云南省曲靖市部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份云南省曲靖市部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，，三点共线，则m的值为( )
A.B.5C.D.3
二、选择题
2．数据，，…，的方差，则下列数字特征一定为0的是( )
A.平均数B.中位数C.众数D.极差
三、选择题
3．已知中，，，，则( )
A.B.C.D.
四、选择题
4．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
五、选择题
5．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A.B.C.D.
六、选择题
6．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A.若m上有两点到平面距离相等，则
B.若，，，则m与n是异面直线
C.若，，，则m与n没有公共点
D.若，，则m与一定相交
七、选择题
7．崇丽阁之名取自晋代左思《蜀都赋》中的名句“既丽且崇，实号成都”.如图，在测量府河西岸的崇丽阁高时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则塔高( )
A.米B.米C.米D.米
八、选择题
8．如图，四棱锥的底面为矩形，且平面，若，则下列结论错误的是( )
A.直线与平面所成角的正弦值为
B.平面平面
C.
D.二面角的余弦值为
九、多项选择题
9．已知复数，，，则( )
A.若，，的虚部依次为a，b，c，则
B.若，，的实部依次为m，n，p，则
C.
D.
一十、多项选择题
10．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值可能为( )
A.B.C.D.
一十一、多项选择题
11．如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则( )
A.存在点P使得
B.若点P满足，则动点P的轨迹长度为
C.若点P满足平面时，动点P的轨迹是正六边形
D.当点P在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
一十二、填空题
12．已知点，点，O为原点，则的最小值为_________.
一十三、填空题
13．如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从B点沿圆锥侧面爬到上的D点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为_______.
一十四、填空题
14．设，为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“”：对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论：
①；②；
③；④若是单位向量，则.
以上所有正确结论的序号是_________.
一十五、解答题
15．已知平面向量，.
（1）求的值；
（2）若向量与夹角为，求实数的值.
一十六、解答题
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若，，D为的中点，求的长；
（3）若，求的取值范围.
一十七、解答题
17．已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中.
（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
（2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.
一十八、解答题
18．如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静）
（1）要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？
（2）假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？
一十九、解答题
19．如图，在正方体中，M，N，P分别是棱，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：，，
，，三点共线，故，
即，解得.
故选：D.
2．答案：D
解析：，
所以方差，
所以数据，
所以极差一定为0.
故选：D.
3．答案：B
解析：在中，，，，由余弦定理得：
，
由正弦定理得.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积.
故选：A.
5．答案：A
解析：直观图正方形的边长为，，
原图形为平行四边形，如图：
其中，高，
，
原图形的周长.
故选：A.
6．答案：C
解析：对于A，m上有两点到平面距离相等，平面可以过这两点的中点，此时m与相交，A错误；
对于BC，，则，没有公共点，由，，得m与n没有公共点，
m与n是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误；
对于D，，，则或m与n是相交直线，当时，，D错误.
故选：C.
7．答案：A
解析：如图
在中，，，，
则，
由正弦定理得，
所以.
在中，，
所以米.
故选：A.
8．答案：C
解析：不妨设，
对于A：连接，因为平面，所以为直线与平面所成的角，
因为平面，所以，
又，，则，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故A正确；
对于B：因为平面，平面，所以平面平面，故B正确；
对于C：因为平面，平面，所以，
若，又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
则矩形为正方形，所以，与矛盾，故与不垂直，故C错误；
对于D：过点C作交于点E，连接，因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
则为二面角的平面角，又，即，
解得，所以，
所以，即二面角的余弦值为，故D正确.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：，，，
则，，的虚部分别为，，1，因为，故A不正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
，故D正确，
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：因为，
由正弦定理得，即.
又因为是锐角三角形，即，可知.
由，解得，
则
，
且，可知，则，
所以的取值范围为.
结合选项可知：AC错误，BD正确；
故选：BD.
11．答案：AC
解析：对A：如图：
当P点位于边上时，因为平面，所以，故A正确；
对B：如图：
当时，P点轨迹为矩形，其中M，N分别为，中点，所以动点P轨迹的周长为：，故B错误；
对C：如图：
当平面时，P点轨迹是正六边形，其中I，J，K，L，M均为棱的中点，故C正确；
对D：如图：
当点P在侧面上运动，且满足时，P点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当P与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误.
故选：AC.
12．答案：2
解析：依题意，，，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
13．答案：
解析：设，利用扇形的面积公式得，解得，
所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为，
沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示，
因为，所以，连接，则为最短距离，
由余弦定理得，
所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为.
故答案为：.
14．答案：①④
解析：对于①，当与不共线时，；
当与共线时，，①正确.
对于②，当与共线时，，，
所以与不一定相等，②错误.
对于③，当，，共线时，，，
所以与不一定相等，③错误.
对于④，当与不共线时，记，则；
当与共线时，，④正确.
故答案为：①④.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为，，
所以，
故.
（2）因为，且，
所以，
于是有，
即，
则，其中，解得或.
16．答案：（1）
（2）1
（3）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）因为D为的中点，所以，
则，
所以，
所以，
解得，所以的长为1.
（3）由正弦定理知，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以，
则，
所以的取值范围为.
17．答案：（1）420；200
（2），选择方案二
解析：（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为.
（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为
.
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为
.
故.
因为，所以.
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.
18．答案：（1）
（2）航行方向为北偏东
解析：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，相遇点为C，
则由余弦定理得：，
即,
当时，取得最小值，此时速度，
此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为，
则由（1）可得：，
即，解得，此时相遇点为B，
此时，在中，，则，
故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接与交于点E，连接，
由题可知四边形是矩形，所以E是的中点，
因为M是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为在正方体中，平面平面，
所以直线与平面所成角等价于直线与平面所成角，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
设正方体的棱长为2，则，，
所以，
，故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.