专题一0九 数列解答题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编

这是一份专题一0九 数列解答题-2022届天津市各区高三二模数学试题分类汇编，共23页。
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足；求
（3），数列的前项和为，求证：.
【2022南开二模】已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求的前项和的最大值；
（3）设求证：．
【2022河西二模】已知数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
【2022河北二模】已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.
【2022河东二模】已知等比数列前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
（3）设，求的前2n项和．
【2020红桥二模】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列前项和.记，求；
（Ⅲ）求.
【2022滨海新区二模】已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.
（1）求的通项公式；
（2）已知，
（i）求数列前n项和Tn；
（ii）证明：当时，.
【2022部分区二模】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（3）求证：对任意的，.
【2022耀华中学二模】
设数列的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列是首项为１，公比为的等比数列，记，，．证明：．
【2022天津一中五月考】已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2022届天津市各区高三年级二模数学分类汇编
专题十九 数列（答案及解析）
【2022和平二模】已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足；求
（3），数列的前项和为，求证：.
【答案】（1），；
（2）；
（3）证明见解析.
【分析】（1）由与的递推关系得出为等比数列求解，由为等差数列求通项公式；
（2）分是奇数、偶数，分组求和即可得解；
（3）利用放缩法及裂项相消求和证明即可
【小问1详解】
，时，
时，，
，即，
是以2为首项，2为公比的等比数列，，
由题可知，是首项为2，公差为1的等差数列，
，.
【小问2详解】
，
(i) n为偶数时，
，
(ii) n为奇数时，
，
【小问3详解】
，
，
(i)右式证明：，
(ii)左式证明：
综上得证.
【2022南开二模】已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求的前项和的最大值；
（3）设求证：．
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
根据所给条件结合等差数列通项公式、求和公式，以及等比数列通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用等比数列求出公式求出前项和，再分奇偶两种情况求出的最大值，即可得解；
（2）利用错位相减法求和即可得证；
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，，即，解得，所以，
由，所以，由，即，解得或（舍去）
所以；
【小问2详解】
解：由（1）可知，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
令的前项和为，则，
当为奇数时，
当为偶数时，
综上可得的前项和的最大值为；
【小问3详解】
证明：因为，
所以
①，
②，
由①②可得
所以，得证；
【2022河西二模】已知数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解析；.
（2）
（3）有最小值，最大值.
【分析】（1）等式两边同除以得即可证明结论，再根据等差数列的定义求通项公式；
（2）结合（1），根据错位相减法求解即可；
（3）由题知，进而裂项求和，并分的奇偶性讨论单调性求解最值即可.
【小问1详解】
解：因为，
所以，等式两边同除以得，
又因为，
所以，数列是等差数列，公差为，首项为.
所以，，即.
【小问2详解】
解：设，
则，
所以，两式作差得：，
整理得：，即.
所以，
【小问3详解】
解：由（1）知
，
所以，，
所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值；
当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值；
综上所述，有最小值，最大值.
【2022河北二模】已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）或.
【分析】（1）运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得，再由等比数列的定义、通项公式可得结果；（2）对等式两边除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（3）求得，由数列的错位相减法求和，可得，化简,即，对任意的成立，运用数列的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．
【详解】(1)，可得，即；
时,,又，
相减可得,即，
则；
(2)证明：，
可得，
可得是首项和公差均为1的等差数列，
可得,即；
(3) ，
前n项和为，
，
相减可得
，
可得，
,即为，
即,对任意的成立，
由，
可得为递减数列，即n=1时取得最大值1−2=−1，
可得，即或.
【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
【2022河东二模】已知等比数列前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
（3）设，求的前2n项和．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）由及可得q的值，由可得的值，可得数列的通项公式；
（2）由可得，可得=，利用错位相减法即得；
（3）可得，利用裂项相消法即得.
【小问1详解】
由题意得：，可得，
∴，
由，可得，
由，可得，
∴，
可得；
【小问2详解】
由，可得，
由，可得，
∴，
可得的通项公式：=，
可得：，
，
∴
，
∴；
【小问3详解】
由，可得
，
可得：
.
【2020红桥二模】设是等差数列，是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列前项和.记，求；
（Ⅲ）求.
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求解.
（Ⅱ）利用分组并项求和代入即可求解.
（Ⅲ）利用错位相减法即可求解.
【详解】（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为（），
由，，可得，解得或（舍去），
所以，
由，，
则，解得，
所以，解得，
所以，解得，
且，解得，
所以.
综上所述，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，
，
故.
（Ⅲ）设，
，①
，②
①②可得，
即，
所以，
故.
【2022滨海新区二模】已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.
（1）求的通项公式；
（2）已知，
（i）求数列前n项和Tn；
（ii）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）（i）Tn；（ii）证明见解析
【分析】（1）由已知得出数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.分别求出通项公式，合并可得的通项公式；
（2）（i）由奇数项和偶数项分别求和可得，从而得出，由裂项相消法求得和；
（ii）求出，由不等式的性质放缩为（时等号成立），时，对这个不等式求和，对新不等式两侧一个用错位相减法求得和，另一侧利用此和得出，即可证得不等式成立．
【小问1详解】
由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
【小问2详解】
（i），
，
；
（ii），
，则；
（时等号成立）
当时，
设，
；
综上，当时，
【2022部分区二模】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（3）求证：对任意的，.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
（3）见解析
【分析】（1）根据题意求出等差数列首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）根据等比数列的定义结合递推公式证明为定值，即可得证，再根据等比数列的通项求出数列的通项，从而可得出答案；
（3）由（2）得，再根据等比数列的前项和的公式即可得证.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
【小问2详解】
证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
【小问3详解】
证明：由（2）得，
故
，
所以.
【2022耀华中学二模】
设数列的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列是首项为１，公比为的等比数列，记，，．证明：．
【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析.
【详解】（本小题满分14分）
解：（新编题）
（1）∵，，∴，
∴．
∵成等差数列，∴，
即，∴．
解得，或（舍去）．
（2）∵，，
∴，
∴，
又，∴数列的通项公式是．
（3）证明：∵数列是首项为１，公比为的等比数列，∴．
∵，，
∴， ①
， ②
①式两边乘以得 ③
由②③得

将代入上式，得．
另证: 先用错位相减法求,再验证.
∵数列是首项为１，公比为的等比数列，∴．
又，所以
①
②
将①乘以2得: ③
①－③得: ,
整理得:
将②乘以得: ④
②－④整理得:
∴
【2022天津一中五月考】已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，.
【分析】（1）由等比中项求出，再由等差中项得到方程，利用等比数列的通项公式相关计算求出公比，得到通项公式；（2）利用裂项相消求和和分组求和得到答案.
【小问1详解】
是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为
【小问2详解】
则
当n为偶数时，；当n为奇数时，.