海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试数学试卷(含答案)

这是一份海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内,对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、选择题
2．已知,设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
三、选择题
3．设,m是两条直线,,是两个平面,则( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
四、选择题
4．已知椭圆的2个焦点与椭圆的2个焦点构成正方形的四个顶点,则( )
A.B.C.7D.5
五、选择题
5．某记者与参加会议的5名代表一起合影留念(6人站成一排),则记者站两端,且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为( )
A.72B.96C.144D.240
六、选择题
6．已知函数的定义域为R,是偶函数,当时,,则曲线在点处的切线斜率为( )
A.B.C.2D.
七、选择题
7．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则( )
A.B.C.D.-2
八、选择题
8．已知F是双曲线的右焦点,直线与C交于A,B两点.若的周长为7a,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
九、多项选择题
9．已知甲,乙两组样本各有10个数据,甲,乙两组数据合并后得到一组新数据,下列说法正确的是( )
A.若甲,乙两组数据的平均数都为a,则新数据的平均数等于a
B.若甲,乙两组数据的极差都为b,则新数据的极差可能大于b
C.若甲,乙两组数据的方差都为c,则新数据的方差可能小于c
D.若甲,乙两组数据的中位数都为d,则新数据的中位数等于d
一十、多项选择题
10．已知函数(其中,,)的部分图象如图所示,则( )
A.
B.的图象关于点中心对称
C.
D.在上的值域为
一十一、多项选择题
11．已知为正项数列的前n项和,,,则( )
A.B.C.D.
一十二、填空题
12．已知集合,,若,则m的取值范围是________.
一十三、填空题
13．已知圆,点P在直线上,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B.当最大时,________.
一十四、填空题
14．在正三棱台中,,,侧棱与底面ABC所成角的正切值为.若该三棱台存在内切球,则此正三棱台的体积为________.
一十五、解答题
15．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若,求的取值范围.
一十六、解答题
16．如图,在三棱柱中,平面平面ABC,,四边形是边长为2的正方形.
（1）证明:平面;
（2）若直线与平面所成的角为30°,求二面角的余弦值.
一十七、解答题
17．已知抛物线的准线与x轴的交点为,C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A,B两点.
（1）设直线AF,BF的斜率分别为,,证明:;
（2）记与的面积分别为,,若,求.
一十八、解答题
18．一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛,选手在连续投篮时,第一次投进得1分,并规定:若某次投进,则下一次投进的得分是本次得分的两倍;若某次未投进,则该次得0分,且下一次投进得1分.已知某同学连续投篮n次,总得分为X,每次投进的概率为,且每次投篮相互独立,
（1）时,判断与20的大小,并说明理由;
（2）时,求X的概率分布列和数学期望;
（3）记的概率为,求的表达式.
一十九、解答题
19．已知函数,等差数列的前n项和为,记.
（1）求证:的图象关于点中心对称;
（2）若,,是某三角形的三个内角,求的取值范围;
（3）若,求证:.反之是否成立?并请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：易知,所以,
即对应的点为,位于第四象限.
故选:D
2．答案：B
解析：不妨设,,满足,此时,充分性不成立,
,两边平方得,
又,故,必要性成立,
故甲是乙的必要不充分条件.
故选:B
3．答案：B
解析：对于A,若,,,则l与m可能平行,也可能相交,还可能异面,故A错误;
对于B,若,,则,又,所以,故B正确;
对于C,D,,,,则l与m可能平行,也可能异面或相交,故C,D错误;
故选:B.
4．答案：A
解析：根据题意,椭圆的两个焦点为,,
椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点,
所以椭圆的两个焦点为,,
,且,解得.
故选:A.
5．答案：C
解析：第一步除代表甲与代表乙以外的3名代表的排法有种,
第二步由代表甲与代表乙不相邻,利用插空法,将代表甲与代表乙插入其他3名代表排好后产生的4个空位,方法为种,
第三步将记者安排在两端有种,
所以共有种排法.
故选:C.
6．答案：C
解析：因为是偶函数,所以函数的图象关于对称,则,
当时,,
,
,则,
,即曲线在点处切线的斜率为2.
故选:C.
7．答案：B
解析：由,可得,
由余弦定理可得,即,
由正弦定理得,即,
化简得,即得.
故选:B.
8．答案：A
解析：记双曲线左焦点为,
将代入解得,所以,
由对称性可知,,所以①,
又的周长为7a,所以②,
联立①②求解可得,,
记AF的中点为D,则,
所以,即,得,
所以.
故选:A
9．答案：ABD
解析：设甲:,,…,,乙:,,…,,新数据为:,,…,,
对于A:因为,所以A正确;
对于B:设甲:1,2,…,10,乙:21,22,…,30,两组数据极差均为9,
但混合后数据的极差为29,所以B正确;
对于C:因为,
所以,,,
所以新数据的方差为,
因为,
所以新数据的方差一定不小于c,所以C错误.
对于D:不妨设,,则,
将混合后数据按从小到大排列,
若,则,所以第10,11个数为和;
若,则,所以第10,11个数为和,
两种情形下,新数据的中位数都等于d,所以D正确;
故选:ABD.
10．答案：AC
解析：A选项,设的最小正周期为T,则,
故,
因为,所以,A正确;
B选项,由图象可知,,,
将代入解析式得,
故,,故,,
因为,所以,
故,
,故的图象不关于点中心对称,B错误;
C选项,,C正确;
D选项,,,
故,D错误.
故选:AC
11．答案：ABD
解析：对于A,当时,有,则,即,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,又为正项数列,所以,故A正确;
对于B,结合A可得,,
所以,故B正确;
对于C,结合A可得,,
又
,
所以,故C错误;
令,则,
所以在上单调递增,则,
所以,
所以,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：由,则,
故有,解得,即.
故答案为:.
13．答案：/
解析：如图所示,易知,若最大时,则最大,
在直角中,,则当最大时,取得最小值,
显然由点到直线的距离公式可知,
则此时,则.
故答案为:.
14．答案：
解析：如图,取BC和的中点分别为P,Q,
上,下底面的中心分别为,,
设,内切球半径为r,因为,棱台的高为2r,
所以,
,同理.
因为内切球与平面相切,切点在上,
所以①,
在等腰梯形中,②,
由①②得.
在梯形中,③,
由②③得,代入得,则棱台的高,
所以棱台的体积为.
故答案为:.
15．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）的定义域为R,,
当时,,所以在上单调递增;
当时,令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
（2）由,得.
设,则.
令,得,令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,取最大值.
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为四边形是正方形,所以,
又平面平面ABC,平面,平面平面,所以平面ABC,
因为平面ABC,所以,
又因为,AB,平面,,
所以平面.
（2）由（1）知,为直线与平面所成的角,即,
又正方形的边长为2,所以,,所以,
(方法一)过点A作,垂足为D,过点D作,垂足为E,连结AE,
因为平面,平面,所以,
又,平面,,所以平面,
又平面,则,
又AD,平面,,所以平面ADE,
又平面ADE,所以,
所以是二面角的平面角,
在直角中,,,
所以,所以,
即二面角的余弦值为.
（方法二）取的中点,连结,
因为,所以,
又因为平面平面ABC,平面平面,平面ABC,所以平面,
取的中点,则,
以为基底,建立空间直角坐标系,
所以,,,
所以,,
设平面的法向量为,
则,即,取,则,
取平面的法向量,
设二面角的大小为,
则,
因为二面角为锐角,所以,
即二面角的余弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为抛物线C的准线与x轴的交点为,
所以,即,
所以C的方程为,
显然直线l的斜率存在且不为0,
设直线,,,
将直线方程与抛物线方程联立并消去,
得,,即,
所以,,
所以
.
（2）不妨设,,
因为,所以,得,
又,解得,,
所以,
所以.
18．答案：（1）,理由见解析
（2）分布列见解析,期望为
（3）
解析：（1）.
理由如下:记该同学投篮30次投进次数为,则,
若每次投进得分都为1分,则得分的期望为,
由题意比赛得分的规则知,连续投进时,得分翻倍,
故实际总得分必大于每次得分固定为1分的数学期望,
所以;
（2）X的可能取值为:0,1,2,3,7,且
;;
;;
,
所以,X的概率分布列为
所以;
（3）投篮n次得分为3分,有两种可能的情况:
情形一,恰好两次投进,且两次相邻;
情形二,恰好三次投进,且任意两次都不相邻,
当时,情形二不可能发生,
故,
当时,情形一发生的概率为,
情形二发生是指,将次未投进的投篮排成一列,共有个空位,
选择其中3个空位作为投进的投篮,故概率为
,
所以
,
综上,.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）证明见解析,反之不成立,理由见解析.
解析：（1）设的图象上任意一点,则,
点P关于点的对称点为,
因为,
因此点在的图象上,
所以的图象关于点中心对称.
（2）若,,是某三角形的三个内角,则,又是等差数列,则,
因此
,
不妨设,则,即有,,
所以.
（3）由是等差数列,且,得,
即,因此当时,,,
.
所以成立.
反之不成立.
考虑存在等差数列,满足,则,
显然当时,,,于是,
下面证明,存在d,可以使得,且,
不妨设,由,得,
,即,
设,其中,显然,,
则存在,使得,即存在,使得,,
但此时,所以反之不成立.
X
0
1
2
3
7
P