专题六 空间几何体选择题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编

这是一份专题六 空间几何体选择题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编，共10页。
A. B. C. 3D.
【2022南开二模】已知矩形的顶点都在球心为的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【2022河西二模】如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【2022河东二模】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
【2020红桥二模】两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.
【2022滨海新区二模】已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（ ）
A 6B. 18C. 12D. 16
【2022部分区二模】已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【2022耀华中学二模】已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（ ）
A. B.
C. D.
【2022天津一中五月考】若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
专题六 空间几何体（答案及解析）
【2022和平二模】已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
.
A. B. C. 3D.
【答案】A
【分析】先利用四面体内接于圆锥的内切球，由圆锥的轴截面进行分析，求出正四面体的外接球的半径，再利用正四面体可以从正方体中截得，确定正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，列式求解即可．
【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，圆锥的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，
解得，故正四面体的外接球的半径.
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，解得,
故选：A
【2022南开二模】已知矩形的顶点都在球心为的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．
【详解】解：由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，
，，
，
由矩形的面积，
则到平面的距离为满足：，
解得，
故球的半径，
故球的表面积为：，
故选：A．
【2022河西二模】如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，作出轴截面图，进而根据轴截面的面积得正三角形边长为，再结合题意得圆柱的底面半径为，高为，进而计算体积即可.
【详解】解：如图，作出轴截面，则根据题意，为正三角形，且面积为，
所以，设正三角形的边长为，则，
所以，，解得，
因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，，
所以，，即圆柱的底面半径为，高为，
所以，圆柱的体积为
故选：D
【2022河东二模】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.
【详解】依题意，该圆形攒尖的底面圆半径，高，则()，
所以该屋顶的体积约为.
故选：B
【2020红桥二模】两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.
【答案】
【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.
【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有，
设两个圆锥的高分别为，于是有且，
所以有，设圆锥的底面半径为，
所以有，
因此这两个圆锥的体积之和为，
故答案为：
【2022滨海新区二模】已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（ ）
A 6B. 18C. 12D. 16
【答案】B
【分析】根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.
【详解】设球的半径为，则，则，
设三棱柱的棱长为，
连接的外心，则的中点即为球心，
且,
则，则．
．
故选：B.
【2022部分区二模】已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】计算出圆锥的母线长，取圆锥的轴截面，计算出轴截面三角形的内切圆半径，即为该圆锥内切球的半径，利用球体体积公式即可得解.
【详解】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示：
设该圆锥的内切球的半径为，则，
所以，，
因此，球的体积为.
故选：C.
【2022耀华中学二模】已知某圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥有一内接圆柱，要使圆柱的体积最大，则圆柱的底面半径应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据已知条件列出关于圆柱体积与圆柱底面圆半径之间的表达式，利用导数判断函数的单调调性，进而求其最值即可.
【详解】下图为此几何体的轴截面，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，
由已知条件得,
∵△∽△, ∴, 即，其中，
∴圆柱的体积为，
又∵，
∴函数在上为单调递增，在上单调递减，
∴函数在时，圆柱的体积取得最大值.
故选：.
【2022天津一中五月考】若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．
【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．
所以外接球的表面积为：．
故选：C
【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．