复数与平面向量（专题03）-高考数学25个必考点

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一、单选题
1．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据复数的运算可得，再根据共轭复数的概念求解即可.
【详解】，故.
故选：C
2．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可.
【详解】设，则，，则.故当时，取最小值.
故选：C
3．（2022秋·山东日照·高三统考期中）若复数，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出合适的选项.
【详解】，
因此，复数在复平面内对应点的坐标为.
故选：B.
4．（2022秋·山东日照·高三统考期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2，若点P在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积的几何意义求解．
【详解】，即与在向量方向上的投影的积．由图2知，点在直线上的射影是中点，由于，圆弧直径是2，半径为1，
所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，
因此的最大值是，最小值是，因此其取值范围为，
故选：D．
5．（2022秋·山东日照·高三统考期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，进而可得点C的轨迹，然后根据三角形相似将转为求线段和最短，然后根据数形结合即得.
【详解】设，，
则，，
即C在以为圆心，2为半径的圆上，
如图，取，则，又，
所以有～，所以，
又因为，，
所以．
故选：B.
6．（2022秋·山东德州·高三统考期中）设为所在平面内一点,,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量加法的首尾相连,根据将往上拼凑即可得出结果.
【详解】解:由题知,
,
即
.
故选:A
7．（2022秋·山东聊城·高三统考期中）已知复数z满足，则（ ）．
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】根据复数的除法求出z,再根据复数模的计算即可求得答案.
【详解】因为，所以，
故，
故选：A.
8．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据与夹角为钝角求出的范围即可判断.
【详解】当时，与反向共线，且，所以不能推出与夹角为钝角；
当与夹角为钝角时，，且与不反向共线，解得，且，此时可以推出，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
9．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）设P是所在平面内一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.
【详解】因为，
所以，所以，
所以,
，
故选：B
10．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.
【详解】充分性：由得，
故，则，故三点共线，所以充分性成立，
必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而，所以，所以，
所以必要性成立.
综上所述：”是“三点共线”的充要条件.
故选：C
11．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（ ）
A．B．C．10D．20
【答案】C
【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果.
【详解】记的中点为，连结，如图，
因为点为的外心，为的中点，所以，则，
所以.
故选：C.
12．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知复数的实部与虚部的和为3，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的运算得出：，根据题干条件求出，再利用共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为，又复数的实部与虚部的和为3，
所以，解得：，所以，
由共轭复数的概念可得：，
故选：B.
13．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知都是单位向量，其夹角为，若向量，则（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积及其运算律求出，即可得到.
【详解】，所以.
故选：C.
二、填空题
14．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则 .
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求出，再由数量积的定义求.
【详解】因为向量在方向上的投影向量为，所以，
又，，
所以.
故答案为：.
15．（2022秋·山东德州·高三统考期中）在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据向量的加减法，可得，利用换元法，整理函数关系，利用二次函数的性质，可得答案.
【详解】由为边上任意一点，则，
，
可得，则，即，由，可得，则，
故，
当时，取得最小值为.
故答案为：.
16．（2022秋·山东聊城·高三统考期中）在四边形ABCD中，，且，，则的值为 ．
【答案】5
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，
因为，，所以，
故答案为：
17．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）已知，则与夹角的余弦值为 .
【答案】/
【分析】根据平面向量的坐标运算，先求出的坐标和模长，然后利用平面向量数量积公式即可求解.
【详解】因为，所以，则，
又因为，，
由平面向量的数量积公式可知：，
所以与夹角的余弦值为，
故答案为：.
三、多选题
18．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A．B．为纯虚数C．D．复数对应的点位于第三象限
【答案】BC
【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.
【详解】解：对于A：，故A错误；
对于B：，所以为纯虚数，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以点位于第二象限，
即复数对应的点位于第二象限，故D错误；
故选：BC
19．（2022秋·山东聊城·高三统考期中）已知平面向量，，，则（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若与的夹角为锐角，则D．的最小值为4
【答案】ABD
【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可判断A,B;根据向量的夹角公式求出与的夹角为锐角时的n的范围，要考虑向量同向情况，判断C;根据向量的模的坐标计算可判断D.
【详解】由题意平面向量，，，
若，则 ，A正确；
若，则，B正确；
若与的夹角为锐角，则 ，即 ，
但时，与同向，满足，但夹角为 ，不是锐角，故C错误；
，
当时，取得最小值，故的最小值为4，D正确，
故选：ABD.
四、解答题
20．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）中，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算可得，求解可得，再根据余弦定理求解即可；
（2）法一：根据二倍角公式可得，结合可得，进而求得，由正弦定理与倍角公式可得，结合，再利用三角形面积公式求解即可；
法二：在上取点，使得，则，再根据题意，结合可证明，再根据余弦定理可得，进而利用面积公式求解即可.
【详解】（1）
，
由，得.
∴，
∴.
（2）法一：∵，∴，∴，
又，
又，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
由正弦定理得，，
又，，∴，
又，，
∴，
∴.
法二：在上取点，使得，
∴，∴，
∴，又，
∴
.
∴，∴，∴.
又，
∴，∴，，
∴.
21．（2022秋·山东日照·高三统考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，结合，得到，再由b＝c求解；
（2）由，利用余弦定理得到 ，再利用余弦定理，结合基本不等式求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
所以，
因为b＝c，
所以，
因为，
所以．
（2）因为，
由余弦定理得，，
即，
所以，
当且仅当时，即时，取等号．
因为，
所以B的最大值为．
22．（2022秋·山东德州·高三统考期中）设两个向量满足，.
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再求出，即可得解；
（2）由向量与的夹角为钝角，可得，注意排除相反向量这一情况.
【详解】（1）解：由 ，得 ,
又 , 所以，
所以，
又因为 ,
所以的夹角为 ；
（2）解：由已知得，
则，
因为向量与的夹角为钝角, 所以, 解得，
设,
则, 无解, 故两个向量的夹角不可能为 ,
所以向量与的夹角为钝角时, 的取值范围为.
23．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）.
(1)求的长；
(2)在中，若，试求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的四则运算结合单位向量的概念即可求解；
（2）利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】（1）连接，
由题意，得，
所以，
在中，点分别为的中点，所以，
所以.
（2）因为在中，有，
所以由正弦定理边角互化得，
即，
由于，所以，
又因为，所以，
在中由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，因为，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，即所求的取值范围是.