九江市 2023—2024 学年度高二下学期期末考试数学试卷及解析

这是一份九江市 2023—2024 学年度高二下学期期末考试数学试卷及解析，文件包含高二年级下数学期末试卷解析版docx、高二年级下数学期末试卷2023-2024命题人艾文宇胡克勇付磊波pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

注意事项:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试题卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∈N+∣x2-3x-4≤0,B={-2,-1,0,1,2} ,则 A∩B= (C)
A. {-1,0,1,2} B. {1} C. {1,2} D. {0,1,2}
解: ∵A={1,2,3,4},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={1,2} ,故选 C.
2. a2>b2 是 lga>lgb 的 (B)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解: ∵a2>b2⇒lga>lgb,lga>lgb⇒a>b>0⇒a2>b2,∴a2>b2 是 lga>lgb 的必要不充分条件, 故选 B.
3. 下列函数是定义在 R 上的增函数的是 (A)
A. fx=3x B. fx=2-x C. fx=x2 D. fx=lnx
解: 对于 A,fx=3x 为 R 上的增函数; 对于 B,fx=2-x 为 R 上的减函数;
对于 C,fx=x2 在 -∞,0 为减函数; 对于 D,fx=lnx 的定义域为 0,+∞ . 故选 A .
4. 等差数列 an 前 n 项和为 Sn,a7=4 ,则 S13= (C)
A. 44 B. 48 C. 52 D. 56
解: S13=13a1+a132=13a7=4×13=52 ,故选 C.
5. 已知 a>0,b>0 ,且 a+b=ab ,则 ab+1+ba+1 的最小值是 (B)
A. 9 B. 12 C. 16 D. 20
解: 由 a+b=ab ,得 1a+1b=1,∴ab+1+ba+1=2ab+a+b=3a+b=3a+b1a+1b
=32+ab+ba≥32+2ab⋅ba=12 ,故选 B.
6. 已知曲线 y=xex+alnx 在 x=1 处的切线方程为 y=ex+b ,则 (D)
A. a=e,b=0 B. a=e,b=1 C. a=-e,b=1 D. a=-e,b=0
解: y'=x+1ex+ax,k=y'x=1=2e+a=e,∴a=-e ,将 1,e 代入 y=ex+b ,得 b=0 ,故选 D. 7. 牛顿冷却定律 (Newtn’s law f cling) 是牛顿在 1701 年用实验确定的: 物体在空气中冷却, 如果物体的初始温度为 θ1​∘C ,环境温度为 θ0​∘C ,则 t 分钟后物体的温度 θ (单位: ​∘C ) 满足: θ=θ0+θ1-θ0e-kt .
已知环境温度为 20∘C ,一块面包从温度为 120∘C 的烤箱里拿出,经过 10 分钟温度降为 70∘C ,那么大约再经过多长时间,温度降为 30∘C ? (参考数据: ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6 ) (C)
A. 33 分钟 B. 28 分钟 C. 23 分钟 D. 18 分钟
解: 依题意,得 70-20=120-20e-10k,e-10k=12,k=110ln2 ,又 30-20=120-20e-kt ,
得 e-kt=110,t=1kln10=10ln10ln2=10ln2+ln5ln2≈230.7≈33 ,故大约再经过 33-10=23 分钟. 故选 C. 8. 函数 fx=x+lnx+1xex 的最大值为 (A)
A. 1 B. 2 C. 1e D. 2e
解法一: fx=x+lnx+1xex ,则 f'x=-x+1x+lnxx2ex . 令 hx=x+lnx ,则 hx 在 0,+∞ 上单调递增,且 h1e=1e-1<0,h1=1>0 ,故存在 x0∈1e,1 ,使得 hx0=x0+lnx0=0,ex0+lnx0=1 , 即 x0ex0=1 ,当 x∈0,x0 时, hx<0,f'x>0,fx 单调递增,当 x∈x0,+∞ 时, hx>0 , f'x<0,fx 单调递减, ∴fx≤fx0=x0+lnx0+1x0ex0=1 ,故选 A.
解法二: fx=lnxex+1xex ,令 t=xex>0 ,则 gt=lnt+1tt>0.∵g't=-lntt2,∴0g't>0,gt 在 0,1 上单调递增, t>1 时, g't<0,gt 在 1,+∞ 上单调递减, gt≤g1=1 , 即 fx≤1 ,故选 A.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得 3 分, 有选错的得 0 分. 9. 若 a>b+1 ,则 (BD)
A. a2>b2 B. 2a>2b C. a>b D. lna-b>0
解: 取 a=1,b=-2 ,则 a2b+1 ,得 a>b,∴2a>2b, B 正确;
由 a>b+1 ,得 a-b>1,∴lna-b>ln1=0 , D 正确.
故选 BD.
10. 设函数 fx=lnx-1x+1 ,则 fx (ABD)
A. 定义域为 -∞,-1∪1,+∞ B. 图象关于原点对称
C. 在 1,+∞ 上单调递减 D. 不存在零点
解: 由 x-1x+1>0 ,得 x<-1 或 x>1 ,故 fx 的定义域是 -∞,-1∪1,+∞,A 正确;
∵f-x=ln-x-1-x+1=lnx+1x-1=-lnx-1x+1=-fx,∴fx 为奇函数, B 正确;
令 gx=x-1x+1 ,则 gx=1-2x+1 在 1,+∞ 上单调递增, ∴fx 在 1,+∞ 上单调递增, C 错误;
令 fx=0 ,得 x-1x+1=1,x 无实数解, ∴fx 不存在零点, D 正确.
故选 ABD.
11. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1=1,an+1=12an+1,n为奇数,则 (ACD)an-2,n为偶数.
A. a2n 为等比数列 B. a2024-a2023>2
C. S2024<-2015 D. S2024-S2025<2
解: 依题意,得 a2=12a1+1=32,a2n+1=a2n+1+1=12a2n+1+1=12a2n-2+1=12a2n ,
故 a2n 为首项为 a2=32 ,公比为 12 的等比数列, A 正确;
∴a2n=3212n-1=312n . 当 n≥2 时, a2n-1=a2n-2-2=312n-1-2 ,
当 n=1 时,也满足 a2n-1=312n-1-2,∴a2n-a2n-1=312n-312n-1+2=2-32n<2, B 错误;
∵S2n=a1+a3+⋯+a2n-1+a2+a4+⋯+a2n=31-12n1-12-2n+321-12n1-12=91-12n-2n
∴S2024=91-121012-2024=-2015-921012<-2015 , C 正确;
又 S2n+1-S2n=a2n+1=312n-2>-2,∴S2n-S2n+1<2,D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 其中第 14 题第 1 问 2 分, 第 2 问 3 分.
12. 设 an 是等比数列,且 a1+a2+a3=-3,a2+a3+a4=6 ,则 a6=32 .
解: 设 an 的公比为 q ,则 q=a2+a3+a4a1+a2+a3=6-3=-2 ,由 a1+a2+a3=-3 ,得 a11+-2+-22=-3 , 解得 a1=-1,∴a6=--25=32 .
13. 高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有 “数学王子” 的称号, 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的 “高斯函数” 为: 设 x∈R ,用 x 表示不超过 x 的最大整数,则 y=x 称为高斯函数,如: 1.2=1,-1.2=-2 . 若函数 fx=xx+ax>0 有且仅有 2 个零点,
则实数 a 的取值范围是 -34,-23 .
解: 由 fx=0 ,得 -a=xx ,令 y=-a ,
y=xxx>0 ,则函数 y=xxx>0
的部分图象如图所示, 由图象结合题意得
23<-a≤34 ,即 -34≤a<-23 ,即 a 的取值范围是 -34,-23 .
14. 设函数 fx=ax+bxa,b>0且a,b≠1 . 若 fx 为偶函数,则 ab=1 ; 若 fx 在 0,+∞ 上单调递增,则 ab 的取值范围是 [1,+∞) .
解: ∵fx 为偶函数, ∴f1=f-1 ,即 a+b=1a+1b,∴ab=1 . 此时 fx=ax+1ax 为偶函数.
当 a,b>1 时, fx 在 0,+∞ 上单调递增,符合题意,此时 ab>1 .
当 0当 01 或 01 时, f'x=axlna+bxlnb ,则 f'x≥0 在 0,+∞ 上恒成立,
不妨设 01 ,则 lna+baxlnb≥0 在 0,+∞ 上恒成立, ∵y=lna+baxlnb 在 0,+∞ 上
单调递增, ∴lna+lnb≥0 ,即 ab≥1 .
综上, ab 的取值范围是 [1,+∞) .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 13 分)
已知函数 fx=m2-4m+5xm 为幂函数.
(1) 求 fx 的解析式;
(2) 若 gx=lnfx+ax+2 在 -1,1 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
解: (1) 由 fx 为幂函数,得 m2-4m+5=1⋯⋯⋯2 分
解得 m=2⋯⋯⋯4 分
故 fx=x2⋯⋯⋯5 分
(2) gx=lnx2+ax+2 ,由复合函数的单调性,得 -a2≤-1,-12+a×-1+2>0. . .9 分
解得 2≤a<3⋯⋯⋯11 分
故实数 a 的取值范围为 [2,3)⋯⋯ -13 分
16. (本题满分 15 分)
已知函数 fx 的定义域为 R ,且对任意 x,y∈R ,都有 fx+y=fx+fy .
(1) 判断 fx 的奇偶性,并说明理由;
(2) 若 f1=1 ,求 k=1n2kfk 的值.
解: (1) 令 x=y=0 ,得 f0=f0+f0，∴f0=0⋯⋯⋯2 ,
令 y=-x ,得 f0=fx+f-x⋯⋯⋅4 分
∵f0=0,∴f-x=-fx ,即 fx 是奇函数…… ⋯⋯5 分
(2) 令 x=n,y=1 ,得 fn+1-fn=f1=1⋯⋯⋯7 分
令 an=fn ,则 an+1-an=1,a1=1,∴an 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. . .9 分 ∴an=1+n-1×1=n . 0 分
k=1n2kfk 即为数列 n⋅2n 的前 n 项和,设为 Tn⋯⋯⋯11 分
则 Tn=1×21+2×22+⋯+n-1×2n-1+n×2n,2Tn=1×22+2×23+⋯+n-1×2n+n×2n+1 ,
两式相减,得 -Tn=21+22+⋯+2n-n×2n+1=21-2n1-2-n×2n+1=1-n2n+1-2⋯ -14 分
∴Tn=n-12n+1+2 ,即 k=1n2kfk=n-12n+1+2⋯⋯⋯15
17. (本题满分 15 分)
已知数列 an,bn 满足 an+bn=22n+1+1,a1=3,a2=21 ,且 bn 为等比数列.
(1) 求数列 bn 的通项公式;
(2) 求数列 bnan 的前 n 项和 Tn .
解: (1) 由题意,得 a1+b1=9,a2+b2=33. . -2 分
由 a1=3,a2=21 ,得 b1=6,b2=12. . **4 分
∵bn 为等比数列, ∴bn 的公比 q=2⋯⋯ . .5 分
∴bn=6×2n-1=3×2n⋯⋯⋯6 分
(2) 由 (1) 可得 an=22n+1+1-3×2n=2n-12n+1-1⋯⋯⋯8 分
∴bnan=3×2n2n-12n+1-1=312n-1-12n+1-1 . **11 分
∴Tn=3121-1-122-1+122-1-123-1+⋯+12n-1-12n+1-1=3121-1-12n+1-1=31-12n+1-1
分
18. (本题满分 17 分)
已知函数 fx=ax-lnx+1a∈R .
(1) 试讨论 fx 的单调性;
(2) 若 x>0,fx>0 ,求 a 的取值范围.
解: (1) f'x=a-1x+1x>-1 . 1 分
当 a≤0 时, ∵f'x=a-1x+1<0,∴fx 在 -1,+∞ 上单调递减…… ⋯3 分
当 a>0 时, f'x=ax+a-1x+1 ,当 -11-aa 时, f'x>0 .
故 fx 在 -1,1-aa 上单调递减,在 1-aa,+∞ 上单调递增…… ⋯
(2) 解法一: ① 当 a≤0 时,由 (1) 知 fx 在 0,+∞ 上单调递减, ∴fx②当 0∴fxmin=f1-aa③当 a≥1 时,由 (1) 知 fx 在 0,+∞ 上单调递增, ∴fx>f0=0 ,符合题意…… . .16 分
综上所述, a 的取值范围是 [1,+∞)⋯⋯ - 17 分
解法二: 注意到 f0=0⋯⋯⋯8 分
①先找到 fx>0 的一个必要条件.
∵f0=0,∴ 要使 x>0 时, fx>0 ,则 f'0=a-1≥0 ,即 a≥1⋯ -12 分
②再证充分性.
若 a≥1 ,则 f'x=a-1x+1>0 ,
∴fx 在 0,+∞ 上单调递增, ∴fx>f0=0 ,满足题意…… ⋯16 分
综上所述, a 的取值范围是 [1,+∞)⋯⋯⋯17 分
19. (本题满分 17 分)
若函数 fx 在定义域内存在 x0 ,使得 fx0+1=fx0+f1 成立,则称 fx 具有性质 P .
(1) 试写出一个具有性质 P 的一次函数;
(2) 判断函数 gx=ex-ax 是否具有性质 P ;
(3) 若函数 hx=lnx-ax2 具有性质 P ,求实数 a 的取值范围.
解: (1) 设 fx=kx+bk≠0⋯⋯⋯2 分
由 fx0+1=fx0+f1 ,得 kx0+1+b=kx0+b+k+b ,即 b=0⋯⋯⋯3 分
∴fx=kxk≠0⋯⋯⋯4 分 (只要写出一个正确的结果即可)
(2) 由 gx0+1=gx0+g1 ,得 ex0+1-ax0+1=ex0-ax0+e-a ,即 ex0+1-ex0-e=0
分
令 Gx=ex+1-ex-e ,则 G'x=ex+1-ex>0,∴Gx 在 R 上单调递增 . .7 分
又 G0=e-1-e=-1<0,G1=e2-2e>0 ,故存在 x0∈0,1 ,使得 Gx0=0 ,即 ex0+1-ex0-e=0 分
故函数 gx=ex-ax 具有性质 P⋯ -11 分
(3) 解法一: 由 hx0+1=hx0+h1 ,得 lnx0+1-ax0+12=lnx0-ax02-a ,
化简得 2a=lnx0+1-lnx0x0 . .12 分
令 Hx=lnx+1-lnxxx>0 ,则 H'x=1x+1-1xx-lnx+1-lnxx2=lnxx+1+xx+1-1x2
13 分
令 rt=lnt+t-10∴lnxx+1+xx+1-1<0 ,即 H'x<0,∴Hx 在 0,+∞ 上单调递减…… ⋯15 分
又当 x→0 时, Hx→+∞ ; 当 x→+∞ 时, Hx→0⋯⋯⋯16 分
∴2a>0 ,即 a>0 ,故实数 a 的取值范围是 0,+∞⋯⋯⋯17 分
解法二: 由 hx0+1=hx0+h1 ,得 lnx0+1-ax0+12=lnx0-ax02-a ,
化简得 2ax0=lnx0+1x0x0>0⋯ . .12 分
即 y=2ax 与 y=lnx+1xx>0 的图象有交点…… ⋯13 分
y=lnx+1x 在 0,+∞ 上单调递减,且当 x→0 时, y→+∞ ;
当 x→+∞ 时, y→0⋯⋯⋯16 分
∴2a>0 ,即 a>0 ,故实数 a 的取值范围是 0,+∞⋯ 0.17 分