2024年陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

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（满分：150分 用时：120分钟）
一、单项选择题（每小题5分，共60分）
1. 等差数列中，，，则公差等于（ ）
A. 2B. 20C. 100D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用等差数列的性质求解即可
【详解】解：因为等差数列中，，，
所以公差，
故选：A
【点睛】此题考查等差数列公差的计算，属于基础题
2. 如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图案可知规律为每增加，图案中的点数增加，知点数构成等差数列，利用等差数列通项公式和求和公式可求得结果.
【详解】由题图可知，，，，，依此类推，每增加，图案中的点数增加，所以相应图案中的点数构成首项为，公差为的等差数列，
，
．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题以归纳推理为载体，考查了等差数列通项公式和前项和的求解，解题关键是能够通过图案中的规律总结出随着的变化，点数的变化规律.
3. 已知数列满足，且，则此数列的第4项是（ ）
A. 15B. 255C. 16D. 63
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系，代入数据，即可求得答案.
【详解】由题意得：令，则，
令，则，
令，则，
故选：D
4. 如果将2，5，10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列公比是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设加上的常数为x，根据等比数列关系，解方程即可.
【详解】设加上的常数为x，则，解得.
所以这三个数为，所以公比为.
故选：D
点睛】此题考查等比数列，根据等比中项关系建立等式解方程组求解，属于基础题目.
5. 已知数列满足，，则此数列的通项公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式，判断数列是等差数列.
【详解】∵，∴，∴数列是首项为2，公差为的等差数列，∴.
故选：A
6. 已知等差数列的首项，公差，则等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式求解.
【详解】根据题意，.
故选：C
7. 600是数列，…的（ ）
A. 第20项B. 第24项C. 第25项D. 第30项
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意写出数列通项公式，令，解得即可得到答案.
【详解】数列通项公式为，
令，则，即，
解得或（负值舍去），
所以600是数列，…的第24项.
故选：B
8. 若数列为等差数列，，，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解：．
【详解】设数列的公差为．∵，∴，即．∵，∴，∴．
故选：B．
9. 设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得．，
【详解】因为成等比数列，所以，即
故选D.
【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
10. 在公差不为零的等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差、通项公式及前n项和，则数列的（ ）
A. 首项为4，公差为1B. 首项为1，公差为3
C. 通项公式D. 前n项和
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列性质得，然后结合，进而即可求得数列的首项、公差、通项公式及前n项和．
【详解】设等差数列的公差为，
由为和的等比中项，则，
又，
则，
解得，或，(舍去)
所以，
所以．
故选：B．
11. 在等比数列中，，则的值为（ ）
A. 48B. 72C. 144D. 192
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的性质求解
【详解】数列是等比数列，则，，
而，故．
故选：D
12. 已知数列－1，，－，…，(－1)n .，…，则它的第5项的值为（ ）
A. B. －C. D. －
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设数列的规律，令n＝5即可求第5项的值.
【详解】由题设，数列的通项公式为，
∴当n＝5时，该项为.
故选：D.
二、填空题（共20分）
13. 已知数列的通项公式，则等于______.
【答案】288
【解析】
【分析】根据数列的通项公式求解数列的项即可.
【详解】由得，，
所以，.
故答案为：288.
14. 数列的前项和为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】依题意，
所以.
故答案为：
15. 一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是____.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，求出，即可求解.
【详解】设该直角三角形的三边分别为，则，
∴q2＝.较小锐角记为θ，则sinθ＝＝.
故答案为:
16. 已知为等差数列，，，则该数列的正数项共有______项．
【答案】6
【解析】
【分析】先设的公差为，再根据题意即可得到关于和的方程组，进而即可得到的通项公式，再令，进而求解即可．
【详解】由为等差数列，则设其公差为，
又，，
则，解得，
所以，
令，解得，即，
故该数列的正数项共有6项．
故答案为：6．
三、解答题（共70分）
17. 在等差数列中，，，，，求和的值.
【答案】，
【解析】
【分析】由等差数列的通项公式及前项和公式列关于及的方程组，解方程组即可得解．
【详解】因为，，，
所以，解得或，
因为，所以．
18. 在数列中，已知，则的值为？
【答案】
【解析】
【分析】分为偶数与为奇数两种情况讨论，利用并项求和法求出，再代入计算可得.
【详解】因为，
当为偶数时
，
当为奇数时
，
所以，，，
所以.
19. 已知是各项均为正数等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
20. （1）已知数列满足，，求．
（2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列．
（i）求的公比；
（ii）若，求．
【答案】（1）（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到为常数数列，结合，求出，即可得解；
（2）（i）根据等差中项的性质得到方程，两边同除得到关于的方程，解得即可；
（ii）首先求出，再根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为，所以，又，
所以，则；
（2）（i）因为、、成等差数列，
所以，
即，
因为，所以，解得或（舍去）；
（ii）因为且，即，解得，
所以.
21. 数列的前项和.
（1）判断是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】(1) 数列是首项为99，公差为-2的等差数列．
(2) .
【解析】
【分析】（1）利用数列的与的关系，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得当时，，当时，，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）当时，.
∵适合上式，
∴.
∵为常数，
∴数列是首项为99，公差为-2等差数列．
（2）由（1），令，得，∵，∴，
即当时，，当时，，
①当时，，此时，∴的前项和.
②当时，，此时，
由，
得数列的前项和
.
由①②得数列的前项和为.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，以及含绝对值的数列求和问题，其中解答中熟练应用数列的与的关系，以及合理分类讨论求解含绝对值的数列的和是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
22. 设Sn为等差数列{}的前n项和，已知S3=a7，-2=3．
（1）求；
（2）设bn=，数列{bn}的前n项和记为Tn，求Tn．
【答案】（1）=2n+1；（2）+
【解析】
【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的通项公式，进一步求出数列的前n项和公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】（1）设数列{}的公差为d，由题得
解得=3，d=2，∴=+（n-1）d=2n+1；
（2）由（1）得，Sn=n+=n（n+2），∴bn==（-），
∴Tn=b1+b2+…+bn=[（1-）+（-）+…+（）+（-）]
=（1+--）
=+．
【点睛】本题考查等差数列的性质、数列的基本运算及利用裂项相消法求数列和的知识，考查学生的运算能力，属于中档题．