2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型九 阅读与理解（含答案）

这是一份2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型九 阅读与理解（含答案），共12页。试卷主要包含了 阅读理解，我们不妨约定，4＋0等内容，欢迎下载使用。
1. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
(1)已知点A的坐标为(2，0)．
①若点B的坐标为(4，4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为________；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
(2)已知点P的坐标为(3，－4)，点Q的坐标为(6，－2)．若使函数y＝eq \f(k,x)的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
第1题图
2.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
(1)若点A(1, r)与点B(s, 4)是关于x的“T函数”y＝－eq \f(4,x)(x0，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx＋n(m≠0，n>0，且m，n是常数)交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，当x1，x2满足(1－x1)－1＋x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
类型二 解题方法类阅读理解
1. 【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等，在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F.
∴∠AEF＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF.
∵l1∥l2，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF.
又S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE，S△DBC＝eq \f(1,2)BC·DF，
∴S△ABC＝S△DBC.
【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE, AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF.
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．
第1题图
2. 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5＋5＝2eq \r(5×5)＝10；eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝2eq \r(\f(1,3)×\f(1,3))＝eq \f(2,3)；0.4＋0.4＝2eq \r(0.4×0.4)＝0.8；eq \f(1,5)＋5＞2eq \r(\f(1,5)×5)＝2；0.2＋3.2＞2eq \r(0.2×3.2)＝1.6；eq \f(1,2)＋eq \f(1,8)＞2eq \r(\f(1,2)×\f(1,8))＝eq \f(1,2)
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a＋b≥2eq \r(ab)(当且仅当a＝b时等号成立)．
猜想证明
∵(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0，
∴①当且仅当eq \r(a)－eq \r(b)＝0，即a＝b时，a－2eq \r(ab)＋b＝0，∴a＋b＝2eq \r(ab)；
②当eq \r(a)－eq \r(b)≠0，即a≠b时，a－2eq \r(ab)＋b>0，∴a＋b>2eq \r(ab).
综合上述可得：若a>0，b>0，则a＋b≥2eq \r(ab)成立(当且仅当a＝b时等号成立)．
猜想运用
对于函数y＝x＋eq \f(1,x)(x＞0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝eq \f(1,x－3)＋x(x>3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
新冠肺炎疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S(米2)．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
第2题图
类型三 以数学文化为背景的阅读理解
1. 请阅读以下材料并完成相应的任务．
17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
黄金分割比(简称：黄金比)是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比(如图①)，即eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，其比值为eq \f(\r(5)－1,2).
已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线(如图②)．
第1题图
任务：
(1)如图③，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线与半径OA的交点．若OA＝2，求正十边形边长AB的长度；
(2)在(1)的条件下，利用图③进一步探究，请你写出sin18° 与黄金比之间的关系，并说明理由．
第1题图③
2. (1)阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
(2)问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
(3)拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.
已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α (0°0)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝ax2，,y＝mx＋n，))得ax2－mx－n＝0.
∵“T函数”y＝ax2与直线y＝mx＋n交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1，x2是关于x的一元二次方程ax2－mx－n＝0的两个不相等的实数根，
∴x1＋x2＝eq \f(m,a)，x1x2＝－eq \f(n,a).
∵(1－x1)－1＋x2＝1，
∴x1＋x2＝x1x2，即eq \f(m,a)＝－eq \f(n,a)，
解得n＝－m，
则直线l的解析式为y＝mx－m.
当x＝1时，y＝m－m＝0，
因此，直线l总经过一定点，该定点的坐标为(1，0)．
类型二 解题方法类阅读理解
1. 解：【类比探究】在正方形ABCD中，AD＝4，
∴CD＝4，AD⊥CD，
∵△CDE是等腰三角形，EF⊥CD，
∴DF＝eq \f(1,2)CD＝2，AD∥EF，
∴S△ADE＝S△ADF＝eq \f(1,2)AD·DF＝eq \f(1,2)×4×2＝4；
【拓展应用】△BDF的面积为8.
【解法提示】如解图，连接CF，∴∠BDC＝∠FCD＝45°，∴BD∥CF，∵BC＝CD＝AD＝4，∴S△BDF＝S△BCD＝eq \f(1,2)BC·CD＝eq \f(1,2)×4×4＝8.
第1题解图
2. 解：猜想运用
∵x＞0，
∴eq \f(1,x)＞0，
∴x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，
∴y≥2，
∴当x＝eq \f(1,x)时，ymin＝2，
此时x2＝1，
∴x1＝1，x2＝－1(舍去)，
即x＝1时，函数y的值最小，最小值为2.
变式探究
∵x＞3，
∴x－3＞0，eq \f(1,x－3)＞0，
∴y＝eq \f(1,x－3)＋x＝eq \f(1,x－3)＋(x－3)＋3≥2eq \r(\f(1,x－3)·（x－3）)＋3≥5，
∴当eq \f(1,x－3)＝x－3时，ymin＝5，
此时(x－3)2＝1，
∴x1＝4，x2＝2(舍去)，
即x＝4时，函数y的值最小，最小值为5.
拓展应用
设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得，9x＋12y＝63，
即3x＋4y＝21，
∵3x＞0，4y＞0，
∴3x＋4y≥2eq \r(3x·4y)，
即21≥2eq \r(12xy)，
整理得xy≤eq \f(147,16)，即S≤eq \f(147,16)，
∴当3x＝4y时Smax＝eq \f(147,16)，
此时x＝eq \f(7,2)，y＝eq \f(21,8)，
即每间隔离房长为eq \f(7,2)米，宽为eq \f(21,8)米时，可使每间隔离房的面积S最大，最大面积是eq \f(147,16)平方米．
类型三 以数学文化为背景的阅读理解
1. 解：(1)∵正十边形的中心角为36°，
∴∠AOB＝36°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝72°，
∵BM平分∠ABO，
∴∠ABM＝∠OBM＝36°，
∴∠BMA＝72°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴OM＝BM＝AB，
∴△ABM∽△AOB，
∴eq \f(AB,AO)＝eq \f(AM,AB)，即eq \f(AB,AO)＝eq \f(AO－AB,AB)，
∴AB2＝AO2－AO·AB，
∴(eq \f(AB,AO))2＋eq \f(AB,AO)＝1，解得eq \f(AB,AO)＝eq \f(\r(5)－1,2)(负值已舍去)，
∵OA＝2，
∴AB＝eq \r(5)－1；
(2)sin18°是黄金比的一半．
理由如下：如解图，延长AO交⊙O于点P，连接PB，
∵∠AOB＝36°，
∴∠OPB＝18°，
∵AP是⊙O的直径，
∴AP＝2OA＝4，∠ABP＝90°，
∴sinP＝eq \f(AB,AP)，即sin18°＝eq \f(\r(5)－1,4).
∴sin18°是黄金比的一半．
第1题解图
2. 解：(1)勾股定理：a2＋b2＝c2.证明过程：由题图可得S正＝c2＝2ab＋(b－a)2，即c2＝2ab＋a2＋b2－2ab，
∴a2＋b2＝c2；
(2)如解图①，由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，∴a＋b＝12①，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E′F′＝EF，KF′＝FD，E′K＝BC＝5，
当EF＞FD时，
∵E′F′－KF′＝E′K，
∴a－b＝5②.
由①②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＋b＝12，,a－b＝5，)))
解得a＝eq \f(17,2)，
∴EF＝eq \f(17,2)；
同理，当EF＜FD时，EF＝eq \f(7,2).
综上所述，EF的值为eq \f(17,2)或eq \f(7,2)；
第2题解图①
(3)b＋c＝n，理由如下：
如解图②，设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝
∠D′OE′＝∠B′C′A′＝90°，
∴△PMQ∽△D′OE′∽△B′C′A′，
∴eq \f(OE′,C′A′)＝eq \f(D′E′,B′A′)，eq \f(PM,B′C′)＝eq \f(PQ,A′B′)，即eq \f(c,e)＝eq \f(e,n)，eq \f(b,f)＝eq \f(f,n)，
∴e2＝cn，f 2＝bn.
在Rt△A′B′C′中，由勾股定理得e2＋f 2＝n2，
∴cn＋bn＝n2，
∴b＋c＝n.
第2题解图②