2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型二 多解题 (含答案)

这是一份2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型二 多解题 (含答案)，共15页。
典例精讲
例1 (2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝6eq \r(2)，E为射线 BC上一点，若∠CDE＝15°，则DE的长为________．
【思维教练】∵点E在射线BC上，且∠CDE＝15°，∴分两种情况进行讨论：①E在线段BC上；②点E在线段BC延长线上．
例1题图
针对训练
1. 在平面直角坐标系中，点B在y轴的正半轴上，OB＝2eq \r(3)，点A在第二象限，且横坐标为－1.当AB＝AO时，以点O为旋转中点旋转△ABO，使点B落在x轴上，则点A的对应点的坐标是________．
2.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝6，连接BD，点P为边AB的三等分点，则tan∠PDB的值
为______．
第2题图
3.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是AB边上一点，CE＝5，点F是CD边上一动点，若AE＝EF，则四边形AEFD的周长为________．
4. (2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是线段AC上一点，连接BD，将△BCD沿BD所在的直线折叠，点C的对应点为点E，当点E落在△ABC的边所在的直线上时，CD的长为________．

第4题图
5.已知点A、B在⊙O上，∠AOB＝112°，直线l平分∠AOB，与⊙O交于点C，点D是OC延长线上的一点，当AC＝CD时，∠CAD的度数为______．
6.已知四边形ABCD为平行四边形，∠B＝30°，AB＝2eq \r(3)，AC⊥BC，点E是平行四边形ABCD边上的点，且AE＝2，则△ABE的面积为________．
类型二 等腰、直角三角形边或角不确定
典例精讲
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D为BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，取AE＝AD，连接BE交AC于点F.当△AEF为等腰三角形时，CD＝________．
例2题图
【思维教练】△AEF为等腰三角形，需分两种情况进行讨论：①EA＝EF；②AF＝EF.
满分技法
具体方法见P104微专题 与等腰、直角三角形有关的探究——类型一 与等腰三角形有关的分类讨论
例3 在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，连接BD，若△ABD为直角三角形，则平行四边形的面积为________．
【思维教练】△ABD为直角三角形，需分两种情况讨论：①∠ABD＝90°；②∠ADB＝90°.
满分技法
具体方法见微专题 等腰、直角三角形边或角不确定——类型二 与直角三角形有关的分类讨论
针对训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为________．
第1题图
2.如图，已知四边形OABC是菱形，且OA＝AB＝4，∠OAB＝60°.将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，AA′的长为________．

第2题图
3.如图，在平面直角坐标系中，点A(eq \r(5)，0)，点B(0，2eq \r(5))，连接AB，在第一象限内以AB为腰作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为________．
第3题图
4. (2023沈阳于洪区一模)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度
α(0°＜α＜90°)，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H.当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为________．

第4题图
5. 如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3 cm，E为对角线AC上的一点(点E不与点A，C重合)，∠DAC＝30°，CF平分∠ACD交AD边于点F，连接EF.若△CEF是等腰三角形，则CE的长为________cm.
第5题图
类型三 相似三角形对应关系不确定
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，AB＝2eq \r(5)，点E是BC上一点，BE＝eq \r(2)，过点E作AC的垂线，交AC于点O，O为AC的中点，连接AE，且AE＝3eq \r(2)，点P是线段AC上一点，连接EP.当△OEP与△ABE相似时，则AP的长为 ________．
【思维教练】△OEP与△ABE相似，需分情况讨论：①△AEB∽△EOP；②△AEB∽△POE.
例4题图
满分技法
具体方法见微专题 相似三角形对应关系不确定
针对训练
1. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A(－4，2)、B(－1，－1)，以原点O为位似中心，将△AOB扩大到原来
的2倍，则点A的对应点A′的坐标为 ________．
2.在△ABC中，AB＝12，AC＝7，点D在AB边上，且BD＝8，点E在AC边上，连接DE，若△ADE与△ABC相似，则CE的长为________．
3. 如图，已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC.点E是射线BC上的动点(点E与点B不重合)，点M是线段DE的中点，连接BD，交线段AM于点N，若以点A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为 ________．
第3题图
4. (2023抚本铁辽葫黑白卷)如图，在平面直角坐标系中，A(0，－3)，B(4，0)，点P是△AOB内一点，PQ⊥OA于点Q，连接AP，OP，若△APQ∽△BAO，且△AOP是等腰三角形，则点P的坐标为________．

第4题图
类型四 特殊四边形边或对角线不确定
典例精讲
例5 在▱ABCD中，BC边上的高为3，AB＝5，AC＝2eq \r(3)，则BC的长为______．
【思维教练】BC边上的高为3，设BC边上的高为AE，可分情况讨论：①点E在BC上；②点E在BC的延长线上．
针对训练
1. 在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，且两边长分别为1和2，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，连接BE，则BE的长为________．
2. 如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．
第2题图
参考答案
类型一 点位置不确定
例1 12或4eq \r(3) 【解析】∵点E在射线BC上，且∠CDE＝15°，∴存在以下两种情况：①当点E在线段BC上时，如解图①，过点E作EF⊥AD于点F，过点A作AH⊥BC于点H，则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°.∵∠B＝45°，AB＝6eq \r(2)，∴AH＝EF＝eq \f(\r(2),2)AB＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠CDA＝45°.∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝∠CDF－∠CDE＝45°－15°＝30°，∴DE＝2EF＝12；②当点E在线段BC延长线上时，如解图②，过点E作EF⊥AD于点F，过点A作AH⊥BC于点H，同理可得EF＝6，∠FDE＝60°，∴DE＝eq \f(EF,sin60°)＝4eq \r(3).综上所述，DE的长为12或4eq \r(3).
例1题解图
针对训练
1. (－eq \r(3)，－1)或(eq \r(3)，1) 【解析】∵点B在y轴的正半轴上，OB＝2eq \r(3)，点A的横坐标为－1，AB＝AO，∴A(－1，eq \r(3))，如解图，①当△ABO绕点O逆时针旋转90°，使点B落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质A1(－eq \r(3)，－1)；②当△ABO绕点O顺时针旋转90°，使点B落在x轴正半轴上时，根据旋转的性质A2(eq \r(3)，1)；故点A的对应点的坐标是(－eq \r(3)，－1)或(eq \r(3)，1)．
第1题解图
2. eq \f(1,2)或eq \f(1,5) 【解析】如解图①，当点P为边AB的三等分点，且AP＝2时，过点P作PE⊥BD于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴∠PBE＝45°，∴PE＝BE＝eq \f(\r(2),2)PB＝eq \f(\r(2),2)×(6－2)＝2eq \r(2)，∵BD＝eq \r(2)AB＝6eq \r(2)，∴DE＝4eq \r(2)，∴tan∠PDB＝eq \f(PE,DE)＝eq \f(1,2)；如解图②，当点P为边AB的三等分点，且AP＝4时，过点P作PE⊥BD于点E，同理可求PE＝eq \r(2)，DE＝5eq \r(2)，∴tan∠PDB＝eq \f(PE,DE)＝eq \f(1,5)，综上所述，tan∠PDB的值为eq \f(1,2)或eq \f(1,5).
第2题解图
3. 22或16 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4，∠B＝90°.在Rt△BCE中，BE＝eq \r(CE2－BC2)＝3.∵AB＝8，∴AE＝AB－BE＝5.∵AE＝EF，∴EF＝5.分以下两种情况讨论：①当点F与点C重合时，此时四边形AEFD的周长为AE＋CE＋CD＋AD＝5＋5＋8＋4＝22；②如解图，当点F不与点C重合时，过点F作FG⊥AB于点G，则DF＝AG，FG＝AD＝4.在Rt△EFG中，EG＝eq \r(EF2－FG2)＝3.∴AG＝AE－EG＝5－3＝2，∴DF＝2.此时四边形AEFD的周长为AE＋EF＋DF＋AD＝5＋5＋2＋4＝16.综上所述，四边形AEFD的周长为22或16.
第3题解图
4. eq \f(18,5)或eq \f(30,11) 【解析】如解图①，当点E在直线AC上时，过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BF＝CF＝eq \f(1,2)BC＝3，由折叠的性质知，∠BDC＝∠BDE＝90°.∵∠C＝∠C，∴△ACF∽△BCD，∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(CF,CD)，即eq \f(5,6)＝eq \f(3,CD)，∴CD＝eq \f(18,5)；如解图②，当点E在直线AB上时， 过点C 作CF∥AB，交BD的延长线于点F，则∠ABF＝∠F，由折叠的性质知，∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠F，∴CF＝BC＝6.∵∠ABD＝∠F，∠ADB＝∠CDF，∴△ABD∽△CFD, ∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(AB,CF)＝eq \f(5,6)，∴CD＝eq \f(6,11)AC＝eq \f(30,11).综上所述，CD的长为eq \f(18,5)或eq \f(30,11).
第4题解图
5. 31°或14° 【解析】①如解图①，当点C在∠AOB的平分线的延长线上时，∵直线l平分∠AOB，∴∠AOC＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)×112°＝56°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠ACO＝eq \f(1,2)(180°－∠AOC)＝eq \f(1,2)×(180°－56°)＝62°.又∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CAD＋∠CDA＝∠ACO＝62°，∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠ACO＝eq \f(1,2)×62°＝31°；②如解图②，当点C在∠AOB的平分线的反向延长线上时，∵直线l平分∠AOB，∴∠1＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)×112°＝56°.∴∠ACO＝eq \f(1,2)∠1＝eq \f(1,2)×56°＝28°.又∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CAD＋∠CDA＝∠ACO＝28°，∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠ACO＝eq \f(1,2)×28°＝14°.
第5题解图
6. eq \f(3\r(3),2)或eq \r(3) 【解析】∵要求△ABE的面积，∴点E不可能在边AB上，∴分三种情况讨论：①当点E在边AD上时，如解图①，∵AB＝2eq \r(3)，∠ABC＝30°，AC⊥BC，∴AC＝eq \r(3)，BC＝3，∴AD＝BC＝3，∵AE＝2，∴S△ABE＝eq \f(1,2)AE·AC＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)；②当点E在边CD上时，如解图②，此时S△ABE＝eq \f(1,2)S▱ABCD＝eq \f(1,2)BC·AC＝eq \f(3\r(3),2)；③当点E在边BC上时，如解图③，∵AE＝2，AC＝eq \r(3)，∴CE＝1，∴BE＝BC－CE＝3－1＝2，∴S△ABE＝eq \f(1,2)BE·AC＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，综上所述，△ABE的面积为eq \f(3\r(3),2)或eq \r(3).
第6题解图
类型二 等腰、直角三角形边或角不确定
例2 2或6【解析】当EA＝EF时，如解图①，过点E作EH⊥AC于点H.∵EA＝EF，EH⊥AF，∴AH＝FH，∵EA⊥AD，∴∠EAD＝∠EHA＝∠C＝90°，∴∠EAH＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠EAH＝∠ADC，在△EHA和△ACD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAH＝∠ADC,∠EHA＝∠C,AE＝DA))，∴△EHA≌△ACD，∴AH＝DC，EH＝AC＝CB.在△EHF和△BCF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EFH＝∠BFC,∠EHF＝∠C,EH＝BC))，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝FC，∴AH＝FH＝CF＝CD，∴CD＝eq \f(1,3)AC＝2，如解图②，当AF＝EF时，点D与B重合，此时CD＝BC＝6.综上所述，满足条件的CD的长为2或6.
例2题解图
例3 9eq \r(3)或36eq \r(3)【解析】分两种情况讨论：①如解图①，当∠ABD＝90°时，∵AD＝6，∠A＝60°，∴在Rt△ABD中，AB＝eq \f(1,2)AD＝3，BD＝eq \f(\r(3),2)AD＝3eq \r(3)，∴S平行四边ABCD＝AB·BD＝9eq \r(3)；②如解图②，当∠ADB＝90°时，在Rt△ADB中，∠A＝60°，AD＝6，∴BD＝eq \r(3)AD＝6eq \r(3)，∴S平行四边形＝AD·BD＝36eq \r(3)，综上所述，平行四边形的面积为9eq \r(3)或36eq \r(3).
例3题解图
针对训练
1. 3或6 【解析】当∠CFE为90°时，A，F，C三点共线，设BE长为x，则CE＝8－x，由翻折可得EF＝BE＝x，AF＝AB＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4，∵∠CFE＝∠B＝90°，∴EF2＋FC2＝EC2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3；当∠CEF为90°时，四边形ABEF为正方形，∴BE＝AB＝6，∴综上所述，BE的长为3或6.
第1题解图
2. eq \f(4\r(3),3)或2eq \r(3) 【解析】∵四边形OABC是菱形，∴∠OCB＝∠OAB＝60°，∵AC是菱形OABC的对角线，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∵A′B′∥AB，∴∠CA′B′＝∠CAB＝30°，∵AB＝BC＝4，∴AC＝4eq \r(3)，若△CA′B′为直角三角形，下面分两种情况讨论：①如解图①，当∠A′B′C＝90°时，△CA′B′为直角三角形．∵A′B′＝AB＝4，∠CA′B′＝30°，∴A′C＝eq \f(8\r(3),3)，∴A′A＝4eq \r(3)－eq \f(8\r(3),3)＝eq \f(4\r(3),3)；②如解图②，当∠A′CB′＝90°时，△CA′B′为直角三角形，∴A′C＝2eq \r(3)，∴A′A＝2eq \r(3).综上所述，A′A的长为eq \f(4\r(3),3)或2eq \r(3).
第2题解图
3. (3eq \r(5)，eq \r(5))或(2eq \r(5)，3eq \r(5)) 【解析】∵点A(eq \r(5)，0)，点B(0，2eq \r(5))，∴OA＝eq \r(5)，OB＝2eq \r(5)，分两种情况：①∠BAC＝90°，AC＝AB时，如解图①，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝90°＝∠BOA，∵∠DAC＋∠ACD＝∠DAC＋∠BAO＝90°，∴∠ACD＝∠BAO，在△ACD和△BAO中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADC＝∠BOA,∠ACD＝∠BAO,AC＝BA))，∴△ACD≌△BAO(AAS)，∴AD＝BO＝2eq \r(5)，CD＝AO＝eq \r(5)，∴点C的坐标为(3eq \r(5)，eq \r(5))；②∠ABC＝90°，AB＝BC时，过C作CE⊥y轴于点E，如解图②，同①得△BCE≌△ABO(AAS)，∴CE＝BO＝2eq \r(5)，BE＝AO＝eq \r(5)，∴OE＝OB＋BE＝3eq \r(5)，∴点C的坐标为(2eq \r(5)，3eq \r(5))；综上所述，点C的坐标为(3eq \r(5)，eq \r(5))或(2eq \r(5)，3eq \r(5))．
第3题解图
4. eq \r(10)－1或1 【解析】如解图①，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴A1B＝A1G，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴A1B＝AB＝A1G＝5，∴GC1＝A1G－C1G＝1，∵∠BC1G＝90°，∴BG＝eq \r(C1B2＋C1G2)＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，∴AH＝AG＝AB－BG＝5－eq \r(10)，CH＝AC－AH＝4－(5－eq \r(10))＝eq \r(10)－1；如解图②，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于点M.同理可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，∴C1G＝4－x，在Rt△BGC1中，BG2＝BCeq \\al(2,1)＋GCeq \\al(2,1)，则有x2＝32＋(4－x)2，解得x＝eq \f(25,8)，∴BG＝eq \f(25,8)，AG＝5－eq \f(25,8)＝eq \f(15,8)，易知GM∥BC，∴eq \f(AG,AB)＝eq \f(AM,AC)，∴eq \f(\f(15,8),5)＝eq \f(AM,4)，∴AM＝eq \f(3,2)，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC－AM＝1.当HG＝AH时，∠HGA＝∠HAG