小问1详解】
，令，当，，为减函数且，
故当，单调递增；当，单调递减
【小问2详解】
（ⅰ）当，由（1）得，为减函数，且，， 为连续函数，故存在唯一零点，即存在唯一的极值点，且为极大值点，得证；
（ⅱ）由（ⅰ）得存在唯一的极值点，且为极大值点，即，要证，需证，即，令，则，故单调递减，，令，则，由为减函数且，故当，，故，即，得证
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
单调递减
极小值
单调递增