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沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训01有理数压轴题(原卷版+解析)
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这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训01有理数压轴题(原卷版+解析)，共55页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
2．阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号
①12 21；②23 32；③34 43；
④45 54；⑤56 65；⑥67 76；
⑦78 87．
(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．
(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．
3．（1）如图（1），数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上移动个单位长度后表示的数是，那么的值是 ；
（2）如图（2），有一根木尺放置在数轴上，它的两端分别落在两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：)．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长．
（3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是岁！小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程．
4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
5．我们已知道：，
事实上：（为正整数）成立，
故有：当时，成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1)__________．
(2)___________．
(3)__ ___．
6．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足：
， b是最大的负整数，（C与A不重合）
(1) ； ； ；．
(2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
(3)试求出点C到点D的距离．
(4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒． 试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
7．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
(1)可求得 ，第2022个格子中的数为 ；
(2)求前2022个格子中所填整数之和的值；
(3)若前个格子中所填整数之和，求的值．（直接写出答案即可）
8．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．
(1)根据题意，填写下列表格：
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？
9．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
10．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
11．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点．
(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______；
(2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由．
12．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
13．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；
(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
15．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
16．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
17．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方”
(1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________.
(2)关于除方，下列说法错误的是________
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数n，1ⓝ=1
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式
=________；=_________；=_______
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________
(5)算一算： .
18．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1)______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
19．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
20．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
21．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________；
(2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________；
(3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________．
22．材料1：对于一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“万象数”．对于一个“万象数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“博雅数”，规定：F（M）＝．例如：M＝2378，因为3﹣2＝1，8﹣7＝1．所以2378是“万象数”；将M的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到“博雅数”N＝2783，．
材料2：对于任意四位自然数＝1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，
0≤b，c，d≤9），规定：G（）＝c·d﹣a·b．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)请判断2367、7934是不是“万象数”，请说明理由；如果是，请求出对应的F（M）的值；
(2)证明：对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数；
(3)已知P、Q是“万象数”，其中P的千位数字为m（m是整数且1≤m≤7），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且3≤s≤8），且s＞m．若G（P）+G（Q）能被13整除，求F（Q）的值．
23．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数时，输出数______；
如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______；
（2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________．
24．【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
25．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．
26．【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
6
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
___________
B点在数轴上的位置
___________
12
20
特训01 有理数 压轴题
一、解答题
1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5
(2)①4t＋6；②不会变化，2
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）①分别表示出t秒后点A对应的数，点B对应的数，点C对应的数，即可表示出AC；
（3）先求出AB，BC的值，再计算BC-AB的值，可得BC-AB的值是定值．
【解析】（1）解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，
最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；
故答案为：-1，1，5
（2）①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号
①12 21；②23 32；③34 43；
④45 54；⑤56 65；⑥67 76；
⑦78 87．
(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．
(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．
【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞
(2)见解析
(3)＞
【分析】(1)先计算每组中的两个数字，然后再比较大小即可；
(2)根据(1)中的结果即可总结出数字变化的规律；
(3)按照(2)中得到的规律即可求解．
（1）
①∵12=1，21=2，
∴12＜21；
②∵23=8，32=9，
∴23＜32；
③∵34=81，43=64，
∴34＞43；
④∵45=1024，54=625，
∴45＞54；
⑤∵56=15625，65=7776，
∴56＞65；
⑥∵67=279936，76=117649，
∴67＞76；
⑦∵78=5764801，87=2097152，
∴78＞87；
（2）
当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；
当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；
（3）
根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．
【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．
3．（1）如图（1），数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上移动个单位长度后表示的数是，那么的值是 ；
（2）如图（2），有一根木尺放置在数轴上，它的两端分别落在两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：)．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长．
（3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是岁！小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程．
【答案】（1）2或8；（2）A：12，B：18，PQ＝6；（3）图形见解析，小明岁，爷爷岁
【分析】（1）分点向右或向左移动两种情况讨论；
（2）根据题意由数轴观察得三个木尺的长为，即可求得答案；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木尺的长，由此可知爷爷的年龄；
【解析】（1）当点向右移动，则，
当点向左移动，则，
故答案为或；
（2）由题意可知，点到的距离、的距离、点到的距离相等，
，
点表示的数为，
点表示的数为；
（3）如图：
爷爷和小明的年龄差为：（岁)，
爷爷的年龄为（岁)，
小明的年龄为（岁)，
小明岁，爷爷岁．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系．
4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2)或4；4
(3)存在；或2
【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【解析】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，
∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，
解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；
故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，
∴，
解得：，
∴点S表示的数为6，
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
5．我们已知道：，
事实上：（为正整数）成立，
故有：当时，成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1)__________．
(2)___________．
(3)__ ___．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果．
【解析】（1）根据已知有：当时，成立
所以
所以
所以
故答案为：
（2）因为
故答案为：
（3）根据已知有：当时，成立
所以；；；
所以
又因为
所以上式
故答案为：
【点睛】本题考查了观察、类比、数字累规律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解．
6．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足：
， b是最大的负整数，（C与A不重合）
(1) ； ； ；．
(2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
(3)试求出点C到点D的距离．
(4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒． 试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)4；
(4)大小是否会随着t的变化而改变．理由见解析．
【分析】（1）根据非负数的性质得到，由b是最大的负整数，得到；
（2）根据两点间的距离公式即可得到结论；
（3）设点C表示的数为c,根据题意解方程即可得到结论；
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∵b是最大的负整数，
∴，
∵（C与A不重合），
∴，
∴；
故答案为：；
（2）将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为：，
故答案为：；
（3）设点C表示的数为c,
∵，
∴，
解得：；
∴．
（4）改变，理由如下：
由题意得：t秒后，
∴点C表示的数为：，
∵点D表示的数为：，
∴，
∴大小是否会随着t的变化而改变．
【点睛】此题考查了列代数式，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
7．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
(1)可求得 ，第2022个格子中的数为 ；
(2)求前2022个格子中所填整数之和的值；
(3)若前个格子中所填整数之和，求的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)6，
(2)
(3)
【分析】（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出的值，再根据第9个数是，可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2022除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；
（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．
（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．
【解析】（1）解：设第三个数为，第四个数为，由题意得：
，
，
，
．
根据表格可以看出，数据的规律为每三个数是一个循环，
．
，
第 2022个格子中的数与第三个格子中的数相同为：．
故答案为：6，；
（2）解：；
（3）解：，
，
前404组数据之和为，
，
前1213个格子中所填整数之和，
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，找到数据变化的规律是解题的关键．
8．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．
(1)根据题意，填写下列表格：
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？
【答案】(1)见解析
(2)3；4
(3)①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示
【分析】（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可；
（2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可；
（3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；
②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可．
【解析】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，
5秒时，点A在数轴上的位置为0，
∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒，
∴7秒时，点A在数轴上的位置为；
∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，
7秒时，点B在数轴上的位置为20，
∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒，
∴0秒时，点B在数轴上的位置为，
（2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为：
（秒）；
相遇时A、B两点对应的数为；
故答案为：3；4．
（3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示，
∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）；
∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示，
∴持续个单位，
∴第一次提示持续时间为（秒），
即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；
②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示，
∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒），
A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据表格中的数据得出A、B两点运动的速度和方向．
9．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1)，1，
(2)或3
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【解析】（1）解：，，，
故答案为：，1，．
（2），
，，
，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，
原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．
10．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
【答案】(1)-9
(2)11
(3)6
(4)90
(5)，
【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，
所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为．
故答案为：-9；
（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，
所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为．
故答案为：11；
（3）解：取出-6和-1，相除得．
所以商的最大值为6；
故答案为：6
（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为．
故答案为：90；
（5）解：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．
11．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点．
(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______；
(2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，
(2)使得原点是的突点的值为4
【分析】（1）根据题意设出未知数，利用突点的定义，可写出和，则可列出方程，分别解出方程即可求出；
（2）先根据题中点、点的运动方向和运动速度分别写出运动后点、点所表示的数，即可用含有的式子表示出、的长，根据原点是的突点，可得，列出方程，解出即可求出的值．
【解析】（1）解：设点表示的数为，
点是的突点，
点在点、之间且，
，
解得：；
设点表示的数为，
点是的突点，
点在点、之间且，
，
解得：；
综上所述：点表示的数是3，点表示的数是；
故答案为：3，；
（2）解：点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，，
原点是的突点，
，
，
解得：，
综上所述：使得原点是的突点的值为4．
【点睛】本题考查了数轴新定义题型，解题关键是：一是理解题中什么叫做突点，二是根据题中给出的突点情况列出方程．
12．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）．
【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案；
（2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案；
（3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案．
【解析】（1）I．解：由题意可得，
当 时，
，
当时，
故答案为，；
II．由题意可得，
在时有最小值为5，
故答案为5；
（2）解：由（1）可得，
当x在 ，4两点之间时最短，
即当时，的最小值，
最小值为，
故的最小值为9；
（3）由（1）可得，
表示到1，6， 三点的距离之和，
∴可得到当时最小值，
最小值为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间．
13．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；
(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【答案】(1)12
(2)，，
(3)或；8或
【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；
（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．
【解析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，
∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，
∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴，
解得，
故答案为：，，；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴，即，
∴或，
解得或，
由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，
∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当，即M在从点O运动到点C时，
，即，
∴或，
解得或，
当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故答案为：或；8或．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
【答案】(1)8
(2)或；
(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【解析】（1）解：，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，
有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：
．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
15．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
【答案】探究三：图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：，
最后的空白部分的面积是，
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以3，得；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2），
故答案为：；
（3）拓广应用：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
16．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3
(2)2；2
(3)6
(4)1021110
(5)
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【解析】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
的最小值是1＋0＋1＝2
故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小
的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
故答案为：1021110
（5）a使它到－1，2的距离之和小于4
①当时，则有
解得：
；
②当时，则有
③当时，则有
解得：
综上，a的取值范围为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．
17．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方”
(1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________.
(2)关于除方，下列说法错误的是________
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数n，1ⓝ=1
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式
=________；=_________；=_______
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________
(5)算一算： .
【答案】(1)，4
(2)C
(3) ，，
(4)
(5)
【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；
（2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断；
（3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果；
（4）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，写成字母表述的形式；
（5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果.
【解析】（1）解：，
．
故答案为：，4．
（2）解：，，
由于，
，
其它三个选项均正确，
所以选项错误，
故选：C．
（3）解：；
；
；
故答案为：；；；
（4）解：aⓝ，
故答案为：；
（5）解：
．
【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键．
18．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1)______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值；
（2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值；
（3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）依题意，
；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
19．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为，
故答案为：；
（2）不能，∵，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
20．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9
(2)；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
（1）
解：；
故答案为：9；
（2）
解：
，
．
故答案为：；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
21．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________；
(2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________；
(3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________．
【答案】(1)-1；
(2)C1或C4；
(3)①；②65；45；105．
【分析】（1）先求出AB=9，再根据联盟点的定义求出M表示的数是2与 -1，最后根据点M表示一个负数，即可求解；
（2）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；
（3）①分点P位于点A左侧、点P表示的数位于AB之间，且靠近点A、点P表示的数位于AB之间，且靠近点B三种情况讨论，即可求解；
②分当P为A、B的联盟点、点B为AP联盟点且AB=2BP、点B为AP联盟点且PB=2AB三种情况讨论，即可求解．
【解析】（1）解：由题意得，因为点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，
∴AM=2BM，或BM=2AM，
所以AM= 或AM= ，
所以点M表示的数是-4+6=2或-4+3=-1，
因为点M表示一个负数，
所以点M表示的数为-1．
故答案为：-1；
（2）解：由题意得 C1A＝，C1B＝，C1B＝2C1A，故C1符合题意；
C2A＝C2B＝2，故C2不符合题意；
C3A＝6，C3B＝2，故C3不符合题意；
C4A＝8，C4B＝4，C4A＝2C4B，故C4符合题意．
故答案为：C1或C4；
（3）解；由题意得AB=40．
①当点P位于点A左侧时，PB=2PA，所以PA=AB=40，所以点P表示的数为-15-40=-55；
当点P表示的数位于AB之间，且靠近点A时，PB=2PA，所以PA=，所以点P表示的数为；
当点P表示的数位于AB之间，且靠近点B时，PA=2PB，所以PA=，所以点P表示的数为；
故答案为：；
②当P为A、B的联盟点时，则PA=2PB，所以AB=PB=40，所以点P表示的数为25+40=65；
当点B为AP联盟点且AB=2BP时，BP=，所以点P表示的数为；
当点B为AP联盟点且PB=2AB时，BP=，所以点P表示的数为；
故答案为：65；45；105．
【点睛】本题为新定义问题，难度较大．考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识，理解“联盟点”的意义，根据题意结合数轴分类讨论是解题关键．
22．材料1：对于一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“万象数”．对于一个“万象数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“博雅数”，规定：F（M）＝．例如：M＝2378，因为3﹣2＝1，8﹣7＝1．所以2378是“万象数”；将M的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到“博雅数”N＝2783，．
材料2：对于任意四位自然数＝1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，
0≤b，c，d≤9），规定：G（）＝c·d﹣a·b．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)请判断2367、7934是不是“万象数”，请说明理由；如果是，请求出对应的F（M）的值；
(2)证明：对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数；
(3)已知P、Q是“万象数”，其中P的千位数字为m（m是整数且1≤m≤7），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且3≤s≤8），且s＞m．若G（P）+G（Q）能被13整除，求F（Q）的值．
【答案】(1)7934不是“万象数”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)﹣23或﹣34
【分析】（1）根据“万象数”定义判断即可．
（2）表示F（M），再证明．
（3）先表示P，Q，再求值．
(1)
解：∵3﹣2＝1，7﹣6＝1，
∴2367是“万象数”．
M＝2367，N＝2673．
∴F（M）＝＝﹣34．
∵9﹣7＝2，4﹣3＝1．
∴7934不是“万象数”．
(2)
证明：设一个“万象数“M＝＝1000x+100（x+1）+10y+y+1＝1100x+11y+101．
N＝1000x+100y+10（y+1）+x+1＝1001x+110y+11．
∴M﹣N＝99x﹣99y+99．
∴F（M）＝＝11x﹣11y+11．
∵x，y都是整数，
∴对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数．
(3)
解：由题意得：P＝1000m+100（m+1）+80+9＝1100m+189．
Q＝4500+10s+s+1＝4501+11s．
∴G（P）＝8×9﹣m（m+1）＝﹣m2﹣m+72．
G（Q）＝s（s+1）﹣4×5＝s2+s﹣20．
∴G（P）+G（Q）＝s2﹣m2+s﹣m+52
＝（s﹣m）（s+m+1）+52．
∵1≤m≤7，3≤s≤8，s＞m，G（P）+G（Q）能倍13整除，
∴s+m+1是13的倍数，
∴s＝7，m＝5或s＝8，m＝4．
∴Q＝4501+11×7＝4578或Q＝4500+11×8＝4589．
当Q＝4578时，F（Q）＝＝﹣23．
当Q＝4589时，F（Q）＝＝﹣34．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义的内涵是求解本题的关键．
23．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数时，输出数______；
如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______；
（2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________．
【答案】（1）-7；×5，-3；（2）-51；（3）×3，×4，+30．
【分析】（1）把代入图1中的程序中计算确定出输出数y即可；
根据输出的代数式确定出程序中应填的运算即可；
（2）把代入图3中的程序中计算确定出输出数y即可；
（3）根据题意确定出所求计算框图即可．
【解析】解：（1）把代入图1中的程序中，得：(-1)×2-5=-7；
根据题意，得：第①个“”内，应填×5，第②个“”内，应填-3；
（2）把代入图3中的程序中，得：(-2)×2-5=-9，
∵-9>-30，
∴把代入图3中的程序中，得：(-9) ×2-5=-23，
∵-23>-30，
∴把代入图3中的程序中，得：(-23) ×2-5=-51，
∵-51<-30，
∴y=-51；
（3）由题意，得第①个“”内，应填×3，第②个“”内，应填×4，第③个“”内，应填+30．
【点睛】本题考查了程序图与有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
【答案】(1)
(2)为17时所对应的数为10
(3)；存在使得为定值，的范围为
【分析】（1）根据，，即可求得的值，从而可以求出的中点所对应的数；
（2）先分别表示出点对应的数为，点对应的数为，再由为的中点得，即可得到答案；
（3）根据为靠近的三等分点和四等分点的规律即可得出为靠近的五等分点时所对应的数；由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，从而可得出点对应的数为：，点对应的数为：，再将表示出来计算即可得到答案．
【解析】（1）解：，
，
解得：，
的中点所对应的数为：，
故答案为：；
（2）解：根据题意画出数轴如图所示：
点对应的数为，点对应的数为，
为的中点，
，
解得：，
为17时所对应的数为10；
（3）解：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为，
若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为，
故答案为：；
由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，
是最靠近的五等分点，为中点，
点对应的数为：，点对应的数为：，
，
即，
表示到的距离，表示到10的距离，
当时，为定值，的值为：，
故存在使得为定值，的范围为．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，数轴的等分点，数轴上两点间的距离等知识，读懂题意，表示出点表示的数是解题的关键．
25．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．
【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1
【分析】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；
③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
综合上面三个的结果得到答案；
（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；
②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.
【解析】（1）①∵a、b都是正数，
∴=a， =b，
∴=1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，
∴=-a，=b，
∴=-1+1=0，
故答案为：0；
③∵a、b都是负数，
∴=-a， =-b，
∴=-1-1=-2，
故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，
当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，
综上，的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴=，
∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，
综上，的值为-1或1.
【点睛】此题考查绝对值的性质，根据绝对值的符号化简绝对值，熟记性质特征是解题的关键.
26．【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或
【分析】（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解.
【解析】解：（1）∵AC=3，BC=π AC，
∴AB=AC+BC=3π+3；
∵点D、C都是是线段的圆周率点且不重合，
∴BC=π AC ，AD=πBD，
∴AB=AC+BC=BD+AD，
∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，
∴AC= ，BD=，
∴AC=BD.
（2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1
∵点M是线段的圆周率点，
∴BM=π AM ，
∵,
∴AM+π AM=5+5π
∴AM=5；
当点M在线段BC之间时，如图2
∵点M是线段的圆周率点，
∴AM=π BM ，
∵，
∴π BM+BM=5+5π，
∴BM=5，
∴AM=5 π.
综上所述，AM长为5或5 π.
（3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x，
∴MC=πOM=πx
∴x+πx=π+1，
解得x=1，
∴OM=1，
∴OM=CN=1
∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
（4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x，
如图1，若OD=πDE，
∴x=π(π+2-x)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图2，若DE=πOD，
∴ π+2-x= πx，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图3，若OE=πDE，
∴π+2=π(x-π-2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图4，若DE=πOE，
∴x-π-2=π(π+2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：.
综上所述：D点表示的数为：或或或.
【点睛】本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键.
6
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
___________
B点在数轴上的位置
___________
12
20
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
B点在数轴上的位置
12
20
1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
2．阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号
①12 21；②23 32；③34 43；
④45 54；⑤56 65；⑥67 76；
⑦78 87．
(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．
(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．
3．（1）如图（1），数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上移动个单位长度后表示的数是，那么的值是 ；
（2）如图（2），有一根木尺放置在数轴上，它的两端分别落在两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：)．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长．
（3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是岁！小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程．
4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
5．我们已知道：，
事实上：（为正整数）成立，
故有：当时，成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1)__________．
(2)___________．
(3)__ ___．
6．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足：
， b是最大的负整数，（C与A不重合）
(1) ； ； ；．
(2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
(3)试求出点C到点D的距离．
(4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒． 试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
7．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
(1)可求得 ，第2022个格子中的数为 ；
(2)求前2022个格子中所填整数之和的值；
(3)若前个格子中所填整数之和，求的值．（直接写出答案即可）
8．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．
(1)根据题意，填写下列表格：
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？
9．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
10．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
11．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点．
(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______；
(2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由．
12．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
13．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；
(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
15．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
16．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
17．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方”
(1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________.
(2)关于除方，下列说法错误的是________
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数n，1ⓝ=1
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式
=________；=_________；=_______
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________
(5)算一算： .
18．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1)______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
19．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
20．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
21．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________；
(2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________；
(3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________．
22．材料1：对于一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“万象数”．对于一个“万象数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“博雅数”，规定：F（M）＝．例如：M＝2378，因为3﹣2＝1，8﹣7＝1．所以2378是“万象数”；将M的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到“博雅数”N＝2783，．
材料2：对于任意四位自然数＝1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，
0≤b，c，d≤9），规定：G（）＝c·d﹣a·b．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)请判断2367、7934是不是“万象数”，请说明理由；如果是，请求出对应的F（M）的值；
(2)证明：对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数；
(3)已知P、Q是“万象数”，其中P的千位数字为m（m是整数且1≤m≤7），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且3≤s≤8），且s＞m．若G（P）+G（Q）能被13整除，求F（Q）的值．
23．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数时，输出数______；
如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______；
（2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________．
24．【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
25．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．
26．【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
6
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
___________
B点在数轴上的位置
___________
12
20
特训01 有理数 压轴题
一、解答题
1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为 （用含t的关系式表示）；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)-1，1，5
(2)①4t＋6；②不会变化，2
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）①分别表示出t秒后点A对应的数，点B对应的数，点C对应的数，即可表示出AC；
（3）先求出AB，BC的值，再计算BC-AB的值，可得BC-AB的值是定值．
【解析】（1）解：由题意得，
单项式-xy2的系数a＝-1，
最小的正整数b＝1，
多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；
故答案为：-1，1，5
（2）①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案为：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．阅读下面材料并完成填空：
你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较nn＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号
①12 21；②23 32；③34 43；
④45 54；⑤56 65；⑥67 76；
⑦78 87．
(2)对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系： ．
(3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017 20172016．
【答案】(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；⑦＞
(2)见解析
(3)＞
【分析】(1)先计算每组中的两个数字，然后再比较大小即可；
(2)根据(1)中的结果即可总结出数字变化的规律；
(3)按照(2)中得到的规律即可求解．
（1）
①∵12=1，21=2，
∴12＜21；
②∵23=8，32=9，
∴23＜32；
③∵34=81，43=64，
∴34＞43；
④∵45=1024，54=625，
∴45＞54；
⑤∵56=15625，65=7776，
∴56＞65；
⑥∵67=279936，76=117649，
∴67＞76；
⑦∵78=5764801，87=2097152，
∴78＞87；
（2）
当n＝1或2时，nn＋1＜（n＋1）n；
当n＞2的整数时，nn＋1＞（n＋1）n；
（3）
根据第（2）小题的结论可知，20162017＞20172016．
【点睛】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律．
3．（1）如图（1），数轴上有一个表示数的点，已知点在数轴上移动个单位长度后表示的数是，那么的值是 ；
（2）如图（2），有一根木尺放置在数轴上，它的两端分别落在两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：)．利用所学知识求出点、点所表示的数及木尺的长．
（3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是岁！小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程．
【答案】（1）2或8；（2）A：12，B：18，PQ＝6；（3）图形见解析，小明岁，爷爷岁
【分析】（1）分点向右或向左移动两种情况讨论；
（2）根据题意由数轴观察得三个木尺的长为，即可求得答案；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木尺的长，由此可知爷爷的年龄；
【解析】（1）当点向右移动，则，
当点向左移动，则，
故答案为或；
（2）由题意可知，点到的距离、的距离、点到的距离相等，
，
点表示的数为，
点表示的数为；
（3）如图：
爷爷和小明的年龄差为：（岁)，
爷爷的年龄为（岁)，
小明的年龄为（岁)，
小明岁，爷爷岁．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系．
4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2)或4；4
(3)存在；或2
【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【解析】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，
∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，
解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；
故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，
∴，
解得：，
∴点S表示的数为6，
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
5．我们已知道：，
事实上：（为正整数）成立，
故有：当时，成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1)__________．
(2)___________．
(3)__ ___．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果．
【解析】（1）根据已知有：当时，成立
所以
所以
所以
故答案为：
（2）因为
故答案为：
（3）根据已知有：当时，成立
所以；；；
所以
又因为
所以上式
故答案为：
【点睛】本题考查了观察、类比、数字累规律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解．
6．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足：
， b是最大的负整数，（C与A不重合）
(1) ； ； ；．
(2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示）
(3)试求出点C到点D的距离．
(4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒． 试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)4；
(4)大小是否会随着t的变化而改变．理由见解析．
【分析】（1）根据非负数的性质得到，由b是最大的负整数，得到；
（2）根据两点间的距离公式即可得到结论；
（3）设点C表示的数为c,根据题意解方程即可得到结论；
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∵b是最大的负整数，
∴，
∵（C与A不重合），
∴，
∴；
故答案为：；
（2）将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为：，
故答案为：；
（3）设点C表示的数为c,
∵，
∴，
解得：；
∴．
（4）改变，理由如下：
由题意得：t秒后，
∴点C表示的数为：，
∵点D表示的数为：，
∴，
∴大小是否会随着t的变化而改变．
【点睛】此题考查了列代数式，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
7．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
(1)可求得 ，第2022个格子中的数为 ；
(2)求前2022个格子中所填整数之和的值；
(3)若前个格子中所填整数之和，求的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)6，
(2)
(3)
【分析】（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出的值，再根据第9个数是，可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2022除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；
（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．
（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．
【解析】（1）解：设第三个数为，第四个数为，由题意得：
，
，
，
．
根据表格可以看出，数据的规律为每三个数是一个循环，
．
，
第 2022个格子中的数与第三个格子中的数相同为：．
故答案为：6，；
（2）解：；
（3）解：，
，
前404组数据之和为，
，
前1213个格子中所填整数之和，
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，找到数据变化的规律是解题的关键．
8．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．
(1)根据题意，填写下列表格：
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？
【答案】(1)见解析
(2)3；4
(3)①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示
【分析】（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可；
（2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可；
（3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；
②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可．
【解析】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，
5秒时，点A在数轴上的位置为0，
∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒，
∴7秒时，点A在数轴上的位置为；
∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，
7秒时，点B在数轴上的位置为20，
∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒，
∴0秒时，点B在数轴上的位置为，
（2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为：
（秒）；
相遇时A、B两点对应的数为；
故答案为：3；4．
（3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示，
∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）；
∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示，
∴持续个单位，
∴第一次提示持续时间为（秒），
即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；
②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示，
∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒），
A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据表格中的数据得出A、B两点运动的速度和方向．
9．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1)，1，
(2)或3
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【解析】（1）解：，，，
故答案为：，1，．
（2），
，，
，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，
原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．
10．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
【答案】(1)-9
(2)11
(3)6
(4)90
(5)，
【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，
所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为．
故答案为：-9；
（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，
所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为．
故答案为：11；
（3）解：取出-6和-1，相除得．
所以商的最大值为6；
故答案为：6
（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为．
故答案为：90；
（5）解：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．
11．已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点．
(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______；
(2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，
(2)使得原点是的突点的值为4
【分析】（1）根据题意设出未知数，利用突点的定义，可写出和，则可列出方程，分别解出方程即可求出；
（2）先根据题中点、点的运动方向和运动速度分别写出运动后点、点所表示的数，即可用含有的式子表示出、的长，根据原点是的突点，可得，列出方程，解出即可求出的值．
【解析】（1）解：设点表示的数为，
点是的突点，
点在点、之间且，
，
解得：；
设点表示的数为，
点是的突点，
点在点、之间且，
，
解得：；
综上所述：点表示的数是3，点表示的数是；
故答案为：3，；
（2）解：点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，，
原点是的突点，
，
，
解得：，
综上所述：使得原点是的突点的值为4．
【点睛】本题考查了数轴新定义题型，解题关键是：一是理解题中什么叫做突点，二是根据题中给出的突点情况列出方程．
12．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）．
【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案；
（2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案；
（3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案．
【解析】（1）I．解：由题意可得，
当 时，
，
当时，
故答案为，；
II．由题意可得，
在时有最小值为5，
故答案为5；
（2）解：由（1）可得，
当x在 ，4两点之间时最短，
即当时，的最小值，
最小值为，
故的最小值为9；
（3）由（1）可得，
表示到1，6， 三点的距离之和，
∴可得到当时最小值，
最小值为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间．
13．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；
(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；
(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【答案】(1)12
(2)，，
(3)或；8或
【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；
（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．
【解析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，
∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，
∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴，
解得，
故答案为：，，；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴，即，
∴或，
解得或，
由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，
∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当，即M在从点O运动到点C时，
，即，
∴或，
解得或，
当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故答案为：或；8或．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
【答案】(1)8
(2)或；
(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【解析】（1）解：，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，
有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：
．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
15．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
【答案】探究三：图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：，
最后的空白部分的面积是，
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以3，得；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2），
故答案为：；
（3）拓广应用：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
16．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3
(2)2；2
(3)6
(4)1021110
(5)
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【解析】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
的最小值是1＋0＋1＝2
故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小
的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
故答案为：1021110
（5）a使它到－1，2的距离之和小于4
①当时，则有
解得：
；
②当时，则有
③当时，则有
解得：
综上，a的取值范围为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．
17．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方”
(1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________.
(2)关于除方，下列说法错误的是________
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数n，1ⓝ=1
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式
=________；=_________；=_______
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________
(5)算一算： .
【答案】(1)，4
(2)C
(3) ，，
(4)
(5)
【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；
（2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断；
（3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果；
（4）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，写成字母表述的形式；
（5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果.
【解析】（1）解：，
．
故答案为：，4．
（2）解：，，
由于，
，
其它三个选项均正确，
所以选项错误，
故选：C．
（3）解：；
；
；
故答案为：；；；
（4）解：aⓝ，
故答案为：；
（5）解：
．
【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键．
18．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1)______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值；
（2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值；
（3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）依题意，
；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
19．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为，
故答案为：；
（2）不能，∵，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
20．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9
(2)；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
（1）
解：；
故答案为：9；
（2）
解：
，
．
故答案为：；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
21．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
(1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________；
(2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________；
(3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________．
【答案】(1)-1；
(2)C1或C4；
(3)①；②65；45；105．
【分析】（1）先求出AB=9，再根据联盟点的定义求出M表示的数是2与 -1，最后根据点M表示一个负数，即可求解；
（2）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；
（3）①分点P位于点A左侧、点P表示的数位于AB之间，且靠近点A、点P表示的数位于AB之间，且靠近点B三种情况讨论，即可求解；
②分当P为A、B的联盟点、点B为AP联盟点且AB=2BP、点B为AP联盟点且PB=2AB三种情况讨论，即可求解．
【解析】（1）解：由题意得，因为点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，
∴AM=2BM，或BM=2AM，
所以AM= 或AM= ，
所以点M表示的数是-4+6=2或-4+3=-1，
因为点M表示一个负数，
所以点M表示的数为-1．
故答案为：-1；
（2）解：由题意得 C1A＝，C1B＝，C1B＝2C1A，故C1符合题意；
C2A＝C2B＝2，故C2不符合题意；
C3A＝6，C3B＝2，故C3不符合题意；
C4A＝8，C4B＝4，C4A＝2C4B，故C4符合题意．
故答案为：C1或C4；
（3）解；由题意得AB=40．
①当点P位于点A左侧时，PB=2PA，所以PA=AB=40，所以点P表示的数为-15-40=-55；
当点P表示的数位于AB之间，且靠近点A时，PB=2PA，所以PA=，所以点P表示的数为；
当点P表示的数位于AB之间，且靠近点B时，PA=2PB，所以PA=，所以点P表示的数为；
故答案为：；
②当P为A、B的联盟点时，则PA=2PB，所以AB=PB=40，所以点P表示的数为25+40=65；
当点B为AP联盟点且AB=2BP时，BP=，所以点P表示的数为；
当点B为AP联盟点且PB=2AB时，BP=，所以点P表示的数为；
故答案为：65；45；105．
【点睛】本题为新定义问题，难度较大．考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识，理解“联盟点”的意义，根据题意结合数轴分类讨论是解题关键．
22．材料1：对于一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“万象数”．对于一个“万象数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“博雅数”，规定：F（M）＝．例如：M＝2378，因为3﹣2＝1，8﹣7＝1．所以2378是“万象数”；将M的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到“博雅数”N＝2783，．
材料2：对于任意四位自然数＝1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，
0≤b，c，d≤9），规定：G（）＝c·d﹣a·b．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)请判断2367、7934是不是“万象数”，请说明理由；如果是，请求出对应的F（M）的值；
(2)证明：对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数；
(3)已知P、Q是“万象数”，其中P的千位数字为m（m是整数且1≤m≤7），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且3≤s≤8），且s＞m．若G（P）+G（Q）能被13整除，求F（Q）的值．
【答案】(1)7934不是“万象数”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)﹣23或﹣34
【分析】（1）根据“万象数”定义判断即可．
（2）表示F（M），再证明．
（3）先表示P，Q，再求值．
(1)
解：∵3﹣2＝1，7﹣6＝1，
∴2367是“万象数”．
M＝2367，N＝2673．
∴F（M）＝＝﹣34．
∵9﹣7＝2，4﹣3＝1．
∴7934不是“万象数”．
(2)
证明：设一个“万象数“M＝＝1000x+100（x+1）+10y+y+1＝1100x+11y+101．
N＝1000x+100y+10（y+1）+x+1＝1001x+110y+11．
∴M﹣N＝99x﹣99y+99．
∴F（M）＝＝11x﹣11y+11．
∵x，y都是整数，
∴对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数．
(3)
解：由题意得：P＝1000m+100（m+1）+80+9＝1100m+189．
Q＝4500+10s+s+1＝4501+11s．
∴G（P）＝8×9﹣m（m+1）＝﹣m2﹣m+72．
G（Q）＝s（s+1）﹣4×5＝s2+s﹣20．
∴G（P）+G（Q）＝s2﹣m2+s﹣m+52
＝（s﹣m）（s+m+1）+52．
∵1≤m≤7，3≤s≤8，s＞m，G（P）+G（Q）能倍13整除，
∴s+m+1是13的倍数，
∴s＝7，m＝5或s＝8，m＝4．
∴Q＝4501+11×7＝4578或Q＝4500+11×8＝4589．
当Q＝4578时，F（Q）＝＝﹣23．
当Q＝4589时，F（Q）＝＝﹣34．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义的内涵是求解本题的关键．
23．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数时，输出数______；
如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______；
（2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________．
【答案】（1）-7；×5，-3；（2）-51；（3）×3，×4，+30．
【分析】（1）把代入图1中的程序中计算确定出输出数y即可；
根据输出的代数式确定出程序中应填的运算即可；
（2）把代入图3中的程序中计算确定出输出数y即可；
（3）根据题意确定出所求计算框图即可．
【解析】解：（1）把代入图1中的程序中，得：(-1)×2-5=-7；
根据题意，得：第①个“”内，应填×5，第②个“”内，应填-3；
（2）把代入图3中的程序中，得：(-2)×2-5=-9，
∵-9>-30，
∴把代入图3中的程序中，得：(-9) ×2-5=-23，
∵-23>-30，
∴把代入图3中的程序中，得：(-23) ×2-5=-51，
∵-51<-30，
∴y=-51；
（3）由题意，得第①个“”内，应填×3，第②个“”内，应填×4，第③个“”内，应填+30．
【点睛】本题考查了程序图与有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有 ．则的中点所对应的数为___________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点 ．设运动时间为秒，为何值时所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为．
填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为___________．
在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围．
【答案】(1)
(2)为17时所对应的数为10
(3)；存在使得为定值，的范围为
【分析】（1）根据，，即可求得的值，从而可以求出的中点所对应的数；
（2）先分别表示出点对应的数为，点对应的数为，再由为的中点得，即可得到答案；
（3）根据为靠近的三等分点和四等分点的规律即可得出为靠近的五等分点时所对应的数；由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，从而可得出点对应的数为：，点对应的数为：，再将表示出来计算即可得到答案．
【解析】（1）解：，
，
解得：，
的中点所对应的数为：，
故答案为：；
（2）解：根据题意画出数轴如图所示：
点对应的数为，点对应的数为，
为的中点，
，
解得：，
为17时所对应的数为10；
（3）解：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为 ．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为，
若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为，
故答案为：；
由（2）得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数是5，点对应的数是，
是最靠近的五等分点，为中点，
点对应的数为：，点对应的数为：，
，
即，
表示到的距离，表示到10的距离，
当时，为定值，的值为：，
故存在使得为定值，的范围为．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，数轴的等分点，数轴上两点间的距离等知识，读懂题意，表示出点表示的数是解题的关键．
25．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程（直接填空）
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
（2）请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．
【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1
【分析】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；
③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；
综合上面三个的结果得到答案；
（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；
②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.
【解析】（1）①∵a、b都是正数，
∴=a， =b，
∴=1+1=2，
故答案为：2；
②设a是负数，b是正数，
∴=-a，=b，
∴=-1+1=0，
故答案为：0；
③∵a、b都是负数，
∴=-a， =-b，
∴=-1-1=-2，
故答案为：-2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；
（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：
当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，
当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，
当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,
当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，
综上，的值为1或3或-3,或-1；
②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，
∴=，
∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，
当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，
综上，的值为-1或1.
【点睛】此题考查绝对值的性质，根据绝对值的符号化简绝对值，熟记性质特征是解题的关键.
26．【新知理解】
如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧．
(1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)；
(2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ；
【问题探究】
(3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长；
【问题解决】
(4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数．
【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或
【分析】（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解.
【解析】解：（1）∵AC=3，BC=π AC，
∴AB=AC+BC=3π+3；
∵点D、C都是是线段的圆周率点且不重合，
∴BC=π AC ，AD=πBD，
∴AB=AC+BC=BD+AD，
∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，
∴AC= ，BD=，
∴AC=BD.
（2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1
∵点M是线段的圆周率点，
∴BM=π AM ，
∵,
∴AM+π AM=5+5π
∴AM=5；
当点M在线段BC之间时，如图2
∵点M是线段的圆周率点，
∴AM=π BM ，
∵，
∴π BM+BM=5+5π，
∴BM=5，
∴AM=5 π.
综上所述，AM长为5或5 π.
（3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x，
∴MC=πOM=πx
∴x+πx=π+1，
解得x=1，
∴OM=1，
∴OM=CN=1
∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
（4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x，
如图1，若OD=πDE，
∴x=π(π+2-x)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图2，若DE=πOD，
∴ π+2-x= πx，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图3，若OE=πDE，
∴π+2=π(x-π-2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：；
如图4，若DE=πOE，
∴x-π-2=π(π+2)，
解得，x=，
∴D点表示的数为：.
综上所述：D点表示的数为：或或或.
【点睛】本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键.
6
时间（秒）
0
5
7
A点在数轴上的位置
10
0
___________
B点在数轴上的位置
___________
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20
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A点在数轴上的位置
10
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B点在数轴上的位置
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