2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型四 规律探索题 (含答案)

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典例精讲
例1 如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于______．(用含有正整数n的式子表示)
例1题图

基本模型
【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出S1，S2，S3的面积可类比出Sn的面积．
①求S1的面积：根据题意可得：∠AOB＝45°，∠ABO＝90°，∴OB＝AB，∵AB＝AC＝B1C＝BB1＝______，AB∥A1B1，∴A1B1＝2AB＝________，∴A1B1＝A1C1＝B2C1＝B1B2＝________，∵AC∥ON，∴eq \f(CD,DB1)＝eq \f(AC,B1B2)＝____，∴CD＝________B1C＝________，B1D＝__________ B1C＝__________．同理可得，B2D1＝________B2C1＝________．∵B1D∥B2D1，∴eq \f(DE,B2E)＝eq \f(B1D,B2D1)＝________，∴S△B1DE＝________S△B1B2D＝________，∵S△ACD＝____，∴S1＝________；
②求S2，S3，…的面积：A2B2＝________，S△B2D1E1＝________S△B2B3D1＝________，∵S△A1C1D1＝________，∴S2＝________；S3＝________；
③总结，类比可得：Sn＝________．
例2 如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn都是等腰直角三角形，点B，B1，B2，B3，…，Bn都在x轴上，点B1与原点重合，点A，C1，C2，C3，…，Cn都在直线l：y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(4,3)上，点C在y轴上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y轴，AC∥A1C1∥A2C2∥…∥AnCn∥x轴，若点A的横坐标为－1，则点Cn的纵坐标是________．
例2题图
基本模型
【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出点C1，C2，C3，C4的纵坐标可类比出点Cn的纵坐标．
①求点C1的坐标：∵点C1在直线y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(4,3)上，∴设点C1的坐标为(t，______)．∵△B1B2C1是等腰直角三角形，且点B1与原点O重合，∴B1B2＝B2C1，即t＝______，解得t＝2.∴点C1的纵坐标为________；
②求点C2，C3，C4的坐标：设点C2的坐标为(m，______)，∵△B2B3C2是等腰直角三角形，∴m－2＝________，解得m＝________，∴点C2的纵坐标为________．同理可得，点C3的纵坐标为_________；点C4的纵坐标为________；
③总结，类比可得：点Cn的纵坐标为________．
辽宁近年中考真题精选
1. 如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1, BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为_________________________．(用含正整数n的式子表示)
第1题图
基本模型：
____________________
2. 如图，在△A1C1O中，A1C1＝A1O＝2，∠A1OC1＝30°，过点A1作A1C2⊥OC1，垂足为C2，过点C2作C2A2∥C1A1交OA1于点A2，得到△A2C2C1；过点A2作A2C3⊥OC1，垂足为C3，过点C3作C3A3∥C1A1交OA1于点A3，得到△A3C3C2；过点A3作A3C4⊥OC1，垂足为C4，过点C4作C4A4∥C1A1交OA1于点A4，得到△A4C4C3；…；按照上面的作法进行下去，得到△An＋1Cn＋1Cn的面积为________．(用含正整数n的代数式表示)
第2题图
基本模型：
__________________
3.如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…；且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn＋1的周长和为________．(n≥2，且n为整数)
第3题图
基本模型：
__________________基本模型：,,,,, )
4. 如图，点B1在直线l：y＝eq \f(1,2)x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点Cn的横坐标为________(结果用含正整数n的代数式表示)．
第4题图
基本模型：
__________________
5. 如图，直线l1的解析式是y＝eq \f(\r(3),3)x，直线l2的解析式是y＝eq \r(3)x，点A1在l1上，A1的横坐标为eq \f(3,2)，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2；…；按照此规律继续作下去，则Sn＝__________________________(用含有正整数n的式子表示)．
第5题图
基本模型：
________________
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则△OAnBn的面积为________．
第1题图
2. 如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，…，依此规律继续下去，则D2021D2022＝________．
第2题图
3. 如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、 y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则S△AnAn＋1On＋1的面积是________．
第3题图
4. 如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△AnAn＋1An＋2的面积等于________．
第4题图
5. 如图，n个腰长为1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一条腰在同一直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，…，则Sn＝________．(用含n的代数式表示)
第5题图
6. 如图，分别过x轴上点A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)作x轴的垂线，与反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象的交点分别为B1，B2，…，Bn，若△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn＋1的面积为Sn，则Sn＝________．(用含n的式子表示)
第6题图
7. 已知直线m：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)与直线n：y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)交于点A，直线n与x轴交于点B1，过B1作B1C1⊥x轴，交直线m于点C1，作菱形AB1D1C1得点D1，过D1作B2C2⊥x轴，分别与直线n和直线m交于点B2，C2，作菱形AB2D2C2得点D2，过点D2作B3C3⊥x轴，分别与直线n和直线m交于点B3，C3，作菱形AB3D3C3得点D3，…，设△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，依次类推，则△B2022C2022D2022的面积S2022的值是________．
第7题图
8. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，作BC1⊥AC，垂足为C1，作CB1⊥AB，垂足为B1，BC1与CB1交于点A1；作B1C2⊥AC，垂足为C2，作C1B2⊥AB，垂足为B2，B1C2与C1B2交于点A2；作B2C3⊥AC，垂足为C3，作C2B3⊥AB，垂足为B3，B2C3与C2B3交于点A3；…；若△A1BC的面积为1，则四边形AnBnAn＋1Cn的面积为________．
第8题图
9. 如图，∠MON＝90°，点A1，A2，A3，….An＋1在射线OM上，点B1，B2，B3，…，Bn＋1在射线ON上，连接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥AnBn＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥An＋1Bn，A1B2与A2B1相交于点C1，A2B3与A3B2相交于点C2，A3B4与A4B3相交于点C3，…，AnBn＋1与An＋1Bn相交于点Cn，OA1＝OB1＝1，则四边形AnCnBnO的周长为________．

第9题图
10. 如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的顶点A，A1，A2，A3，…在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，若AB＝2，则Sn等于________．(用含有正整数n的式子表示)
第10题图
11. 正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x轴上，则点C2022的横坐标是________．
第11题图
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2，以此类推，则点C2022的纵坐标是________．
第12题图
类型二 图形周期变化
典例精讲
例3 如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．
例3题图
【解题步骤】
①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；
②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；
③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．
辽宁近年中考真题精选
1. 如图①，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动(如图②)；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动(如图③)；…；每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．
第1题图
针对训练
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为________．
第1题图
2. 如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n－1A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2021的坐标是________．

第2题图
3. 如图，四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，点A1、C1分别在x轴、y轴的负半轴上，连接OB1，以OB1的长为边长向右侧作正方形OA2B2C2，点A2在y轴的负半轴上，点C2在x轴的正半轴上，连接OB2，以OB2的长为边长向上方作正方形OA3B3C3，点A3、C3分别在x轴、y轴的正半轴上，…，按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为________．
第3题图
4. 如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A30的坐标是________．
第4题图
5. 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，依此规律，得到等腰Rt△OA2021A2022，则点A2022的坐标为________．
第5题图
6. 如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．
第6题图
7. 如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△On－1BAn，则A2020的横坐标为________．

第7题图
参考答案
类型一 图形递推变化
典例精讲
例1 eq \f(7×22n－1,9)
【解题步骤】①2，4，4，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(4,3)，eq \f(2,3)，eq \f(8,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×4＝eq \f(8,9)，eq \f(1,2)×2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，eq \f(2,3)＋eq \f(8,9)＝eq \f(14,9)；②8，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(8,3)×8＝eq \f(32,9)，eq \f(1,2)×4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，eq \f(8,3)＋eq \f(32,9)＝eq \f(56,9)，eq \f(224,9)；③eq \f(7×22n－1,9).
例2 eq \f(3n－1,2n－2)
【解题步骤】①eq \f(1,3)t＋eq \f(4,3)，eq \f(1,3)t＋eq \f(4,3)，2；②eq \f(1,3)m＋eq \f(4,3)，eq \f(1,3)m＋eq \f(4,3)，5，3，eq \f(9,2)，eq \f(27,4)；③eq \f(3n－1,2n－2).
辽宁近年中考真题精选
1. eq \f(2n＋1,2n) 【解析】设AB＝CD＝a，AD＝CB＝EA＝b，则DE＝2b，DF1＝CF1＝eq \f(1,2)a，CF2＝eq \f(1,4)a，CF3＝eq \f(1,8)a，∴S△EF1B＝S四边形BCDE－S△DEF1－S△CBF1＝eq \f(1,2)(2b＋b)a－eq \f(1,2)×2b×eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)ab＝eq \f(3,4)ab＝eq \f(3,4)×2＝eq \f(3,2)；S△EF2B＝S四边形BCDE－S△DEF2－S△CBF2＝eq \f(1,2)(2b＋b)a－eq \f(1,2)×2b×eq \f(3,4)a－eq \f(1,2)×eq \f(1,4)ab＝eq \f(5,8)ab＝eq \f(5,8)×2＝eq \f(5,4)；S△EF3B＝S四边形BCDE－S△DEF3－S△CBF3＝eq \f(1,2)(2b＋b)a－eq \f(1,2)×2b×eq \f(7,8)a－eq \f(1,2)×eq \f(1,8)ab＝eq \f(9,16)ab＝eq \f(9,16)×2＝eq \f(9,8)；…；由面积变化规律可知S△EFnB＝eq \f(2n＋1,2n).
基本模型：
2. eq \f(\r(3),4n) 【解析】∵A1O＝A1C1＝2，∠A1OC1＝30°，A1C2⊥OC1，∴A1C2＝eq \f(1,2)A1O＝1，C1C2＝C2O ＝eq \r(3)，又∵A2C3⊥OC1，∴A2C3∥A1C2，∴A2C3是△A1C2O的中位线，∴A2C3＝eq \f(1,2)A1C2＝eq \f(1,2)，S△A2C2C1＝eq \f(1,2)C1C2·A2C3＝eq \f(\r(3),4)；以此类推，S△A3C3C2＝eq \f(\r(3),42)；S△A4C4C3＝eq \f(\r(3),43)；…；∴S△An＋1Cn＋1Cn＝eq \f(\r(3),4n).
基本模型：
3. eq \f(2n－1,2n－1) 【解析】∵△A1C1C2是等边三角形，∴∠A1C2C1＝60°，∵C1D1⊥A1C2，∴D1C2＝eq \f(1,2)C1C2，∠D1C1C2＝30°，∵C1D1＝D1C3，∴∠D1C3C2＝∠D1C1C2＝30°，∴∠C2D1C3＝∠C2C3D1＝30°，∴C2C3＝C2D1＝eq \f(1,2)C1C2，∴C△A2C2C3＝eq \f(1,2)C△A1C1C2＝eq \f(1,2)，同理C△A3C3C4＝eq \f(1,2)C△A2C2C3＝eq \f(1,22)，∴△AnCnCn＋1的周长为eq \f(1,2n－1)，∴这些三角形的周长和为1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n－1)＝eq \f(2n－1,2n－1).
基本模型：
4. 7×eq \f(3n－1,2n) 【解析】如解图，过点B1作B1M⊥x轴于点M，过点C1作C1N⊥x轴于点N，∵点B1的坐标为(2，1)，∴点M的坐标为(2，0)，即B1M＝1，OM ＝2，由△A1MB1∽△B1MO可得A1M ＝ eq \f(1,2)，
又∵△C1NA1≌△A1MB1，∴A1N ＝1，C1N ＝eq \f(1,2)，∴点C1的横坐标为eq \f(7,2)；同理可得，点C2的横坐标为eq \f(7,2)×eq \f(3,2)；点C3的横坐标为eq \f(7,2)×(eq \f(3,2))2；…；∴点Cn的横坐标为7×eq \f(3n－1,2n).
第4题解图
基本模型：
5. (eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2n－2 【解析】∵直线l1∶y＝eq \f(\r(3),3)x，∴∠A1Ox＝30°，∵直线l2∶y＝eq \r(3)x，∴∠B1Ox＝60°，∴∠A1OB1＝30°. ∵A1B1⊥l1，∴∠OB1A1＝60°，∵四边形A1B1B2C1是菱形，∴A1C1∥B1B2，∴∠B1A1C1＝∠A1B1O＝60°，∵A1B1＝A1C1，∴△A1B1C1是等边三角形，∴S1＝2(S扇形A1B1C1－S△A1B1C1). ∵点A1的横坐标为eq \f(3,2)，∴点A1的纵坐标为eq \f(\r(3),2)，OA1＝eq \r(3).如解图，过点A1作A1D⊥x轴于点D，则△A1OB1∽△DOA1，∴eq \f(A1B1,DA1)＝eq \f(A1O,DO)，即eq \f(A1B1,\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),\f(3,2))，∴A1B1＝1，∴S1＝2×(eq \f(π,6)－eq \f(\r(3),4))＝eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2).在△A2A1C1中，A1C1＝A1B1＝1，∠C1A1A2＝30°，∴A2C1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)，∴A2B2＝A2C1＋B2C1＝eq \f(3,2)，∴S2＝2[(eq \f(π,6)×(eq \f(3,2))2－eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×(eq \f(3,2))2]＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2，同理S3＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))4，S4＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))6，∴Sn＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2(n－1)＝(eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),2))×(eq \f(3,2))2n－2.
第5题解图
基本模型：
针对训练
1. 3·2n 【解析】∵A，A1，A2…An都在平行于x轴的直线上，点的纵坐标都相等，∴An的纵坐标是3，这些点的横坐标有一定的规律An＝2n；B，B1，B2，…，Bn都在x轴上，Bn的纵坐标是0，这些点的横坐标也有一定的规律Bn＝2n＋1，点An的坐标是 (2n，3)，Bn的坐标是(2n＋1，0)，
∴△OAnBn的面积＝eq \f(1,2)×3×OBn＝3·2n.
2. 22020·eq \r(7) 【解析】由题意得D1D2＝eq \r(22＋（\r(3)）2)＝eq \r(7)＝20·eq \r(7)，D2D3＝eq \r(42＋（2\r(3)）2)＝2eq \r(7)＝21·eq \r(7)，D3D4＝eq \r(82＋（4\r(3)）2)＝4eq \r(7)＝22·eq \r(7)，…，∴DnDn＋1＝2n－1·eq \r(7).∴D2021D2022＝22020·eq \r(7).
3. eq \f(1,22n＋3) 【解析】把x＝0代入y＝－x＋1得，y＝1，∴OB＝1，把y＝0代入y＝－x＋1得，x＝1，∴OA＝1，∴OA＝OB，∵点O1、A1分别是BO、BA的中点，∴OO1＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(1,2)，O1A1是△OAB的中位线，∴O1A1∥OA，O1A1＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(1,2)，如解图，连接OA1，O1A2，∵O1A1∥OA，∴S△AO1A1＝S△OO1A1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,23)，同理，O2A2＝eq \f(1,2)O1A1＝eq \f(1,4)，O2O1＝eq \f(1,2)BO1eq \f(1,4)，S△A1O2A2＝S△O1O2A2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,25)，…，∴S△AnAn＋1On＋1＝eq \f(1,22n＋3).
第3题解图
4. 2n－1 【解析】设△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝eq \f(1,2)，∵∠OAA1＝90°，∴OAeq \\al(2,1)＝12＋12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝1，同理可求：S3＝2，S4＝4，…，
∴Sn＝2n－2，∴△AnAn＋1An＋2的面积Sn＋1＝2n－1.
5. eq \f(n,2n＋2) 【解析】如解图，连接B1B2，B2B3，B3B4，∵n个腰长为1的等腰三角形有一条腰在同一直线上，
∴B1B2＝B2B3＝B3B4＝1，∴△A1B1B2的面积＝eq \f(1,2)，∵B1B2∥AA4，∴eq \f(B1B2,AA1)＝1，eq \f(B2B3,AA2)＝eq \f(1,2)，eq \f(B3B4,AA3)＝eq \f(1,3)，∴S1＝eq \f(1,2)×eq \f(1,1＋1)＝eq \f(1,4)，∵S2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,1＋2)＝eq \f(1,3)，S3＝eq \f(1,2)×eq \f(3,3＋1)＝eq \f(3,8)，∴Sn＝eq \f(1,2)×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n,2n＋2).
第5题解图
6. eq \f(3,n) 【解析】如解图，分别连接OB1，OB2，…，OBn，∵点A1(1，0)，A2(2，0)，…，An(n，0)，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…，∵B1，B2，…，Bn在反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象上，∴S△AnOBn＝eq \f(1,2)×6＝3，∴S1＝S△A1OB1＝3，S2＝eq \f(1,2)S△A2OB2＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(1,3)S△A3OB3＝eq \f(3,3)，…，Sn＝eq \f(1,n)S△AnOBn＝eq \f(3,n).
第6题解图
7. 24041 【解析】由eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)＝－ eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)得x＝0，则A(0，eq \f(1,2))，令y＝0，由y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)＝0得x＝1，则B1(1，0)，C1(1，1)，∴B1C1＝1，如解图，连接AD1，D1D2，D2D3，由菱形的对称性可得AD1＝2，∴S菱形AB1D1C1＝eq \f(1,2)AD1·B1C1＝eq \f(1,2)×2×1＝1，∴S1＝eq \f(1,2)S菱形AB1D1C1＝eq \f(1,2)，把x＝2分别代入y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)与y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)得y＝eq \f(3,2)和y＝－eq \f(1,2)，
∴B2(2，－eq \f(1,2))，C2(2，eq \f(3,2))，∴B2C2＝2，由菱形的对称性得AD2＝4，∴S2＝eq \f(1,2)S菱形AB2D2C2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×4×2＝2，把x＝4分别代入y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)与y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)得y＝eq \f(5,2)和y＝－eq \f(3,2)，∴B3(4，－eq \f(3,2))，C3(4，eq \f(5,2))，∴B3C3＝4，由菱形的对称性得AD3＝8，∴S3＝eq \f(1,2)S菱形AB3D3C3＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×8×4＝8，同理可得S4＝32，S5＝128，…，由上可知Sn＝22n－3，∴S2022＝24041.
第7题解图
8. eq \f(3n,22n－1) 【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵BC1⊥AC，∴∠CBA1＝15°，同理可得∠BCB1＝15°，∴∠CA1C1＝30°，A1B＝A1C，∴CC1＝eq \f(1,2)A1C，∵△A1BC的面积为1，∴eq \f(1,2)A1B·CC1＝1，即eq \f(1,2)A1C·eq \f(1,2)A1C＝1，∴A1C＝2，∴A1C1＝eq \f(\r(3),2)A1C＝eq \r(3)，∵A1C1⊥AC，B1A2⊥AC，∴A1C1∥B1A2，同理，A1B1∥A2C1，∴四边形A1B1A2C1是平行四边形，∵∠B1BC＝∠C1CB，∠BB1C＝∠CC1B＝90°，BC＝CB，∴△BB1C≌△CC1B(AAS)，∴BC1＝CB1，∵A1B＝A1C，∴A1B1＝A1C1，∴四边形A1B1A2C1是菱形，∴A1C1＝A2C1，∵CB1∥C1B2，∴∠A2C1A1＝∠CA1C1＝30°，如解图，过点A1作A1M⊥A2C1于M，∴A1M＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)eq \r(3)，∴菱形A1B1A2C1的面积＝A2C1·A1M＝eq \f(3,2)＝eq \f(31,22×1－1)；同理可得，菱形A2B2A3C2的面积＝eq \f(9,8)＝eq \f(32,22×2－1)；菱形A3B3A4C3的面积＝eq \f(27,32)＝eq \f(33,22×3－1)；…；由上可知四边形AnBnAn＋1Cn的面积＝eq \f(3n,22n－1).
第8题解图
9. 2(eq \r(3))n 【解析】∵OA1＝OB1＝1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴OA2＝eq \f(1,tan∠OA2B1)＝eq \f(1,tan30°)＝eq \r(3)，∴A1A2＝OA2－OA1＝eq \r(3)－1，∵∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，∴∠B2A1O＝60°，∵∠B2A1O＝∠B1A2O＋∠A1C1A2，∴∠A1C1A2＝30°，∴∠B1A2O＝∠A1C1A2＝30°，∴A1A2＝A1C1＝eq \r(3)－1，同理OB2＝eq \r(3)，B1B2＝B1C1＝eq \r(3)－1，∴四边形A1C1B1O的周长为1＋1＋eq \r(3)－1＋eq \r(3)－1＝2eq \r(3)，∵A1B2∥A2B3，A2B1∥A3B2，∴∠OA1B2＝∠OA2B3，∠OB1A2＝∠OB2A3，∴四边形OA1C1B1∽四边形OA2C2B2，且相似比为eq \f(OA2,OA1)＝eq \r(3)，同理四边形OA2C2B2∽四边形OA3C3B3，且相似比为eq \r(3)；以此类推，四边形OAn－1Cn－1Bn－1∽四边形OAnCnBn，且相似比为eq \r(3)；∴四边形OA1C1B1∽四边形OAnCnBn，且相似比为(eq \r(3))n－1，∴eq \f(四边形OA1C1B1的周长,四边形OAnCnBn的周长)＝eq \f(1,（\r(3)）n－1)，∴四边形AnCnBnO的周长为2eq \r(3)×(eq \r(3))n－1＝2(eq \r(3))n.
10. eq \f(1,9)×4n＋2 【解析】设△ADC的面积为S，由题意得，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，∴△ACD∽△B2B1D，∴eq \f(S△ADC,S△B1B2D)＝(eq \f(AC,B1B2))2＝eq \f(1,4)，∴S△B1B2D＝4S，∵eq \f(CD,DB1)＝eq \f(AC,B1B2)＝eq \f(1,2)，CB1＝2，∴DB1＝eq \f(4,3)，同理D1B2＝eq \f(8,3)，设△B1DE的边B1D上的高为h1，△B2D1E的边B2D1上的高为h2，∵B1D∥B2D1，∴△B1DE∽△D1B2E，∴eq \f(h1,h2)＝eq \f(B1D,B2D1)＝eq \f(\f(4,3),\f(8,3))＝eq \f(1,2)，又∵h1＋h2＝4，∴h1＝eq \f(4,3)，S1＝eq \f(1,2)(B1B2)2－eq \f(1,2)B1D·h1＝eq \f(1,9)×43，同理可得S2＝eq \f(1,9)×44，…，Sn＝eq \f(1,9)×4n＋2.
11. 22021＋1 【解析】如解图，令y＝0，则y＝－x＋2＝0，得x＝2，∴点A1的坐标为(2，0)．令x＝0，则y＝－x＋2＝2，∴M(0，2)，∴OM＝OA1＝2，∴∠MA1O＝45°，∴∠A1PN＝45°，∵四边形A1B1C1A2为正方形，∴∠MA1B1＝90°，∴∠NA1B1＝45°，∴∠A1B1N＝45°，∴A1N＝B1N＝2－1＝1，∴A1P＝A1B1＝A1A2＝A2C1＝B1C1＝eq \r(2)，B1(1，－1)，如解图，连接A2B1，A1C1，则∠A1B1A2＝∠C1A1B1＝45°，∴∠A2B1N＝∠C1A1N＝90°，∴点C1的横坐标与A1的横坐标相等为2，A2与B1的纵坐标相等为－1，当y＝－1时，y＝－x＋2＝－1，得x＝3，∴点A2的坐标为(3，－1)．∵四边形A2B2C2A3为正方形，∴∠PA2B2＝90°，∵∠A1PN＝45°，∵A2B2＝A2P＝2eq \r(2)，∴PB2＝eq \r(2)A2B2＝4，∴B2(1，－3)，如解图，连接A3B2，A2C2，则A3B2∥x轴，A2C2∥y轴，∴点C2的横坐标与A2的横坐标相等为3，A3与B2的纵坐标相等为－3，当y＝－3时，y＝－x＋2＝－3，得x＝5，∴点A3的坐标为(5，－3)．∴点C3的横坐标为5.同理可得，C4的横坐标为9，C5的横坐标为17，…，由上可得规律，Cn的横坐标为2n－1＋1(n≥2)，∴点C2022的纵坐标为22021＋1.
第11题解图
12. eq \f(22023－3,6)eq \r(3) 【解析】∵直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)与x轴交于点B，∴B(－1，0)，∴OB＝1，∵A(－2，0)，∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等边三角形，∴A1(－eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))，把y＝eq \f(\r(3),2)代入y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)，求得x＝eq \f(1,2)，∴B1(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，∴A1B1＝2，设C1到x轴的距离为h1，C1到A1B1的距离为h1′，∴h1＋h1′＝yA1＝eq \f(1,2)eq \r(3)，∵A1B1//AB，∴△A1B1C1∽△BAC1，∴eq \f(h1,h1′)＝eq \f(BA,A1B1)＝eq \f(1,2)，∴h1＝eq \f(1,3)(h1＋h1′)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)eq \r(3)＝eq \f(1,6)eq \r(3)，∴C1的纵坐标为eq \f(1,6)eq \r(3)；∵A1B1＝2，∴A2(－eq \f(1,2)，eq \f(3\r(3),2))，将y＝eq \f(3\r(3),2)代入y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)中，得eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)＝eq \f(3\r(3),2)，求得x＝eq \f(7,2)，∴B2(eq \f(7,2)，eq \f(3\r(3),2))，∴A2B2＝4，设C2到A1B1的距离为h2，C2到A2B2的距离为h2′，∴h2＋h2′＝eq \f(1,2)A1B1·eq \r(3)＝eq \r(3)，∵A1B1//A2B2，∴△A1B1C2∽△B2A2C2，∴eq \f(h2,h2′)＝eq \f(A1B1,A2B2)＝eq \f(1,2)，∴h2＝eq \f(1,3)(h2＋h2′)＝eq \f(1,3)×eq \r(3)＝eq \f(1,3)eq \r(3)，∴C2的纵坐标为yA1＋h2＝eq \f(1,2)eq \r(3)＋eq \f(1,3)eq \r(3)＝eq \f(5,6)eq \r(3)；同理可得，C3的纵坐标为eq \f(13,6)eq \r(3)；C4的纵坐标为eq \f(29,6)eq \r(3)；…，∴Cn的纵坐标为eq \f(2n＋1－3,6)eq \r(3).∴点C2022的纵坐标是eq \f(22023－3,6)eq \r(3).
第12题解图
类型二 图形周期变化
典例精讲
例3 (0，448eq \r(3))
【解题步骤】①3；②3，672, 672；③eq \r(3)，eq \f(2\r(3),3)，eq \f(4\r(3),3)，2eq \r(3)，(0，448eq \r(3))
辽宁近年中考真题精选
1. 560π 【解析】第一次操作：A点运动路径长为l1＝eq \f(120×π×1,180)＝eq \f(2,3)π， 第二次操作：A点运动路径长为l2＝eq \f(30×π×1,180)＝eq \f(1,6)π，第三次操作：A点运动路径长为l3＝0，第四次操作：A点运动路径长为l4＝eq \f(30×π×1,180)＝eq \f(1,6)π，第五次操作：A点运动路径长为l5＝eq \f(120×π×1,180)＝eq \f(2,3)π，第六次操作：A点运动路径长为l6＝0，第七次操作：A点运动路径长为l7＝eq \f(120,180)×π×1＝eq \f(2,3)π，…， 以此类推，不难发现每三次操作，A点的运动路径总长相同，即为l＝eq \f(2,3)π＋eq \f(1,6)π＋0＝eq \f(5,6)π， 又∵2016÷3＝672刚好整除，∴A点的运动总路径长为l总＝672×eq \f(5,6)π＝560π.
针对训练
1. (36，36) 【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n为奇数时，第n个点的坐标为(eq \f(n＋1,2)，eq \f(n＋1,2))；当n为偶数时，第n个点的坐标为(eq \f(1,2)n，eq \f(1,2)n＋1)．由此可知，点A71的坐标为(36，36)．
2. (337，－337eq \r(3)) 【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A2021是第337个正六边形的顶点，且在第四象限，如解图连接OA5，A5，A11，并延长至A2021，∵点O是所有正六边形的中心，易得△OA5A6、△OA11A12…，都是等边三角形，∴OA5＝2、OA11＝4、…，OA2021＝337×2＝674，作A2021P⊥x轴于点P，∵∠A2021OP＝60°，∴A2021P＝OA2021·sin60°＝337eq \r(3)，OP＝OA2021·cs60°＝337，∴点A2021的坐标是(337，－337eq \r(3))．
第2题解图
3. (－21010，－21010) 【解析】由题意得，点B1，B2，B3，B4分别在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分线上，且点B5与点B1在一条直线上，∴周期为4.∵2021÷4＝505……1，∴点B2021在第三象限的角平分线上．∵四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，∴OA1＝1，∴OB1＝eq \r(2).∵正方形OA2B2C2的边长等于OB1，∴OA2＝eq \r(2)，∴OB2＝eq \r(2)OA2＝2＝(eq \r(2))2.∵正方形OA3B3C3的边长等于OB2，∴OA3＝2，∴OB3＝eq \r(2)OA3＝2eq \r(2)＝(eq \r(2))3.同理可得，OB2021＝(eq \r(2))2021，∴点B2021的横坐标为－(eq \r(2))2021×cs45°＝－eq \f(（\r(2)）2022,2)＝－eq \f(21011,2)＝－21010，纵坐标为－(eq \r(2))2021×sin45°＝－eq \f(（\r(2)）2022,2)＝－eq \f(21011,2)＝－21010，∴点B2021的坐标为(－21010，－21010)．
4. (－4eq \r(2)，4eq \r(2)) 【解析】观察题图可知，每4个点在一个图上，∴周期为4，∵30÷4＝7……2，∴A30在直线y＝－x上，且在第二象限第8个圆上，即射线OA30与x轴的夹角是45°，∵在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，∴OA30＝8，如解图，OA＝8，∠AOB＝45°，∵sin45°＝eq \f(AB,8)，cs45°＝eq \f(OB,8)，∴AB＝4eq \r(2)，OB＝4eq \r(2)，∵A30在第二象限，∴A30的横坐标是－4eq \r(2)，纵坐标是4eq \r(2)，即A30的坐标是(－4eq \r(2)，4eq \r(2))．
第4题解图
5. (－21010，－21010) 【解析】∵等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1＝(eq \r(2))°，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，∴OA1＝1＝(eq \r(2))°，OA2＝eq \r(2)，OA3＝(eq \r(2))2，…，OA2022＝(eq \r(2))2021，∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，2022÷8＝252……6，∴点A2022在第三象限对角线上，∵OA2022＝(eq \r(2))2021，∴点A2022的坐标为(－21010，－21010)．
6. (eq \f(5,2)，－eq \f(51\r(3),2)) 【解析】观察，发现规律：A2(2，eq \r(3))，A4(eq \f(5,2)，－eq \f(3\r(3),2))，A6(2，2eq \r(3))，A8(eq \f(5,2)，－eq \f(5\r(3),2))，…，∴A4n＋2(2，eq \r(3)n＋eq \r(3))，A4n＋4(eq \f(5,2)，－eq \f(（2n＋3）\r(3),2))(n为自然数)，∵100＝4×24＋4，∴A100的坐标为(eq \f(5,2)，－eq \f(51\r(3),2))．
7. －eq \f(31010,22019) 【解析】∵边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，OB⊥AC，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∠ABO＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∴AO＝eq \f(1,2)AB＝2，OB＝eq \r(3)AO＝2eq \r(3)；∵以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，∴∠BA1O＝∠A1OB＝∠A2O1B＝60°，∠A1BO1＝∠OBO1＝eq \f(1,2)∠A1BO＝30°，∴∠AOO1＝∠A1O1O2＝90°－60°＝30°，在△OO1A与△O1O2A1中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OAO1＝∠A1,∠AOO1＝∠A1O1O2))，∴△OO1A∽△O1O2A1，同理，可得△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2∽…∽△On－1OnAn－1，相似比eq \f(O1A1,OA)＝eq \f(O1O2,OO1)＝sin60°＝eq \f(\r(3),2)，∴O1A1＝eq \f(\r(3),2)OA，同理O2A2＝eq \f(\r(3),2)O1A1＝(eq \f(\r(3),2))2OA，…，OnAn＝(eq \f(\r(3),2))nOA∵∠OBA＝∠O1BA1＝∠O2BA2＝∠O3BA3＝…＝∠On－2BAn－2＝∠On－1BAn－1＝30°，360°÷30°＝12，∴这些点所在的位置以12个为一个周期依次循环，∵2020÷12＝168……4，∴O2020A2020为4÷2×(eq \f(\r(3),2))2020＝eq \f(31010,22019).∴△O2019BA2020的边长为2O2020A2020＝2×(eq \f(31010,22019))＝eq \f(31010,22018)，∵点A2020与点A4位置类似，∴点A2020的横坐标为－eq \f(31010,22019)·sin30°＝－eq \f(31010,22019).