福建省泉州第五中学2024届高三下学期适应性监测（一）数学试题

这是一份福建省泉州第五中学2024届高三下学期适应性监测（一）数学试题，共14页。试卷主要包含了考生作答时，将答案答在答题卡上，已知，是函数两个极值点，则，已知复数z满足，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共19题，满分150分，共8页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号：非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．己知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．海上丝绸之路的起点城市一泉州，有着丰厚的文化底蕴，作为国家级非遗的蟳埔女簪花围习俗，是福建博大精深的海洋文化“百花园”中的一朵香花．某机构随机调查了18位“簪花围”体验者对这一活动的满意度评分情况，得到如下数据：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是这组数据的下四分位数，则a的值不可能为（ ）
A．71 B．72 C．73 D．74
4．已知向量满足，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量为
5．已知，是函数两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
6．记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线E的焦点为F，点P在E上，M为PF的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A． B． C．3 D．9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．为了研究青少年长时间玩手机与近视率的关系，现从某校随机抽查600名学生，经调查，其中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，玩手机超过1小时的学生的近视率为．用频率估计概率，则
（附：，其中．）
A．如果抽查的一名学生近视，则他每天玩手机超过1小时的概率为
B．如果抽查的一名学生玩手机不超过1小时，则他近视的概率为
C．根据小概率值的独立性检验，可认为每天玩手机超过1小时会影响视力
D．从该校抽查10位学生，每天玩手机超过1小时且近视的人数的期望为5
11．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当 B．当，数列是常数列
C．当 D．当，数列单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，的系数是____________（用数字作答）
13．O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为____________．
14．已知函数有且只有两个零点，则a的范围____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点
（1）若的面积为，求AD的最小值；
（2）若，求．
16．（15分）
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
（1）若，证明：平面；
（2）若二面角的正切值为5，求BQ的长．
17．（15分）
设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若的值域为，证明：．
18．（17分）
4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
（1）甲留学生随机抽取3题，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
（2）（i）若甲留学生随机抽取m道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前m项和；
（i）记甲留学生已答过的题累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式．
19．（17分）
己知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为F．动直线l过F且与E相交于A，B两点，定点G使得．
（1）求G的坐标；
（2）直线m过点G且垂直于x轴，点P在m上，证明：若三点共线，则三点共线：
（3）椭圆E如图所示，请用“尺规作图”的方法在图中作出点F、点G，保留作图痕迹，并写出作图步骤．
泉州五中2024届高中毕业班适应性监测（一）
数学试题参考答案
一、选择题：
1．C 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C
二、选择题：
9．AD 10．AC 11．BCD
三、填空题：
12．10 13． 14．
四、解答题：
15．解析：（1）由已知及正弦定理可得：（※），
，所以，
代入（※）可得：，又因为，所以．
由己知得：，所以．
故，
当且仅当时等号成立．所以AD的最小值为2．
（2）设，则．
在中，由正弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，即，
将上面两式相比，得：，即．
16．解析：（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．
在四棱台中，四边形是梯形，，
又点M，P分别是棱的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）在平面中，作于O．
因为平面平面ABCD，平面平面，，
A，OC平面，所以平面ABCD．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．
以为正交基底，建立空间直角坐标系．
因为四边形是等腰梯形，，所以
又，所以．
易得，
所以．
法1：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角平面角为，由题意得．
又，所以，
解得（舍负），因此．
所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1．
法2：设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，取，
另取平面DCQ的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由题意得．
又，所以
解得或6（舍），因此．
所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1．
法3：在平面中，作，垂足为H．
因为平面平面ABCD，
平面平面，，
平面，所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以．
在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．
因为平面PHG，
所以平面PHG，又平面PHG，所以．
因为，所以是二面角的平面角．
在四棱台中，四边形是梯形，
，点P是棱的中点，
所以．
设，则，
在中，，从而．
．所以在中，，解得或（舍）．
所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1．
17．解析：（1）的定义域为．
当时，在单调递减．
当时，令，得，
当，单调递减：当，单调递增．
综上，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2），定义域为．
，
由（1）得：当时，在单调递减，在单调递增，
所以，
令，
因为当时，递增，当时，递减，
所以，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立．
当时，，
在递增，不合题意，舍去．
当时，
又因为当，所以在上存在唯一的，使得，
即（※）
当递增；当递减；
当递增．
又因为，且的值域为，
所以
，代入（※），得：，即．
当时，同理得：当递增；
当递减；当递增．
又因为，且的值域为，
所以，满足．
综上，．
18．解析：（1）依题意可得X的可能取值为3、4、5、6，
则，
，
所以X的分布列为
所以．
（2）（i）若甲留学生随机抽取m道题，总得分恰为分，即m道题均答对了，所以．
设数列的前m项和为，则．
（ⅱ）依题意可得，
当时，所以，
所以为常数数列，又，所以，
则所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，经检验当上式也成立，所以．
19．解析：（1）由对称性可得：点G在x轴上，设．
当l不与x轴重合时，设，
联立，化简得：，
，
因为，所以，即：，
所以，
即：，
即：，
所以．
当l与x轴重合时，点满足．综上，.
（2）由已知得：，
由已知得：直线，直线，
联立直线与的方程，可得：，
解得：
，
由（2）得：，代入上式，可得：
，
所以直线与的交点在直线m．
所以，若三点共线，则三点共线．
另证：由已知得：直线，直线，
联立直线与的方程，可得：
所以，
又
所以
即
所以
所以直线与的交点在直线m上．
所以，若三点共线，则三点共线．
（3）设椭圆E与y轴正半轴交于点．以点为圆心，长为半径作圆，该圆与线段的交点即为点F．
过点F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点．连接，交于点M过点M作一直线与x轴垂直，该直线与x轴的交点即为G．0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
3
4
5
6
P