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沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训03一元一次方程压轴题(上海精选归纳)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版六年级数学下册期中期末满分冲刺特训03一元一次方程压轴题(上海精选归纳)(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个单位长度/秒，N的速度为个单位长度/秒．
(1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______；
(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
2．（2021春·上海虹口·六年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图：在射线OM上有三点A、B、C，OA=20厘米，AB=60厘米，BC=10厘米，点P从点O出发，沿OM方向以每秒1厘米的速度匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，点Q运动到O点时停止运动．
(1)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相距60厘米？
(3)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的速度是多少？
3．（2021春·上海杨浦·六年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)求a，b的值．
(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．
(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．
4．（2021春·上海浦东新·六年级上海市浦东模范中学东校校考期末）为节约用水，某市决定实行如下收费标准：如果每户每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.8元收费；若超过10立方米且不超过30立方米，超过的部分按每立方米2.5元收费；若超过30立方米，则超过的部分按每立方米4.2元收费．
(1)某户8月用水25立方米，则该户的8月实际用水的平均价格为每立方米______元？
(2)某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水多少立方米？
(3)另一户居民9月份的水费为93.2元，则该用户9月用水多少立方米？
5．（2022秋·上海徐汇·六年级统考期末）某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：
方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；
方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．
（注：两种优惠只能选择其中一种参加）
(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．
(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?
(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元?
6．（2021春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．
(1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．
(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如下图所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无须解题过程，只需直接写出购买方案．
7．（2022春·上海崇明·六年级校考期中）[新定义]：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．
[特例感知]
(1)如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，
①[B，A]的幸运点表示的数是 ；
A． B．0 C．1 D．2
②试说明A是[C，E]的幸运点．
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为 ．
[拓展应用]
(3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
8．（2021春·上海·六年级期中）阅读下面材料并回答问题：点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图①，；当、两点都不在原点时，
（1）如图②，点、都在原点的右边，；
（2）如图③，点、都在原点左边，；
（3）如图④，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
(1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
(2)若数轴上表示和的两点分别是点、，，那么 ．
(3)若数轴上点表示数，点表示数7，动点、分别同时从点、点出发沿着数轴正方向移动，点的移动速度是每秒3个单位长度，点的移动速度是每秒2个单位长度．
求：①运动几秒后，点追上点？
②运动几秒后，、两点相距3个单位长度？
9．（2021春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）解方程：
10．（2019秋·上海杨浦·七年级校考期中）阅读下列材料:让我们来规定一种运算： ．例如：
按照这种运算的规定，请解答下列各个问题：
（1）________，当x=______时，
（2）求x，y的值，使（写出解题过程）
11．（2023秋·上海青浦·六年级校考期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．
(2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______．
(3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．
12．（2022春·上海杨浦·六年级校考期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．
(1)试求出的周长；
(2)当点移动到边上时，化简：；
(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？
13．（2021春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）某家具厂的设计师根据的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．
(1)由刻度尺在图纸上测量可得，、、，所以这个柜子的表面积是______，体积是______．
(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？
14．（2021秋·上海青浦·六年级校考阶段练习）阅读流程图，并完成问题：
(1)如果输入数，则_______；
(2)如果输出数，则_________．
15．（2018秋·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）新个税法于2018年1月1日起施行，2018年10月1日起施行最新“起征点：5000元”和税率，《中华共和国个人所得税》中的个人所得税税率如下：
其中“全月应纳税所得额”是指从工资、薪金收入中减去5000元后的金额．（本题只讨论上表内容）
（1）若某一月份扣除税后拿了8000，他交了多少税？
（2）若某一月份纳税额为m元（m>0），他的税前收入是多少？
16．（2021春·上海青浦·六年级校联考期末）暑假即将开始，为了丰富假期生活，某学校要组织部分优秀学生和家长代表参加夏令营活动．有两家旅行社进行了报价，单人的基准价格都相同，但是两家给出的优惠不同（如图）．
(1)如果参加活动的大人和学生人数一样多，选择_________旅行社比较合算；
(2)如果参加活动的总人数为60人，经计算发现无论选择哪一家旅行社总费用都一样，求参加活动的学生人数；
(3)如果设大人有m个，学生有n个，当m和n满足什么关系式时选择甲旅行社比较合算？请直接写出结论．
17．（2022春·上海·八年级期中）甲乙两个仓库要向，两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，地需70吨水泥，地需110吨水泥，两库到，两地的路程与运费如表：（表中运费栏“元（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
(1)我们不妨设甲库运往地水泥吨，请填写表格，用含的式子表示出其他未知量．
(2)当甲、乙两库各运往，两地多少吨水泥时，总运费为37700元．
(3)甲乙两个仓库向，两地运送水泥，最省总运费是 元．（直接填写，不需过程）
18．（2022秋·上海·七年级期末）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只妈蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是（米/秒）．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
19．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，线段AB的长为a．
（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD的中点，请求线段MN的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
20．（2021秋·上海·七年级校考期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长；
（3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出各案）
21．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）在校园科技节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从车模，机器人，降落伞，科幻画，科技制作五个竞赛项目中选一项．现将选择情况绘制了以下统计图，请根据图 ，图 提供的相关信息，回答下列问题：
(1)参加科技制作竞赛活动的学生人数占参加竞赛总人数的 ．
(2)全校一共有多少名学生参加科技节竞赛活动？
(3)参加机器人竞赛活动的人数比参加降落伞竞赛活动的人数少百分之几？（百分号前保留一位小数）
(4)参加竞赛活动的学生有 获奖，其中一等奖与二等奖的人数之比 ，二等奖人数是三等奖人数的 ，求获一等奖的学生人数？
22．（2021春·上海·六年级校考期末）对于有理数a、b，我们用符号表示a、b两数中较小的数，如，又如．
(1)直接写出的值．
(2)已知．
①当时，求x的值．
②求当成立时，求c的取值范围．
23．（2021春·上海松江·六年级校考期末）阅读下列材料并回答问题：
墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丟番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公慕，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？
24．（2021春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）如图，已知正方体木框的棱长为10个单位，有两只蚂蚁同时沿着该正方体的棱爬行（框很细，设定蚂蚁的爬行路线为直线型）．
(1)若甲蚂蚁的爬行路线是DAB，乙蚂蚁的爬行路线是BA，经过6分钟两蚂蚁相遇；若甲蚂蚁的爬行路线是DABC，乙蚂蚁的爬行路线是BC，经过10分钟两蚂蚁相遇．试分别求出甲乙两只蚂蚁的爬行速度．
(2)若甲蚂蚁速度为每分钟10单位．沿爬行路线DABCD循环爬行，乙蚂蚁速度为每分钟4个单位，先从爬行到B，再沿爬行路线BCDAB循环爬行，甲、乙分别从D、两点同时出发，那么经过______分钟能第一次在C相遇．
25．（2021春·上海·六年级校考期末）某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格．售价如下表所示：（购买时必须整包购买）
(1)已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了____包．
(2)已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？
(3)在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变，如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？
26．（2021·上海·六年级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
(1)如图1，，，是的内半角，则_______；
(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
(3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度秒的速度按顺时针方向旋转（如图，问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
27．（2021春·上海·六年级校考期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
28．（2019秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）下面为某年11月的日历：
(1)在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数；
①设中间的一个数为，则另外的两个数为 、 ；
②若已知这三个数的和为42，则这三天都在星期 ；
(2)在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b,若这9个数的和为153，求的值.
品种
高档
中档
低档
每套的价格/元
40
30
20
级数
全月应纳税所得额
税率（％）
1
不超过3000元的部分
3
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过12000元至25000元的部分
20
路程（千米）
运费（元吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
地
20
15
12
12
地
25
20
10
8
甲库运往地
甲库运往地
乙库运往地
乙库运往地
水泥吨数
总运费
数量
售价
一次性防护口罩
50只/包
100元/包
N95口罩
3只/包
60元/包
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
特训03 一元一次方程 压轴题（上海精选归纳）
一、解答题
1．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个单位长度/秒，N的速度为个单位长度/秒．
(1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______；
(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
【答案】(1)4，－4
(2)t的值为2秒或6秒
【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可；
（2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可．
【解析】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得：
2x+3x=8－（－12），
解得：x=4，
－12+2×4=－4．
答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为：－4，
故答案为：4；－4．
（2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， A、B的距离为8－（－12）=20，
若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10=20，
解得：t=2．
若在相遇之后距离为10，则有2t+3t－10=20，
解得：t=6．
综上所述：t的值为2或6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论．
2．（2021春·上海虹口·六年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图：在射线OM上有三点A、B、C，OA=20厘米，AB=60厘米，BC=10厘米，点P从点O出发，沿OM方向以每秒1厘米的速度匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，点Q运动到O点时停止运动．
(1)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相距60厘米？
(3)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的速度是多少？
【答案】(1)经过18s后P、Q两点相遇；
(2)经过6秒或60秒两点相距60厘米；
(3)点Q的速度是每秒厘米或每秒厘米．
【分析】（1）设经过ts，P、Q两点相遇，列出方程即可求出答案；
（2）根据题意，可以列出相应的方程，还要注意点Q运动到点O时停止运动，即可求得经过多长时间P、Q两点相距60厘米；
（3）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的20，点B对应数轴上的80，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的t，点Q对应数轴上的90-vt，根据题意列出方程即可求出v的值．
(1)
解：设经过ts，P、Q两点相遇，
∴t+4t=20+60+10，
解得：t=18，
答：经过18秒后P、Q两点相遇；
(2)
解：设运动时间为t秒，
则t+4t=20+60+10±60，
解得，t1=30，t2=6，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动的时间是：（10+60+20）÷4=22.5（秒），
∴当点Q运动22.5秒到点O时，PQ=OP=1×22.5=22.5厘米，之后点P继续运动的时间为：（60-22.5）÷1=37.5（秒），
∴PQ=OP=60厘米时，此时t=22.5+37.5=60（秒），
由上可得，故经过6秒或60秒两点相距60厘米；
(3)
解：设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点
点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的20，点B对应数轴上的80，点C对应数轴上的90，
∴点P对应数轴上的t，点Q对应数轴上的90-vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，
∴=90-vt，
∴vt=40，
∵PA=2PB，
∴|t-20|=2|80-t|，
∴解得：t=60或t=140，
当t=60秒时，
此时v=，
而点Q到达O点所需要时间为90÷=135秒＞60秒，
当t=140秒时，
此时v=，
而点Q到达O点所需要的时间为90÷=315秒＞140秒，
综上所述，点Q的速度是每秒厘米或每秒厘米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．
3．（2021春·上海杨浦·六年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)求a，b的值．
(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．
(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．
【答案】(1)
(2)①正确，该定值为2
(3)P运动的时间或t＝4或t＝6或
【分析】（1）根据绝对值的非负性，结合两个非负数之和等于零，依此分别建立等式求解即可；
（2）根据中点坐标公式分别表示出点E和点F表示的数，再把AB、OP和EF分别表示出来，再代入①②两式计算化简即可求解；
（3）首先推出当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动．则PQ＝1不会再成立，结合点P运动到P时所用的时间，则可确定t的范围；然后分，，三种情况讨论，根据分别建立关于的方程求解，即可解答．
【解析】（1）由题得，∵，，
∴，，∴a+2＝0，b－5＝0，∴．
（2）设P点对应的数为x，则，∵OB与AP的中点分别为E、F，则E点对应的数为，F点对应的数为，则AB＝7，OP＝x，，
对于①有为定值，
对于②有不为定值．
∴①正确，该定值为2．
（3）当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动．
则PQ＝1不会再成立，当点P运动到O时，t＝2，
∴，且由题得P点对应的数为t－2，
点Q第一次到达O时，，
点Q第一次到达B时，，
点Q第二次到达O时，，
∴①时，Q点对应的数为．
则，
I． 11－3t＝1，，
II． 11－3t＝－1，t＝4．
②时，Q点对应的数为，
，
I．t－7＝1，t＝8（舍），
II．t－7＝－1，t＝6．
③时，Q点对应的数为，，
I． 21－3t ＝1，（舍），
II． 21－3t ＝－1，．
综上P运动的时间或t＝4或t＝6或．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，数轴，数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式，解题关键是要理解题意，根据条件找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．（2021春·上海浦东新·六年级上海市浦东模范中学东校校考期末）为节约用水，某市决定实行如下收费标准：如果每户每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.8元收费；若超过10立方米且不超过30立方米，超过的部分按每立方米2.5元收费；若超过30立方米，则超过的部分按每立方米4.2元收费．
(1)某户8月用水25立方米，则该户的8月实际用水的平均价格为每立方米______元？
(2)某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水多少立方米？
(3)另一户居民9月份的水费为93.2元，则该用户9月用水多少立方米？
【答案】(1)2.22
(2)14
(3)36
【分析】（1）根据题意求得总水费，除以25即可求得际用水的平均价格；
（2）根据题意求得用水量为超过10立方米且不超过30立方米，进而根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；
（3）方法同（2）求得用水量超过30立方米，进而根据题意列一元一次方程，解方程求解即可．
(1)
解：∵用水25立方米，按照用水量为超过10立方米且不超过30立方米，可得，
（元/立方米），
故答案为：．
(2)
∵当用水量为10立方米时，水费为（元），
当用水量为30立方米时，水费为（元），
∵，
∴某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水超过10立方米且不超过30立方米，
设该用户9月用水立方米，根据题意得，
，
解得，
答：该用户9月用水为立方米．
(3)
另一户居民9月份的水费为93.2元，
由（2）可得，当用水量为30立方米时，水费为元，
，
则该用户9月用水超过30立方米，
设该用户9月用水为立方米，根据题意得，
，
解得．
答该用户9月用水为立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022秋·上海徐汇·六年级统考期末）某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：
方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；
方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．
（注：两种优惠只能选择其中一种参加）
(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．
(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?
(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元?
【答案】(1)选方案一合算．
(2)这两种优惠方案商店都是赚的．
(3)小明应购买的衣服标价调整为112.5元．
【分析】（1）根据题意我们把两种方案所要花的钱都把它算出来然后比较大小就可以了．
（2）根据成本等于标价除以(1+加价幅度),算出标价,再比较成本与售价的大小即可．
（3）先假设小明想购买的衣服标价应调整为m元，再根据两种方案最终的付款额相同这个等量关系列方程求解即可．
(1)
解：（1）方案一：(270+450)×=518.4（元）
方案二：先买鞋子应付款为450×0.85=382.5(元)，
折后价格每满100元再送30元抵用券，
所以返3×30=90（元）的券，
再买衣服应花的钱为：270-90=180（元）
所以总付款为：382.5+180=562.5（元）
因为518.4元<562.3元
所以选方案一合算．
答：选方案一合算．
(2)
解：衣服的进价为270÷（1+50%）＝180（元）
鞋子的进价为450÷（1+50%）＝300（元）
总成本为180+300=480（元）
因为480元<518.4元<562.3元，所以这两种优惠方案商店都是赚的．
答：这两种优惠方案商店都是赚的．
(3)
解：由第1问的计算可知买450元的鞋子能返还90元的券, 设小明应购买的衣服的标价调整为m元，则由题意可得，
(450+m)×0.8×0.9=450×0.85+(m-90)
解得m=112.5
所以标价应调整为112.5元．
答：小明应购买的衣服标价调整为112.5元．
【点睛】这道题考查的是最优化问题这一块的知识．把各种情况都要考虑到，要熟悉标价、进价（即成本）、售价之间的关系．标价＝进价×(1+加价幅度)，售价＝标价×，遇到有优惠券的，注意题目当中给的使用条件进行计算．
6．（2021春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．
(1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．
(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如下图所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无须解题过程，只需直接写出购买方案．
【答案】(1)见详解；
(2)6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒；
(3)购买80套高档，120套低档教具；或购买160套中档，40套低档教具；
【分析】见详解；
【解析】（1）解：如图所示，长方体即为所求．
（2）解：设让x名工人生产塑料棒，则让名工人生产金属球，根据题意可得，
．
∴．
故让6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒．
（3）解：①若选择购买高档、中档两种教具，
设购买m套高档教具，则购买套中档教具，根据题意可得，
，，
，．不符合题意，舍去．
②若选择购买高档、低档两种教具，
设购买n套高档教具，则购买套低档教具，
根据题意可得，
．
∴．
故购买80套高档，120套低档教具；
③若购买中档、低档两种教具，
设购买y套中档教具，则购买套低档教具，
根据题意可得，
．∴．
故购买160套中档，40套低档教具；
综上所述，共有两种购买方案：
购买80套高档，120套低档教具；或购买160套中档，40套低档教具．
【点睛】本题考查正方体的立体图，一元一次方程的配套，方案选择；（3）题从3种档次中选2种有3种组合，分三种情况验证是解题关键．
7．（2022春·上海崇明·六年级校考期中）[新定义]：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．
[特例感知]
(1)如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，
①[B，A]的幸运点表示的数是 ；
A． B．0 C．1 D．2
②试说明A是[C，E]的幸运点．
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为 ．
[拓展应用]
(3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【答案】(1)①B，②见解析
(2)7或
(3)，4，8，9
【分析】（1）①根据幸运点的的概念逐个代入判断即可；
②根据幸运点的的概念计算验证即可；
（2）根据幸运点定义分情况列出方程，从而得出结论；
（3）分四种情况讨论，由幸运点定义可列方程，即可求解．
【解析】（1）①∵点A表示的数为，点B表示的数为3
∴，故不是[B，A]的幸运点；
，故0是[B，A]的幸运点；
，故1不是[B，A]的幸运点；
，故2不是[B，A]的幸运点；
故选：B；
②∵点A表示的数为，点C表示的数为2，点E表示的数为0
∵
∴A是[C，E]的幸运点；
（2）设[M，N]的幸运点表示的数为x，
∴当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上所述，[M，N]的幸运点表示的数为7或，
故答案为：7或．
（3）当点P是的幸运点
∴
解得：；
当点P是[B，A]的幸运点
∴
解得：；
当点A是[B，P]的幸运点
∴
解得：；
点B是[A，P]的幸运点
∴
解得：，
综上所述：，4，8，9秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．
【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义，由定义列出方程是本题的关键．
8．（2021春·上海·六年级期中）阅读下面材料并回答问题：点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图①，；当、两点都不在原点时，
（1）如图②，点、都在原点的右边，；
（2）如图③，点、都在原点左边，；
（3）如图④，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
(1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
(2)若数轴上表示和的两点分别是点、，，那么 ．
(3)若数轴上点表示数，点表示数7，动点、分别同时从点、点出发沿着数轴正方向移动，点的移动速度是每秒3个单位长度，点的移动速度是每秒2个单位长度．
求：①运动几秒后，点追上点？
②运动几秒后，、两点相距3个单位长度？
【答案】(1)5
(2)3或
(3)①运动8秒后，点追上点；②运动5或11秒后，，两点相距3个单位长度
【分析】（1）由点，表示的数结合，即可求出，两点间的距离；
（2）根据解方程，即可得到的值；
（3）①设运动秒时，点追上点，由点，重合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设运动秒时，，两点相距3个单位长度，分点在点的左侧及点在点的右侧两种情况考虑，由，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）
解：点表示的数为，点表示的数为，
．
故答案为：5；
（2）
解：当时，，
解得或；
故答案为：3或；
（3）
解：①设运动秒时，点追上点，
根据题意得：，
解得：．
答：运动8秒后，点追上点．
②设运动秒时，，两点相距3个单位长度．
当点在点左侧时，，
解得：；
当点在点右侧时，，
解得：．
答：运动5或11秒后，，两点相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出的值；（2）根据点表示的数速度时间出发点表示的数，找出结论；（3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②分点在点的左侧及点在点的右侧两种情况，找出关于的一元一次方程．
9．（2021春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）解方程：
【答案】
【分析】通过绝对值的概念分三种情况，当时，当时，当时，分别将方程化简求解即可．
【解析】解：，
当时，原方程可化为：
，
解得：x=2不合题意，舍去；
当时，原方程可化为：
，
解得：；
当时，原方程可化为：
，
解得：x=0不合题意，舍去，
所以，这方程的解是．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，涉及绝对值的知识，难度一般，通过绝对值的概念对式子分类讨论是解题的关键．
10．（2019秋·上海杨浦·七年级校考期中）阅读下列材料:让我们来规定一种运算： ．例如：
按照这种运算的规定，请解答下列各个问题：
（1）________，当x=______时，
（2）求x，y的值，使（写出解题过程）
【答案】（1）3x-2；；（2）y=2，x=8．
【分析】(1)根据题中的新定义化简所求，计算即可得到结果；根据题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可得到x的值；
(2)利用题中的新定义化简所求式子，计算即可确定出x与y的值．
【解析】（1）原式=3x-2×1=3x-2；
方程变形得：2x-（1-x）=0，
去括号得：2x-1+x=0，
移项合并得：3x=1，
解得：x=；
故答案为.
（2）根据题意得：，
由②得：x=0.5y+7③，
将③代入①得：0.75y+10.5-3-8y=-7，
移项合并得：7.25y=14.5，
解得：y=2，
将y=2代入③得：x=8．
【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握其步骤：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
11．（2023秋·上海青浦·六年级校考期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．
(2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______．
(3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．
【答案】(1)、2、7；
(2)．
(3)①，，；②，，．
【分析】（1）根据“关联点”的概念即可解得．
（2）根据“关联点”的概念逐个点计算即可解得
（3）①根据“关联点”的概念表示出距离，根据2倍的数量关系列式即可解得．②根据“关联点”的概念表示出距离，分四种情况进行解答．
【解析】（1）解：，
，
2是A，C的一个“关联点”，
设是A，C的一个“关联点”，
解得，
设是A，C的一个“关联点”，
解得，
A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：、2、7；
（2）∵，
，
∴是关联点，
∵，
，
∴不是关联点，
∵，
，
∴是关联点，
∵，
，
∴是关联点，
∵，
，
∴是关联点，
故答案为：．
（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为，
当
解得，
当
解得，
若点P在M点左侧，设点P表示的数为，
∴
解得，
综上所述：P表示的数为：；
②若点P在点N右侧，设点P表示的数为，
当时，
则
解得，
当时，
则
解得，
当时，
则
解得，
当时，
则
解得，
综上所述：P表示的数为：，．
【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程．
12．（2022春·上海杨浦·六年级校考期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．
(1)试求出的周长；
(2)当点移动到边上时，化简：；
(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？
【答案】(1)15；
(2)35．
(3)t为s或s
【分析】（1）a是最小的合数，则a=4，根据非负数的性质得到b=5，c=6，则△ABC的周长可求出；
（2）由题意知S的取值范围，由绝对值的意义化简即可；
（3）分两种情况，当P在Q前面，当P在Q后面，列出方程解出t即可．
【解析】（1）∵a是最小的合数，
∴a=4，
∵，
∴b-5=0，c-6=0，
∴b=5，c=6，
∴BC=4，AC=5，AB=6，
∴△ABC的周长=BC+AC+AB=4+5+6=15；
（2）∵点P移动到AC边上，AB+AC=6+5=11，
∴6≤S≤11，
∴S-4＞0，3S-6＞0，4S-45＜0，
∴|S-4|+|3S-6|+|4S-45|=S-4+3S-6+45-4S=35．
（3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面，
∴3t+4-5t=3，
解得：t=．
此时点P在AB上．
②按顺时针方向移动，若Q在P的前面，
∴5t-4-3t=3，
解得：t=．
此时点P在AC上．
综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的周长，非负数的性质，绝对值的化简，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
13．（2021春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）某家具厂的设计师根据的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．
(1)由刻度尺在图纸上测量可得，、、，所以这个柜子的表面积是______，体积是______．
(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？
【答案】(1)78，36
(2)10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子
【分析】（1）由长方体的表面积和体积公式求柜子的表面积和体积．
（2）通过设x个工人做框架，表示出框架数，再通过“恰好配套”得到抽屉数和门数，进而得到做抽屉和做门的工人数分别是、，最后通过工人总数是38人列方程求解即可．
(1)
解：因为比例尺是，
所以柜子实际长宽高为，，，
表面积：，
体积：．
(2)
解：设x个工人做框架，则框架一共2x个，柜子一共2x个，抽屉6x个，门4x个，
做抽屉的工人个，
做门的工人个，
根据工人数量列等式关系：，
解得：，
，
答：10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子
【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积公式、一元一次方程的实际应用，准确应用公式是第一问的解题关键，找准数量关系和等量关系是第二问的解题关键．
14．（2021秋·上海青浦·六年级校考阶段练习）阅读流程图，并完成问题：
(1)如果输入数，则_______；
(2)如果输出数，则_________．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）根据程序计算即可；
（2）分类讨论，①当时，依据程序得：.②当时，依据程序得：.根据输出数，列出方程解方程求解即可．
（1）
输入数，则依据程序得：，
.故答案为：.
（2）
输入数据，①当时，依据程序得：.
若，则.解得：.
若，则若.解得：.
②当时，依据程序得：.
若，则，解得：.
若，则，解得：.
综上，如果输出数，则或或或.
故答案为：或或或.
【点睛】本题考查了根据程序进行有理数的运算，解一元一次方程，分类讨论是解题的关键．
15．（2018秋·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）新个税法于2018年1月1日起施行，2018年10月1日起施行最新“起征点：5000元”和税率，《中华共和国个人所得税》中的个人所得税税率如下：
其中“全月应纳税所得额”是指从工资、薪金收入中减去5000元后的金额．（本题只讨论上表内容）
（1）若某一月份扣除税后拿了8000，他交了多少税？
（2）若某一月份纳税额为m元（m>0），他的税前收入是多少？
【答案】（1）他交了100元税；（2）当0＜m≤90时，税前收入＝（元）；当90＜m≤990时，税前收入＝10m+7100；当990＜m≤3590时，税前收入＝5m+12050.
【分析】（1）根据扣除税后拿了8000元可知，交税的级数有一级的和二级的，然后根据表格中数据列出方程求解可得；
（2）由题意可知，税前收入＞5000元，然后分三种情况讨论：①当5000元＜税前收入≤8000元时，②当8000元＜税前收入≤17000元时，③当17000元＜税前收入≤30000元时，
分别求出对应的m的取值范围，用含m的式子表示出税前收入即可.
【解析】解：（1）设交税x元，则总工资为（8000+x）元，
由题意得：x=3000×3%+（8000+x-5000-3000）×10%，
解得：x=100，
答：他交了100元税；
（2）由题意可知，税前收入＞5000元，
分情况讨论：
①当5000元＜税前收入≤8000元时，
∵3000×3%=90（元），
∴0＜m≤90，
此时税前收入＝（元）；
②当8000元＜税前收入≤17000元时，
∵3000×3%+（12000-3000）×10%=990（元），
∴90＜m≤990，
设此时税前收入为x元，
则m=3000×3%+(x-5000-3000)×10%，
解得：x=10m+7100；
③当17000元＜税前收入≤30000元时，
∵3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%=3590（元），
∴990＜m≤3590，
设此时税前收入为y元，
则m=3000×3%+（12000-3000）×10%+（y-5000-12000）×20%，
解得：y=5m+12050；
综上所述：当0＜m≤90时，税前收入＝（元）；当90＜m≤990时，税前收入＝10m+7100；当990＜m≤3590时，税前收入＝5m+12050.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用以及学生提取信息、调动所学知识理解和解决问题的能力，解题的关键是要读懂题意，理解应纳税额的计算方法，从而构造方程解决问题.
16．（2021春·上海青浦·六年级校联考期末）暑假即将开始，为了丰富假期生活，某学校要组织部分优秀学生和家长代表参加夏令营活动．有两家旅行社进行了报价，单人的基准价格都相同，但是两家给出的优惠不同（如图）．
(1)如果参加活动的大人和学生人数一样多，选择_________旅行社比较合算；
(2)如果参加活动的总人数为60人，经计算发现无论选择哪一家旅行社总费用都一样，求参加活动的学生人数；
(3)如果设大人有m个，学生有n个，当m和n满足什么关系式时选择甲旅行社比较合算？请直接写出结论．
【答案】(1)乙；
(2)参加活动的学生是40人；
(3)当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【分析】（1）设参加活动的大人和学生人数都是a人，单人的基准价格是t元，分别表示出两个旅行社的费用，比较可得选择乙旅行社比较合算；
（2）设参加活动的学生人数是x人，则参加活动的大人是（60-x）人，单人的基准价格是t元，可得：0.9（60-x）t+0.6xt=0.7t×60，即可解得参加活动的学生是40人；
（3）设单人的基准价格是t元，根据题意得：0.9tm+0.6tn＜0.7t（m+n），可解得当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
（1）
解：设参加活动的大人和学生人数都是a人，单人的基准价格是t元，
甲旅行社费用为0.9at+0.6at=1.5at（元），
乙旅行社费用为0.7at+0.7at=1.4at（元），
∵a是正整数，t是正数，
∴1.5at＞1.4at，
∴选择乙旅行社比较合算；
故答案为：乙；
（2）
解：设参加活动的学生人数是x人，则参加活动的大人是（60-x）人，单人的基准价格是t元，
根据题意得：0.9（60-x）t+0.6xt=0.7t×60，
解得x=40，
答：参加活动的学生是40人；
（3）
解：设单人的基准价格是t元，
根据题意得：0.9tm+0.6tn＜0.7t（m+n），
∴n＞2m，
答：当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程．
17．（2022春·上海·八年级期中）甲乙两个仓库要向，两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，地需70吨水泥，地需110吨水泥，两库到，两地的路程与运费如表：（表中运费栏“元（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
(1)我们不妨设甲库运往地水泥吨，请填写表格，用含的式子表示出其他未知量．
(2)当甲、乙两库各运往，两地多少吨水泥时，总运费为37700元．
(3)甲乙两个仓库向，两地运送水泥，最省总运费是 元．（直接填写，不需过程）
【答案】(1)，，，，，，
(2)甲向，两地各运50吨水泥，乙向地运20吨，向地运60吨时，总运费为37700元
(3)37100
【分析】（ 1）由甲库运往地水泥吨，根据题意首先求得甲库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，然后根据表格求得总运费；
（ 2）根据总运费为37700元列出方程计算即可求解；
（ 3）由（2）可得运费为元，即可知当时，总运费最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
(1)
设甲库运往地水泥吨，则甲库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，
则甲库运往地的总运费为元，甲库运往地的总运费为元，乙库运往地的总运费为元，乙库运往地的总运费为元，
填表如下：
故答案为：，，，，，，；
(2)
根据题意得：，
即，
解得．
故甲向，两地各运50吨水泥，乙向地运20吨，向地运60吨时，总运费为37700元；
(3)
在中，，
代数式的值随的增大而减小，
，
当时，总运费最省，最省的总运费为37100元．
故答案为：37100．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式的值，一元一次方程的实际应用问题．解题的关键是理解题意，读懂表格求解．
18．（2022秋·上海·七年级期末）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只妈蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是（米/秒）．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
【答案】（1）①（12+6b2）；②（3a+ ）；③（a2﹣a2b2）；④；（2）两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒．
【分析】（1）①根据路程÷速度=时间可得结论；
②根据速度×时间=路程可得结论；
③根据三角形的面积公式可得结论；
④这一次相遇，用时t秒，根据总路程和=AD+CD+BC列方程可得结论；
（2）根据总路程=AD+CD+CF+EF+DE+CD+BC，列方程可得结论．
【解析】（1）①甲走到点C时，用时：＝（12+6b2）秒；
故答案为：（12+6b2）；
②a（12+6b2）＝3a+
则当甲走到点C时，乙走了（3a+ ）米；
故答案为：（3a+ ）；
③CM＝BM﹣BC＝（3a+ ）﹣（a+2ab2）＝2a﹣ab2，
∴△AMC的面积＝＝＝a2﹣a2b2，
则当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是（a2﹣a2b2）平方米；
故答案为：（a2﹣a2b2）；
④设这一次相遇，用时t秒，
根据题意得：at+at＝a+ab2+a+a+2ab2，
t＝，
故答案为：；
（2）假设还有第二次相遇，设第二次x秒时相遇，则此时一定相遇在EF上，
根据题意得：at+at＝a+ab2+3a+2a+a+2ab2，
x＝，
答：两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒．
【点睛】本题考查了几何动点问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次一次方程和数形结合的思想解答．
19．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，线段AB的长为a．
（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD的中点，请求线段MN的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
【答案】（1）详见解析；（2）35；（3）﹣5、15、11、﹣7．
【分析】（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；
（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；
（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置．
【解析】解：（1）如图所示；
（2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有
点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35
（3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则
t＝＝35（秒）
那么甲在总的时间t内所运动的长度为
s＝5t＝5×35＝175
可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为
175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位．
①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有
5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）
而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．
②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2，有
5t2+2t2＝25+30+5+10，t2＝10（秒）
此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15
这时甲和乙所对应的有理数为15．
③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3，有
5t3﹣2t3＝20，t3＝（秒）
此时甲的位置：30﹣（5×﹣15）＝11，乙的位置：20﹣（2×﹣5）＝11
这时甲和乙所对应的有理数为11
④从时间和甲运行的轨迹来看，他们可能第四次相遇．设第四次相遇时经过的时间为t4，有
5t4﹣11﹣30﹣15+2t4＝11，t4＝9（秒）
此时甲的位置：5×9﹣45﹣11＝﹣7，乙的位置：11﹣2×9＝﹣7
这时甲和乙所对应的有理数为﹣7．
四次相遇所用时间为：5+10++9＝31（秒），剩余运行时间为：35﹣31＝3（秒）
当时间为35秒时，乙回到N点停止，甲在剩余的时间运行距离为5×3＝＝17．
位置在﹣7+17＝10，无法再和乙相遇，故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、11、﹣7．
【点睛】本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键．
20．（2021秋·上海·七年级校考期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长；
（3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出各案）
【答案】（1）是；（2）5cm或7.5cm或10cm；（3）10或．
【分析】（1）根据“2倍点”的定义即可求解；
（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边三种情况，进行讨论求解即可；
（3）根据题意画出图形，P应在Q的右边，分别表示出AQ、QP、PB，求出t的范围．然后根据（2）分三种情况讨论即可．
【解析】（1）∵整个线段的长是较短线段长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“2倍点”．
故答案为是；
（2）∵AB＝15cm，点C是线段AB的2倍点，∴AC＝155cm或AC＝157.5cm或AC＝1510cm．
（3）∵点Q是线段AP的“2倍点”，∴点Q在线段AP上．如图所示：
由题意得：AP=2t，BQ=t，∴AQ=20-t，QP=2t-（20-t）=3t-20，PB=20-2t．
∵PB=20-2t≥0，∴t≤10．
∵QP=3t-20≥0，∴t≥，∴≤t≤10．
分三种情况讨论：
①当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t＝12＞10，舍去；
②当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t＝10；
③当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t；
答：t为10或时，点 Q是线段AP的“2倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“2倍点”的定义分类讨论，理解“2倍点”的定义是解决本题的关键．
21．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）在校园科技节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从车模，机器人，降落伞，科幻画，科技制作五个竞赛项目中选一项．现将选择情况绘制了以下统计图，请根据图 ，图 提供的相关信息，回答下列问题：
(1)参加科技制作竞赛活动的学生人数占参加竞赛总人数的 ．
(2)全校一共有多少名学生参加科技节竞赛活动？
(3)参加机器人竞赛活动的人数比参加降落伞竞赛活动的人数少百分之几？（百分号前保留一位小数）
(4)参加竞赛活动的学生有 获奖，其中一等奖与二等奖的人数之比 ，二等奖人数是三等奖人数的 ，求获一等奖的学生人数？
【答案】(1)35
(2)400
(3)66.7%
(4)10
【分析】（1）用参加科技制作竞赛活动的学生人数在扇形统计图中的圆心角度数除以360度即可得解；
（2）用参加降落伞的人数除以参加降落伞人数所占的百分比即可得解；
（3）由（1）（2）的结论可以算出参加机器人竞赛活动的人数，然后与参加降落伞竞赛活动的人数相比可以得解；
（4）设获一等奖，二等奖的学生人数分别为 ，名，则由题意可得关于x的方程，求出x后即可得到解答．
【解析】（1）解：126°÷360°=0.=35%，
故答案为35；
（2）60÷15%=400（人），
答：全校一共有 名学生参加科技节竞赛活动．
（3），
，
．
答：参加机器人竞赛活动的人数比参加降落伞竞赛活动的人数少 ．
（4）设：获一等奖，二等奖的学生人数分别为 ，名，则由题意可得：
，
解之可得：x=2，
5x=10，
答：获一等奖学生人数为 名．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用，熟练掌握一元一次方程的应用、条形统计图与扇形统计图的信息关联应用是解题关键．
22．（2021春·上海·六年级校考期末）对于有理数a、b，我们用符号表示a、b两数中较小的数，如，又如．
(1)直接写出的值．
(2)已知．
①当时，求x的值．
②求当成立时，求c的取值范围．
【答案】(1)．
(2)①或．②．
【分析】（1）根据有理数比较大小的方法求出，然后根据题意求解即可；
（2）①分类讨论当时，当时两种情况讨论求解即可；②分当时，当时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：∵
∴，
∴，
故答案为．
(2)
解：①当时，，则，
当时，，则，
经检验，或均满足条件．
②当时，，，
当时，，，
∴c的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是关键．
23．（2021春·上海松江·六年级校考期末）阅读下列材料并回答问题：
墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丟番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公慕，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？
【答案】84岁
【分析】设丢番图寿命为x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数列方程为，然后解方程即可．
【解析】解：设丢番图寿命为x岁，根据题意列式：
，
答：丢番图寿命是84岁．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．
24．（2021春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）如图，已知正方体木框的棱长为10个单位，有两只蚂蚁同时沿着该正方体的棱爬行（框很细，设定蚂蚁的爬行路线为直线型）．
(1)若甲蚂蚁的爬行路线是DAB，乙蚂蚁的爬行路线是BA，经过6分钟两蚂蚁相遇；若甲蚂蚁的爬行路线是DABC，乙蚂蚁的爬行路线是BC，经过10分钟两蚂蚁相遇．试分别求出甲乙两只蚂蚁的爬行速度．
(2)若甲蚂蚁速度为每分钟10单位．沿爬行路线DABCD循环爬行，乙蚂蚁速度为每分钟4个单位，先从爬行到B，再沿爬行路线BCDAB循环爬行，甲、乙分别从D、两点同时出发，那么经过______分钟能第一次在C相遇．
【答案】(1)（1）甲蚂蚁的速度为3个单位/分钟，乙蚂蚁的速度为2个单位/分钟
(2)15
【分析】（1）根据甲、乙两只蚂蚁6分钟相遇，可知为相遇问题，所以甲、乙两只蚂蚁6分钟爬行路程和AB+BC+B1C=3×棱长；再由甲、乙两只蚂蚁10分钟相遇，可知为追及问题，所以甲、乙两只蚂蚁10分钟爬行路程的差=1×棱长；
（2）先确定乙蚂蚁到达C点时，甲蚂蚁的位置，然后再求出t分钟甲乙两只蚂蚁在C点时的等量关系式，由n为正整数，得出n的取值范围，进而代入求出t的值即可．
(1)
解：设甲蚂蚁的速度为x个单位/分钟，乙蚂蚁的速度为y个单位/分钟，
根据题意可得：，解得：，
答：甲蚂蚁的速度为3个单位/分钟，乙蚂蚁的速度为2个单位/分钟．
(2)
解：甲蚂蚁第一次到达C点时需要用时分钟，
乙蚂蚁第一次到达C点时需要用时分钟，
，即当乙蚂蚁第一次到C点时，
甲蚂蚁在A点，
设经过t分钟时，甲、乙两只蚂蚁第一次在C点相遇，
所以，其中n为正整数，
则，即，
所以1，4，7，10，13，16……，
当时，，，
，
即时，甲、乙两只蚂蚁都在C点，
故经过15分钟甲、乙两只蚂蚁能第一次在C点相遇．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了相遇问题，解答本道题的关键是找出甲、乙两只蚂蚁第一次在C点相遇时的等量关系式．
25．（2021春·上海·六年级校考期末）某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格．售价如下表所示：（购买时必须整包购买）
(1)已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了____包．
(2)已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？
(3)在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变，如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？
【答案】(1)25
(2)一次性防护口罩60包，N95口罩80包
(3)最多购买一次性防护口罩70包
【分析】（1）设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x＋30）包，根据第一批购得两种口罩共80包，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包，根据第二批购得两种口罩共计3240只且共花费10800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100−m）包，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
(1)
解：设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x＋30）包，
依题意，得：x＋x＋30＝80，
解得：x＝25．
故答案为：25．
(2)
解：设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包，
依题意，得：，
解得：．
答：第二批购得一次性防护口罩60包，N95口罩80包．
(3)
解：设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100−m）包，
依题意，得：（100−10）m＋60（100−m）≤8100，
解得：m≤70．
答：第三批最多能购买一次性防护口罩70包．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（2021·上海·六年级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
(1)如图1，，，是的内半角，则_______；
(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
(3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度秒的速度按顺时针方向旋转（如图，问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)15°
(2)
(3)能，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒；秒
【分析】（1）根据定义以及角度的和差直接求解即可；
（2）根据题意，根据定义可得，建立一元一次方程解方程求解即可；
（3）根据题意可分以下四种情况：①当射线在内，如图4，当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6，当射线在内，如图7，根据定义建立方程，解方程求解即可．
(1)
（1）如图1，，是的内半角，
，
，
；
故答案为：．
(2)
如图2，由旋转可知，，
，，
是的内半角，
，即，
解得，；
(3)
能，理由如下，
由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况：①当射线在内，如图4，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
如图6，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
③当射线在内，如图7，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒；秒．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，理解定义，并能分类讨论是解题的关键．
27．（2021春·上海·六年级校考期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
【解析】（1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
（2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过（人），
所以六（2）班学生数至少是（人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
28．（2019秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）下面为某年11月的日历：
(1)在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数；
①设中间的一个数为，则另外的两个数为 、 ；
②若已知这三个数的和为42，则这三天都在星期 ；
(2)在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b,若这9个数的和为153，求的值.
【答案】（1）①，；②一；（2）
【分析】（1）①观察日历发现从上至下，数值是逐个增加7，据此可得出数上下两个数；②根据①中列出的三个数代数式，得出三数和的代数式求解即可；
（2）根据（1）中的规律，再结合前后数相差1的规律，得出9个数的代数式，再得出9个数和的代数式，求得后代入式子求值即可.
【解析】（1）①观察日历发现从上至下，数值是逐个增加7
∵中间的一个数为
∴上面的数为：，下面的数为：
故填：，；
②由题得：
解得：，，
对照日历可知：这三天都在星期一；
（2）根据（1）中的规律，再结合前后数相差1的规律，得出9个数的代数式如下所示：
将这9个数的代数式的相加得：
∴
解得：
∴
【点睛】本题主要考查列代数式，找数字规律，观察数据找出规律是关键.
品种
高档
中档
低档
每套的价格/元
40
30
20
级数
全月应纳税所得额
税率（％）
1
不超过3000元的部分
3
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过12000元至25000元的部分
20
路程（千米）
运费（元吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
地
20
15
12
12
地
25
20
10
8
甲库运往地
甲库运往地
乙库运往地
乙库运往地
水泥吨数
总运费
甲库运往地
甲库运往地
乙库运往地
乙库运往地
水泥吨数
总运费
数量
售价
一次性防护口罩
50只/包
100元/包
N95口罩
3只/包
60元/包
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个单位长度/秒，N的速度为个单位长度/秒．
(1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______；
(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
2．（2021春·上海虹口·六年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图：在射线OM上有三点A、B、C，OA=20厘米，AB=60厘米，BC=10厘米，点P从点O出发，沿OM方向以每秒1厘米的速度匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，点Q运动到O点时停止运动．
(1)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相距60厘米？
(3)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的速度是多少？
3．（2021春·上海杨浦·六年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)求a，b的值．
(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．
(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．
4．（2021春·上海浦东新·六年级上海市浦东模范中学东校校考期末）为节约用水，某市决定实行如下收费标准：如果每户每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.8元收费；若超过10立方米且不超过30立方米，超过的部分按每立方米2.5元收费；若超过30立方米，则超过的部分按每立方米4.2元收费．
(1)某户8月用水25立方米，则该户的8月实际用水的平均价格为每立方米______元？
(2)某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水多少立方米？
(3)另一户居民9月份的水费为93.2元，则该用户9月用水多少立方米？
5．（2022秋·上海徐汇·六年级统考期末）某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：
方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；
方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．
（注：两种优惠只能选择其中一种参加）
(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．
(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?
(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元?
6．（2021春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．
(1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．
(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如下图所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无须解题过程，只需直接写出购买方案．
7．（2022春·上海崇明·六年级校考期中）[新定义]：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．
[特例感知]
(1)如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，
①[B，A]的幸运点表示的数是 ；
A． B．0 C．1 D．2
②试说明A是[C，E]的幸运点．
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为 ．
[拓展应用]
(3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
8．（2021春·上海·六年级期中）阅读下面材料并回答问题：点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图①，；当、两点都不在原点时，
（1）如图②，点、都在原点的右边，；
（2）如图③，点、都在原点左边，；
（3）如图④，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
(1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
(2)若数轴上表示和的两点分别是点、，，那么 ．
(3)若数轴上点表示数，点表示数7，动点、分别同时从点、点出发沿着数轴正方向移动，点的移动速度是每秒3个单位长度，点的移动速度是每秒2个单位长度．
求：①运动几秒后，点追上点？
②运动几秒后，、两点相距3个单位长度？
9．（2021春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）解方程：
10．（2019秋·上海杨浦·七年级校考期中）阅读下列材料:让我们来规定一种运算： ．例如：
按照这种运算的规定，请解答下列各个问题：
（1）________，当x=______时，
（2）求x，y的值，使（写出解题过程）
11．（2023秋·上海青浦·六年级校考期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．
(2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______．
(3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．
12．（2022春·上海杨浦·六年级校考期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．
(1)试求出的周长；
(2)当点移动到边上时，化简：；
(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？
13．（2021春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）某家具厂的设计师根据的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．
(1)由刻度尺在图纸上测量可得，、、，所以这个柜子的表面积是______，体积是______．
(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？
14．（2021秋·上海青浦·六年级校考阶段练习）阅读流程图，并完成问题：
(1)如果输入数，则_______；
(2)如果输出数，则_________．
15．（2018秋·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）新个税法于2018年1月1日起施行，2018年10月1日起施行最新“起征点：5000元”和税率，《中华共和国个人所得税》中的个人所得税税率如下：
其中“全月应纳税所得额”是指从工资、薪金收入中减去5000元后的金额．（本题只讨论上表内容）
（1）若某一月份扣除税后拿了8000，他交了多少税？
（2）若某一月份纳税额为m元（m>0），他的税前收入是多少？
16．（2021春·上海青浦·六年级校联考期末）暑假即将开始，为了丰富假期生活，某学校要组织部分优秀学生和家长代表参加夏令营活动．有两家旅行社进行了报价，单人的基准价格都相同，但是两家给出的优惠不同（如图）．
(1)如果参加活动的大人和学生人数一样多，选择_________旅行社比较合算；
(2)如果参加活动的总人数为60人，经计算发现无论选择哪一家旅行社总费用都一样，求参加活动的学生人数；
(3)如果设大人有m个，学生有n个，当m和n满足什么关系式时选择甲旅行社比较合算？请直接写出结论．
17．（2022春·上海·八年级期中）甲乙两个仓库要向，两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，地需70吨水泥，地需110吨水泥，两库到，两地的路程与运费如表：（表中运费栏“元（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
(1)我们不妨设甲库运往地水泥吨，请填写表格，用含的式子表示出其他未知量．
(2)当甲、乙两库各运往，两地多少吨水泥时，总运费为37700元．
(3)甲乙两个仓库向，两地运送水泥，最省总运费是 元．（直接填写，不需过程）
18．（2022秋·上海·七年级期末）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只妈蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是（米/秒）．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
19．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，线段AB的长为a．
（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD的中点，请求线段MN的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
20．（2021秋·上海·七年级校考期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长；
（3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出各案）
21．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）在校园科技节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从车模，机器人，降落伞，科幻画，科技制作五个竞赛项目中选一项．现将选择情况绘制了以下统计图，请根据图 ，图 提供的相关信息，回答下列问题：
(1)参加科技制作竞赛活动的学生人数占参加竞赛总人数的 ．
(2)全校一共有多少名学生参加科技节竞赛活动？
(3)参加机器人竞赛活动的人数比参加降落伞竞赛活动的人数少百分之几？（百分号前保留一位小数）
(4)参加竞赛活动的学生有 获奖，其中一等奖与二等奖的人数之比 ，二等奖人数是三等奖人数的 ，求获一等奖的学生人数？
22．（2021春·上海·六年级校考期末）对于有理数a、b，我们用符号表示a、b两数中较小的数，如，又如．
(1)直接写出的值．
(2)已知．
①当时，求x的值．
②求当成立时，求c的取值范围．
23．（2021春·上海松江·六年级校考期末）阅读下列材料并回答问题：
墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丟番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公慕，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？
24．（2021春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）如图，已知正方体木框的棱长为10个单位，有两只蚂蚁同时沿着该正方体的棱爬行（框很细，设定蚂蚁的爬行路线为直线型）．
(1)若甲蚂蚁的爬行路线是DAB，乙蚂蚁的爬行路线是BA，经过6分钟两蚂蚁相遇；若甲蚂蚁的爬行路线是DABC，乙蚂蚁的爬行路线是BC，经过10分钟两蚂蚁相遇．试分别求出甲乙两只蚂蚁的爬行速度．
(2)若甲蚂蚁速度为每分钟10单位．沿爬行路线DABCD循环爬行，乙蚂蚁速度为每分钟4个单位，先从爬行到B，再沿爬行路线BCDAB循环爬行，甲、乙分别从D、两点同时出发，那么经过______分钟能第一次在C相遇．
25．（2021春·上海·六年级校考期末）某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格．售价如下表所示：（购买时必须整包购买）
(1)已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了____包．
(2)已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？
(3)在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变，如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？
26．（2021·上海·六年级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
(1)如图1，，，是的内半角，则_______；
(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
(3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度秒的速度按顺时针方向旋转（如图，问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
27．（2021春·上海·六年级校考期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
28．（2019秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）下面为某年11月的日历：
(1)在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数；
①设中间的一个数为，则另外的两个数为 、 ；
②若已知这三个数的和为42，则这三天都在星期 ；
(2)在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b,若这9个数的和为153，求的值.
品种
高档
中档
低档
每套的价格/元
40
30
20
级数
全月应纳税所得额
税率（％）
1
不超过3000元的部分
3
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过12000元至25000元的部分
20
路程（千米）
运费（元吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
地
20
15
12
12
地
25
20
10
8
甲库运往地
甲库运往地
乙库运往地
乙库运往地
水泥吨数
总运费
数量
售价
一次性防护口罩
50只/包
100元/包
N95口罩
3只/包
60元/包
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
特训03 一元一次方程 压轴题（上海精选归纳）
一、解答题
1．（2022春·上海普陀·六年级校考期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个单位长度/秒，N的速度为个单位长度/秒．
(1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______；
(2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
【答案】(1)4，－4
(2)t的值为2秒或6秒
【分析】（1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可；
（2）分别利用在相遇之前距离为10和在相遇之后距离为10，求出即可．
【解析】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得：
2x+3x=8－（－12），
解得：x=4，
－12+2×4=－4．
答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为：－4，
故答案为：4；－4．
（2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t， A、B的距离为8－（－12）=20，
若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10=20，
解得：t=2．
若在相遇之后距离为10，则有2t+3t－10=20，
解得：t=6．
综上所述：t的值为2或6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论．
2．（2021春·上海虹口·六年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图：在射线OM上有三点A、B、C，OA=20厘米，AB=60厘米，BC=10厘米，点P从点O出发，沿OM方向以每秒1厘米的速度匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，点Q运动到O点时停止运动．
(1)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)若点Q的速度为每秒4厘米，经过多长时间P、Q两点相距60厘米？
(3)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的速度是多少？
【答案】(1)经过18s后P、Q两点相遇；
(2)经过6秒或60秒两点相距60厘米；
(3)点Q的速度是每秒厘米或每秒厘米．
【分析】（1）设经过ts，P、Q两点相遇，列出方程即可求出答案；
（2）根据题意，可以列出相应的方程，还要注意点Q运动到点O时停止运动，即可求得经过多长时间P、Q两点相距60厘米；
（3）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的20，点B对应数轴上的80，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的t，点Q对应数轴上的90-vt，根据题意列出方程即可求出v的值．
(1)
解：设经过ts，P、Q两点相遇，
∴t+4t=20+60+10，
解得：t=18，
答：经过18秒后P、Q两点相遇；
(2)
解：设运动时间为t秒，
则t+4t=20+60+10±60，
解得，t1=30，t2=6，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动的时间是：（10+60+20）÷4=22.5（秒），
∴当点Q运动22.5秒到点O时，PQ=OP=1×22.5=22.5厘米，之后点P继续运动的时间为：（60-22.5）÷1=37.5（秒），
∴PQ=OP=60厘米时，此时t=22.5+37.5=60（秒），
由上可得，故经过6秒或60秒两点相距60厘米；
(3)
解：设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点
点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的20，点B对应数轴上的80，点C对应数轴上的90，
∴点P对应数轴上的t，点Q对应数轴上的90-vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，
∴=90-vt，
∴vt=40，
∵PA=2PB，
∴|t-20|=2|80-t|，
∴解得：t=60或t=140，
当t=60秒时，
此时v=，
而点Q到达O点所需要时间为90÷=135秒＞60秒，
当t=140秒时，
此时v=，
而点Q到达O点所需要的时间为90÷=315秒＞140秒，
综上所述，点Q的速度是每秒厘米或每秒厘米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．
3．（2021春·上海杨浦·六年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，O为原点，若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)求a，b的值．
(2)当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①的值为定值；②的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．
(3)当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．
【答案】(1)
(2)①正确，该定值为2
(3)P运动的时间或t＝4或t＝6或
【分析】（1）根据绝对值的非负性，结合两个非负数之和等于零，依此分别建立等式求解即可；
（2）根据中点坐标公式分别表示出点E和点F表示的数，再把AB、OP和EF分别表示出来，再代入①②两式计算化简即可求解；
（3）首先推出当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动．则PQ＝1不会再成立，结合点P运动到P时所用的时间，则可确定t的范围；然后分，，三种情况讨论，根据分别建立关于的方程求解，即可解答．
【解析】（1）由题得，∵，，
∴，，∴a+2＝0，b－5＝0，∴．
（2）设P点对应的数为x，则，∵OB与AP的中点分别为E、F，则E点对应的数为，F点对应的数为，则AB＝7，OP＝x，，
对于①有为定值，
对于②有不为定值．
∴①正确，该定值为2．
（3）当点P运动到6对应的点时t＝8，此后PB>1恒成立，由于Q在OB间往返运动．
则PQ＝1不会再成立，当点P运动到O时，t＝2，
∴，且由题得P点对应的数为t－2，
点Q第一次到达O时，，
点Q第一次到达B时，，
点Q第二次到达O时，，
∴①时，Q点对应的数为．
则，
I． 11－3t＝1，，
II． 11－3t＝－1，t＝4．
②时，Q点对应的数为，
，
I．t－7＝1，t＝8（舍），
II．t－7＝－1，t＝6．
③时，Q点对应的数为，，
I． 21－3t ＝1，（舍），
II． 21－3t ＝－1，．
综上P运动的时间或t＝4或t＝6或．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，数轴，数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式，解题关键是要理解题意，根据条件找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．（2021春·上海浦东新·六年级上海市浦东模范中学东校校考期末）为节约用水，某市决定实行如下收费标准：如果每户每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.8元收费；若超过10立方米且不超过30立方米，超过的部分按每立方米2.5元收费；若超过30立方米，则超过的部分按每立方米4.2元收费．
(1)某户8月用水25立方米，则该户的8月实际用水的平均价格为每立方米______元？
(2)某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水多少立方米？
(3)另一户居民9月份的水费为93.2元，则该用户9月用水多少立方米？
【答案】(1)2.22
(2)14
(3)36
【分析】（1）根据题意求得总水费，除以25即可求得际用水的平均价格；
（2）根据题意求得用水量为超过10立方米且不超过30立方米，进而根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；
（3）方法同（2）求得用水量超过30立方米，进而根据题意列一元一次方程，解方程求解即可．
(1)
解：∵用水25立方米，按照用水量为超过10立方米且不超过30立方米，可得，
（元/立方米），
故答案为：．
(2)
∵当用水量为10立方米时，水费为（元），
当用水量为30立方米时，水费为（元），
∵，
∴某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水超过10立方米且不超过30立方米，
设该用户9月用水立方米，根据题意得，
，
解得，
答：该用户9月用水为立方米．
(3)
另一户居民9月份的水费为93.2元，
由（2）可得，当用水量为30立方米时，水费为元，
，
则该用户9月用水超过30立方米，
设该用户9月用水为立方米，根据题意得，
，
解得．
答该用户9月用水为立方米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2022秋·上海徐汇·六年级统考期末）某商店为迎接新年举行促销活动，促销活动有以下两种优惠方案：
方案一：购买一件商品打八折，购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折；
方案二：购买一件商品打八五折，折后价格每满100元再送30元抵用券，可以用于抵扣其他商品的价格．
（注：两种优惠只能选择其中一种参加）
(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子，请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算．
(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%，那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?
(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子，又想两种方案的优惠额相同，那么小明想购买的衣服的标价（低于450元）应调整为多少元?
【答案】(1)选方案一合算．
(2)这两种优惠方案商店都是赚的．
(3)小明应购买的衣服标价调整为112.5元．
【分析】（1）根据题意我们把两种方案所要花的钱都把它算出来然后比较大小就可以了．
（2）根据成本等于标价除以(1+加价幅度),算出标价,再比较成本与售价的大小即可．
（3）先假设小明想购买的衣服标价应调整为m元，再根据两种方案最终的付款额相同这个等量关系列方程求解即可．
(1)
解：（1）方案一：(270+450)×=518.4（元）
方案二：先买鞋子应付款为450×0.85=382.5(元)，
折后价格每满100元再送30元抵用券，
所以返3×30=90（元）的券，
再买衣服应花的钱为：270-90=180（元）
所以总付款为：382.5+180=562.5（元）
因为518.4元<562.3元
所以选方案一合算．
答：选方案一合算．
(2)
解：衣服的进价为270÷（1+50%）＝180（元）
鞋子的进价为450÷（1+50%）＝300（元）
总成本为180+300=480（元）
因为480元<518.4元<562.3元，所以这两种优惠方案商店都是赚的．
答：这两种优惠方案商店都是赚的．
(3)
解：由第1问的计算可知买450元的鞋子能返还90元的券, 设小明应购买的衣服的标价调整为m元，则由题意可得，
(450+m)×0.8×0.9=450×0.85+(m-90)
解得m=112.5
所以标价应调整为112.5元．
答：小明应购买的衣服标价调整为112.5元．
【点睛】这道题考查的是最优化问题这一块的知识．把各种情况都要考虑到，要熟悉标价、进价（即成本）、售价之间的关系．标价＝进价×(1+加价幅度)，售价＝标价×，遇到有优惠券的，注意题目当中给的使用条件进行计算．
6．（2021春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．
(1)生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．
(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如下图所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无须解题过程，只需直接写出购买方案．
【答案】(1)见详解；
(2)6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒；
(3)购买80套高档，120套低档教具；或购买160套中档，40套低档教具；
【分析】见详解；
【解析】（1）解：如图所示，长方体即为所求．
（2）解：设让x名工人生产塑料棒，则让名工人生产金属球，根据题意可得，
．
∴．
故让6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒．
（3）解：①若选择购买高档、中档两种教具，
设购买m套高档教具，则购买套中档教具，根据题意可得，
，，
，．不符合题意，舍去．
②若选择购买高档、低档两种教具，
设购买n套高档教具，则购买套低档教具，
根据题意可得，
．
∴．
故购买80套高档，120套低档教具；
③若购买中档、低档两种教具，
设购买y套中档教具，则购买套低档教具，
根据题意可得，
．∴．
故购买160套中档，40套低档教具；
综上所述，共有两种购买方案：
购买80套高档，120套低档教具；或购买160套中档，40套低档教具．
【点睛】本题考查正方体的立体图，一元一次方程的配套，方案选择；（3）题从3种档次中选2种有3种组合，分三种情况验证是解题关键．
7．（2022春·上海崇明·六年级校考期中）[新定义]：A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．
[特例感知]
(1)如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，
①[B，A]的幸运点表示的数是 ；
A． B．0 C．1 D．2
②试说明A是[C，E]的幸运点．
(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为 ．
[拓展应用]
(3)如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【答案】(1)①B，②见解析
(2)7或
(3)，4，8，9
【分析】（1）①根据幸运点的的概念逐个代入判断即可；
②根据幸运点的的概念计算验证即可；
（2）根据幸运点定义分情况列出方程，从而得出结论；
（3）分四种情况讨论，由幸运点定义可列方程，即可求解．
【解析】（1）①∵点A表示的数为，点B表示的数为3
∴，故不是[B，A]的幸运点；
，故0是[B，A]的幸运点；
，故1不是[B，A]的幸运点；
，故2不是[B，A]的幸运点；
故选：B；
②∵点A表示的数为，点C表示的数为2，点E表示的数为0
∵
∴A是[C，E]的幸运点；
（2）设[M，N]的幸运点表示的数为x，
∴当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上所述，[M，N]的幸运点表示的数为7或，
故答案为：7或．
（3）当点P是的幸运点
∴
解得：；
当点P是[B，A]的幸运点
∴
解得：；
当点A是[B，P]的幸运点
∴
解得：；
点B是[A，P]的幸运点
∴
解得：，
综上所述：，4，8，9秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．
【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义，由定义列出方程是本题的关键．
8．（2021春·上海·六年级期中）阅读下面材料并回答问题：点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图①，；当、两点都不在原点时，
（1）如图②，点、都在原点的右边，；
（2）如图③，点、都在原点左边，；
（3）如图④，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
(1)回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
(2)若数轴上表示和的两点分别是点、，，那么 ．
(3)若数轴上点表示数，点表示数7，动点、分别同时从点、点出发沿着数轴正方向移动，点的移动速度是每秒3个单位长度，点的移动速度是每秒2个单位长度．
求：①运动几秒后，点追上点？
②运动几秒后，、两点相距3个单位长度？
【答案】(1)5
(2)3或
(3)①运动8秒后，点追上点；②运动5或11秒后，，两点相距3个单位长度
【分析】（1）由点，表示的数结合，即可求出，两点间的距离；
（2）根据解方程，即可得到的值；
（3）①设运动秒时，点追上点，由点，重合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设运动秒时，，两点相距3个单位长度，分点在点的左侧及点在点的右侧两种情况考虑，由，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）
解：点表示的数为，点表示的数为，
．
故答案为：5；
（2）
解：当时，，
解得或；
故答案为：3或；
（3）
解：①设运动秒时，点追上点，
根据题意得：，
解得：．
答：运动8秒后，点追上点．
②设运动秒时，，两点相距3个单位长度．
当点在点左侧时，，
解得：；
当点在点右侧时，，
解得：．
答：运动5或11秒后，，两点相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出的值；（2）根据点表示的数速度时间出发点表示的数，找出结论；（3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②分点在点的左侧及点在点的右侧两种情况，找出关于的一元一次方程．
9．（2021春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）解方程：
【答案】
【分析】通过绝对值的概念分三种情况，当时，当时，当时，分别将方程化简求解即可．
【解析】解：，
当时，原方程可化为：
，
解得：x=2不合题意，舍去；
当时，原方程可化为：
，
解得：；
当时，原方程可化为：
，
解得：x=0不合题意，舍去，
所以，这方程的解是．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，涉及绝对值的知识，难度一般，通过绝对值的概念对式子分类讨论是解题的关键．
10．（2019秋·上海杨浦·七年级校考期中）阅读下列材料:让我们来规定一种运算： ．例如：
按照这种运算的规定，请解答下列各个问题：
（1）________，当x=______时，
（2）求x，y的值，使（写出解题过程）
【答案】（1）3x-2；；（2）y=2，x=8．
【分析】(1)根据题中的新定义化简所求，计算即可得到结果；根据题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可得到x的值；
(2)利用题中的新定义化简所求式子，计算即可确定出x与y的值．
【解析】（1）原式=3x-2×1=3x-2；
方程变形得：2x-（1-x）=0，
去括号得：2x-1+x=0，
移项合并得：3x=1，
解得：x=；
故答案为.
（2）根据题意得：，
由②得：x=0.5y+7③，
将③代入①得：0.75y+10.5-3-8y=-7，
移项合并得：7.25y=14.5，
解得：y=2，
将y=2代入③得：x=8．
【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握其步骤：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
11．（2023秋·上海青浦·六年级校考期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
(1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______．
(2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______．
(3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．
【答案】(1)、2、7；
(2)．
(3)①，，；②，，．
【分析】（1）根据“关联点”的概念即可解得．
（2）根据“关联点”的概念逐个点计算即可解得
（3）①根据“关联点”的概念表示出距离，根据2倍的数量关系列式即可解得．②根据“关联点”的概念表示出距离，分四种情况进行解答．
【解析】（1）解：，
，
2是A，C的一个“关联点”，
设是A，C的一个“关联点”，
解得，
设是A，C的一个“关联点”，
解得，
A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：、2、7；
（2）∵，
，
∴是关联点，
∵，
，
∴不是关联点，
∵，
，
∴是关联点，
∵，
，
∴是关联点，
∵，
，
∴是关联点，
故答案为：．
（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为，
当
解得，
当
解得，
若点P在M点左侧，设点P表示的数为，
∴
解得，
综上所述：P表示的数为：；
②若点P在点N右侧，设点P表示的数为，
当时，
则
解得，
当时，
则
解得，
当时，
则
解得，
当时，
则
解得，
综上所述：P表示的数为：，．
【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程．
12．（2022春·上海杨浦·六年级校考期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．
(1)试求出的周长；
(2)当点移动到边上时，化简：；
(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？
【答案】(1)15；
(2)35．
(3)t为s或s
【分析】（1）a是最小的合数，则a=4，根据非负数的性质得到b=5，c=6，则△ABC的周长可求出；
（2）由题意知S的取值范围，由绝对值的意义化简即可；
（3）分两种情况，当P在Q前面，当P在Q后面，列出方程解出t即可．
【解析】（1）∵a是最小的合数，
∴a=4，
∵，
∴b-5=0，c-6=0，
∴b=5，c=6，
∴BC=4，AC=5，AB=6，
∴△ABC的周长=BC+AC+AB=4+5+6=15；
（2）∵点P移动到AC边上，AB+AC=6+5=11，
∴6≤S≤11，
∴S-4＞0，3S-6＞0，4S-45＜0，
∴|S-4|+|3S-6|+|4S-45|=S-4+3S-6+45-4S=35．
（3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面，
∴3t+4-5t=3，
解得：t=．
此时点P在AB上．
②按顺时针方向移动，若Q在P的前面，
∴5t-4-3t=3，
解得：t=．
此时点P在AC上．
综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的周长，非负数的性质，绝对值的化简，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
13．（2021春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）某家具厂的设计师根据的比例尺，并按斜二侧画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门．
(1)由刻度尺在图纸上测量可得，、、，所以这个柜子的表面积是______，体积是______．
(2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？
【答案】(1)78，36
(2)10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子
【分析】（1）由长方体的表面积和体积公式求柜子的表面积和体积．
（2）通过设x个工人做框架，表示出框架数，再通过“恰好配套”得到抽屉数和门数，进而得到做抽屉和做门的工人数分别是、，最后通过工人总数是38人列方程求解即可．
(1)
解：因为比例尺是，
所以柜子实际长宽高为，，，
表面积：，
体积：．
(2)
解：设x个工人做框架，则框架一共2x个，柜子一共2x个，抽屉6x个，门4x个，
做抽屉的工人个，
做门的工人个，
根据工人数量列等式关系：，
解得：，
，
答：10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子
【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积公式、一元一次方程的实际应用，准确应用公式是第一问的解题关键，找准数量关系和等量关系是第二问的解题关键．
14．（2021秋·上海青浦·六年级校考阶段练习）阅读流程图，并完成问题：
(1)如果输入数，则_______；
(2)如果输出数，则_________．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）根据程序计算即可；
（2）分类讨论，①当时，依据程序得：.②当时，依据程序得：.根据输出数，列出方程解方程求解即可．
（1）
输入数，则依据程序得：，
.故答案为：.
（2）
输入数据，①当时，依据程序得：.
若，则.解得：.
若，则若.解得：.
②当时，依据程序得：.
若，则，解得：.
若，则，解得：.
综上，如果输出数，则或或或.
故答案为：或或或.
【点睛】本题考查了根据程序进行有理数的运算，解一元一次方程，分类讨论是解题的关键．
15．（2018秋·上海浦东新·七年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）新个税法于2018年1月1日起施行，2018年10月1日起施行最新“起征点：5000元”和税率，《中华共和国个人所得税》中的个人所得税税率如下：
其中“全月应纳税所得额”是指从工资、薪金收入中减去5000元后的金额．（本题只讨论上表内容）
（1）若某一月份扣除税后拿了8000，他交了多少税？
（2）若某一月份纳税额为m元（m>0），他的税前收入是多少？
【答案】（1）他交了100元税；（2）当0＜m≤90时，税前收入＝（元）；当90＜m≤990时，税前收入＝10m+7100；当990＜m≤3590时，税前收入＝5m+12050.
【分析】（1）根据扣除税后拿了8000元可知，交税的级数有一级的和二级的，然后根据表格中数据列出方程求解可得；
（2）由题意可知，税前收入＞5000元，然后分三种情况讨论：①当5000元＜税前收入≤8000元时，②当8000元＜税前收入≤17000元时，③当17000元＜税前收入≤30000元时，
分别求出对应的m的取值范围，用含m的式子表示出税前收入即可.
【解析】解：（1）设交税x元，则总工资为（8000+x）元，
由题意得：x=3000×3%+（8000+x-5000-3000）×10%，
解得：x=100，
答：他交了100元税；
（2）由题意可知，税前收入＞5000元，
分情况讨论：
①当5000元＜税前收入≤8000元时，
∵3000×3%=90（元），
∴0＜m≤90，
此时税前收入＝（元）；
②当8000元＜税前收入≤17000元时，
∵3000×3%+（12000-3000）×10%=990（元），
∴90＜m≤990，
设此时税前收入为x元，
则m=3000×3%+(x-5000-3000)×10%，
解得：x=10m+7100；
③当17000元＜税前收入≤30000元时，
∵3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%=3590（元），
∴990＜m≤3590，
设此时税前收入为y元，
则m=3000×3%+（12000-3000）×10%+（y-5000-12000）×20%，
解得：y=5m+12050；
综上所述：当0＜m≤90时，税前收入＝（元）；当90＜m≤990时，税前收入＝10m+7100；当990＜m≤3590时，税前收入＝5m+12050.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用以及学生提取信息、调动所学知识理解和解决问题的能力，解题的关键是要读懂题意，理解应纳税额的计算方法，从而构造方程解决问题.
16．（2021春·上海青浦·六年级校联考期末）暑假即将开始，为了丰富假期生活，某学校要组织部分优秀学生和家长代表参加夏令营活动．有两家旅行社进行了报价，单人的基准价格都相同，但是两家给出的优惠不同（如图）．
(1)如果参加活动的大人和学生人数一样多，选择_________旅行社比较合算；
(2)如果参加活动的总人数为60人，经计算发现无论选择哪一家旅行社总费用都一样，求参加活动的学生人数；
(3)如果设大人有m个，学生有n个，当m和n满足什么关系式时选择甲旅行社比较合算？请直接写出结论．
【答案】(1)乙；
(2)参加活动的学生是40人；
(3)当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【分析】（1）设参加活动的大人和学生人数都是a人，单人的基准价格是t元，分别表示出两个旅行社的费用，比较可得选择乙旅行社比较合算；
（2）设参加活动的学生人数是x人，则参加活动的大人是（60-x）人，单人的基准价格是t元，可得：0.9（60-x）t+0.6xt=0.7t×60，即可解得参加活动的学生是40人；
（3）设单人的基准价格是t元，根据题意得：0.9tm+0.6tn＜0.7t（m+n），可解得当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
（1）
解：设参加活动的大人和学生人数都是a人，单人的基准价格是t元，
甲旅行社费用为0.9at+0.6at=1.5at（元），
乙旅行社费用为0.7at+0.7at=1.4at（元），
∵a是正整数，t是正数，
∴1.5at＞1.4at，
∴选择乙旅行社比较合算；
故答案为：乙；
（2）
解：设参加活动的学生人数是x人，则参加活动的大人是（60-x）人，单人的基准价格是t元，
根据题意得：0.9（60-x）t+0.6xt=0.7t×60，
解得x=40，
答：参加活动的学生是40人；
（3）
解：设单人的基准价格是t元，
根据题意得：0.9tm+0.6tn＜0.7t（m+n），
∴n＞2m，
答：当n＞2m时，选择甲旅行社比较合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程．
17．（2022春·上海·八年级期中）甲乙两个仓库要向，两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，地需70吨水泥，地需110吨水泥，两库到，两地的路程与运费如表：（表中运费栏“元（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
(1)我们不妨设甲库运往地水泥吨，请填写表格，用含的式子表示出其他未知量．
(2)当甲、乙两库各运往，两地多少吨水泥时，总运费为37700元．
(3)甲乙两个仓库向，两地运送水泥，最省总运费是 元．（直接填写，不需过程）
【答案】(1)，，，，，，
(2)甲向，两地各运50吨水泥，乙向地运20吨，向地运60吨时，总运费为37700元
(3)37100
【分析】（ 1）由甲库运往地水泥吨，根据题意首先求得甲库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，然后根据表格求得总运费；
（ 2）根据总运费为37700元列出方程计算即可求解；
（ 3）由（2）可得运费为元，即可知当时，总运费最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
(1)
设甲库运往地水泥吨，则甲库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，乙库运往地水泥吨，
则甲库运往地的总运费为元，甲库运往地的总运费为元，乙库运往地的总运费为元，乙库运往地的总运费为元，
填表如下：
故答案为：，，，，，，；
(2)
根据题意得：，
即，
解得．
故甲向，两地各运50吨水泥，乙向地运20吨，向地运60吨时，总运费为37700元；
(3)
在中，，
代数式的值随的增大而减小，
，
当时，总运费最省，最省的总运费为37100元．
故答案为：37100．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式的值，一元一次方程的实际应用问题．解题的关键是理解题意，读懂表格求解．
18．（2022秋·上海·七年级期末）已知，如图，四边形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有两点E和F，此时四边形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（单位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，现有甲乙两只妈蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着A﹣D﹣C﹣F﹣A的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着B﹣C﹣D﹣E﹣B的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是（米/秒）．
（1）用含a、b的代数式表示：
①甲走到点C时，用时 秒；
②当甲走到点C时，乙走了 米；
③当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是 平方米；
④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时 秒．
（2）它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由．
【答案】（1）①（12+6b2）；②（3a+ ）；③（a2﹣a2b2）；④；（2）两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒．
【分析】（1）①根据路程÷速度=时间可得结论；
②根据速度×时间=路程可得结论；
③根据三角形的面积公式可得结论；
④这一次相遇，用时t秒，根据总路程和=AD+CD+BC列方程可得结论；
（2）根据总路程=AD+CD+CF+EF+DE+CD+BC，列方程可得结论．
【解析】（1）①甲走到点C时，用时：＝（12+6b2）秒；
故答案为：（12+6b2）；
②a（12+6b2）＝3a+
则当甲走到点C时，乙走了（3a+ ）米；
故答案为：（3a+ ）；
③CM＝BM﹣BC＝（3a+ ）﹣（a+2ab2）＝2a﹣ab2，
∴△AMC的面积＝＝＝a2﹣a2b2，
则当甲走到点C时，此时乙在点M处，△AMC的面积是（a2﹣a2b2）平方米；
故答案为：（a2﹣a2b2）；
④设这一次相遇，用时t秒，
根据题意得：at+at＝a+ab2+a+a+2ab2，
t＝，
故答案为：；
（2）假设还有第二次相遇，设第二次x秒时相遇，则此时一定相遇在EF上，
根据题意得：at+at＝a+ab2+3a+2a+a+2ab2，
x＝，
答：两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒．
【点睛】本题考查了几何动点问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次一次方程和数形结合的思想解答．
19．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，线段AB的长为a．
（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD的中点，请求线段MN的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
【答案】（1）详见解析；（2）35；（3）﹣5、15、11、﹣7．
【分析】（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；
（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；
（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置．
【解析】解：（1）如图所示；
（2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有
点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35
（3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则
t＝＝35（秒）
那么甲在总的时间t内所运动的长度为
s＝5t＝5×35＝175
可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为
175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位．
①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有
5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）
而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．
②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2，有
5t2+2t2＝25+30+5+10，t2＝10（秒）
此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15
这时甲和乙所对应的有理数为15．
③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3，有
5t3﹣2t3＝20，t3＝（秒）
此时甲的位置：30﹣（5×﹣15）＝11，乙的位置：20﹣（2×﹣5）＝11
这时甲和乙所对应的有理数为11
④从时间和甲运行的轨迹来看，他们可能第四次相遇．设第四次相遇时经过的时间为t4，有
5t4﹣11﹣30﹣15+2t4＝11，t4＝9（秒）
此时甲的位置：5×9﹣45﹣11＝﹣7，乙的位置：11﹣2×9＝﹣7
这时甲和乙所对应的有理数为﹣7．
四次相遇所用时间为：5+10++9＝31（秒），剩余运行时间为：35﹣31＝3（秒）
当时间为35秒时，乙回到N点停止，甲在剩余的时间运行距离为5×3＝＝17．
位置在﹣7+17＝10，无法再和乙相遇，故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、11、﹣7．
【点睛】本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键．
20．（2021秋·上海·七年级校考期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长；
（3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出各案）
【答案】（1）是；（2）5cm或7.5cm或10cm；（3）10或．
【分析】（1）根据“2倍点”的定义即可求解；
（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边三种情况，进行讨论求解即可；
（3）根据题意画出图形，P应在Q的右边，分别表示出AQ、QP、PB，求出t的范围．然后根据（2）分三种情况讨论即可．
【解析】（1）∵整个线段的长是较短线段长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“2倍点”．
故答案为是；
（2）∵AB＝15cm，点C是线段AB的2倍点，∴AC＝155cm或AC＝157.5cm或AC＝1510cm．
（3）∵点Q是线段AP的“2倍点”，∴点Q在线段AP上．如图所示：
由题意得：AP=2t，BQ=t，∴AQ=20-t，QP=2t-（20-t）=3t-20，PB=20-2t．
∵PB=20-2t≥0，∴t≤10．
∵QP=3t-20≥0，∴t≥，∴≤t≤10．
分三种情况讨论：
①当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t＝12＞10，舍去；
②当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t＝10；
③当AQ＝AP时，20-t＝×2t，解得：t；
答：t为10或时，点 Q是线段AP的“2倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“2倍点”的定义分类讨论，理解“2倍点”的定义是解决本题的关键．
21．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）在校园科技节活动中，同学们踊跃参加各项竞赛活动，参加的学生只能从车模，机器人，降落伞，科幻画，科技制作五个竞赛项目中选一项．现将选择情况绘制了以下统计图，请根据图 ，图 提供的相关信息，回答下列问题：
(1)参加科技制作竞赛活动的学生人数占参加竞赛总人数的 ．
(2)全校一共有多少名学生参加科技节竞赛活动？
(3)参加机器人竞赛活动的人数比参加降落伞竞赛活动的人数少百分之几？（百分号前保留一位小数）
(4)参加竞赛活动的学生有 获奖，其中一等奖与二等奖的人数之比 ，二等奖人数是三等奖人数的 ，求获一等奖的学生人数？
【答案】(1)35
(2)400
(3)66.7%
(4)10
【分析】（1）用参加科技制作竞赛活动的学生人数在扇形统计图中的圆心角度数除以360度即可得解；
（2）用参加降落伞的人数除以参加降落伞人数所占的百分比即可得解；
（3）由（1）（2）的结论可以算出参加机器人竞赛活动的人数，然后与参加降落伞竞赛活动的人数相比可以得解；
（4）设获一等奖，二等奖的学生人数分别为 ，名，则由题意可得关于x的方程，求出x后即可得到解答．
【解析】（1）解：126°÷360°=0.=35%，
故答案为35；
（2）60÷15%=400（人），
答：全校一共有 名学生参加科技节竞赛活动．
（3），
，
．
答：参加机器人竞赛活动的人数比参加降落伞竞赛活动的人数少 ．
（4）设：获一等奖，二等奖的学生人数分别为 ，名，则由题意可得：
，
解之可得：x=2，
5x=10，
答：获一等奖学生人数为 名．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用，熟练掌握一元一次方程的应用、条形统计图与扇形统计图的信息关联应用是解题关键．
22．（2021春·上海·六年级校考期末）对于有理数a、b，我们用符号表示a、b两数中较小的数，如，又如．
(1)直接写出的值．
(2)已知．
①当时，求x的值．
②求当成立时，求c的取值范围．
【答案】(1)．
(2)①或．②．
【分析】（1）根据有理数比较大小的方法求出，然后根据题意求解即可；
（2）①分类讨论当时，当时两种情况讨论求解即可；②分当时，当时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：∵
∴，
∴，
故答案为．
(2)
解：①当时，，则，
当时，，则，
经检验，或均满足条件．
②当时，，，
当时，，，
∴c的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是关键．
23．（2021春·上海松江·六年级校考期末）阅读下列材料并回答问题：
墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丟番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公慕，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？
【答案】84岁
【分析】设丢番图寿命为x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数列方程为，然后解方程即可．
【解析】解：设丢番图寿命为x岁，根据题意列式：
，
答：丢番图寿命是84岁．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．
24．（2021春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）如图，已知正方体木框的棱长为10个单位，有两只蚂蚁同时沿着该正方体的棱爬行（框很细，设定蚂蚁的爬行路线为直线型）．
(1)若甲蚂蚁的爬行路线是DAB，乙蚂蚁的爬行路线是BA，经过6分钟两蚂蚁相遇；若甲蚂蚁的爬行路线是DABC，乙蚂蚁的爬行路线是BC，经过10分钟两蚂蚁相遇．试分别求出甲乙两只蚂蚁的爬行速度．
(2)若甲蚂蚁速度为每分钟10单位．沿爬行路线DABCD循环爬行，乙蚂蚁速度为每分钟4个单位，先从爬行到B，再沿爬行路线BCDAB循环爬行，甲、乙分别从D、两点同时出发，那么经过______分钟能第一次在C相遇．
【答案】(1)（1）甲蚂蚁的速度为3个单位/分钟，乙蚂蚁的速度为2个单位/分钟
(2)15
【分析】（1）根据甲、乙两只蚂蚁6分钟相遇，可知为相遇问题，所以甲、乙两只蚂蚁6分钟爬行路程和AB+BC+B1C=3×棱长；再由甲、乙两只蚂蚁10分钟相遇，可知为追及问题，所以甲、乙两只蚂蚁10分钟爬行路程的差=1×棱长；
（2）先确定乙蚂蚁到达C点时，甲蚂蚁的位置，然后再求出t分钟甲乙两只蚂蚁在C点时的等量关系式，由n为正整数，得出n的取值范围，进而代入求出t的值即可．
(1)
解：设甲蚂蚁的速度为x个单位/分钟，乙蚂蚁的速度为y个单位/分钟，
根据题意可得：，解得：，
答：甲蚂蚁的速度为3个单位/分钟，乙蚂蚁的速度为2个单位/分钟．
(2)
解：甲蚂蚁第一次到达C点时需要用时分钟，
乙蚂蚁第一次到达C点时需要用时分钟，
，即当乙蚂蚁第一次到C点时，
甲蚂蚁在A点，
设经过t分钟时，甲、乙两只蚂蚁第一次在C点相遇，
所以，其中n为正整数，
则，即，
所以1，4，7，10，13，16……，
当时，，，
，
即时，甲、乙两只蚂蚁都在C点，
故经过15分钟甲、乙两只蚂蚁能第一次在C点相遇．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了相遇问题，解答本道题的关键是找出甲、乙两只蚂蚁第一次在C点相遇时的等量关系式．
25．（2021春·上海·六年级校考期末）某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格．售价如下表所示：（购买时必须整包购买）
(1)已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了____包．
(2)已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？
(3)在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变，如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？
【答案】(1)25
(2)一次性防护口罩60包，N95口罩80包
(3)最多购买一次性防护口罩70包
【分析】（1）设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x＋30）包，根据第一批购得两种口罩共80包，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包，根据第二批购得两种口罩共计3240只且共花费10800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100−m）包，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
(1)
解：设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x＋30）包，
依题意，得：x＋x＋30＝80，
解得：x＝25．
故答案为：25．
(2)
解：设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包，
依题意，得：，
解得：．
答：第二批购得一次性防护口罩60包，N95口罩80包．
(3)
解：设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100−m）包，
依题意，得：（100−10）m＋60（100−m）≤8100，
解得：m≤70．
答：第三批最多能购买一次性防护口罩70包．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（2021·上海·六年级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
(1)如图1，，，是的内半角，则_______；
(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
(3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度秒的速度按顺时针方向旋转（如图，问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)15°
(2)
(3)能，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒；秒
【分析】（1）根据定义以及角度的和差直接求解即可；
（2）根据题意，根据定义可得，建立一元一次方程解方程求解即可；
（3）根据题意可分以下四种情况：①当射线在内，如图4，当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6，当射线在内，如图7，根据定义建立方程，解方程求解即可．
(1)
（1）如图1，，是的内半角，
，
，
；
故答案为：．
(2)
如图2，由旋转可知，，
，，
是的内半角，
，即，
解得，；
(3)
能，理由如下，
由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况：①当射线在内，如图4，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
如图6，此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
③当射线在内，如图7，
此时，，，
则是的内半角，
，即，
解得（秒；
综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒；秒．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，理解定义，并能分类讨论是解题的关键．
27．（2021春·上海·六年级校考期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：
小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：
信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；
信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；
请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？
(2)六（2）班的学生数至少是多少人？
【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元
(2)38人
【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得；
（2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案．
【解析】（1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元；
（2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元，
所以六（1）班学生数最多不超过（人），
所以六（2）班学生数至少是（人），
答：六（2）班的学生数至少是38人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键．
28．（2019秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期中）下面为某年11月的日历：
(1)在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数；
①设中间的一个数为，则另外的两个数为 、 ；
②若已知这三个数的和为42，则这三天都在星期 ；
(2)在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b,若这9个数的和为153，求的值.
【答案】（1）①，；②一；（2）
【分析】（1）①观察日历发现从上至下，数值是逐个增加7，据此可得出数上下两个数；②根据①中列出的三个数代数式，得出三数和的代数式求解即可；
（2）根据（1）中的规律，再结合前后数相差1的规律，得出9个数的代数式，再得出9个数和的代数式，求得后代入式子求值即可.
【解析】（1）①观察日历发现从上至下，数值是逐个增加7
∵中间的一个数为
∴上面的数为：，下面的数为：
故填：，；
②由题得：
解得：，，
对照日历可知：这三天都在星期一；
（2）根据（1）中的规律，再结合前后数相差1的规律，得出9个数的代数式如下所示：
将这9个数的代数式的相加得：
∴
解得：
∴
【点睛】本题主要考查列代数式，找数字规律，观察数据找出规律是关键.
品种
高档
中档
低档
每套的价格/元
40
30
20
级数
全月应纳税所得额
税率（％）
1
不超过3000元的部分
3
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过12000元至25000元的部分
20
路程（千米）
运费（元吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
地
20
15
12
12
地
25
20
10
8
甲库运往地
甲库运往地
乙库运往地
乙库运往地
水泥吨数
总运费
甲库运往地
甲库运往地
乙库运往地
乙库运往地
水泥吨数
总运费
数量
售价
一次性防护口罩
50只/包
100元/包
N95口罩
3只/包
60元/包
班 级
人数
捐款总额（元）
人均捐款额（元）
（1）班
（2）班
合计
80
900
11.25
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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