沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题09线段与角的画法(难点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺专题09线段与角的画法(难点)(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
2．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若线段，则线段的长为（ ）
A．B．C．或D．或
4．小王在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：
（1）若，则的余角的度数为；
（2）两点之间直线最短；
（3）一个锐角的余角比这个角的补角小90°；
（4）互补的两个角一个是锐角一个是钝角．
你认为小王以上说法正确的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（ ）
A．B．C．1或D．或2
6．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
7．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（ ）
A．1条、4条、8条或10条B．1条、5条、9条或10条
C．1条、5条、6条、8条或10条D．1条或10条
8．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②④
9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．无法确定
二、填空题
11．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．
12．两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是______cm（木条的粗细忽略不计）.
13．如图，将三个相同的三角尺角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____．
14．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____．
15．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有______．
①如果，那么
②是定值
③若变小，则变大
④
16．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号 _____．
17．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么___________．
18．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点．
（1）如图，的长为___________；
（2）继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为，，的三段，当，则细线未剪开时的长为___________．
三、解答题
19．如图，已知，，，四点，请按要求作图，并解答．
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)连接与射线交于点；
(4)若点是线段的中点，，，求MP的长．
20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）
21．已知点B在线段上，点D在线段上．
(1)如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度；
(2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度．
22．已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
①画射线OP；
②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a；
③在线段OB上截取BC＝b；
④作出线段OC的中点D．
(1)根据以上作图可知线段OC＝ ；（用含有a、b的式子表示）
(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝ 厘米．
23．如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数；
(3)当时，求的度数（用含n的式子表示）．
24．已知点О为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线．
(1)如图l，三角板的一边与射线重合．
①的余角是___________，补角是___________；
②若，则的度数为___________；
(2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数；
(3)若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的数量关系为___________．
25．图①是由一副三角尺拼成的图案．
(1)图①中，的度数为___________度；
(2)将图①中的三角尺绕点B旋转（）度能否使？若能，请写出当时，的度数；若不能，说明理由（图②③供参考）．
26．如图1所示是某款手表实物图，其示意图如图2所示，已知表盘是以O为圆心，以厘米为半径的圆，为圆的直径，其中时针为线段，分针为线段，且点A、B、O、C、D都在同一条直线上．
(1)若点B，C是线段的三等分点，求表长．
(2)若手表显示是9点30分．
①求此时时针与分针的夹角的大小；
②此时，作射线，使，求的大小；
(3)自9点30分起，至10点30分止，在这一小时期间，时针和分针在不停地旋转．若射线是的平分线，它也随之运动，则经过多少分钟后，恰好能使？
27．将一副三角板如图1放置（，，，），在、（、）内作射线、，且，，将三角板绕着点顺时针旋转．
(1)如图1，当点、A、在一条直线上时，______；
(2)如图2，若旋转角为（），的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．
(3)如图3，当三角板旋转到内部时，求的值．
28．综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”．
(1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数．
(2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．
29．已知点O为直线AB上一点．
(1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数；
(2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝ °，此时图中互余的角有 对，互补的角有 对．
(3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由．
30．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
31．【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
32．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角，
(1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数；
(2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系；
(3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
专题09 线段与角的画法（难点）
一、单选题
1．如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【解析】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
2．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．
【解析】∵，，=25°，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
3．点C是线段的三等分点，点D是线段的中点．若线段，则线段的长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解．
【解析】∵点C是线段的三等分点，
如图所示，当时，
∴
∵点D是线段的中点
∴
∴；
如图所示，当时，
∴
∵点D是线段的中点
∴
∴；
综上所述，线段的长为或．
故选：D．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
4．小王在学习“线段与角”章节有关知识时，有如下说法：
（1）若，则的余角的度数为；
（2）两点之间直线最短；
（3）一个锐角的余角比这个角的补角小90°；
（4）互补的两个角一个是锐角一个是钝角．
你认为小王以上说法正确的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用余角的计算方法可判断说法（1）；利用线段公理可判断说法（2）；利用余角和补角的定义计算后可判断说法（3）；利用互补的定义可以判断说法（4）．
【解析】（1），故正确；
（2）两点之间线段最短，故错误；
（3）设这个锐角为α度，则且余角为度，其补角为度，故余角比锐角小90°，故正确；
（4）互补的两个角也可能都是直角，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段与角的有关知识，理解掌握已经学过的基础知识是解题的关键．
5．已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（ ）
A．B．C．1或D．或2
【答案】C
【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【解析】当N在射线BA上时，，不合题意
当N在射线AB上时，，此时
当N在线段AB上时，
由图可知
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．
6．如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【解析】解：由已知当PB=AB时，PB=，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时
2t+=8
解得t=，
当点P在B点左侧时
2t-=8
解得t=
所以t=或t=．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
7．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作几条直线（ ）
A．1条、4条、8条或10条B．1条、5条、9条或10条
C．1条、5条、6条、8条或10条D．1条或10条
【答案】C
【分析】根据5,4在一条直线上,3点都不在一条直线上,五点都不在一条直线上,分别画出图形,即可求得画的直线的条数.
【解析】解:如下图，分以下四种情况：
①当五点在同一直线上，如图：
故可以画1条不同的直线；
②当有四个点在同一直线上，
故可以画5不同的直线；
③当有两个三点在同一直线上，
故可以画6条不同的直线；
④当有三个点在同一直线上，
故可以画8不同的直线；
⑤当五个点都不在同一直线上时，
因此当n=5时，一共可以画×5×4=10条直线．
故可以作1条、5条、6条，8条或10条直线．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平面上直线的确定方法，由于没有明确平面上五点的位置关系，所以是否全面的类讨论是解答本题的关键.
8．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】根据与互补，得出，，求出的余角是，表示的余角，即可判断①；，即可判断②；，即可判断③；求出，即可判断④．
【解析】解：与互补，
，，
表示的余角，
①正确；
，
②正确
，
③错误；
，
④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是是解题的关键．
9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．
【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，
即∠COE=∠BOE，所以①正确；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，
所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．
所以，正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．
10．如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，是∠AOC的平分线，是的平分线，是的平分线， 则与大小关系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．无法确定
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得，，，进而可得，即有，据此即可作答．
【解析】∵OC平分∠AOB，，
∴，
∵OC1平分∠AOC，
∴，
∵OC2平分，
∴，
依次类推可知：，
∴可知，
∴，
∴，
∵根据题意可知，
∴，
即有：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形规律的探索，依据角平分线的性质推导出是解答本题的关键．
二、填空题
11．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度．
【答案】
【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案．
【解析】解：①，
故答案为：；
②，
，
，
，
故答案为：；
③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟，
时针与0点的夹角为，
分针与0点的夹角为，
钟表上的时针与分针的夹角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转．
12．两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是______cm（木条的粗细忽略不计）.
【答案】1
【分析】根据点D是的中点，点E是的中点，得，整理得，即可得答案．
【解析】解：如下图，点D是的中点，点E是的中点，，
点D是的中点，点E是的中点，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了线段的中点及线段的和差，熟练掌握线段的中点及线段的和差的计算方法是解题的关键．
13．如图，将三个相同的三角尺角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____．
【答案】/12度
【分析】根据，得到，即可求解．
【解析】解：如图，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了角度的计算，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用知识点解决问题．
14．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____．
【答案】①②③
【分析】由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①正确；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由由中点的意义可得代入可判断③正确；由得，代入可得故可判断④错误．
【解析】解：如图
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即，故①正确；
∵，
∴，
∵M、N分别是线段的中点，
∴，
∴，故②正确；
∵M、N分别是线段的中点，
∴
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键．
15．如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有______．
①如果，那么
②是定值
③若变小，则变大
④
【答案】①②③④
【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断．
【解析】解：，
，
，
，
，
即，
即，
当，
则，
故①正确；
，
，
故②正确；
，
若变小，则变大，
故③正确；
，
，
，
故④正确；
综上所述，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合．
16．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号 _____．
【答案】①③④
【分析】①由平分，平分可得，进而可得与互余；②平分，结合①可求；先证，进而可证与互补；④由，可判断④正确．
【解析】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，即与互余，故①正确；
∵平分，
∠，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴与互补，故③正确；
∵，，
∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查余角和补角，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么___________．
【答案】或/ 或
【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可．
【解析】关于x的方程有无数多个解
，则，解得
1.当C在内部时，如图
平分，
设，则，，
，解得
2.当C在外部时，如图
平分，
设，则，，
，解得
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线需要分类讨论不同的位置．
18．有一无弹性细线，拉直时测得细线长为，现进行如下操作：1．在细线上任取一点；2．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点；3．将细线折叠，使点与点重合，记折点为点．
（1）如图，的长为___________；
（2）继续进行折叠，使点与点重合，并把点和与其重叠的点处的细线剪开，使细线分成长为，，的三段，当，则细线未剪开时的长为___________．
【答案】 4 2或6
【分析】（1）根据点与是线段的中点即可得到答案；
（2）根据条件得到，分两种情况：当时，当时以及当时讨论即可．
【解析】解：（1）点为的中点，点为的中点，
，，
；
（2），细线剪开后分成，，三段，
，
当时，，
，
，
，
，，
；
当时，，
，
，
，
，，
．
故答案为：；或．
【点睛】本题主要考查线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知，，，四点，请按要求作图，并解答．
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)连接与射线交于点；
(4)若点是线段的中点，，，求MP的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)2
【分析】（1）（2）（3）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可；
（4）求出，根据进行计算求解．
【解析】（1）如图，直线即为所求，
（2）如图，射线即为所求，
（3）如图，线段，点即为所求，
（4）∵，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，线段，射线的定义等知识，解题的关键是掌握直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．
20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
21．已知点B在线段上，点D在线段上．
(1)如图1，若，D为线段的中点，求线段的长度；
(2)如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度．
【答案】(1)线段的长度为；
(2)线段的长度为．
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出的长度为．
【解析】（1）解：如图1所示：
∵，
∴，
又∵D为线段的中点，
∴，
∴；
（2）解：如图2所示，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为线段的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．
22．已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
①画射线OP；
②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a；
③在线段OB上截取BC＝b；
④作出线段OC的中点D．
(1)根据以上作图可知线段OC＝ ；（用含有a、b的式子表示）
(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝ 厘米．
【答案】(1)作图见解答，
(2)6
【分析】利用基本作图画出对应的几何图形，（1）根据线段的和差得到；（2）先利用点为的中点得到厘米，则厘米，然后利用进行计算．
【解析】（1）解：如图，
；
故答案为：；
（2）解：点为的中点，
厘米，
，
厘米，
（厘米）；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，两点间的距离，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
23．如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的度数；
(3)当时，求的度数（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义求出，，即可求出结果；
（2）根据角平分线的定义得出，，设，则，根据列出方程，解方程得出，再根据角度之间的关系即可得出答案；
（3）设，，根据图形得出，，根据列出等式，得出即可得出答案．
【解析】（1）解：∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
∴，
解得：，即，
∴．
（3）
解：设，，
依题意可知，，；
由得：，，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合．
24．已知点О为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O上，并在内部作射线．
(1)如图l，三角板的一边与射线重合．
①的余角是___________，补角是___________；
②若，则的度数为___________；
(2)如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数；
(3)若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，试猜想与之间的数量关系为___________．
【答案】(1)①，；②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据余角和补角的定义进行解答即可；
②根据和即可得出答案；
（2）设，则，根据恰好平分，得出，根据列出方程，解方程，得出x的值，求出，即可得出答案；
（3）设，，则，根据平分，得出，根据，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：①∵，，
∴的余角是，补角是；
故答案为：，；
②∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：设，则，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：设，，则，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．
25．图①是由一副三角尺拼成的图案．
(1)图①中，的度数为___________度；
(2)将图①中的三角尺绕点B旋转（）度能否使？若能，请写出当时，的度数；若不能，说明理由（图②③供参考）．
【答案】(1)
(2)能，120°或80°
【分析】（1）直接根据三角板中角度的特点进行求解即可；
（2）分三种情况：当逆时针旋转（），当逆时针旋转（），当顺时针旋转度，根据角度之间的关系建立方程求解即可．
【解析】（1）解：由题意得，，
∴ ，
故答案为：；
（2）解：第一种情况：逆时针旋转（），
∵，
∴，
解得，
∴．
第二种情况：逆时针旋转（），
∵，
∴，
解得，
∴．
第三种情况：顺时针旋转，
∵，
∴，
解得．
∵，
∴不合题意，舍去．
综上，当时，的度数为120°或80°．
【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26．如图1所示是某款手表实物图，其示意图如图2所示，已知表盘是以O为圆心，以厘米为半径的圆，为圆的直径，其中时针为线段，分针为线段，且点A、B、O、C、D都在同一条直线上．
(1)若点B，C是线段的三等分点，求表长．
(2)若手表显示是9点30分．
①求此时时针与分针的夹角的大小；
②此时，作射线，使，求的大小；
(3)自9点30分起，至10点30分止，在这一小时期间，时针和分针在不停地旋转．若射线是的平分线，它也随之运动，则经过多少分钟后，恰好能使？
【答案】(1)（厘米）
(2)①105°；②75°或135°
(3)经过或30分钟后，恰好能使
【分析】（1）由线段的三等分点的含义可得答案；
（2）①由时针每分钟走，结合钟面上每格的角度为，从而可得答案；②射线有两种可能需分类讨论：如图，当射线在的内部时，；当射线在的外部时，再结合角的和差关系可得答案；
（3）分两种情况讨论：所以当分针未追上时针前，如图，当分针追上时针后，如图，再建立方程解题即可．
【解析】（1）解：∵点B，C是线段的三等分点，
∴，
∴此时表长（厘米）．
（2）①∵时针每分钟走，分针每分钟走，
而钟面上每格的角度为，
∴．
②要使，射线有两种可能需分类讨论：如图，
当射线在的内部时，；
当射线在的外部时，．
（3）∵射线是的平分线，且，
∴．
设自9点30分起经过t分钟，则，
∵9点30分时时针与分针所成的夹角为105°，所以当分针未追上时针前，如图，
∴，解得；
当分针追上时针后，如图，
∴，解得
综上，经过或30分钟后，恰好能使．
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的三等分点的含义，钟面角的含义，角的旋转定义的理解，一元一次方程的应用，理解题意，建立方程解题是关键．
27．将一副三角板如图1放置（，，，），在、（、）内作射线、，且，，将三角板绕着点顺时针旋转．
(1)如图1，当点、A、在一条直线上时，______；
(2)如图2，若旋转角为（），的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．
(3)如图3，当三角板旋转到内部时，求的值．
【答案】(1)
(2)的度数不发生改变，且；
(3)
【分析】（1）先根据点、A、在一条直线上，，求出，根据，求出，即可得出答案；
（2）根据旋转得出，，根据，，得出，，根据得出结果即可；
（3）根据，，结合，，得出，，求出，根据求出结果即可．
【解析】（1）解：∵点、A、在一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：的度数不发生改变，且；
∵旋转角为，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴
；
（3）解：当三角板旋转到内部时，，，
∵，，
∴，
，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是数形结合，搞清楚度数间的数量关系．
28．综合与实践
【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”．
(1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数．
(2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”．
(3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t秒；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)旋转20秒后，是的“友好线”
(3)存在；当或时，恰好是的“友好线”
【分析】（1）根据“友好线”定义求出的度数即可；
（2）根据“友好线”定义求出的度数，然后再求出的度数，根据旋转速度求出旋转时间，即可得出答案；
（3）分两种情况讨论，当在右侧时，当在左侧时，分别画出图形，列出关于t的方程，解方程即可得出答案．
【解析】（1）解：∵，
∴当射线是射线的“友好线”时，．
（2）解：∵，
∴当是的“友好线”时，，
∴，
∴旋转时间为（秒），
即旋转20秒后，是的“友好线”．
（3）解：存在；当或时，恰好是的“友好线”．
当在右侧时，如图所示：
此时，，
∵恰好是的“友好线”，
∴，
∴，
解得：；
当在右侧时，如图所示：
此时，，
∵恰好是的“友好线”，
∴，
∴，
解得：；
综上分析可知，当或时，恰好是的“友好线”．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是理解题目中“友好线”的定义，数形结合，注意分类讨论．
29．已知点O为直线AB上一点．
(1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数；
(2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝ °，此时图中互余的角有 对，互补的角有 对．
(3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．
(2)90，4，5．
(3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析．
【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答；
（2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数；
（3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答．
【解析】（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x，
根据题意得：3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．
（2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°；
∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，
∴互余的角有4对；
∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴互补的角有5对．
故答案为：90，4，5．
（3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下：
∵射线OC是∠BOD的角平分线，
∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，
∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，
∴∠AOD＝2∠COE．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键．
30．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变.
【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝AB．
【解析】解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=AB，
∴
（3）②的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=AB，
∴CM=AB，
∴PM=CM-CP=AB-5，
∵PD=AB-10，
∴PN=AB-10）=AB-5，
∴MN=PN-PM=AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以.
【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
31．【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12
【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．
【解析】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB
（2）有，理由如下：
射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°
则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因为∠COD=90°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°
∠BOC=∠BOD=45°
所以射线OB平分∠COD
又因为∠BOD=45°=∠AOB
所以射线OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：
第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
则∠AOB=2∠BOC
所以OC是∠AOB的“优线”．
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
32．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角，
(1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数；
(2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系；
(3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)∠BOE＝30°
(2)∠BOC＋∠BOE＝90°
(3)是定值，
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，于是得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论．
（1）
解：∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝30°；
（2）
∵∠BOC是∠AOE的差余角，
∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＋∠BOE＝90°；
（3）
是定值2，
理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，
∴＝＝2（定值）；
如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC−∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°＋∠COE，
∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE，
∴＝＝2（定值），
综上所述，为定值．

【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键．