沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训02有理数压轴题(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训02有理数压轴题(题型归纳)(原卷版+解析)，共61页。试卷主要包含了分类讨论化简绝对值；二，绝对值有关的最小值问题，新定义的化简绝对值问题，动点与数轴问题，有理数的运算等内容，欢迎下载使用。

解答题
一、分类讨论化简绝对值
1．已知、、是有理数，且，则的值是______．
2．若，，则______．
3．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．
4．三个有理数a、b、c满足abc>0，则的值为________．
5．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
二、绝对值有关的最小值问题
6．信息1：点A、B在数轴上表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=；
信息2：数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
结合上面的信息回答下列问题：
已知数轴上点A、B两点对应的有理数a，b，且a，b满足
(1)填空：a= ， b= ，A，B之间的距离为 ；
(2)数轴上的动点C对应的有理数为c．
①式子最小值是 ，此时c的取值范围是 ；
②当时，则c= ；
③式子有最小值为9，则有理数d= ；
④式子的最小值为 ．
7．如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，解答下列问题：
(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示）
(3)若x表示一个实数，则当x在什么范围内时，有最小值？请写出x的范围及的最小值．
(4)当x为何值时，有最小值？并求出该最小值
8．数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得的整数x；
②求的最小值．
9．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与的两点之间的距离是___________（直接写出计算结果）；
(2)若，则___________；
(3)若，则___________；
(4)利用数轴求出的最小值为___________，且此时整数x的值为___________；
(5)利用数轴可求出：的最小值为___________．
10．【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】
(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】
(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
11．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
12．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
三、新定义的化简绝对值问题
13．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)和6关于2的“相对关系值”为_____；
(2)若和3关于1的“相对关系值”为7，求的值；
(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，，和关于101的“相对关系值”为1．
①的最大值为_____；
②直接写出所有的值．（用含的式子表示）
15．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．
(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 ．
(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
16．对于数轴上的两点给由如下定义：两点到原点O的距离之差的绝对值称为两点的“绝对距离”，记为．例如，两点表示的数如图（1）所示， 则．
(1)两点表示的数如图（2）所示．
①求两点的“绝对距离”；
②若点为数轴上一点（不与点O重合），且，求点表示的数；
(2)点为数轴上的两点．（点在点左侧）且，， 请直接写出点表示的为___________．
四、动点与数轴问题（单动点、双动点、多动点）
17．已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
18．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第_____次滚动后，小圆离原点最远；
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留）
19．A，B两个动点在数轴上做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间以及对应位置所对应的数记录如表．
(1)_______；______；
(2)A，B两点在第________秒时相遇，此时A，B点对应的数是__________；
(3)在运动到多少秒时，A，B两点相距10个单位长度？
20．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为 ．
21．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．
①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度．
前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）
(1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置．
(2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？
(3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值．
22．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
23．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．
(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？
(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
24．如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．
25．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．
（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
五、有理数的运算（裂项相消法、规律类问题、新定义的有理数运算问题、有理数运算的应用）
26．观察式子，，，…
(1)猜想并写出：＝ ；
(2)填空：＝ ；
(3)尝试解决：．
27．求1+2+22+23+…+22016的值，
令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，
因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．
参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．
28．观察下列解题过程：
计算：的值
解：设①，
则②，
由②－①，得.即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
29．我们已知道：，
事实上：（为正整数）成立，
故有：当时，成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1)__________．
(2)___________．
(3)__ ___．
30．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1)______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
31．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
32．概念学习：
规定：求若干个相同有理数（不等于0）的商的运算叫做除方，
如，等．
类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”；
记作，读作“的圈4次方”．
一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)下列关于除方的说法错误的是______；
A．对于任何正整数n，
B．
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→→乘方幂的形式．
(3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
＿＿＿，＿＿＿；
(4)计算：．
33．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
34．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
35．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
时间（秒）
0
4
7
A点位置
8
m
B点位置
n
16
31
第一局
第二局
第三局…
甲的手势
石头
剪刀
石头
…
乙的手势
石头
布
布
…
特训02 有理数 压轴题（题型归纳）
目录：一、分类讨论化简绝对值；二、绝对值有关的最小值问题；三、新定义的化简绝对值问题；四、动点与数轴问题（单动点、双动点、多动点）；五、有理数的运算（裂项相消法、规律类问题、新定义的有理数运算问题、有理数运算的应用）
解答题
一、分类讨论化简绝对值
1．已知、、是有理数，且，则的值是______．
【答案】
【分析】由a+b+c=0和abc为负数可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数；然后把a+b+c=0变形，最后代入代数式计算即可．
【解析】解：∵，
∴，，中只能有一个负数，另两个为正数，
不妨设，，，
∵
∴，，，
∴原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算．根据题意得到这三个数中只能有一个负数成为解答本题的关键．
2．若，，则______．
【答案】-2或0或4
【分析】对a和b，以及的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值．
【解析】解：①当，时，，，
原式；
②当，时，，，
原式；
③当，，且时，，
原式；
④当，，且时，，
原式；
⑤当，，且时，，
原式；
⑥当，，且时，，
原式．
故答案是：-2或0或4．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．
3．若、、都是非零有理数，其满足，则的值为__________．
【答案】
【分析】分中有一个数为负数和中有两个数为负数两种情况，再化简绝对值求值即可得．
【解析】都是非零有理数，且，
中有一个或两个数为负数，
因此，分以下两种情况：
（1）当中有一个数为负数时，则，
①若为负数，为正数，
则；
②若为负数，为正数，
则；
③若为负数，为正数，
则；
（2）当中有两个数为负数时，则，
①若为负数，为正数，
则；
②若为负数，为正数，
则；
③若为负数，为正数，
则；
综上，的值为0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的乘方与加减乘除法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
4．三个有理数a、b、c满足abc>0，则的值为________．
【答案】3或－1
【分析】a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有两个为负数或者三个都是正数，分两种情况进行讨论即可．
【解析】a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数，
若a、b、c中有两个为负数，则原式
a、b、c三个都是正数，则原式
故答案为3或－1．
【点睛】考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解．
5．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1)，1，
(2)或3
(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【解析】（1）解：，，，
故答案为：，1，．
（2），
，，
，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，
原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．
二、绝对值有关的最小值问题
6．信息1：点A、B在数轴上表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=；
信息2：数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
结合上面的信息回答下列问题：
已知数轴上点A、B两点对应的有理数a，b，且a，b满足
(1)填空：a= ， b= ，A，B之间的距离为 ；
(2)数轴上的动点C对应的有理数为c．
①式子最小值是 ，此时c的取值范围是 ；
②当时，则c= ；
③式子有最小值为9，则有理数d= ；
④式子的最小值为 ．
【答案】(1)3；；7
(2)①7；；②或4；③-6或5；④2450
【分析】（1）根据绝对值的非负性，求出a、b的值，然后根据数轴上两点之间的距离公式，求出A，B之间的距离即可；
（2）①根据动点C在A、B之间时最小，即可确定c的取值范围；
②分两种情况：当或，分别求出c的值即可；
③根据时，的最小值为7，得出或，然后分两种情况求出d的值即可；
④根据c取中间的数50时，有最小值，求出最小值即可．
（1）
解：，
，，
，，
．
故答案为：3；；7．
（2）
解：①∵点C在A、B之间时最小，即最小，
∴时，的值最小，
∵，，
∴
即的最小值为7．
故答案为：7；．
②∵当时，，
∴或，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
故答案为：或4．
③∵当时，的最小值为7，
∴或，
当，时，的值最小，
此时，，
即，
解得：；
当，时，的值最小，
此时，，
即，
解得：；
故答案为：-6或5．
④∵c取中间的数50时，有最小值，
∴的最小值为：
故答案为：2450．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．
7．如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，解答下列问题：
(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示）
(3)若x表示一个实数，则当x在什么范围内时，有最小值？请写出x的范围及的最小值．
(4)当x为何值时，有最小值？并求出该最小值
【答案】(1)4，7
(2)
(3)当时，有最小值，且最小值为4．
(4)当时，有最小值，且最小值为6．
【分析】（1）根据A、B两点之间的距离，进行计算可得答案；（2）根据A、B两点之间的距离，进行计算可得答案；（3），该式子表示实数x到1和的距离之和，当时，有最小值，且最小值为1和之间的距离4；（4），该式子表示实数x到1、、的距离之和，当时，有最小值，且最小值为1和之间的距离6．
【解析】（1）解：∵，
∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是4．
∵，
∴数轴上表示2和的两点之间的距离是7．
故答案为：4，7
（2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离是，
故答案为：
（3）解：∵，
∴当实数x满足时，
实数x到1与的距离和有最小值，最小值为1与之间的距离，即，
故当时，有最小值，且最小值为4．
（4）解：∵，
∴当时，有最小值，且最小值为与1之间的距离，
即最小值为．
故当时，有最小值，且最小值为6．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，充分理解绝对值的几何意义，运用数形结合的思想进行分析是解题的关键．
8．数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________；
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；
(3)①找出所有使得的整数x；
②求的最小值．
【答案】(1)5，5
(2)3，
(3)①，0，1，2． ②4
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值；
（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是；
②对x进行讨论，可得的最小值．
【解析】（1）表示和2的两点之间的距离是，
表示和3的两点之间的距离是；
故答案为：5，5；
（2）由题意可得，，
∴或，
∴或；
故答案为：3，．
（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2），
就有，因此这样的整数是；
②对x进行讨论：
当时，，恒成立；
当时，；
当时，；
综上，的最小值为4．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．
9．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与的两点之间的距离是___________（直接写出计算结果）；
(2)若，则___________；
(3)若，则___________；
(4)利用数轴求出的最小值为___________，且此时整数x的值为___________；
(5)利用数轴可求出：的最小值为___________．
【答案】(1)5；
(2)6或4；
(3)
(4)3；，，0，1；
(5)2023
【分析】（1）根据题意可得3与的两点之间的距离是，计算即可；
（2）表示x到5的距离为1，据此可解；
（3）表示x到1的距离和到的距离相等，据此可解；
（4）根据绝对值的意义可知表示x到的距离与x到1的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可；
（5）根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可．
【解析】（1）解：由题意可得：，
故答案为：5；
（2）解：表示x到5的距离为1，
根据数轴可得，到数轴上表示5的数距离为1的点表示的数为6或4
故答案为：6或4；
（3）解：表示x到1的距离和到的距离相等，
根据数轴上点的位置可得到1的距离和到的距离相等的点表示的数为，
即，
故答案为：；
（4）解：根据绝对值的意义可知表示x到的距离与x到1的距离之和，
∵表示的数与表示1的数之间的距离为，
根据数轴可知，当时，，
当时，，
当时，，
综上，当时，有最小值为3，且此时整数x的值为，，0，1；
故答案为：3；，，0，1；
（5）解：如图，
根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和，
∵表示的数与表示1011的数之间的距离为，
根据数轴可知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，当时，有最小值为2023，
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了绝对值及数轴，解题的关键是理解两点间的距离表达式，注意数形结合思想的应用．
10．【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】
(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】
(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
【答案】(1)或
(2)−10；30
(3)村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁
(4)的最小值为6
【分析】（1）根据题意可得，求出b的值即可；
（2）由题意可得，再分别求出，即可；
（3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，得出，然后分别求出结果即可；
（4）由绝对值的几何意义可得，当时，的值最小．
【解析】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，
解得或，
故答案为：或；
（2）解：∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，
∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，
∴，
∴，，
故答案为：−10，30；
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：
，，，
∴，
∴，
，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
11．【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；
(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3
(2)2；2
(3)6
(4)1021110
(5)
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【解析】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
的最小值是1＋0＋1＝2
故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小
的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
故答案为：1021110
（5）a使它到－1，2的距离之和小于4
①当时，则有
解得：
；
②当时，则有
③当时，则有
解得：
综上，a的取值范围为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．
12．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）．
【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案；
（2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案；
（3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案．
【解析】（1）I．解：由题意可得，
当 时，
，
当时，
故答案为，；
II．由题意可得，
在时有最小值为5，
故答案为5；
（2）解：由（1）可得，
当x在 ，4两点之间时最短，
即当时，的最小值，
最小值为，
故的最小值为9；
（3）由（1）可得，
表示到1，6， 三点的距离之和，
∴可得到当时最小值，
最小值为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间．
三、新定义的化简绝对值问题
13．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；
②的值为______．
【答案】(1)8
(2)或；
(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【解析】（1）解：，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，
有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；

，的最小值；
∴的最小值：
．
故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
14．对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)和6关于2的“相对关系值”为_____；
(2)若和3关于1的“相对关系值”为7，求的值；
(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，，和关于101的“相对关系值”为1．
①的最大值为_____；
②直接写出所有的值．（用含的式子表示）
【答案】(1)；
(2)或；
(3)①3；②或或
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义，求解即可；
（2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可；
（3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分五种情况计算即可．
【解析】（1）解：根据“相对关系值”的定义，可得
故答案为：；
（2）由题意可得：，即，
解得或；
（3）①根据题意得，，
分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，
得到；
当时，，则，
得到；
当时，，则，
由此可知的最大值为3；
②分五种情况，
当时，，解得，
由可得，，
……
可得，
；
当时，，，此种情形不存在；
当时，，
，
……
，
∴，，……，，
∴，即，
，即，
同理可得：，……，，
∴，，，……，，
；
当时，由可得，
即，此种情形不存在；
当时，可得，，……，，
∴，，，，
；
综上，的值为或或．
【点睛】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质．
15．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．
(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 ．
(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
【答案】(1)， （答案不唯一）
(2)
(3)0
【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．
（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．
（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>| |，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．
【解析】（1）解：V（A4）=| |+||+||=4，
∴| |+||+||=4，
当， ，V（A4）=| |+||+||=4
（2）解：| |+||+||=3，
即| |+||+||=3
①2≤a<3时，| |+||+||=3，
所以 ，
解得以a=1，但不符合题意，舍去．
②a≤2时，| |+||+||=3
所以 ，
解得以 ，符合题意．
③a>3时，| |+||+||=3
所以，，
解得以 ，符合题意．
综上所述，或．
（3）解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数
∴>| |，>||，>||，>||，>0，
∴0≤| |+||+||+||≤
∴0≤V（A5）≤a
∴V（A5）的最小值为0．
【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
16．对于数轴上的两点给由如下定义：两点到原点O的距离之差的绝对值称为两点的“绝对距离”，记为．例如，两点表示的数如图（1）所示， 则．
(1)两点表示的数如图（2）所示．
①求两点的“绝对距离”；
②若点为数轴上一点（不与点O重合），且，求点表示的数；
(2)点为数轴上的两点．（点在点左侧）且，， 请直接写出点表示的为___________．
【答案】(1)①2；②2或；
(2)或
【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题；
②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题；
（2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解；
【解析】（1）①；
②∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得：或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或；
（2）由题可知，
∴或．
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴．
∵，
∴，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵，
∴，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵，
∴．
∵或，
∴或，
∴点M表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值的实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键．
四、动点与数轴问题（单动点、双动点、多动点）
17．已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
【答案】(1)见解析；
(2)①4 ，2 ，4；②或或或
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①当时，P点表示的数为6-4=2，
∴，，，
故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动，时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从C向A运动，时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，
∴，
解得；
综上所述，t的值为或或或．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
18．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．
（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第_____次滚动后，小圆离原点最远；
②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留）
【答案】（1）；（2）①6，②
【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；
（2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②根据计算总路程即可．
【解析】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是．
（2）①第1次滚动后，，
第2次滚动后，，
第3次滚动后，，
第4次滚动后，，
第5次滚动后，，
第6次滚动后，，
则第6次滚动后，小圆离原点最远．
②，
∴当小圆结束运动时，小圆运动的路共有．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系，是解题的关键．
19．A，B两个动点在数轴上做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间以及对应位置所对应的数记录如表．
(1)_______；______；
(2)A，B两点在第________秒时相遇，此时A，B点对应的数是__________；
(3)在运动到多少秒时，A，B两点相距10个单位长度？
【答案】(1)-13，
(2)，
(3)或
【分析】（1）由表格信息分别求解的运动速度与运动方向，从而可得答案；
（2）先表示运动后对应的数，在利用相遇时，两数相同列方程，再解方程可得答案；
（3）先利用绝对值的含义求解再解方程可得答案．
【解析】（1）解： A由0秒在8对应的点，4秒时在对应的点，
A以每秒3个单位长度的速度向左运动，
∴可得A点7秒时对应的数为：
B由4秒在16对应的点，7秒时在对应的点，
B以每秒5个单位长度的速度向右运动，
所以可得B点0秒时对应的数为：，
故答案为：-13；-4；
（2）解：由（1）可得A点运动后对应的数为，点运动后对应的数为
当相遇时，则，
解得：，
此时：
则对应的数为：，
故答案为：，；
（3）解：由A点运动后对应的数为，点运动后对应的数为
，
，
或
解得：或．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，掌握“利用绝对值方程解决数轴上的动点问题”是解题的关键．
20．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为 ．
【答案】（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9
【分析】（1）先根据立方根的定义求出a，再根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）当点C在数轴上A、B两点之间时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，依此即可求解；
（3）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解．
【解析】解：（1）∵a3＝﹣8．
∴a＝﹣2，
∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；
（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，
∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，
当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，
此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，
∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；
（3）设点P所表示的数为x，
∵PQ＝m，Q点在P点右侧，
∴点Q所表示的数为x+m，
∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|
∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|
当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，
①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，
②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
21．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．
①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度．
前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）
(1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置．
(2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？
(3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值．
【答案】(1)甲在数轴上的位置为，乙在数轴上的位置为8
(2)从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0
(3)6或9
【分析】（1）根据第一局平局，根据规则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；得出甲位置在-6+1=-5，乙位置在9-1=8；
（2）第一局平局，甲的位置在-6+1=-5；第二局甲胜，甲的位置在-5+5=0；第三局乙胜，甲的位置在0-3=-3．从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0；
（3）第一局平局，甲乙相向而行，甲乙之间距离缩短1+1=2；第二局甲胜，甲乙同向东而行，甲乙之间距离缩短5-3=2；第三局乙胜，甲乙同向西而行，甲乙之间距离缩短-3+5=2；无论谁胜或平局，两人之间是距离总是缩短2．∵甲乙之间原来的距离为9+6=15，∴当甲乙之间的距离缩短到3时，或．
【解析】（1）解：∵第一局为平局，
∴甲向东移动1个单位长度，甲在数轴上的位置为，
同时乙向西移动1个单位长度，乙在数轴上的位置为8．
（2）解：∵第二局甲赢，
∴甲向东移动5个单位长度，甲在数轴上的位置为0，
∵第三局乙赢，
∴甲向西移动3个单位长度，甲在数轴上的位置为，
∴从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0．
（3）解：k的值为6或9．
由题意可得刚开始两人之间的距离为15个单位长度，
∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，
∴若平局，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∵若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度，
∴若甲赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∵若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度，
∴若乙赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∴甲、乙每移动一次，甲、乙之间的距离缩小2个单位长度．
∵最终甲与乙的位置相距3个单位长度，
∴共需缩小12个单位长度或18个单位长度．
∵，，
∴k的值为6或9．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上动点表示的数等于原来表示的数加上或减去动点移动的距离，左移减，右移加，数轴上两点之间的距离一般取两点表示的数的差，用较大的数减去较小的数．
22．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；
(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
【解析】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；
故答案为：15；．
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；
故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．
23．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．
(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？
(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)经过或秒后点A到点C的距离为3cm
(4)的值不会随着t的变化而变化，
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；
（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；
（4）表示出BA、CB，再相减即可解题．
【解析】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为，
点A，B，C在数轴上表示如图：
（2）解：设原点为O，如图，
∴，，∴．
故答案为：．
（3）解：①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得：，解得：．
②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得：，解得：．
综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm．
（4）解：的值不会随着t的变化而变化，．
由题意：，，
∵移动t秒后，，，
∴．
∴的值不会随着t的变化而变化，．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3
【分析】（1）分类讨论，分别求出点B在点A左侧以及点B在点A右侧时点B所对应的数即可．
（2）分类讨论，分别求出点B对应的数为2和－6时，A、B两点之间的距离即可．
（3）由题可知：点表示的数为，点表示的数为，分别表示出AP、BQ、PQ、PB，分三类讨论，分别求出①当时，②当时，③当时对应的t的值．
【解析】（1）点在点左侧时，
为：，
点在点右侧时，
为：，
综上所述，点对应的数为或2．
（2）①当对应的数为时，
：个单位，（秒），
：，
∴；
②当对应的数为2时，
：个单位，（秒），
：，
．
综上所述，，两点之间的距离为4或12．
（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，
由题可知：点表示的数为，
点表示的数为，
∴，
，
，
，
分三种情况：
①当时，
为中点或与重合，
若为中点，如图，
则，
即，
解得，
若与重合，如图，
则，
即，
解得．
②当时，
为中点或，重合，
若为中点，如图，
则，
即，
解得，
若，重合，则（不合题意）
③当时，
为中点或，重合，
若为中点，如图，
则，
即，
解得，
若，重合，
则，
即，
解得．
综上所述，当或4或或6或3时，线段，，中存在两条线段相等．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思想的运用是解题关键．
25．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．
（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1、1、6；（2）-10 ；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3．
【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；
（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；
（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A，点B的距离之和，再令其等于5，列方程求解；
（4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断．
【解析】解：（1）由b是最小正整数得b=1；
由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．
故a=-1，b=1，c=6．
（2）∵点P在A、B之间运动
∴-1＜x＜1
∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0
∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)
=x+1-1+x-2x-10
=-10．
（3）由题意知AB=2，所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况
第一种情况，当M在A点左侧时
由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5
∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1
∴y=-2.5；
第二种情况，当M在B点右侧时
由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5
∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1
∴y=2.5；
故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-2.5．
(4)如下图
用A1、B1、C1分别表示A、B、C的初始位置
由题意得，当t秒时，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt
∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5
∴BC-AB=(3nt+5)-( 3nt+2)=3
故BC-AB的值不变，且BC-AB的值为3．
【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离．弄清数轴上点及点的运动与所表示的数之间的关系是解决本题的关键．
五、有理数的运算（裂项相消法、规律类问题、新定义的有理数运算问题、有理数运算的应用）
26．观察式子，，，…
(1)猜想并写出：＝ ；
(2)填空：＝ ；
(3)尝试解决：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式特点，直接写出即可；
（2）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再求和即可；
（3）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再求和即可．
【解析】（1）解：＝，
故答案为：；
（2）解：
，
（3）解：
．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式运算的一般规律是解题的关键．
27．求1+2+22+23+…+22016的值，
令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，
因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．
参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．
【答案】
【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论．
【解析】解：令，
则，
∴
∴．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键．
28．观察下列解题过程：
计算：的值
解：设①，
则②，
由②－①，得.即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．
【解析】解：设①，
则②，
由②①，得．
∴，
即原式．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用．
29．我们已知道：，
事实上：（为正整数）成立，
故有：当时，成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1)__________．
(2)___________．
(3)__ ___．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果．
【解析】（1）根据已知有：当时，成立
所以
所以
所以
故答案为：
（2）因为
故答案为：
（3）根据已知有：当时，成立
所以；；；
所以
又因为
所以上式
故答案为：
【点睛】本题考查了观察、类比、数字累规律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解．
30．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，．
材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，．
(1)______，=______；
(2)求的值：
(3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值；
（2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值；
（3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）依题意，
；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
31．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．
(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9
(2)；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
（1）
解：；
故答案为：9；
（2）
解：
，
．
故答案为：；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
32．概念学习：
规定：求若干个相同有理数（不等于0）的商的运算叫做除方，
如，等．
类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”；
记作，读作“的圈4次方”．
一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)下列关于除方的说法错误的是______；
A．对于任何正整数n，
B．
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→→乘方幂的形式．
(3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
＿＿＿，＿＿＿；
(4)计算：．
【答案】(1)，
(2)B
(3)，
(4)
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
（3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则，将该规律代入计算，注意运算顺序．
【解析】（1），
．
故答案为：，；
（2）A、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1；所以选项A说法正确；
B、，，则；所以选项B说法错误；
C、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数；所以选项C说法正确．
故答案为：B；
（3）；
同理得：．
故答案为：，；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
33．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
【答案】(1)-9
(2)11
(3)6
(4)90
(5)，
【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，
所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为．
故答案为：-9；
（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，
所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为．
故答案为：11；
（3）解：取出-6和-1，相除得．
所以商的最大值为6；
故答案为：6
（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为．
故答案为：90；
（5）解：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．
34．利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【解析】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为，
故答案为：；
（2）不能，∵，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
35．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．
【答案】探究三：图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：，
最后的空白部分的面积是，
根据第次分割图可得等式：，
两边同除以3，得；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2），
故答案为：；
（3）拓广应用：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
时间（秒）
0
4
7
A点位置
8
m
B点位置
n
16
31
第一局
第二局
第三局…
甲的手势
石头
剪刀
石头
…
乙的手势
石头
布
布
…