2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型二 作图题 （含答案）

这是一份2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型二 作图题 （含答案），共12页。试卷主要包含了尺规作图等内容，欢迎下载使用。
1. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知eq \(AB,\s\up8(︵))，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交eq \(AB,\s\up8(︵))于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交eq \(AB,\s\up8(︵))于点F(F，A两点不重合)，连接DF，BD，BF.
(2)直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
第1题图
2.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：如图，已知Rt△ABC.
(1)在AC边上求作点D，使DC与点D到AB的距离相等；
(2)在AB边上求作点E，使△ADE∽△ABC.
第2题图
创新题
3. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图①，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；
(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；
(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO.则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．

图① 图②
第3题图
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图②，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
……
任务：
(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______(填序号)；
① SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤ HL
(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由；
(3)如图③，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝eq \r(3)＋1，点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．
第3题图③
类型二 无刻度直尺作图
1.如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1.
(1)以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可)；
(2)计算你所画菱形的面积．
第1题图
2.如图，AB是半圆O的直径，Rt△BOC的斜边BC与半圆O相交于点D，且CD＝BD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中，作∠CBO的平分线BE；
(2)在图②中，作△BCO的高OQ.
第2题图
3.已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图①，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
(2)如图②，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.
第3题图
4.下图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图①是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图②、图③中画出相应的格点图形(顶点均在格点上)．
(1)选一个四边形画在图②中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形；
(2)选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的eq \r(5)倍，画在图③中．
第4题图
5. 已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
(2)在图②中，将直线AC向上平移1个单位长度．
第5题图
6．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
(1)在图①中，连接MA、MB，使MA＝MB；
(2)在图②中，连接MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
(3)在图③中，连接MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC.
第6题图
参考答案
类型一 尺规作图
1. 解：(1)尺规作图如解图所示；
第1题解图
(2)结论：BC＝BF.
【解法提示】由作图可得，DE是AC的垂直平分线，DA＝DF, ∴DA＝DC＝DF, ∴∠DAC＝∠DCA，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(FD,\s\up8(︵))， ∴∠DBC＝∠DBF, ∵ 四边形ABFD是圆的内接四边形，∴∠DAB＋∠DFB＝180°， ∵∠DCA＋∠DCB＝180°，∴∠DFB＝∠DCB，∵DB＝DB，∴△DCB≌△DFB，∴BC＝BF.
2. 解：(1)如解图①，点D即为所求；
第2题解图①
(2)如解图②，点E即为所求．
第2题解图②
3. 解：(1)⑤；
(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
如解图①，连接EF，
由作图可知，OC＝OD，OE＝OF，
又∵∠COF＝∠DOE，
∴△COF≌△DOE，
∴∠OFC＝∠OED.
∵OF＝OE，
∴∠OFE＝∠OEF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴PF＝PE.
又∵OP＝OP，OF＝OE，
∴△FOP≌△EOP，
∴∠FOP＝∠EOP，
即射线OP是∠AOB的平分线；
第3题解图①
(3)OC的长为2或2＋eq \r(3).
【解法提示】由于点C，D分别为射线OA，OB上的动点，点E，F为射线OA，OB上的定点，且∠CPE＝30°，故可分以下两种情况讨论：①当点C在点E下方时，如解图②，作射线OP，由(2)知，OP为∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP＝30°.∵∠1＝∠POF＋∠OFP，∠2＝∠DPF＋∠DFP，∠CPE＝∠DPF＝∠POF＝30°，∴∠1＝∠2，由(2)知∠1＝∠3，∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4＝eq \f(1,2)×(180°－∠BOP)＝75°，∴OP＝OD，∠PFO＝∠1－∠BOP＝45°.过点P作PG⊥OB于点G，则PG＝FG.设PG＝FG＝x，则OG＝eq \f(PG,tan30°)＝eq \r(3)x，∴OG＋FG＝eq \r(3)x＋x＝OF＝eq \r(3)＋1，解得x＝1，∴PG＝1，∴OP＝2PG＝2，∴OC＝OD＝OP＝2；②当点C在点E上方时，如解图③，作射线OP，过点P作PG⊥OB，同理可得OP＝OE＝eq \r(3)＋1，则PG＝GD＝eq \f(\r(3)＋1,2)，∴OG＝eq \f(PG,tan30°)＝eq \f(3＋\r(3),2)，∴OC＝OD＝OG＋GD＝eq \f(3＋\r(3),2)＋eq \f(\r(3)＋1,2)＝2＋eq \r(3).综上所述，OC的长为2或2＋eq \r(3).
图②
图③
第3题解图
类型二 无刻度直尺作图
1. 解：(1)画法不唯一，如解图①或解图②或解图③所示；
图①
图②
图③
第1题解图
(2)图①菱形的面积＝eq \f(1,2)×2×6＝6；
图②菱形的面积＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×4eq \r(2)＝8；
图③菱形的面积＝(eq \r(10))2＝10.
2. 解：(1) 如解图①，BE即为所求；
第2题解图①
(2)如解图②，OQ即为所求．
第2题解图②
3. 解：(1)如解图①，BF即为所求；
第3题解图①
(2)如解图②，BG即为所求；
第3题解图②
4. 解：(1)画法不唯一，如解图①或解图②或解图③或解图④所示；
图①
图②
图③
图④
第4题解图
(2)画法不唯一，如解图⑤或解图⑥或解图⑦或解图⑧所示．
图⑤
图⑥
图⑦
图⑧
第4题解图
5. 解：(1)如解图①，直线m即为所求；
第5题解图①
(2)如解图②，直线n即为所求．
第5题解图②
6．解：(1)画法不唯一，如解图①或解图②所示；
图①
图②
第6题解图
(2)如解图③所示；
第6题解图③
(3)画法不唯一，如解图④或解图⑤所示．
图④
图⑤
第6题解图