四川省南充市2024届高三一模数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省南充市2024届高三一模数学（理）试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
二、选择题
2．当时，复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
三、选择题
3．已知正方形的边长为1，则( )
A.0B.C.D.4
四、选择题
4．已知直线m,n和平面,，，则“”是“”的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
五、选择题
5．已知全集，集合则能表示A，B，U关系的图是( )
A.B.
C.D.
六、选择题
6．某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表.发现销售量y（万件）与时间x（月）成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：.则下列说法错误的是( )
A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件
B.表中数据的样本中心点为
C.
D.由表中数据可知，y和x成正相关
七、选择题
7．二项式的展开式中常数项为( )
A.B.60C.210D.
八、选择题
8．已知：，，则下列说法中错误的是( )
A.B.C.D.
九、选择题
9．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为( )
A.B.C.9D.18
一十、选择题
10．如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则( )
A.
B.
C.方程有4个不相等的实数解
D.的解集为，
一十一、选择题
11．已知双曲线的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，P为双曲线在第一象限上的一点，若，则( )
A.B.2C.5D.
一十二、选择题
12．已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有( )个
①②③④
A.1B.2C.3D.4
一十三、填空题
13．满足约束条件的平面区域的面积为________.
一十四、填空题
14．已知函数为R上的奇函数，且，则________.
一十五、填空题
15．已知圆台的上下底面半径分别为和，若存在一个球同时与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则该圆台的体积为________.
附：圆台体积公式为：
一十六、填空题
16．如图，在中，，，P为内一点，且，则________.
一十七、解答题
17．已知数列是首项为2的等比数列,且是和的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的公比,设数列满足,求的前2023项和.
一十八、解答题
18．2023年秋季，支原体肺炎在全国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：
(1)是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？
(2)现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出4人作为医学研究对象并免费治疗.按以往的经验，有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为2万元，没有慢性疾病的老人每人的研究治疗费用为1万元，记抽出的这4人产生的研究治疗总费用为（单位：万元），求的分布列及数学期望.
附表：
参考公式：（其中）
一十九、解答题
19．如图，在四棱锥中，平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.
二十、解答题
20．设函数(e为自然对数的底数)，函数与函数的图象关于直线对称.
(1)设函数，若时，恒成立，求m的取值范围；
(2)证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数.
二十一、解答题
21．如图，椭圆的四个顶点为A，B，C，D，过左焦点且斜率为k的直线交椭圆E于M，N两点.
(1)求四边形的内切圆的方程；
(2)设，连结，并延长分别交椭圆E于P，Q两点，设的斜率为.则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
二十二、解答题
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)写出，的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，且与交于点A，与交于点B（A，B与点O不重合），求面积的最大值.
二十三、解答题
23．已知函数.
(1)若恒成立，求a取值范围；
(2)若的最大值为M，正实数a，b，c满足：，求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题知，抛物线方程为，
则其准线方程为.
故选：C
2．答案：D
解析：由，可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．答案：C
解析：，
因为正方形的边长为1，所以，
故.
故选：C
4．答案：A
解析：根据线面平行的判定定理知,若,则,故充分性成立；
若,则直线m,n有可能平行或者异面,故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为，
，
所以，
对于A，，错误；
对于C，，错误；
对于D，错误；B选项符合题意，
故选：B.
6．答案：A
解析：依题意，，，
而y与x的回归直线方程为：，则，
解得，，表中数据的样本中心点为，BC正确；
由，得y和x成正相关，D正确；
2024年1月份，即，由回归直线方程，得，
因此2024年1月份该地区的销售量约为6.8万件，A错误.
故选：A
7．答案：B
解析：展开式的通项为，
所以，
常数项为，
故选：B.
8．答案：D
解析：因为，，
所以，，
则，故A正确；
因为，则，
所以，即，故B正确：
因为，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误；
故选：D
9．答案：B
解析：由题知连接，，，如图所示
因为E，F分别是，的中点，所以，
在正方体中，所以，
所以A，，E，F，在同一平面内，
所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为2，
所以，，，
则E到的距离为等腰梯形的高为，
所以截面面积为，故B正确.
故选：B.
10．答案：D
解析：A选项，若，则，
与图2不符合，所以A选项错误.
B选项，向右平移1个单位得到，
再将横坐标缩小为原来的一半，得到，
所以，B选项错误.
C选项，由，得，
画出和的图象如下图所示，
，由图可知，两个图象有5个交点，
所以方程有5个不相等的实数解，所以C选项错误.
D选项，由，
得，，，，
所以的解集为，，D选项正确.
故选：D
11．答案：C
解析：依题意，，，，，，
由余弦定理得，
解得，，所以，
所以，
又，，
因为
，
，
所以.
故选：C
12．答案：D
解析：由函数有两个不同零点，
转化为有两个交点，
构造函数，，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示
故在单调递减，在单调递增，
所以，
对于①，，
所以，
所以，故①正确；
对于②，由①可知，故，
因此，故②正确；
对于③，因为，所以，故，，
所以，
则，
构造函数，
则，而，
所以，
所以，
因为，所以，
令，构造，显然单调递增，且，
所以
所以，故③正确；
对于④，由①可知，，
所以，
令，，显然单调递增，且，
所以，故④正确.
故选：D
13．答案：
解析：作出该约束条件的可行域，如下图所示，
联立，解得，则交点为，
当时，，
当时，，
由此可知该平面区域的面积为,
故答案为：1.
14．答案：
解析：由题意，
在中，，
为R上的奇函数，
，
故答案为：.
15．答案：
解析：圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为O，内切球与母线切于点E，则
,，
所以，
过点A作于F，则，
所以，
所以圆台的体积为
，
故答案为：
16．答案：/0.5
解析：在中，，由，得，
而，则,，
于是，，则，
在中，，在中，由正弦定理得，
，即，在中，，
由余弦定理得，
即，整理得，
显然为锐角，所以.
故答案为：
17．答案：(1)见详解；
(2)
解析：（1）设数列的公比为,则
是和的等差中项,即解得或或（舍去）
当时,
当时,
（2）,由(1)知
故的前2023项和为
18．答案：(1)有；
(2)分布列见解析，数学期望为万元.
解析：（1）依题意，，
所以有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.
（2）从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，
其中有慢性疾病有人，没有慢性疾病有2人，
研究治疗总费用的可能值为6，7，8，
则，，，
所以的分布列为：
数学期望.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）如图，取中点O，连接，因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
又面，所以，又，所以四边形是平行四边形，得到，
又平面，平面，所以平面.
（2）如图，取中点M，连接，，则，
因为平面，由（1）知，所以平面，
又，所以，过作，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面，面，所以，又，，所以面，
又面，所以,
故为二面角的平面角，所以，
又，所以，又，所以，
所以，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则由得到，，取，，，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）由已知，
时，恒成立，
即恒成立，整理得
，
令，
令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减，
，
，
得；
（2）函数与函数的图象关于直线对称，
，
假设与有公切线，明显斜率存在，
设公切线的方程为，与的切点为，与的切点为
又，，
，消去得，
当时，明显不成立，
整理可得
对于函数，有，其为奇函数，
且函数也为奇函数，
故方程若有根，其根必为成对的相反数，
下面研究方程的根的情况，即函数的零点情况，
可得，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
又时，，时，，
，使，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
又，
由零点存在定理得函数在区间和各有一个零点，
即函数有两个零点，即方程有两个根，
综上所述与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数.
21．答案：(1)；
(2)
解析：（1）连接，，，，则四边形为边长为的菱形，
由对称性可知，当圆与直线相切时，则与四边形的各个边相切，且圆心为坐标原点，
设内切圆半径为r，由于，
则由等面积法可得，故，
故圆的方程为：
（2）设，,则，，
则直线的方程为，
联立可得，
即，
将代入上式可得，
化简得，
所以，所以，
，
故，
同理可得,
所以
由于直线方程为，所以，，
故，
故存在，使得
22．答案：(1)，；，；
(2)16
解析：（1）直线的参数方程为（t为参数，），
故，则，即；
故的极坐标方程为：.
把绕坐标原点逆时针旋转得到，故的极坐标方程为：，.
（2）曲线的极坐标方程为，
且与交于点A，与交于点B，
联立方程得，，,
故
.
故面积的最大值为16.
23．答案：(1)；
(2)6
解析：（1）由，
当时，，
当时，，当时，，
所以时，，
则恒成立，即恒成立，
即，即，解得，
所以a取值范围为
（2）由（1）知，则，
由柯西不等式有：
，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以的最大值为6.
时间x（月）
1
2
3
4
5
销售量y（万件）
1
1.6
2.0
a
3
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
60
80
140
感染支原体肺炎
40
20
60
合计
100
100
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
6
7
8
P